青岛版八年级数学下册知识点总结

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青岛版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理一．知识归纳1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形的面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而运用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 做比较，若它们相等，则以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，则以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，则以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②在定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形放入三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，额以a ，b ，c 为三边长的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即在222a b c +=中，当a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．运用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提，了解在直角三角形中，斜边和直角边分别是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，运用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接运用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：运用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边长分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分的面积答案：6题型三：勾股定理的实际应用例5.如图，有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图，8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m 在Rt ADE ∆中，由勾股定理，得10AD 答案：10m题型四：运用勾股定理的逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，判断ABC ∆是否为直角三角形 ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7. 三边长a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合运用例8. 在ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。

(完整)青岛版初二数学下册知识手册

初二数学考点二、平行四边形1、平行四边形的观点两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”。

2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线相互均分。

（4）若向来线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，而且这两条直线二均分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判断（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理 3：对角线相互均分的四边形是平行四边形（5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的随意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离到处相等。

5、平行四边形的面积S 平行四边形 =底边长×高 =ah考点三、矩形1、矩形的观点有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）拥有平行四边形的全部性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判断（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S 矩形 =长×宽 =ab考点四、菱形1、菱形的观点有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）拥有平行四边形的全部性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判断（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理 2：对角线相互垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S 菱形 =底边长×高 =两条对角线乘积的一半考点五、正方形1、正方形的观点有一组邻边相等而且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

青岛版数学八年级下册_平方根与立方根考点解析

平方根与立方根考点解析考点1：平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)．用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算．1.平方根的表示方法一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“-”表示，a的平方根合起来记作，其中读作“二次根号”，读作“二次根号下a”．根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.典例1下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）；（4）0.49.【解析】（1）∵(±9)2=81，∴81的平方根为±9．即：；（2），的平方根是，即；（3），的平方根是，即；（4）∵(±0.7)2=0.49，∴0.49的平方根为±0.7．.2.平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算.考点2：平方根的性质1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．2.0有一个平方根，它是0本身．3.负数没有平方根．数a是否有平方根，应根据a的取值而定，一般地，①当a是正数时，a有两个平方根，它们是互为相反数；②当a是0时，只有一个平方根是它本身；而当a为负数时，则没有平方根，所以判断一个数a是否有平方根一定要注意a的隐含条件，即a一定是非负数．典例2求下列各式中x的值：（1）；（2）.【解析】这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开，则走入误区，必须运用开平方的知识求解.解：（1），，，则（2），，则本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题.但要注意一个正数的平方根有两个.考点3：算术平方根0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根．典例3求下列各数的算术平方根：【解析】(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即(4)因为(0.7)2=0.49，所以0.49的算术平方根是0.7，即考点4：平方根与算术平方根的区别及联系区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. （3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为. （4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数.联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种. （2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有.（3）0的平方根、算术平方根均为0.平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根.要特别注意.典例4填空：（1）1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．（2）平方根是它本身的数是____．（3）立方根是其本身的数是____．（4）算术平方根是其本身的数是________．（5）的立方根为________.（6）的平方根为________.（7）的立方根为________ .【解析】（1）±1；1；1．（2）0．(此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误．)（3）±1和0．(由此题，再复习一道立方根的性质．)（4）0，1．(此题有学生可能会忘掉0．)（5）-2（此题学生易得出-4的答案，应引导学生将翻译为-8，在求立方根，也有学生将看成得到，讲解时注意）（6）（此题首先让学生把计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）（7）-2．考点5：立方根1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．(也称数a的三次方根)用数学式表示为：若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．2.求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方运算与立方运算互为逆运算．3.立方根的表示方法：类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.4.立方根的性质：正数的两方法供是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. 方根概念的拓展概念：若x a n=，则x 叫a 的n 次方根表示为 x a n=，（n ≥2的整数）n 为偶数时，可对比平方根 a ≥0时，a 有n 次方根； a <0时，a 的n 次方根不存在. n 为奇数时，对任意的a 都有n 次方根. 归纳：A ：n 为偶数时，①a a n n =||，②()()a a a nn =≥0；B ：n 为奇数时：a a a n nn n ==(). 典例5 求下列各数的立方根：【解析】（1）∵(-2)3=-8，（2）∵23=8，（4）∵ (0.6)3=0.216，（5）∵03=0，小试牛刀下列说法对不对，为什么？（1）64的立方根是；（2）无意义；（3）251的平方根是51；（4）和相等；（5）1258-的立方根是52-；（6）零的平方根、算术平方根、立方根都等于零．分析：立方根与平方根的性质有很大的区别，要特别注意两种方根的表示方法和叙述的不同.解：（1）不对．∵正数有一个正的立方根． ∴64的立方根是4，即；（2）不对．∵负数有一个负的立方根， ∴有意义，且；（3）不对．∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，∴的平方根是；（4）对．∵，，∴．（5）对．∵，∴的立方根是．（6）对．因为零的平方根、算术平方根、立方根都是零．。

青岛版初二数学知识点

青岛版初二数学知识点学习学问要擅长思索, 思索, 再思索。

每一门科目都有自己的学习方法, 但其实都是万变不离其中的, 数学作为最烧脑的科目之一, 也是要记、要背、要讲练的。

下面是我给大家整理的一些初二数学的学问点, 盼望对大家有所协助。

初二下册数学学问点归纳第一章分式1、分式及其根本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式, 分式的只不变2、分式的运算(1)分式的乘除乘法法那么：分式乘以分式, 用分子的积作为积的分子, 分母的积作为积的分母除法法那么：分式除以分式, 把除式的分子、分母颠倒位置后, 与被除式相乘。

(2)分式的加减加减法法那么：同分母分式相加减, 分母不变, 把分子相加减;异分母分式相加减, 先通分, 变为同分母的分式, 再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法其次章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x(k不为0)性质：两支的增减性一样;2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：假如一个三角形中, 有两个边的平方和等于第三条边的平方, 那么这个三角形是直角三角形。

第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等;对角相等;对角线相互平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线相互平分的四边形是平行四边形;一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：三角形的中位线平行第三边, 并且等于第三边的一半。

2、特别的平行四边形：矩形、菱形、正方形(1)矩形性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;矩形具有平行四边形的全部性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线相互垂直, 并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线相互垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。

青岛版初二数学下册《全等三角形》知识点归纳

青岛版初二数学下册《全等三角形》知识点归纳定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

(注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况) 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;(3)有公共边的，公共边一定是对应边;(4)有公共角的，角一定是对应角;(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角;表示：全等用≌表示，读作全等于。

判定公理1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS 或边边边)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS 或边角边)。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA 或角边角)。

由3可推到4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或角角边)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或斜边，直角边) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。

H是英文斜边的缩写(Hypotenuse)，L是英文直角边的缩写(leg)。

6.三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。

性质三角形全等的条件：1、全等三角形的对应角相等。

2、全等三角形的对应边相等3、全等三角形的对应顶点相等。

4、全等三角形的对应边上的高对应相等。

5、全等三角形的对应角平分线相等。

6、全等三角形的对应中线相等。

7、全等三角形面积相等。

8、全等三角形周长相等。

八年级青岛版下册数学复习定义

1、两直线平行同位角相等2、两直线平行内错角相等3、两直线平行同旁内角互补4、三角形内角和等于180°5、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和6、多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n －2）×180°(n 大于等于3)。

7、任意正多边形的外角和=360°8、正多边形内角度数则其边数为：360°÷（180°－内角度数）9、点与圆的三种位置关系：（1）点在圆上（2）点在圆内（3）点在圆外10、同一个圆的半径相等直径相等11、全等三角形判定定理：1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等；2.边角边：两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等；3.角边角公理（ASA）：两角和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；4.角角边：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；5.斜边直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

12、线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等13、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上14、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．15、角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

（角平分线的性质和角平分线的判定是证明角相等、线段相等的方法）16、等腰三角形：1.等腰三角形的两个底角相等2. 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，也就是三线合一）17、直角三角形：1、直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形的判定定理两个锐角互余的三角形是直角三角形18、平行四边形：1．平行四边形的对边平行.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB ∥CD，BC ∥AD.2.性质定理1：平行四边形的对边相等.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，BC=AD.性质定理2：平行四边形的对角相等.几何语言: ∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D.定理3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD．平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形19、矩形矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等.矩形的判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.几何语言:∵四边形ABCD是平行四边形∠B=90°∴四边形ABCD是矩形2.对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言:∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD∴四边形ABCD是矩形.20、菱形菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等.（2）菱形的两条对角线互相垂直.菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD∴□ABCD是菱形知识拓展：菱形的面积公式：底×高=对角线乘积的一半21、正方形正方形的性质：1．正方形对边平行2．正方形的四条边都相等.3．正方形的四个角都是直角4．正方形的对角线相等、互相垂直、每条对角线平分一组对角. 正方形的判定：根据定义得：1．一组邻边相等的矩形是正方形．2．一个角为直角的菱形是正方形.3．一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．22、直角三角形直角三角形性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半23、三角形中位线三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边。

八年级数学青岛版知识点

八年级数学青岛版知识点天才就是勤奋曾经有人这样说过。

如果这话不完全正确，那至少在很大程度上是正确的。

学习，就算是天才，也是需要不断练习与记忆的。

下面是小编给大家整理的一些八年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。

初二数学下册知识点统计的初步认识1、折线统计图的特点：能获取数据变化情况的信息，并进行简单的预测。

2、折线统计图的方法：在方格纸中，根据所给出的数据把点标出来，再用线将点连接起来，要顺次连接。

3、能够看出折线统计图所提供的信息，并回答相关的问题。

补充内容：1、条形统计图与折线统计图的不同：条形统计图用直条表示数量的多少，折线统计图用折线表示数量的增减变化情况。

2、初步了解复式折线统计图，能够从中获得相应的信息，回答提出的问题。

课后练习1.统计学的基本涵义是(D)。

A.统计资料B.统计数字C.统计活动D.是一门处理数据的方法和技术的科学，也可以说统计学是一门研究“数据”的科学，任务是如何有效地收集、整理和分析这些数据，探索数据内在的数量规律性，对所观察的现象做出推断或预测，直到为采取决策提供依据。

2.要了解某一地区国有工业企业的生产经营情况，则统计总体是(B)。

A.每一个国有工业企业B.该地区的所有国有工业企业C.该地区的所有国有工业企业的生产经营情况D.每一个企业3.要了解20个学生的学习情况，则总体单位是(C)。

A.20个学生B.20个学生的学习情况C.每一个学生D.每一个学生的学习情况4.下列各项中属于数量标志的是(B)。

A.性别B.年龄C.职称D.健康状况5.总体和总体单位不是固定不变的，由于研究目的改变(A)。

A.总体单位有可能变换为总体，总体也有可能变换为总体单位B.总体只能变换为总体单位，总体单位不能变换为总体C.总体单位不能变换为总体，总体也不能变换为总体单位D.任何一对总体和总体单位都可以互相变换6.以下岗职工为总体，观察下岗职工的性别构成，此时的标志是(C)。

A.男性职工人数B.女性职工人数C.下岗职工的性别D.性别构成初二数学第一学期知识点【第十三章实数】※算术平方根：一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作.0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a≥0时,a才有算术平方根.※平方根：一般地,如果一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的平方根.※正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数;0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根.※正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数.数a的相反数是-a,一个正实数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0【第十四章一次函数】1.画函数图象的一般步骤：一、列表(一次函数只用列出两个点即可,其他函数一般需要列出5个以上的点,所列点是自变量与其对应的函数值),二、描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应函数的值为纵坐标,描出表格中的个点,一般画一次函数只用两点),三、连线(依次用平滑曲线连接各点).2.根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量关系,列出等式,既函数解析式.3.若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.4.正比列函数一般式：y=kx(k≠0),其图象是经过原点(0,0)的一条直线.5.正比列函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线,当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大,当k<0时,直线y=kx 经过第二、四象限,y随x的增大而减小,在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.6.已知两点坐标求函数解析式(待定系数法求函数解析式)：把两点带入函数一般式列出方程组求出待定系数把待定系数值再带入函数一般式,得到函数解析式7.会从函数图象上找到一元一次方程的解(既与x轴的交点坐标横坐标值),一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解(既两函数直线交点坐标值)初二数学学习方法技巧1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

青岛版八年级下册数学第六章第三节第四课时知识点整理

特殊的平行四边形第四课时知识点：正方形的定义、性质、判定一．知识点解读与基础训练：（一）知识点要求1.能说出正方形的概念，说出特殊的平行四边形的区别和联系;2.能熟练的说出正方形的性质定理和判定定理;3.能灵活应用正方形的性质定理、判定定理进行推理和证明。

（二）知识点解读1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，正方形具有矩形、菱形的性质正方形的性质：四个角都是直角；四条边相等；对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.2. 正方形的判定：一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

（三）对应练习1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A 、四个角相等.B 、对角线互相垂直平分.C 、对角互补.D 、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A 、四条边相等.B 、对角线互相垂直平分.C 、对角线平分一组对角.D 、对角线相等.3.已知:如图,在正方形ABCD 中,点 E 在AC 上.求证:BE=DE4.已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是∠ACB 的平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 求证：四边形CFDE 是正方形二．灵活应用与能力训练（一）基础训练1.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ．CA B F E(1)求证：CE=CF ；(2)若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？2. 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，PM ⊥BC,PN ⊥CD,垂足分别是点M,N.求证：AP=MN（二）能力提升1.已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于G ，DG 交OA 于F ．求证：OE=OF ．2.如图（1），在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，E 为AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，且交∠CBE 的平分线于点N ．（1）DM 与MN 相等吗？试说明理由．（2）若将上述条件“M 为AB 的中点”改为“M 为AB 上任意一点”，其余条件不变，如图2，则DM 与MN 相等吗？为什么？A B CD E M N 图1NME D C B A 图2三．实际应用与拓展训练AD B CM NP（一）拓展训练1.已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（2）在（1）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？2.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，求∠DPE度数（二）实际应用1.(1)给你一块矩形纸条，如何把它变成正方形纸条？(2) 请你用最快的速度画一个正方形，然后想一想，你所选择的画法是否经得起推敲？比一比，你周围的同学是否有比你更好的方法？四、答案与解析对应练习1.B2.D3.分析：证△ABE≌△ADE4.先证四边形CFDE是矩形，再证DE=DF. 二．灵活应用与能力训练（一）基础训练1.分析：证△CEG≌△CFG,2.分析：连接CP,证AP=CP,再证PMCN是矩形，得CP=MN,从而得证。

青岛版八年级数学下册第八章复习

列举勾股定理在实际问题中的应用，如建筑测量、航海等。
如何复习平方根与算术平方根
总结平方根与算术平方根的定义和性质，包括非负性、运算性质等。
练习平方根与算术平方根的综合题型，如结合其他知识点进行计算或证明等。
列举平方根与算术平方根的常见题型，如计算一个数的平方根或算术平方根、比较大小等。
详细描述
学生在表示平方根和算术平方根时，容易将符号误用，如将平方根的符号“√” 误用为算术平方根的符号“∛”，导致表达错误。
平方根与算术平方根的易错点解析
01
总结词：运算错误
02
详细描述：学生在进行平方根和算术平方根的运算时，由于计算能力不足或注意力不集中，容易出现运算错误。
平方根与算术平方根的易错点解析
理解平方根与算术平方根的区别
总结词
掌握平方根与算术平方根的运算方法
总结词
能够运用平方根与算术平方根解决实际问题
平方根与算术平方根相关例题
详细描述
平方根和算术平方根是数学中两个重要的概念。平方根是一个数乘以其本身的结果，而算术平方根是一个非负数的平方根。在解题过程中，需要理解这两个概念的区别，掌握其运算方法，并能够运用它们解决实际问题。例如，求一个数的平方根或算术平方根，或者比较两个数的平方根或算术平方根的大小等问题，都需要运用到平方根与算术平方根的知识。
总结词
化简方法掌握不足
详细描述
二次根式的化简需要掌握一定的方法技巧，部分学生由于方法掌握不足，导致化简过程中出现错误。
二次根式的性质与化简的易错点解析
总结词
运算顺序不正确
VS
详细描述
在进行二次根式的混合运算时，部分学生由于运算顺序不正确，导致结果出现错误。

青岛版(新)数学八年级下册 6.4三角形的中位线定理

青岛版（新）数学八年级下册 6.4 三角形的中位线定理引言三角形是初中数学中重要的图形之一，研究三角形的性质和定理有助于我们理解和解决与三角形相关的问题。

在八年级下册数学教材中，我们学习了三角形的中位线定理。

本文将详细介绍这个定理的含义、证明以及应用。

三角形的中位线定理在讨论中位线定理之前，我们先了解一下什么是中位线。

对于任意三角形ABC，连接顶点A与边BC的中点D，连接顶点B与边AC的中点E，连接顶点C与边AB的中点F。

则线段DE称为三角形ABC的一条中位线。

定理1：一个三角形的三条中位线相交于一个点，且这个点到三个顶点的距离相等，且为三条中位线的长度的二分之一。

下面通过证明来理解这个定理。

定理的证明设AD为三角形ABC的中位线，交与BC于D，我们需要证明BD：DC = 1:1，并且D为中位线的中点。

步骤1：证明BD=DC由中位线的定义可知，AD是BC的中点，即AD = DC。

同理，可以得到BD = AD。

由此可知BD = DC，即BD：DC = 1:1。

步骤2：证明D为中位线的中点为了证明D是中位线的中点，我们需要证明D到A的距离等于中位线DE的长度的一半。

根据平行线的性质，我们可以得到两个平行线之间的距离是一定的。

因此，我们可以得到直线BC与直线EF平行。

由于DE是三角形ABC的中位线，因此DE与BC平行。

根据平行线的性质，DE 与BC之间的距离等于AE与BC之间的距离。

又因为AE是BC的中点，所以AE与BC的距离等于半个BC的长度。

综上所述，D到A的距离等于DE的长度的一半。

同理，可以得到D到B、D到C的距离也等于DE的长度的一半。

这样，我们可以得出结论：三角形ABC的三条中位线相交于一个点D，且这个点D到三个顶点的距离相等，且为三条中位线的长度的二分之一。

三角形中位线的应用中位线定理不仅仅是一个重要的三角形性质，还可以应用于解决与三角形相关的问题。

应用1：确定三角形重心根据中位线定理，三角形的三条中位线交于一个点，这个点被称为三角形的重心。

八年级下册青岛版数学知识点归纳总结

八年级下册青岛版数学知识点归纳总结
1、矩形
矩形：有一个角是直角的平行四边形。

矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。

有三个角是直角的四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

2、菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的四条边都相等。

菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平方一组对角。

四条边相等的四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、正方形
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

有一组邻边相等的矩形是正方形。

有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

4、反比例函数
函数叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数。

5、反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。

当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。

反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

当k>0时，在图象所在的第一、三象限内，函数值y随自变量x 的增大而减小；当k<0时，在图象所在的第二、四象限内，函数值y 随自变量x的.增大而增大。

6、反比例函数的应用
建立数学模型的过程，具体内容可概括为：
由实验获取数据-用描点法画出图象-根据图象和数据判断或估
计函数的类别-用待定系数法求出函数关系式-用实验数据验证函数
关系式-应用函数关系式解决问题。

青岛版八年级数学下册知识点总结

青岛版八年级数学下册知识点总结第6章平行四边形平行四边形及其性质1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的邻角互补，对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分；3.平行四边形的判定平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：第一类：与四边形的对边有关（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；第二类：与四边形的对角有关（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；第三类：与四边形的对角线有关（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形常见考法（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长；（2）求平行四边形某边的取值范围；（3）考查一些综合计算问题；（4）利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行；（5）利用判定定理证明四边形是平行四边形。

误区提醒（1）平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等；（2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。

一、特殊的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。

（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。

（3）判定定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

②对角线相等的平行四边形是矩形。

③有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。

2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。

（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（3）判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

初二数学：基本知识汇总-青岛版(下册)2012年新版

初二数学基本知识汇总（青岛版-下册）编辑：临朐王老师职称：中学一级教师第七章：二次根式10a≥）的式子叫做二次根式，其中a为整式或分式，a叫做被开方式。

2、二次根式的性质：⑴0≥(a≥0)⑵2a=(a≥0)⑶a=⑷=(a≥0;b≥0)=(a≥0 b＞0)3、最简二次根式满足下列条件(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4、二次根式的加减法⑴同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方式相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

①判断两个根式是否为同类二次根式，首先应化为最简二次根式，观察每个最简二次根式的被开方式是否相同。

②在没有化成最简二次根式以前，无法判断是否是同类二次根式。

⑵二次根式的加减法就是对同类二次根式进行合并。

5、根式的乘除法：⑴分母有理化：把分母中的根号化去（分母有理化的依据是分式的基本性质）⑵有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们相乘后的结果不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式⑶分母有理化的方法：将分子分母同乘以分母的有理化因式。

第八章：平面图形的全等与相似1、全等形的概念：能够完全重合的的平面图形叫做全等形。

2、相似形的概念：形状相同的图形叫做相似形。

注：全等形是相似形的特例；两个图形相似，其中一个可以看做另一个图形放大或缩小得到的。

3、全等三角形的概念：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，全等三角形用符号‘≌’表示，读作‘全等于’。

4、判定三角形全等的方法⑴三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等，那么这两个三角形全等。

（角边角即：ASA）推论：三角形的两个角及其一个角的对边与另一个三角形的两个角及其一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。

（角角边即：AAS）⑵如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。

八年级下册数学青岛版前两章笔记

八年级数学下册知识点第一章：分式1.分式定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即;当n为正整数时，( 正整数指数幂运算性质(请同学们自己复习)也可以推广到整数指数幂6.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

7.科学记数法：把一个数表示成的形式(其中，n是整数)的记数方法叫做科学记数法. 用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)八年级数学下册知识点第二章：反比例函数1.定义：形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。

2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

3.性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小; 当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

八年级下册数学青岛版第一章知识点

重点、难点:重点：有平方根、立方根的概念及意义和点的坐标。

难点：平方根、立方根等概念的理解、简单实数运算及无理数大小的比较。

一、知识框架图：二、重要知识点一）、知识点提示：1、平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数等概念的理解，举例说明。

2、实数怎样分类？3、如何在产面直角坐标系中，说出点的坐标及根据坐标找点。

4、在实数范围内找一个数的绝对值、倒数、相反数、及各种运算的运算顺序。

二）知识点平方根：1、概念：如果有一个数r，使得，那么我们把r叫作a的一个平方根。

①、一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；②、负数没有平方根；③、0的平方根有且只有一个（它就是0）④、a的正平方根叫作a的算术平方根，记作2、求一个非负数的平方根，叫作开平方。

一个正数先开平方再2次方等于它本身；一个正数先2次方再开平方也等于它本身。

立方根1、概念：如果有一个数b，使得，那么我们把b叫作a的一个立方根。

①、一个正数有一个立方根，它是正数；②、负数有一个负的立方根；③、0的平方根有且只有一个（它就是0）④、a的立方根记作。

2、求立方根号a，叫作开立方。

一个数先开立方再3次方等于它本身；一个数先3次方再开立方也等于它本身。

实数：1、有理数和无理数统称为实数。

2、实数的分类3、数轴上的点与实数一一对应。

4、实数大小的比较。

无理数：无限不循环小数。

有效数字：从左边第一个不为0的数字起，到时精确到的数位止共有几个数字则这个数的有效数字就是几位。

平而直角坐标系：1、能写出点的坐标和根据点的坐标描点。

2、关于y轴的轴反射公式：（x的坐标不变，y坐标变为它的相反数）3、关于x轴的轴反射公式：（x的坐标变为它的相反数，y坐标不变）4、平移公式：左右平移则x的坐标值减小或增加，上下平移则y的坐标增加或减小。

5、会用方位角和距离描述点的位置。

6、平面直角坐标系上的点与有序实数对一一对应。

青岛版八年级数学知识点

青岛版八年级数学知识点初二下册数学知识点归纳第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、不等关系1、一般地,用符号"<"(或"≤"),">"(或"≥")连接的式子叫做不等式.2、要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3、准确"翻译"不等式,正确理解"非负数"、"不小于"等数学术语.非负数<===>大于等于0(≥0)<===>0和正数<===>不小于0非正数<===>小于等于0(≤0)<===>0和负数<===>不大于0二、不等式的基本性质1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a即:a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0aa-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三、不等式的解集:1、能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2、不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3、不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四、一元一次不等式:1、只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3、解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4、一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax①当a>0时,解为;②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;当a=0时,且b≥0,则无解;③当a<0时,解为;5、不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如"大于"、"小于"、"不大于"、"不小于"等含义;②设:设出适当的未知数;③列:根据题中的不等关系,列出不等式;④解:解出所列的不等式的解集;⑤答:写出答案,并检验答案是否符合题意.数学学习方法技巧自学能力的培养是深化学习的必由之路在学习新概念、新运算时，老师们总是通过已有知识自然而然过渡到新知识，水到渠成，亦即所谓“温故而知新”。

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