九年级数学上册 第二十三章《旋转》23.1 图形的旋转 第2课时 旋转作图试题 (新版)新人教版
23.1第2课时旋转作图+课件+2024-—2025学年人教版数学九年级上册
作图基本步骤
选择不同的旋转角和 旋转角图案不同
课堂训练
1.将图1绕O点顺时针旋转90°，得到图形是（ B ）
O
O
O
O
图1
A
B
C
课堂训练
2.将图2沿MN翻折180°，再旋转180°，所得图形是（ D ）
图2
A
B
C
D
课堂训练
3.下图为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，将
△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°， 你能画出△OAB 旋转后的图形 △O'A'B'吗？
a
β
αo
o
(2)两个旋转中,旋转中心不变,_旋__转__角_改变了，产生了不__同__的旋转效果.
新知探究
动手操作 下面的图形是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转 变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°，180°， 270°，依次画出旋转后的图形，你会得到一个美丽的图案，涂色部 分不要涂错，否则不能出现理想的效果，你来试一试吧！B源自A＇AB＇
O
课堂训练
4. 画出下图所示的四边形 ABCD 以 O为中心，旋转角为 60°的
旋转图形．
A' D'
D B'
A
C
C'
B
O
课堂训练
5. 借助旋转我们可以设计出许多美丽的图案.请自己设计一幅作品.
第二十三章 旋转
23. 1 图形的旋转
第2课时 旋转作图
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.掌握旋转作图的一般步骤.（重点） 2.通过旋转设计美丽的图案.（难点）
人教版数学九年级上册学案23.1《图形的旋转》(含答案)
第二十三章旋转23.1 图形的旋转第1课时认识图形的旋转出示目标1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念.2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题.3.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.4.了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形.预习导学1知识准备(学生活动)请同学们完成下面各题.1.将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形.2.如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？(是；是；等腰梯形、长方形、正多边形等.)点拨：(1)平移的有关概念及性质.(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质.(3)什么叫轴对称图形.自学指导：自学教材内容，思考和完成教材上的练习.观察：让学生看转动的钟表和风车等.(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间轴旋转)(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)问题：①从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)②风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(90°)③以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)思考：在数学中如何定义旋转？探究把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.合作探究1活动1 小组讨论例1 如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？(2)请画出旋转中心和旋转角.(3)经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？点拨：(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的.例2 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点A；旋转的度数是45°.活动1 小组讨论例3 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.点拨：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置.活动2 跟踪训练1.如图，AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，BP=BQ，∠PBQ=90°.①此图能否旋转某一部分得到一个正方形？②若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由.③它的旋转角多大？并指出它们的对应点.解：①能.②由△BCQ绕B点旋转得到.理由：连结AB，易证四边形ABCD为正方形.再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.③90°.点C对应点A，点Q对应点P.2.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°.∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的.∴BK=DM.课堂小结1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.2.旋转的对应点及其它们的应用.3.本节课要掌握：(1)旋转的基本性质.(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别.第2课时旋转作图出示目标1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果.2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.预习导学自学指导自学教材第61页.完成下列问题.1.回顾思考(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2.学生独立完成作图题.如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形.点拨：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系:①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.探究从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.把一个图案以O 点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形.1.旋转中心不变，改变旋转角.2.3.旋转角不变，改变旋转中心.我们可以设计成如下图美丽的图案.因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案.活动1 小组讨论例1 如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋转180度可得图③.例2 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点P 是△ABC 内的一点，且AP=3，将△ABP 绕点A 旋转后与△ACP ′重合，求PP ′的长.点拨：依题意，AP 绕点A 旋转90°时得AP ′=AP=3，则△APP ′是等腰直角三角形. 所以PP ′=223332+=. 解题的关键是确定AP 与AP ′垂直且相等.课堂小练一、选择题1.下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是( )A. B.C. D.2.如图，在正方形网格中，将△ABC顺时针旋转后得到△A'B′C′，则下列4个点中能作为旋转中心的是( )A.点PB.点QC.点RD.点S3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是( )A.∠BCB′=∠ACA′B.∠ACB=2∠BC.∠B′CA=∠B′ACD.B′C平分∠BB′A′4.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是( )A.55°B.60°C.65°D.70°5.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(﹣2，5)的对应点A′的坐标是( )A.(2，5)B.(5，2)C.(2，﹣5)D.(5，﹣2)6.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是( )A.60°B.90°C.120°D.150°7.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )A.10°B.20°C.50°D.70°8.如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120° B．90° C．60° D．30°二、填空题9.一个正n边形绕它的中心至少旋转18°才能与原来的图形完全重合，则n的值为.10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为.11.在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_ _.12.时钟6点到9点，时针转动了＿＿度.13.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度.14.如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 .三、解答题15.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数.参考答案16.答案为：D17.答案为：A；18.答案为：C.19.答案为：C.20.答案为：B.21.答案为：D.22.答案为：B.23.A24.答案为：20.25.答案为：15°.26.答案为：(2，3)27.答案为：90º28.答案为：30.29.答案为：17°.30.解：∵菱形ABCD，∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF，∴∠F=∠E=86°.。
人教版数学九年级上册23.1.2 旋转作图课件(共19张PPT)
①将正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后能与正方形CDFE重合； ②将正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°后能与正方形CDFE重合； ③将正方形ABCD绕CD的中点旋转180°后能与正方形CDFE重合，
4.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以 格点(网格线的交点)为端点的线段AB.将线段AB向右平移2个单位长度， 再向下平移1个单位长度，得到线段A1B1；
温馨提示
为了避免作图混乱，应先对一个关键点连、转、截，找到其对应 点后再进行下一个关键点的旋转.
问题2：旋转三要素对游戏有什么影响？ 下面有两种情况：
第一组：
B′ A′
A
D
C
B
O C′ D′
A
D
C
B
O
B′
C′
D′
A′
_旋_转__中__心___不变，旋__转__角__改变，产生不同的旋转效果.
第二组：
A2 A1
A3 B1
B2
课堂小结
旋转图形步骤
旋 转 作 图
旋转中心的确定
1.连：连接图形中每一个关键点与旋转中心； 2.转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相 同的角度（作旋转角）； 3.截：把角的另一边上截取与关键点到旋转 中心的距离相等的线段，得到各点的对应点； 4.连：连接所得到的各对应点； 5.写：写出结论，说明作出的图形.
A1 B1
（1）将线段AB绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B2，画出旋转后的线段
A2B2，并说明线段A1B1通过怎样的变化可以得到线段A2B2.
解：如图，线段A2B2即为所
求．线段A1B1绕点B1逆时针旋转
A1
90°，再向下平移2个单位长度，
人教版九年级数学上册作业课件 第二十三章 旋 转 图形的旋转 第2课时 旋转作图
6．如图，正方形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，
将正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°，得到正方形 OA′B′C′，则
点 C′的坐标为( A．( 2 ， 2 )
A) B．(－ 2 ， 2 )
C．( 2 ，－ 2 ) D．(2 2 ，2 2 )
7．(2020·烟台)如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)， 连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合 (点A与点C重合，点B与点D重合)，则这个旋转中心的坐标为__(4_，__2_)___．
8．如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到， 则点P的坐标为__________(_1_，__－__1_)___________．
易错点：对图形的旋转方式考虑不全面 9．如图，如果正方形CDEF经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么 图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有_3___个．
角形．
解：如图
4．如图，△ABC绕点O旋转，顶点A的对应点为A′，请画出旋转后的
图形．
解：如图
知识点2：在平面直角坐标系中的图形旋转
5．(孝感中考)如图，在平面直角坐标系中，将点P(2，3)绕原点O顺时
针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为(
)D
A．(3，2) B．(3，－1) C．(2，－3) D．(3，－2)
解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求 (2)如图所示，△A2B2C2 即为所 求 (3)三角形的形状为等腰直角三角形 ，OB＝OA1＝ 16＋1 ＝
17 ，A1B＝ 25＋9 ＝ 34 ，即 OB2＋OA12＝A1B2，∴三角形的形 状为等腰直角三角形
人教版初中数学九年级上册第二十三章：旋转(全章教案)
第二十三章旋转本章的内容包括：图形的旋转的概念与性质，中心对称(图形)的概念及性质，简单的图案设计．教材通过具体事例认识平面图形的旋转，探索旋转的基本性质；能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；通过具体实例认识中心对称图形的概念，探索它们的基本性质；探索图形之间的变化关系，会用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．本章内容是中考的必考内容，主要考查图形的旋转的性质，中心对称(图形)的概念及性质．【本章重点】平面图形的旋转变换和中心对称图形的性质．【本章难点】旋转作图、中心对称、旋转等图形变换的灵活运用．【本章思想方法】1．体会对比数学思想．如：本章中要运用对比法学习图形的旋转，将变化前后的图形互相对比，可以发现旋转前后的图形只存在位置上的不同，从而，由旋转的定义及特征，进一步发展空间观念，提升设计图案能力．2．体会和掌握转化思想．如：在利用旋转的性质进行计算和证明时，利用转化法把求线段的相等转化为关于旋转的性质的问题．3．掌握数形结合思想．如：在解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，利用几何图形将“数”与“形”结合起来，运用数形结合的思想解答．23.1图形的旋转1课时23.2中心对称3课时23.3课题学习图案设计1课时23.1图形的旋转一、基本目标【知识与技能】1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质．3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．【过程与方法】通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质．【情感态度与价值观】1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】旋转及对应点的有关概念及其应用．【教学难点】旋转的基本性质．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．观察教材P59“思考”，回答问题．(1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转．(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？解：形状、大小不变，位置发生变化．(3)从3时到5时，时针转动了__60__°.(4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。
23.1 图形的旋转 第2课时 旋转作图
O
O
β
α
（1）旋转中心不变，改变旋转角（如图）．
O1
α
O2
α
（2）旋转角不变，改变旋转中心．
（3）美丽的图案是这样形成的．
用旋转的知识设计图形
运用旋转作图应满足三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会作出不同效果的图案.
轴对称:
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
直线EF与GH相交于图形的中心O，且互相垂直，先把左边的两个“十字”作关于EF的轴对称图形，然后作这两部分关于GH的轴对称图形，这样就可以得到整个图形.
平移:
平移的方向
平移的距离
仅靠平移无法得到
旋转:
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
整个图形可以看作是左边的两个小“十字”绕着图案的中心旋转3次，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的.
平移、 旋转相结合:
先平移
后旋转
下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
整个图形可以看作是左边的两个小“十字”先通过一次平移成图形右侧的部分，然后左、右部分一起绕图形的中心旋转90°前后图形组成的.
B
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= 40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋 转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、 B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边C A′交AB于点D，则旋转角等于（ ） A.70° B.80° C.60° D.50°
人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》课件
解析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A= ∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A= ∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定 理得到△BCF≌△BA1D；
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=
等于_6_0__度，其中的对应点有_A_与__B___、 _B_与__C___、 _C__与__D__、 _D__与__E__、 __E_与__F__、 _F_与__A___ .
B
A C
O
F
D
E
归纳总结
确定一次图形的旋转时, 旋转中心
必须明确 旋转角 旋转方向
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转 中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换.
A.45°，90° B.90°，45° C.60°，30° D.30°，60°
7.如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点 是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点 坐标为A（1,0）、B（3,0）、C（1,4）.
请找出旋转中心P的位置，并写出P的坐标.
y
C
P（3,2）
E
OA B D
单作图.（重点）
导入新课
回顾平移的特征
B A
F
C D
E
H
K
G N
L M
回顾旋转的特征
C
B
D
F
A
E O
讲授新课
一 简单的旋转作图
画一画：如图，画出线段 AB绕点A按顺时针方向旋
转60°后的线段．
人教版初中数学九年级上册第二十三章：旋转(全章教案)
第二十三章旋转本章的内容包括：图形的旋转的概念与性质，中心对称(图形)的概念及性质，简单的图案设计．教材通过具体事例认识平面图形的旋转，探索旋转的基本性质；能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；通过具体实例认识中心对称图形的概念，探索它们的基本性质；探索图形之间的变化关系，会用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．本章内容是中考的必考内容，主要考查图形的旋转的性质，中心对称(图形)的概念及性质．【本章重点】平面图形的旋转变换和中心对称图形的性质．【本章难点】旋转作图、中心对称、旋转等图形变换的灵活运用．【本章思想方法】1．体会对比数学思想．如：本章中要运用对比法学习图形的旋转，将变化前后的图形互相对比，可以发现旋转前后的图形只存在位置上的不同，从而，由旋转的定义及特征，进一步发展空间观念，提升设计图案能力．2．体会和掌握转化思想．如：在利用旋转的性质进行计算和证明时，利用转化法把求线段的相等转化为关于旋转的性质的问题．3．掌握数形结合思想．如：在解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，利用几何图形将“数”与“形”结合起来，运用数形结合的思想解答．23.1图形的旋转1课时23.2中心对称3课时23.3课题学习图案设计1课时23.1图形的旋转一、基本目标【知识与技能】1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质．3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．【过程与方法】通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质．【情感态度与价值观】1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】旋转及对应点的有关概念及其应用．【教学难点】旋转的基本性质．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．观察教材P59“思考”，回答问题．(1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转．(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？解：形状、大小不变，位置发生变化．(3)从3时到5时，时针转动了__60__°.(4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。
九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转第2课时旋转作图课件人教版
(2)如答图，画出对称点 D，连接 AD，AD 可以看作是由 AB 绕着点 A 逆时针 旋转 90°得到的．
【点悟】 解答此题时应熟练掌握平移、轴对称、旋转的特征．
当堂测评
1．[2018 春·巴州区期末]如图 23-1-16，把以∠ACB 为直角的△ABC 绕点 C 按 顺时针方向旋转 85°，使点 B 转到点 E，点 A 转到点 F，得到△CEF，则下列结论 错误的是( D )
归类探究
类型之一 非网格中的旋转作图 如图 23-1-14，已知将四边形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，使
点 A 落在点 A′处，试作出旋转后的图形．
图 23-1-14
解：图略． 作法：(1)连接 OA，OA′； (2)连接 OB，OC，OD，分别以 OB，OC，OD 为始边，点 O 为顶点，顺时针 作∠BOB′，∠COC′，∠DOD′，并使∠BOB′＝∠COC′＝∠DOD′＝∠ AOA′，OB′＝OB，OC′＝OC，OD′＝OD； (3)顺次连接 A′，B′，C′，D′四点． 故四边形 A′B′C′D′就是所要求作的图形．
出了格点三角形 ABC(顶点是网格线的交点)和点 A1. (1)画出一个格点三角形 A1B1C1，并使它与△ABC 全等且点 A 与 A1 是对应点； (2)画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D，并指出 AD 可以看作是由 AB 绕点 A
经过怎样的旋转而得到的．
图 23-1-15
解：(1)(答案不唯一)如答图，利用△ABC≌△A1B1C1，图形平移，可得出△ A1B1C1.
图 23-1-19
3．[2018 春·金牛区期末]在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图 23-1-20.(每 个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形)．
人教版九年级数学上册作业课件 第二十三章 旋转 图形的旋转 第2课时 旋转作图
8．如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为 A(－6，12)，B(－6，0)，C(0，6)，D(－6，6).以点B为旋转中心，在平面 直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°.
(1)画出旋转后的小旗A′C′D′B； (2)写出点A′，C′，D′的坐标； (3)求出线段BA旋转到BA′时所扫过的扇形的面积．
2．旋转作图的步骤： (1)首先确定___旋__转__中__心________、旋转方向和____旋__转__角_______； (2)其次确定图形的关键点； (3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度； (4)连接____对__应___点_______，形成相应的图形．
练习2：如图，△ABC在网格中，画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后 的图形△A1B1C.
(3)∵∠AOB＝110°，∠DOC＝60°，∴∠AOD＝360°－∠AOB－ ∠BOC－∠DOC＝360°－110°－α－60°＝190°－α.∵∠ADO＝ ∠ADC－∠ODC＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝ 50°.①若使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°－α＝α－60°，∴α ＝125°；②若使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴α－60°＝50°， ∴α＝110°；③若使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，∴190°－α＝50°， ∴α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是 等腰三角形
解：(1)图略 (2)点 A′(6，0)，C′(0，－6)，D′(0，0) (3)∵点 A 的 坐标为(－6，12)，点 B 的坐标为(－6，0)，∴AB＝12，∴线段 BA 旋
转到 BA′时所扫过的扇形的面积＝14 π×122＝36π
九年级数学上册第二十三章旋转第2课时旋转作图练习新版新人教版
第2课时旋转作图基础题知识点1 旋转作图1．如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1.则其旋转中心一定是________．2．如图所示,在边长为1的小正方形组成的方格纸上,将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后的△AB′C′.3．已知△ABC,请画出以C为旋转中心,顺时针旋转90°后的△A′B′C.4．如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置以及旋转后的三角形．5．(荆门中考)如图1,正方形ABCD的边AB,AD分别在等腰直角△AEF的腰AE,AF上,点C在△AEF内,则有DF＝BE(不必证明)．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后,连接BE,DF.请在图2中用实线补全图形,这时DF＝BE还成立吗？请说明理由．知识点2 在平面直角坐标系中的图形旋转6．(烟台中考)如图,将△ABC 绕点P 顺时针旋转90°得到△A′B′C′,则点P 的坐标是( )A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(1,4) 7．(邵阳中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(3,4),将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°到OA′,则点A′的坐标是________．8．(青岛中考)如图,△ABC 的顶点都在方格线的交点(格点)上,如果将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转90°,那么点B 的对应点B′的坐标是________．中档题9．如图,该图形围绕点O 按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是( )A ．72°B ．108°C ．144°D ．216°10．(巴中中考)如图,已知直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,把△AOB 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是________．11.(潜江、天门、仙桃中考)如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(－1,2)点C 的坐标为(－3,0),将点C 绕点A 逆时针旋转90°,再向下平移3个单位,此时点C 对应点的坐标为________．12．如图,四边形ABCD 绕点O 旋转后,顶点A 的对应点为点E,试确定B,C,D 的对应点的位置以及旋转后的四边形．13．(眉山中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3,2),B(－1,4),C(0,2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC,若A的对应点A2的坐标为(－5,－2),画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标．综合题14．(永州中考)在同一平面内,△ABC和△ABD如图1放置,其中AB＝BD.小明做了如下操作：将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA,将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA,如图2.请完成下列问题：(1)试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形,并说明理由；(2)连接EF,CD,如图3,求证：四边形CDFE是平行四边形．参考答案基础题1.点B2.图略所示,△AB′C′为所求三角形．3.如图所示．4.图略,顶点B对应点的位置在点E处,△DEC为△ABC绕点C旋转后得到的三角形．5.补全图形图略．DF＝BE成立．理由：∵四边形ABCD是正方形,△AEF是等腰直角三角形,∴AD＝AB,AF＝AE,∠FAE＝∠DAB＝90°.∴∠FAD ＝∠EAB.在△ADF 和△ABE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠FAD ＝∠EAB，AF ＝AE.∴△ADF ≌△ABE(SAS)．∴DF＝BE.6.B7.(－4,3)8.(1,0)中档题9.B 10.(7,3) 11.(1,－3) 12.略．13．(1)图略．(2)图略．(3)旋转中心的坐标为(－1,0)． 综合题14．(1)四边形ABDF 是菱形．理由如下：∵△DFA 是由△ABD 绕AD 的中点旋转180°所得,∴AB ＝DF,BD ＝FA.∴四边形ABDF 是平行四边形．又∵AB＝BD,∴四边形ABDF 是菱形．(2)证明：由(1)知四边形ABDF 是平行四边形,∴AB ∥DF 且AB ＝DF.由旋转易知四边形ABCE 是平行四边形,∴AB ∥CE 且AB ＝CE.∴DF∥CE 且DF ＝CE,∴四边形CDFE 是平行四边形．。
定州市第六中学九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转23.1.2图形的旋转达标测试含解析新版
《图形的旋转》一、选择题1．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上的每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等2．下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）A．B．C．D．3．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（）A．60°B．90°C．72°D．120°4．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°5．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°二、填空题6．在图形的平移、旋转、轴对称变换中，其相同的性质是______．7．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A 旋转42°后得到的图形是______，它们之间的关系是______，其中BD=______．8．如图，将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=1cm，则A′B长是______cm．9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是______．10．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是______．11．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______．三、综合提高题12．观察下列图形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？13．如图：若∠AOD=∠BOC=60°，A、O、C三点在同一条线上，△AOB与△COD是能够重合的图形．求：（1）旋转中心；（2）旋转角度数；（3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线，结论还成立吗？为什么？（4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度；（5）若∠A=15°，则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度．14．作图：（1）如图甲，以点O为中心，把点P顺时针旋转45°．（2）如图乙，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．（3）如图丙，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°．（4）如图丁，以点B为中心，把△ABC旋转180°．15．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．16．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B 为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．17．如图在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6．（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1；（2）线段OA1的长度是______，∠AOB1的度数是______；（3）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．《图形的旋转》参考答案与试题解析一、选择题1．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上的每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等【解答】解：A、在图形旋转中，根据旋转的性质，图形上对应点到旋转中心的距离相等，故本选项错误；B、图形上的每一点转动的角度都等于旋转角，正确；C、以图形上一点为旋转中心，则这个点不动，正确；D、旋转前后两个图形全等，则图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等，正确．故选A．2．下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、只包含图形的旋转，不符合题意；B、只是轴对称图形，不符合题意；C、只是轴对称图形，不符合题意；D、既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称，符合题意．故选：D．3．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（）A．60°B．90°C．72°D．120°【解答】解：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．故选C．4．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°【解答】解：由平移和旋转可得，D选项中左下角的梅花需先沿对角线平移后，再逆时针旋转90°，所以D选项错误．故选：B．5．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°【解答】解：∵∠BAC′=130°，∠BAC=80°，∴如图1，∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=50°，如图2，∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°．∴旋转角等于50°或210°．故选C．二、填空题6．在图形的平移、旋转、轴对称变换中，其相同的性质是图形的形状、大小不变，只改变图形的位置．【解答】解：在图形的平移、旋转、轴对称变换中，其相同的性质是图形的形状、大小不变，只改变图形的位置．7．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A 旋转42°后得到的图形是△ACE ，它们之间的关系是全等，其中BD= CE ．【解答】解：△ABD绕点A逆时针旋转42°得到△ACE，它们之间的关系是全等，其中BD=CE．8．如图，将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=1cm，则A′B长是 3 cm．【解答】解：根据旋转的性质，得：A′B′=AB=4cm．∴A′B=A′B′﹣BB′=4﹣1=3（cm）．9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是（4，﹣1）．【解答】解：由图知A点的坐标为（1，4），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（4，﹣1）．故答案为：（4，﹣1）．10．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是BE+DF=EF ．【解答】解：如图，延长CD到M，使DM=BE，连接AM、EF；∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠ADC=90°，AB=AD；在△ABE与△ADM中，，∴△ABE≌△ADM（SAS），∴∠BAE=∠DAM，AE=AM；∴∠BAE+DAF=∠DAM+∠DAF=∠MAF；∵∠EAF=45°，∴∠BAE+DAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°；在△EAF与△MAF中，，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴MF=EF，而MF=MD+DF=BE+DF，∴BE+DF=EF，故答案为BE+DF=EF．11．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．【解答】解：由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0），则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．故答案为：（36，0）．三、综合提高题12．观察下列图形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？【解答】解：图形（1）是通过一条线段绕点O旋转360°而得到的；图形（2）可以看作是“一个Rt△ABC”绕线段AC旋转360°而得到的；图形（3）将矩形ABCD绕AD旋转一周而得到的．13．如图：若∠AOD=∠BOC=60°，A、O、C三点在同一条线上，△AOB与△COD是能够重合的图形．求：（1）旋转中心；（2）旋转角度数；（3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线，结论还成立吗？为什么？（4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度；（5）若∠A=15°，则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度．【解答】解：（1）∵△AOB与△COD是能够重合的图形，∴旋转中心是点O；（2）根据题意得：旋转角是∠AOD或∠BOC，∴旋转角度数是60°，（3）经过旋转后能重合的三角形有△AOB与△DOC，△AOE与△DOF，△BOE与△COF共三对，若A、O、C三点不共线，△AOE与△DOF，△BOE与△COF不一定重合，结论不一定成立，∵若A、O、C三点不共线，∠DOB≠60°，∴∠AOD=∠BOC=60°≠∠DOB，∴△BOE与△COF不一定重合，结论不一定成立；（4）∵△BOC为等腰直角三角形，∴∠BOC=∠AOD=90°，∴旋转角度为：90°，（5）∵180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°，∴旋转角度为120°．14．作图：（1）如图甲，以点O为中心，把点P顺时针旋转45°．（2）如图乙，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．（3）如图丙，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°．（4）如图丁，以点B为中心，把△ABC旋转180°．【解答】解：（1）如图甲，点P′为所求；（2）如图乙，线段A′B′为所求；（3）如图丙，△A′B′C′为所求；（4）如图丁，△A′BC′为所求．15．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．【解答】解：BK与DM的关系是互相垂直且相等．∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形，∴AB=AD，AK=AM，∠BAK=90°﹣∠DAK，∠DAM=90°﹣∠DAK，∴∠BAK=∠DAM，∴△ABK≌△ADM（SAS）．把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合，∴BK=DM且BK⊥DM．16．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B 为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3﹣x．∴，解得1＜x＜2．（4分）（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，无解．②若AB为斜边，则x2=（3﹣x）2+1，解得，满足1＜x＜2．③若BC为斜边，则（3﹣x）2=1+x2，解得，满足1＜x＜2．∴或．17．如图在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6．（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1；（2）线段OA1的长度是 6 ，∠AOB1的度数是135°；（3）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．【解答】（1）解：△OA1B1如图所示．（2）解：根据旋转的性质知，OA1=OA=6．∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1，∴∠BOB1=90°．∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，∴∠BOA=∠OBA=45°，∴∠AOB1=∠BOB1+∠B OA=90°+45°=135°，即∠AOB1的度数是135°．故答案是：6，135°；（3）证明：根据旋转的性质知，△OA1B1≌△OAB，则∠OA1B1=∠OAB=90°，A1B1=AB，∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1，∴∠A1OA=90°，∴∠OA1B1=∠A1OA，∴A1B1∥OA．又∵OA=AB，∴A1B1=OA，∴四边形OAA1B1是平行四边形．第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程学习内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．学习目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．学习过程一、自学教材针对目标自学教材18页—19页内容二、合作交流，解读探究先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目： 1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．三、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．15例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．四、巩固练习教材19页练习五、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．六、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．七、作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．16A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：所以，________<x<__________第二步：所以，________<x<__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．作业参考答案:1718一、1．A 2．B 3．C 二、1．3，-2，-42．ax+bx+c=0（a ≠0） 3．a ≠1三、1．化为：ax 2+（）x+1=0，所以，当a ≠0时是一元二次方程．2．可能，因为当21220m m m +=⎧⎨+≠⎩，∴当m=1时，该方程是一元二次方程．3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3检测内容：1.4－1.6得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题4分，共28分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，则下列判断正确的是(D )A ．∠A ＝30°B ．AC ＝12C ．AB ＝2D ．AC ＝22．如图，在高出海平面100 m 的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B ，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC 为(D )A ．1003 mB ．50 mC ．1002 mD ．100 m第2题图第3题图3．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，若AC ＝62 ，∠C ＝45°，tan B ＝3，则BD 等于(A )A ．2B ．3C ．32D ．234．如图所示的是一水坝的横断面，坝顶CD 宽3 m ，坝高4 m ，迎水坡BC 的坡度i ＝1∶2，背水坡AD 的坡度i ′＝1∶1，则坝底AB 的宽为(C )A ．9 mB ．12 mC ．15 mD ．18 m第4题图第5题图5．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，则小岛B 到公路l 的距离为(B )A ．100米B ．503 米C ．20033米 D ．50米6．如图，在两建筑物之间有一旗杆高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为(A )A ．20米B ．103 米C ．153 米D ．56 米第6题图第7题图7．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(结果精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( A ) 米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米二、填空题(每小题5分，共20分)8．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为8.1m.(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)第8题图第9题图9．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是(33 ＋9)m.(结果保留根号)10．(孝感中考)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为(533 －85) m(结果保留根号). 第10题图 第11题图11．(泰安中考)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26 m ，斜坡AB 的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移10m 时，才能确保山体不滑坡(取tan 50°＝1.2).三、解答题(共52分)12．(10分)如图，已知在△ABC 中，BC ＝2 AC ，∠BCA ＝135°，求tan A 的值．解：过点B 作BD ⊥AC 交线段AC 的延长线于点D ，则∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝22BC .设AC ＝k ，则BD ＝CD ＝k ，AD ＝2k ，∴tan A ＝BD AD ＝1213．(10分)(恩施州中考)如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A 处测得小岛P位于其西北方向(北偏西45°方向)，2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732).解：过点P作PH⊥AB于点H，设PH＝x，由题意得AB＝30×2＝60，∠PBH＝90°－60°＝30°，∠PAH＝90°－45°＝45°，则AH＝PH＝x，在Rt△PBH中，PB＝2PH＝2x，BH＝AB－AH＝60－x，∴tan ∠PBH＝tan 30°＝PHBH＝33，∴33＝x60－x，解得x＝30(3－1)，∴PB＝2x＝60(3－1)≈44(海里)，即此时船与小岛P的距离约为44海里14．(10分)(德州中考)如图，无人机在离地面60 m的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．解：过B作BE⊥CD于点E，由题意得∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan ∠CAD＝tan 60°＝CDAD＝3，∴AD＝203(m)，∴BE＝AD＝203，在Rt△BCE中，tan ∠CBE＝tan 30°＝CEBE＝33(m)，∴CE＝203×33＝20(m)，∴ED＝CD－CE＝60－20＝40(m)，∴AB＝ED＝40(m)，即楼房的高度为40 m15．(10分)某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2 m，台阶AC的坡度i＝1∶2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)解：过点A作AF⊥DE，设DF＝x，在Rt△ADF中，∵∠DAF＝30°，∴AF＝3 x，AC的坡度i ＝1∶2，∴AB CB ＝12 ，∴BC ＝4(m ).∵AB ⊥BC ，DE ⊥CE ，AF ⊥DE ，∴四边形ABEF 为矩形，∴EF ＝AB ，BE ＝AF ＝3 x ，∴DE ＝DF ＋EF ＝x ＋2，在Rt △DCE 中，tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝33 (x ＋2)，∵BE ＝BC ＋CE ＝4＋33 (x ＋2)，∴33(x ＋2)＋4＝3 x ，∴x ＝1＋23 (m)，∴DE ＝3＋23 (m)16．(12分)某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图①.线段AB ，BD 分别表示大棚的墙高和跨度，AC 表示保温板的长．已知墙高AB 为2 m ，墙面与保温板所成的角∠BAC ＝150°，在点D 处测得A 点，C 点的仰角分别为9°，15.6°，如图②.求保温板AC 的长是多少 m ．(结果精确到0.1米，参考数据：3 ≈1.73，sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16，sin 15.6°≈0.27，cos 15.6°≈0.96，tan 15.6°≈0.28)解：过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，则四边形ABEF 是矩形，∴AB ＝EF ＝2 m ，AF ＝BE .设AF ＝x m ，∵∠BAC ＝150°，∠BAF ＝90°，∴∠CAF ＝60°，∴AC ＝2AF ＝2x (m)，CF ＝AF ·tan ∠CAF ＝3 x (m)，∴CE ＝EF ＋CF ＝(2＋3x )(m).在Rt △ABD 中，∵BD ＝AB tan ∠ADB ＝2ta n9° (m)，∴DE ＝BD －BE ＝(2tan9°－x )(m).在Rt △CDE 中，∵tan ∠CDE ＝CE DE ，∴tan 15.6°＝2＋3x 2tan9°－x ，解得x ≈0.75，∴AC ≈1.5 m ，即保温板AC 的长约是1.5 m。
九年级数学上册第23章旋转23.1图形的旋转23.1.2旋转作图作业本课件新版新人教版
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第2课时 旋转作图
B 规律方法综合练
5．如图 23－1－18，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分
别是 A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)，线段 DE 的端点坐标分别是 D(7，
－1)，E(－1，－7)．
(1)试说明如何平移线段 AC，使其与线段 ED 重合；
(2)将△ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转，使 AC 的对应
图 23－1－14
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第2课时 旋转作图
2．如图 23－1－15 为边长为 1 的小正方形组成的方格纸，将
△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°，画出旋转后的△AB′C′.
图 23－1－15
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第2课时 旋转作图
解：如图所示．
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第2课时 旋转作图
3．在一次黑板报的评选中，九年级(1)班获得了第一名，其中小 颖同学的图案得到了大家的一致好评．她设计的图案是由如图 23－1
向旋转 90°，画出旋转后的三角形． 图 23－1－19
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第2课时 旋转作图
解：(1)画出下面其中一种情况即可：
(2)如图所示：
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(1)把△ABC 平移后，其中点 A 移到点 A1(4，5)的位 置，画出平移后的△A1B1C1；
(2)把△A1B1C1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90°，画 出旋转后的△A2B2C2.
图 23－1－17
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第2课时 旋转作图
解：(1)△A1B1C1 如图所示．
(2)△A2B2C2 如图所示．
(2)F(－1，－1)． (3)△DEF 如图所示，旋转后的图形如图所示．
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第2课时旋转作图
知识要点基础练
知识点1旋转作图
1.如图,在正方形网格中有△ABC,△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°得到的图案是(A)
2.下列图形中,绕着某点旋转90°后可以与原来图形重合的是(B)
知识点2利用旋转设计图案
3.下面四个图案中,不能由基本图案(图中阴影部分)旋转得到的是(D)
4.下列选项中可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的图形的是(B)
知识点3在平面直角坐标系中的图形旋转
5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴上,点C在y轴上,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA'B'C',若OA=2,OC=4,则点B'的坐标为(C)
A.(2,4)
B.(-2,4)
C.(4,2)
D.(2,-4)
6.如图,若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C',则A点的对应点A'的坐标是(C)
A.(-3,-2)
B.(2,2)
C.(3,0)
D.(2,1)
综合能力提升练
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点坐标如图所示,都为格点坐标.若将△ABC以某点为旋转中心,顺时针旋转90°得到△DEF,则旋转中心的坐标是(B)
A.(1,0)
B.(1,-1)
C.(1,2)
D.(-2,0.5)
8.(牡丹江中考)如图,矩形ABCD的边BC在x轴上,点A在第二象限,点D在第一象
限,AB=2,OD=4,将矩形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则点C对应点的坐标是(C)
A.(-,1)
B.(-1,)
C.(-1,)或(1,-)
D.(-,1)或(1,-)
9.如图,点P是等边△ABC外一点,PA=3,PB=4,PC=5.
(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP1C1,画出旋转后的图形;
(2)求∠APB的度数.
解:(1)图略.
(2)∠APB=∠BPP1-∠APP1=30°.
10.(厦门中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,将△ABC绕点C顺时针旋转90°,若点A,B的对应点分别是点D,E,画出旋转后的三角形,并求点A与点D之间的距离.(不要求尺规作图)
解:如图,∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,
∴AC==3.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°,点A,B的对应点分别是点D,E,
∴AC=CD=3,∠ACD=90°,
∴AD==3.
11.如图,以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=65°,将一个直角三角形的直角顶点放在点O处.(注:∠DOE=90°)
(1)如图①,若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上,则∠COE=.
(2)如图②,将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置,若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度数.
(3)如图③,将直角三角板DOE绕点O转动,如果OD始终在∠BOC的内部,试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系?并说明理由.
解:(1)25°.
(2)如图②,∵OC平分∠EOB,∠BOC=65°,
∴∠EOB=2∠BOC=130°,∵∠DOE=90°,
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=40°,∵∠BOC=65°,∴∠COD=∠BOC-∠BOD=25°.
(3)∠COE-∠BOD=25°,理由如下:如图③,∵∠BOD+∠COD=∠BOC=65°,∠COE+∠COD=∠DOE=90°,∴(∠COE+∠COD)-(∠BOD+∠COD)=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-65°=25°,即∠COE-∠BOD=25°.
拓展探究突破练
12.阅读与理解:
图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片ABC和DEC'叠放在一起(C与C'重合)的图形.
操作与证明:
(1)操作:固定△ABC,将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转30°,连接AD,BE,如图2;在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论.
(2)操作:若将图1中的△C'DE,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α,连接AD,BE,如图3;在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论.
猜想与发现:
根据上面的操作过程,请你猜想当α为多少度时,线段AD的长度最大?最大值是多少?当α为多少度时,线段AD的长度最小?最小值是多少?
解:(1)BE=AD.∵△C'DE绕点C按顺时针方向旋转30°,∴∠BCE=∠ACD=30°,∵△ABC与△C'DE是等边三角形,∴CA=CB,CE=CD,
∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD.
(2)BE=AD.∵△C'DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α,∴∠BCE=∠ACD=α,∵△ABC与△C'DE是等边三角形,∴CA=CB,CE=CD,
∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD.
猜想与发现:当α为180°时,线段AD的长度最大,等于a+b;当α为0°(或360°)时,线段AD 的长度最小,等于a-b.
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