6.1正弦函数和余弦函数的性质(三)
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质
知识回顾; ： (1)在一个三角形中各边和它的对边 的正弦比相等，即： (2) 运用正弦定理可以解决一些怎样 的解三 角形问题呢？ 由
，可以解决“已知两角及其一边可 以求其他
边。”“已知两边及其一边的对角 可以求其他角。” 等解三角形问题
•余弦定理，的求得第出三及边推c 导：
先让学生进尝而试，具改体为问字题母：：①②已已知知三三角角形形ABACB中C中，，a=B5C，=ab，=1A，C=Cb=，∠ACB=C，试用a，b及C表示第三边c
设想：学生可能把图形加以分割转化为已有知识直角三角形进行解决。
60
小组合作探讨：
A
证明：学生可能想法有B
方法（1）化归为直角三角形，作BD⊥AC于D，
D
C
教师引导：问题5：怎样把未知量用已知量表示出来呢？（直角三角形边角关系）化归思想
AB2 BD2 AD2 BD2 (AC CD)2 (a sin C)2 (b a cosC)2 a2 方b2法（2a2b）cosC BC B教A师 引AC导：在证明正弦定理时
两边同时乘以
AD 推出正弦定理
那么三角形中还有其他方法将向量数量化吗？（平方）
向量法
AB AC CB
2
AB
( AC CB)2
2
AC
2
CB
2AC CB
2
2
AC CB 2 AC CB cos( C)
c2 a2 b2 2abcosC
，
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
问题1：
ABC
a 7,b，解5,这c 个3三角形。
6.1正弦函数和余弦函数
作正弦函数 y = sin x(x ∈ R) 的图象 y 1
-2π π
-π π
o -1
π
2π π
3π π
x
4π π
正弦函数 y = sin x( x ∈ R)的图象叫正弦曲线
正弦函数
性质:
定义域 值域 奇偶性 单调性 图像
x∈R
y ∈ [ 1,1]
奇函数
余弦函数
任意一个实数x都对应着唯一确定的弧度角, 而这个角又对应着唯一确定的余弦值cosx. 这样,对任意一个实数x都有唯一确定的值 cosx与它对应.按照这个对应法则所建立的 函数,表示为y=cosx,它叫做余弦函数.它 的定义域是实数集R.
[ 1,5]
3 0, 4
二次型 一次型
最大值和最小值 例3:求下列函数的最大值和最小值
π (1) y = 3 2sin 2 x 4
3π x = kπ + , k ∈ Z时,ymin = 1 8
x = kπ
π
8
, k ∈ Z时,ymax = 5
定义法
(2) y = cos 2 x 2sin x
x = 2 kπ +
π
2
, k ∈ Z时,ymin = 2 , k ∈ Z时,ymax = 2
x = 2 kπ
π
2
二次型
(3) y = sin x + cos x
3π x = 2 kπ , k ∈ Z时,ymin = 2 4 x = 2 kπ +
π
4
, k ∈ Z时,ymax = 2
一次型
(4) y = sin x + cos x + sin x cos x
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数和余弦函数图像和性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1 、复习（ 1 ）函数的观点在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数会合 D 内的每一个确立的值，依据某个对应法例f， y 都有独一确立的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作y f x ，x D 。
（ 2 ）三角函数线设随意角的极点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆订交于点P( x, y)，过P 作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0) 作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延伸线（当为第二、三象限角时）订交于T .规定：当OM与x 轴同向时为正当，当OM与 x 轴反向时为负值；当MP与y 轴同向时为正当，当MP 与y 轴反向时为负值；当 AT与y 轴同向时为正当，当AT 与y 轴反向时为负值；依据上边规定，则OM x , MP y ,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin y yMP ；ry1cos x xOM ；rx1tany MP ATAT ；x OM OA这几条与单位圆相关的有向线段MP ,OM , AT 叫做角的正弦线、余弦线、正切线。
二、讲解新课【问题驱动 1 】——联合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦 )为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值 )之间能否也存在一种函数关系？若存在，请对这类函数关系下一个定义；若不存在，请说明原因．1、正弦函数、余弦函数的定义（ 1）正弦函数：y sin x, x R ；（ 2）余弦函数： y cos x, x R【问题驱动 2 】——怎样作出正弦函数y sin x, x R 、余弦函数 y cos x, x R 的函数图象？2 、正弦函数y sin x, x R 的图像（ 1） y sin x, x0,2的图像【方案 1 】——几何描点法步骤 1 ：平分、作正弦线——将单位圆平分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤 2 ：描点——平移定点，即描点x,sin x ；步骤 3 ：连线——用圆滑的曲线按序连接各个点小结：几何描点法作图精准，但过程比较繁。
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案第一章：正弦函数的定义与图象1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图象1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。
正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
1.3 教学活动讲解正弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制正弦函数的图象，并观察其特点。
1.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图象2.2 教学内容余弦函数的定义：余弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。
余弦函数的图象：余弦函数的图象也是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
2.3 教学活动讲解余弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制余弦函数的图象，并观察其特点。
2.4 作业与练习让学生完成一些关于余弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 教学目标了解正弦函数和余弦函数的性质3.2 教学内容正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。
正弦函数和余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正弦函数和余弦函数的单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内都是先增后减。
3.3 教学活动讲解正弦函数和余弦函数的性质，并通过实际例子进行解释。
让学生通过观察图象，总结正弦函数和余弦函数的性质。
3.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数和余弦函数性质的练习题，包括选择题和解答题。
第四章：正弦函数和余弦函数的应用4.1 教学目标能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数和余弦函数在物理学中的应用：正弦函数和余弦函数可以用来描述简谐运动，如弹簧振子的运动。
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(3)
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质（3）1、求下列函数的最小正周期（1）sin cos y x x = （2）sin cos y x x =-（3）2cos y x = （4）sin(2)sin 23y x x π=-+（5）2sin 3cos y x x =+（6）3cos()cos 2y x x π=-（7）2sin cos cos y x x x =+（8）66sin cos y x x =+（9）1()tan cot f x x x =+（10）sin y x =2、求证：2π是函数sin cos y x x =+的一个周期3、证明：π是函数cos(sin )y x =的一个周期4、已知函数()sin ,6xf x x Z π=∈，（1）求()y f x =的最小正周期； （2）求(1)(2)(3)(2013)f f f f ++++ 的值。
5、求函数4422sin cos sin cos ()2sin 2x x x x f x x++=-的最小正周期，最大值和最小值6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质（3）（答案）1、解：（1）1sin cos sin 22y x x x ==，则最小正周期为π（2）sin cos )4y x x x π=-=-，则最小正周期为2π （3）21cos 2cos 2x y x +==，，则最小正周期为π（4）1sin(2)sin 22sin 2sin 232y x x x x x π=-+=-+12sin 2sin(2)23x x x π=+=+，则最小正周期为π（5）32sin 3cos arctan )2y x x x =+=+，则最小正周期为2π（6）31cos()cos sin cos sin 222y x x x x x π=-=-=-，则最小正周期为π（7）211cos 21sin cos cos sin 2)22242x y x x x x x π+=+=+=++，则最小正周期为π（8）66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )y x x x x x x x x =+=+-+ 422422222sin sin cos cos (sin cos )3sin cos x x x x x x x x =-+=+-2331cos 4531sin 21cos 444288x x x -=-=-⋅=+，则最小正周期为2π （9）221sin cos 1()sin 2tan cot sin cos 2x x f x x x x x x ===++，则最小正周期为π （10）最小正周期为π2、证：设()sin cos f x x x =+ 则()sin()cos()cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x πππ+=+++=+-=+= 所以2π是函数sin cos y x x =+的一个周期3、解：设()cos(sin )f x x =则()cos(sin())cos(sin )cos(sin )()f x x x x f x ππ+=+=-==所以π是函数cos(sin )y x =的一个周期4、解：（1）2126T ππ==，所以()y f x =的最小正周期为12（2）(1)(2)(3)(4)(5)(6)(12)0f f f f f f f +++++++=所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0,()f k f k f k f k f k f k k Z +++++++++++=∈则(1)(2)(3)(2013)(1)(2)(3)(9)((10)(11)(1`2))f f f f f f f f f f f ++++=++++=-++5111(sin sin sin 2)362πππ=-++= 5、解：442222sin cos sin cos 1sin cos ()2sin 22(1sin cos )x x x x x x f x x x x ++-==-- 111(1sin cos )sin 2242x x x =+=+ 所以()f x 的最小正周期为π，最大值为34，最小值为14。
高一数学复习知识讲解课件62 正弦函数、余弦函数的性质(第3课时) 综合应用
5.4.2正弦函数、余弦高一数学复习知综合应余弦函数的性质(第3课时)
复习知识讲解课件
综合应用
探究1 形如y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c 设t ＝sin x ，从而转化为二次函数在给定区间
(a ≠0)的函数的处理思路是：利用换元法定区间上的最值问题．
探究2 正弦曲线、余弦曲线的对称轴高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线弦值为0.考查了整体代换的数学思想．
对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值、余
探究3 整体研究三角函数的性质时性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域
质时，我们要从函数的定义域、图象、周期
值域等几个方面综合考虑．
自 助 餐
探究探究 已知三角函数单调区间求参数范子集法：求出原函数的相应单调区间等式
(组)求解． 参数范围的方法：
区间，由已知区间是该区间的子集，列不。
正弦函数与余弦函数的转换
正弦函数与余弦函数的转换正弦函数和余弦函数是初中数学中经常涉及到的函数，在高中数学中也有很重要的地位。
正弦函数和余弦函数在数学中被广泛应用，尤其在物理、工程等领域中，也是必不可少的。
一、正弦函数和余弦函数的定义正弦函数和余弦函数是两个最基本的三角函数。
它们的定义如下：正弦函数：y = sin x，其中x为弧度，y为正弦值。
余弦函数：y = cos x，其中x为弧度，y为余弦值。
二、正弦函数和余弦函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
3. 值域：正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域也为[-1,1]。
4. 周期函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像都是周期函数，其周期为2π，因此它们的图像呈现出周期性的波浪形。
5. 正弦函数和余弦函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像是相似的，只是相位不同。
正弦函数的图像在x轴上的零点为0、π、2π、3π、……，余弦函数的图像在x轴上的零点为π/2、3π/2、5π/2、……。
三、正弦函数和余弦函数的转换正弦函数和余弦函数之间有一定的关系，可以通过正弦函数和余弦函数的转换，将一个函数转化为另一个函数。
具体方法如下：1. sin x = cos (π/2 - x)2. cos x = sin (π/2 - x)这两个公式可以帮助我们将正弦函数转化为余弦函数，或将余弦函数转化为正弦函数。
例如，将y = sin x转化为y = cos x：y = sin xy = cos (π/2 - (π/2 - x))y = cos (π/2 - π/2 + x)y = cos x同样，将y = cos x转化为y = sin x：y = cos xy = sin (π/2 - (π/2 - x))y = sin (π/2 - π/2 + x)y = sin x四、正弦函数和余弦函数在数学中的应用正弦函数和余弦函数在数学中有很多应用，尤其在物理和工程领域中，它们是必不可少的。
数学：6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教案(3)
6.1正,余弦函数奇偶性单调性（3）一．正，余弦函数奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性sin(-x)= -sinx (x ∈R)y=sinx (x ∈R)x6πyo-π-12π3π4π5π-2π-3π-4π1π是奇函数x6πo-π-12π3π4π5π-2π-3π-4π1πycos(-x)= cosx (x ∈R)y=cosx (x ∈R)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性二．正，余弦函数的单调区间1．正弦函数的单调区间正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦函数的单调性y=sinx (x ∈R)增区间为[ ，] 其值从-1增至12π-2πxyo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-sinxx2π-2π23π…0 ……π…-11-1减区间为[ ，] 其值从1减至-12π3π[+2k π,+2kπ],k ∈Z 2π23π[+2k π,+2k π],k ∈Z 2π-2π正弦、余弦函数的奇偶性、单调性余弦函数的单调性y=cosx (x ∈R)cosxx2π-2π-π……0 ……π-101-1增区间为其值从-1增至1[+2k π,2k π],k ∈Z π-减区间为，其值从1减至-1[2k π,2k π+ π], k ∈Zyxo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-正弦函数的对称性xyo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-)0,πk 对称中心（2ππ+=k x 对称轴：余弦函数的对称性yxo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-)0,2ππ+k 对称中心（πk x =对称轴：4.推广①)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间Z k k x k ∈+≤+≤-,2222ππϕωππ x ⇒的范围为)sin(ϕω+=x A y 单调递增区间Z k k x k ∈+≤+≤+,23222ππϕωππx ⇒的范围为)sin(ϕω+=x A y 单调递减区间②)0,0)(cos(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间Z k k x k ∈≤+≤-,22πϕωππ x ⇒的范围为)cos(ϕω+=x A y 单调递增区间 Z k k x k ∈+≤+≤,22ππϕωπ x ⇒的范围为)cos(ϕω+=x A y 单调递减区间二. 例题解析：例1.求下列函数的单调区间解： ()Z k ∈增区间 ()Z k ∈减区间（2）)4sin(2π+-=x y 的单调递减区间解：)4sin(2π+-=x y )4sin(2)]4(sin[2ππ--=--=x xZ k k x k ∈+≤-≤-,22422πππππZ k k x k ∈+≤≤-⇒,43242ππππ单调减区间 Z k k x k ∈+≤≤+⇒,472432ππππ单调增区间例2. （1）求函数)12cos(π-=x y 的单调递增区间；解：Z k k x k ∈≤-≤-,2122ππππZ k k x k ∈+≤≤-⇒,12212112ππππ（2）求函数]0,(),62sin(2ππ-∈+=x x y 的单调递减区间.解：Z k k x k ∈+≤+≤+,2326222πππππZ k k x k ∈+≤≤+⇒,326ππππ(1) y=3sin(2x-)4π224222πππππ+≤-≤-k x k 388k x k ππππ∴-≤≤+2324222πππππ+≤-≤+k x k 3788k x k ππππ∴+≤≤+]0,(365,1πππ--≤≤--= x k ]3,65[ππ--⇒单调减区间（3）)cos (sin log 31x x y -=的单调递增区间.解：0)4sin(2cos sin >-=-πx x x Z k k x k ∈+<-<+⇒,2422πππππ)4sin(2cos sin π-=-x x x 的单调递减区间Z k k x k ∈+<<+⇒,452432ππππ单调递增区间（4）)(2sin 3cos 22R a a x x y ∈++=的单调递增区间. 解： )(2sin 3)22cos 1(2R a a x xy ∈+++=)(2sin 32cos 1R a a x x y ∈+++=⇒ )(1)62sin(2R a a x y ∈+++=π)](6,3[Z k k k x ∈+-∈⇒ππππ例3. 判断下列函数的奇偶性 1）x x y sin 2= 2）)225sin(x y -=π3）x x x y 2cos cos sin 44+-= 4）x x y tan cot -= 5）)sin 1lg()sin 1lg(x x y +--= 解：1）奇 2）偶 3）y=0既奇又偶 4）x xy 2sin 212cos =奇5）解：)(22221sin 1Z k k x k x ∈+<<-⇒<<-ππππ关于原点对称xxx x y sin 1sin 1lg )sin 1lg()sin 1lg(+-=+--=)(sin 1sin 1lg )sin 1sin 1lg(sin 1sin 1lg )sin(1)sin(1lg)(1x f xxx x x x x x x f -=+--=+-=-+=-+--=--奇函数例4． )2sin(3)(ϕ+=x x f 是偶函数的充要条件为_____________. 解：)2sin(3)(ϕ+=x x f ϕϕsin 2cos 3cos 2sin 3x x += 所以0cos =ϕZ k k ∈+=⇒,2ππϕ例5. )2cos(3)2sin(ϕϕ+++=x x y 为奇函数且在]4,0[π上是减函数的ϕ的一个解：)2c o3)2s i ϕϕ+++=x x y x x 2c )c 3(2s )s 3(ϕϕϕϕ++-= 则0cos 3sin =+ϕϕ3tan -=⇒ϕ3,32ππϕ-=⇒ ]2,0[2,2sin )sin 3(cos πϕϕ∈-=x x y 原式变为：，如果递减0sin 3cos <-⇒ϕϕ 所以32πϕ=。
沪教版数学高一下册-6.1正弦函数和余弦函数的图像和性质 -正弦函数和余弦函数的周期 课件(共18张PPT)
正弦函数、余弦函数的周期性
，
算一算：
1、 函f数 (x)A si nx ()(其A 中 0， 0)
的最小正 2ωπ 周 。期为
2、函 f(x) 数 A cox s()(其A 中 0， 0) 2π 的最小正 ω 。 周期是
正弦函数、余弦函数的周期性
想一想?
函数 f(x) 3sin(1x)的周期是多
用数学语言描述函数的这个特征： f(x1)f(x)
正弦函数、余弦函数的周期性
一般地，对于函数f(x)(xD)，如果存在 一个常数T (T≠0 )，使得当x取定义域D内 的任意值时，都有等式f(x+T)=f(x)成立， 那么这个函数f(x)叫做 周期函数。
常数T叫做函数f(x)的周期。
正弦函数、余弦函数的周期性 问题1：正弦函数 f(x)=sinx 是周期函数吗？
正弦函数、余弦函数的周期性 请你写出一个最小正周期为2的函数。
正弦函数、余弦函数的周期性
1、周期函数的概念：
一般地，对于函数f(x)(xD)，如果存在一个常数T (T≠0 )，使得当 x取定义域D内的任意值时，都有等式f(x+T)=f(x)成立，那么这个函 数f(x)叫做 周期函数。常数T叫做函数f(x)的周期。
f(x2T) f(xTT) f(xT) f(x), f(x3T) f(x2TT) f(x2T) f(x), 对于一个周期函数f(x)而言，如果在所有的周期中存 在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做这个 函数的 最小正周期。
函数y=sinx和y=cosx的最小正周期是： 2π
正弦函数、余弦函数的周期性
问题4：是否所有的周期函数都有最小正周期？
对于一个周期函数f(x)而言，如果在所有的周期中存
正余弦函数的奇偶性与单调性
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 9 8 (1) si n 与 si n ; 8 7 25 13 ( 2) cos 与 cos( ) 8 9 9 8 3 解： 2 8 7 2 3 y sin x在 ， 上 单调 递减 2 2 9 8 sin sin . 8 7
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 25 13
( 2) cos 与 cos( )
必须将角化为 25 ( 2) cos cos cos ， 同一单调区间 8 8 8 13 5 4 cos( ) cos cos . 8 9 9 4 又0 , 而y cos x在 区 间0， 上 是 减 函 数 8 9 4 4 即 cos cos , cos cos . 8 9 8 9 5 13 于是 cos cos( ). 8 9
4
,
而f( ) 4 f (
cos
4
1 sin
4
2 2 2
2 1
) f( )且f ( ) f( ). 4 4 4 4
练习二
2. 比 较 下 列 各 组 数 的 大 ： 小 （1） sin(
16
)和 sin(
2
13
);
24 17 ( 2) cos( )和 cos( ). 5 4
y
1 -3
5 2
(4-4)
y=cosx (xR)
2
-2
3 2
-
正弦函数和余弦函数的图像与性质
D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质2
由sin
x
y 1 1,得 1
y
2
1
(sin x 1) y 1
sin x 1
cos x 1
解不等式有
y
1 2
故函数的值域为
,
1 2
求值域
例8判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例7 求下列函数的值域 y= sin x 2
解 由y sin x 2 得到
sin x 1
sin x 1
正余弦函数的有界性
( y 1)sin x y 2
(上式中y 1,否则有0 3)
所以sin x y 2
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
(3) y= ( tan 7 )sinx
6
解：
0 tan 7
tan
3 1
6
63
单调减区间为 [2k ,2k ],(k Z )
2
2
单调增区间为 [2k ,2k 3 ],(k Z )
2
2
(4)
y log 1
cos( x
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
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对称性
x k
对称中心： (k , 0)
2
x k 2 对称中心： (k , 0)
对称轴：
2
y
1
2
o
1
2
3
4
x
解： f ( x) sin x cos x
2 2 2( sin x cos x) 2 2
2 sin( x ) 4
T 2
(3) f ( x) sin x 3sin x cos x
2
解： f ( x) sin 2 x 3 sin x cos x
1 cos 2 x 3 sin 2 x 2 2 1 3 1 2 sin 2 x cos 2 x (4) f ( x) 2 22x sin 2x cos 2 3cos2 2 x 2sin x 2
. o
1
.
2
.
对称轴：
2 对称中心： (k ,0) (k Z )
x k
3 2
.
2
.
x
(k Z )
（2）余弦函数 y cos x, ( x R) 是否是轴 对称图形？ 是否是中心对称图形？
y
1●
●
o
1
● 2
●
3 2
●
2
x
x k (k Z ) 对称中心： (k , 0) (k Z ) 2
值时，都有 f ( x + T ) = f ( x) 成立，那么函数 f ( x)叫做周期函数。T 叫做函数 f ( x) 的周期。 思考：正弦函数是周期函数吗？周期是什么？
sin( x + 2kp ) = sin( x) (k
∴正弦函数
Z)
y = sin x, x
R 是周期函数,
2kp 是它的周期。k
正弦函数和余弦函数的 图像与性质（三）
正弦函数、余弦函数的定义 复习1： 正弦函数： y = sin x, ( x Î R) 余弦函数：
y = cos x, ( x Î R)
y
1
.
2
0,2 上的正弦函数
o
.
.
1
3 2
和余弦函数的图像。 y
1●
●
.
2
.
x
●
o
1
●
2
3 2
●
2
最小正周期： 2
最小正周期： 2
sin( x) sin x
偶函数
cos( x) cos x
, 2k 递增区间： 2k ,2k 2 2 递减区间： k , 2k 3 递减区间： 2k ,2k 2 2 2
f ( x) 2sin(2 x ) 2sin(2 x 2 ) 6 6 2sin 2( x ) f ( x ) 6 T
结论：
函数 f ( x) A sin( x ) 的最小正周期 2 是_______。 ( A 0, 0)
所以：________是 2k
(k Î Z )
y = cos x 的周期； 其中存在一个最小的正数，当_______时， k=1 ____是 y = cos x 的最小正周期。 2
例1： 求下列函数的最小正周期：
(1) f ( x) 2sin 3x
解： f ( x) 2sin 3x 2sin(3x 2 )
1. 定义域：
y = cos x ( x
xÎ R
R)
2. 值域：
当
y ? [ 1,1]
x 2k (k Z ) 时，
ymax 1
当
x 2k (k Z ) 时， ymin 1
新课
3. 周期性： 定义：
周期函数：对于函数 f ( x) ，如果存在一个常 数 T (T 0) ，使得当 x 取定义域 D内的任意
函数 f ( x) A cos( x ) 的最小正周期 2 是________。 ( A 0, 0) 函数 f ( x) A sin( x ) 的最小正周期 2 是_______。 ( A 0, 0) | |
练习： （口答）根据上述的结论，说出下列函数的
对称轴：
y sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
y cos x
R
1,1
2k
奇函数
x 2 k x 2 k
R
, ymax 1 , ymin 1
2 2
1,1
2k
x 2k , ymax 1
x 2k , ymin 1
的周期？ 为什么？ 练习：书P-88 练习 6.1（3）
4. 奇偶性： 由诱导公式：
sin(- x) = - sin( x) ？
奇函数
可以判断正弦函数的奇偶性为：
证明：对于 R 中的每一个 x ，都有 f (- x) = sin(- x) = - sin( x) = - f ( x)
所以
f ( x) = sin x 是 奇函数。
T 2
例2： 求下列函数的最小正周期： 1 2 (1) f ( x) sin (2 x) 2 1 1- cos 4 x 1 2 解： f ( x) = sin (2 x) = 2 2 2 1 1 T = - cos 4 x + 2 4 4
(2) f ( x) sin x cos x
1 1 cos 4 x sin 4 x 2 2 2 1 5 (sin 4 x cos 4 x) 2 2
2 5 sin(4 x ) 2 4 2
T
2
思考：
2 sin sin 能否成立？ 6 6 3
2 如果能成立，那么 是不是 y sin x 3
最小正周期：
(1) f ( x) 3 sin (2) f ( x) sin( x ) 2 3 6 (3) f ( x) 2 cos(
3
3 x)
1 (4) f ( x) cos ( x ) 2
2 T 3
2 2 2sin 3( x ) f (x ) 3 3 2 x T (2) f ( x) 3cos 3
解： f ( x) 3cos
x x 3cos 2 2 3 2 3 f ( x 4 ) 1 3cos ( x 4 ) 3 T 4 2
¹ 0
3. 周期性：
最小正周期：对于一个周期函数 f (x) 来说， 如果在所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做这个函数 f (x) 的最小正周期.
\ 2p 是 y = sin x 的最小正周期。
即：
T 2
触类旁通：
cos x cos( x 2k ) _______
递增区间： [2k , 2k ] (k R)
1 2
3 2 5 3
2
2
7 2
4
x
递减区间： [2k , 2k ] (k R)
6. 对称性： 思考：
（1）正弦函数 y sin x, ( x R) 是否是轴
对称图形？ 是否是中心对称图形？
y
1
2
3
(3) f ( x) 2sin(2 x ) 6 解：
(4) f ( x) A sin( x ) ( A 0, 0) 解： f ( x) A sin( x ) A sin( x 2 ) 2 f ( x 2 ) A sin ( x ) 2 T
由诱导公式：
cos(- x) = cos( x) ？
偶函数
可以判断余弦函数的奇偶性为：
事实上，也可以由它们的图像得到奇偶性。
4. 单调性： 由图像可得：
y
1
2 3 2 2
o
正弦函数： y = sin x ( x R) 递增区间： [2k ,2k ] (k Z ) 2 2 3 递减区间： [2k , 2k ] (k Z ) 2 2 余弦函数： y = cos x ( x R)
x
复习2：
正弦函数、余弦函数的定义域和值域 正弦函数：
1. 定义域： 2. 值域： 当 当
y = sin x ( x
xÎ R
R)
x 2k x 2k
y ? [ 1,1] 时， y
2 (k Z ) 2
max
1
(k Z ) 时， ymin 1
复习2：
正弦函数、余弦函数的定义域和值域 余弦函数：
1 sin(2 x ) 2 6
T
(4) f ( x) 2sin 2 2x sin 2x cos 2x 3cos2 2 x
解： f ( x) 2sin 2 2 x sin 2 x cos 2 x 3cos2 2 x
sin 2 x cos 2 x cos2 2 x 2