1-2凸集与凸函数
12凸集及凸函数
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
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该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 之间的部分是一段向下凸的弧.
0,1表示连接 x1, f x1 , x2, f x2 的线段.
f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2 处的函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
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凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
f x 1 y f x 1 f y,
则称 f x 为凸集 D 上的凸函数。
定义1.5 严格凸函数
注:将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数的定义。
例: 设 f x x 12 ,试证明 f x 在 , 上是严格凸
函数.
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证明: 设 x, y R ,且 x y, 0,1 ,都有
§1.2 凸集与凸函数
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一、凸集
定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1, 都有：
x 1 y D
则称集合 D 为凸集．
注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn
超平面：H x Rn a1x1 a2x2 an xn b
m
ai xi ,
称为 xi ,i 1, 2,
,m,
最优化方法(凸集与凸函数)
{ {
} }
{
}
+ D1 ⊂ H 0 = x ∈ R n | a T x > β
− D2 ⊂ H 0
{ = {x ∈ R
n
| aT
} x < β}
+ − 则称超平面 H 严格分离 D1 和 D2 ，其中 H 0 和 H 0 分别表示
H + 和 H − 的内部
7
点到凸集的投影
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集， y ∈ R n 但是 y ∉ D ，则 的距离最小， （1）存在唯一的点 x ∈ D ，使得集合 D 到点 y 的距离最小，即 x − y = inf { x − y , x ∈ D} （2） x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
4
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集，则任意 m 个点 x ( i ) ∈ D( i = 1,2,⋯ , m ) 的凸组合仍 即有： 属于 D ， 即有：
( x − x )T ( x − y ) ≥ 0 ， ∀x ∈ D
证明： （1） 证明： ） （ 令 S = x ∈ R n | x ≤ 1 则取充分大的 µ > 0 使得
Ds = D ∩ ( y + µS ) ≠ φ
因此连续函数 f ( x ) = x − y 在 D s 上必定可以取到极小点 存在性证明完毕
凸集与凸函数
凸集与凸函数在数学中，凸集和凸函数是两个非常重要的概念。
它们在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍凸集和凸函数的定义、性质和应用。
凸集凸集是指在一个向量空间中，如果对于任意两个点x和y，它们的线段上的所有点都在该集合内，那么这个集合就是凸集。
简单来说，凸集就是一个“凸起来”的集合，它的内部没有凹陷的部分。
凸集有很多重要的性质。
其中最重要的是：凸集的交集仍然是凸集。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集。
凸函数凸函数是指在一个实数域上，如果对于任意两个点x和y，它们的线段上的所有点都在函数图像的上方，那么这个函数就是凸函数。
简单来说，凸函数就是一个“凸起来”的函数，它的图像没有凹陷的部分。
凸函数也有很多重要的性质。
其中最重要的是：凸函数的下凸壳是一个凸函数。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以帮助我们求解一些最优化问题的解。
应用凸集和凸函数在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
其中最常见的应用是在最优化问题中。
凸集和凸函数的性质可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集或凸函数，从而简化问题的求解过程。
凸集和凸函数还可以用于解决一些几何问题。
例如，我们可以使用凸包算法来求解一个点集的凸包，从而得到一个凸集。
同样地，我们也可以使用凸函数来求解一些几何问题，例如最小二乘法。
在经济学中，凸集和凸函数也有广泛的应用。
例如，在市场经济中，供求关系可以被视为一个凸函数，从而帮助我们预测市场价格的变化。
总结凸集和凸函数是数学中非常重要的概念。
它们在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
凸集和凸函数的性质可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集或凸函数，从而简化问题的求解过程。
同时，它们也可以用于解决一些几何问题和经济学问题。
凸集与凸函数的性质与应用
凸集与凸函数的性质与应用凸集与凸函数是数学中两个非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将围绕凸集与凸函数的性质展开讨论，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、凸集的定义及性质1. 凸集的定义在数学中，一个集合称为凸集，如果对于集合中的任意两点，连接这两点的线段上的所有点也在该集合内部。
2. 凸集的性质（1）凸集的交集仍然是凸集。
即若集合A和集合B都是凸集，则它们的交集A∩B也是凸集。
（2）凸集的闭包仍然是凸集。
即若集合A是凸集，则它的闭包A 也是凸集。
（3）凸集的仿射变换仍然是凸集。
即若集合A是凸集，线性变换T将A的元素变换到B，B上的任意两点通过T来自A的元素，B也是凸集。
二、凸函数的定义及性质1. 凸函数的定义在实数域上，如果一个函数的定义域是凸集，并且满足对于任意一对定义域内的点x₁和x₂以及任意的x∈ [0,1]，都有凸函数性质：x(xx₁+(1−x)x₂) ≤ xx(x₁)+(1−x)x(x₂)则该函数被称为凸函数。
2. 凸函数的性质（1）凸函数上的割线位于函数图像的下方或与之切线重合。
（2）凸函数的上、下半级集都是凸集。
即对于凸函数x(x)，有以下性质：- x∈ℝ且x∈ℝ，x(x) ≤ x≤ x(x) 成立，则对于该函数来说，有x(x) ≤ x，其中x∈ [x, x]。
- 若x(x) ≤ x，则x(x) ≤ x，其中x∈ℝ。
三、凸集与凸函数的应用1. 最优化问题凸集与凸函数在最优化问题中有着广泛的应用。
凸函数的性质保证了在一定条件下的最优解存在且唯一。
在优化问题中，我们可以将目标函数设为凸函数，将约束条件设为凸集，从而利用凸函数的性质来求解最优解，简化了问题的求解过程。
2. 经济学凸集与凸函数在经济学中也有重要的应用。
例如，生产函数、效用函数等都是凸函数，它们描述了在一定约束下的最优决策。
同时，凸集与凸函数也被应用在市场均衡理论、优化分配问题等经济学中的重要概念和工具中。
3. 机器学习凸集与凸函数在机器学习中也占据重要地位。
凸函数的几种定义
凸函数的几种定义凸函数在优化和数学分析中有广泛的应用，其有多种定义，本文将介绍凸函数的几种定义。
1. 凸函数的一阶定义凸函数的一阶定义是指，定义域上的任意两个点之间的割线上，函数值的下凸性。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果对于所有的x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，那么f(x)为凸函数。
2. 凸函数的二阶定义凸函数的二阶定义是指，定义域上的所有点都满足函数的二阶导数大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果f''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
3. 凸函数的三阶定义凸函数的三阶定义是指，定义域上的所有点的曲率大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其曲率f'''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
4. 凸函数的凸集定义凸函数的凸集定义是指，函数图像的下方区间所形成的区间也是凸集。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其图像下方区间S={(x,y)| y≤f(x)}是凸集，并且S 在[a,b]上是凸的，那么f(x)为凸函数。
综上所述，凸函数的几种定义都指向了函数图像呈现的下凸性，即直线割过函数图像后位于函数图像下方的性质，其不同的定义方式体现了不同的性质和求解方法。
无论采用哪种定义方式，都需要考虑实际问题的特征和函数的定义域，以得到准确可靠的结果。
凸函数的性质有很多，例如在区间[a,b]上凸函数f(x)上，对于任意的x1,x2∈[a,b]和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，即凸函数的凸组合仍为凸函数。
此外，凸函数也有一些应用，例如在最优化问题中，将问题转化为凸函数求解可以更优effective。
然而，有些函数仅在部分定义域内为凸函数，而在另一部分定义域内则不是，因此在实际应用中必须慎重选择凸函数进行求解。
1-2凸集与凸函数解析
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例:试证线性函数是 Rn 上的凸函数
f x cT x c1 x1 c2 x2
证明 :设 x , y R, 0,1 ,则
T f x 1 y c x 1 y
cn x n
x 1 y 1 x 1 1 y 1
2 2
f x 1 y f x 1 f y
2
2
1 x y 0
因此 f x 在 , 上是严格凸函数.
若 x 是 S 中的一个极点,且有 x x1 1 x2 , 0,1 , 注：
x1 , x2 S ,则必有 x x1 x2 .
例3：D x R n x aa 0 , 则 x a
上的点均为极点．
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证：设 x a , 若存在 y , z D 及 0,1 , 使得 x y 1 z , 则：
T
y R 表示 y 轴上的点．
则 D1 D2 表示两个轴的所有点， 它不是凸集； 而 D1 D2 R 2 凸集．
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推论： 设 Di , i 1, 2,
, m 是凸集， 则
D
i 1 i
m
i
也是凸集， 其中 i 是实数．
定义1.2:设 xi D , i 1, 2,
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三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上 , 若对任意的
x , y D, 0,1 ,都有 :
凸集和凸函数
凸集和凸函数凸集和凸函数是数学中一些重要的概念。
它们的应用范围广泛，涉及到诸如优化、几何学、经济学、物理学等领域。
本文将分步骤阐述凸集和凸函数的定义、性质及应用。
一、凸集的定义和性质凸集是指在欧几里得空间中，对于其中的任意两点，它们之间的连线都落在该集合内。
换句话说，凸集中的任何一条线段都是完全落在凸集内的。
要说明集合是凸的，需要证明其满足如下两个条件：①对于其中的任意两点x和y，它们之间的任意一个点z，都应该满足z=λx+(1-λ)y（其中0≤λ≤1）；②该集合是一个凸组合的闭包。
凸集有以下性质：1. 任意两个凸集的交集也是凸集；2. 凸集的闭包是凸集；3. 凸集的凸壳是凸集；4. 凸集的极小凸包是凸集；5. 凸集是连通的。
二、凸函数的定义和性质凸函数是指在函数图像下方的区域是凸集。
凸函数有以下几个特征：1. 任意两个点的线段都落在函数图像下方；2. 函数的一阶导数递增或数值非负；3. 函数的二阶导数数值非负。
凸函数具有以下性质：1. 任意两个凸函数的和是一个凸函数；2. 凸函数的下凸包是凸函数；3. 凸函数的上凸包是凸函数；4. 若函数f在定义域D内是凸的，那么其上任意一点的全体支撑线构成的集合是非空凸集。
在实际应用中，凸函数可用于优化问题、光学物理等方面。
因为凸函数有唯一的最小值和全局最小值，这种性质对于优化问题非常重要。
光学物理中，利用凸函数可对某些照明系统进行设计。
三、凸集和凸函数的应用凸集和凸函数的应用非常广泛。
它们在很多领域都得到了充分的应用，下面将简单介绍一些常见应用：1. 最优化问题。
凸函数有唯一的最小值和全局最小值，因此可以用于优化问题中，如线性规划、非线性规划等。
2. 几何形状分析。
凸集的定义是指一个区域内的两点连线都在该区域内，因此凸集可以用于分析几何形状。
3. 光学物理。
利用凸函数可以对光学系统进行设计，尤其是在非均匀照明下平均照度问题的解决中可以应用到凸函数。
4. 机器学习。
凸集与凸函数ppt课件
2. 凸集与凸函数
Th2.2 给定向量p(≠0)∈Rn, ∈R,则
H {x ¡ n | pT x } (2.1)
是Rn中的一个超平面.反之,Rn任一超平面都可表成 上式的形式,且在相差一个非零常数的意义下, (p, )是唯一的. Th2.3 给定矩阵A mn ,向量b n ,则
M {x ¡ n | Ax b}(简记为Ax b) (2.2) 是 n中的一仿射集.反之, n中的每一仿射集 都可表成(2.2)式的形式,即一组超平面的交集.
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2. 凸集与凸函数
Df 2.12，设S( ) n, p n，p 0, x S 若S H {x pT (x x ) 0}或者S H － {x pT (x x ) 0}
则称H {x pT (x x )＝0}是S在x处的支撑超平面，若S H ,
则称H为S在x处的正常支撑超平面。
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2. 凸集与凸函数
m
Df 2.8 给定m个向量, x1,..., xm ¡ n,以及满足 i 1的 i1
非负实数i R,i 1,..,m,称向量
1x1 ... mxm为{x1,..., xm}的凸组合.
Th2.4 集合S ¡ n是凸集,当且仅当S包含其中任意有限个
元素的凸组合,即对m
于是,由下确界定义知,存在序列{x(k)}, x(k) S, 使得 y x(k) r.
先证{x(k)}存在极限x S.只须证{x(k)}为柯西数列。
x(k) x(m)
2
(x(k) y) (x(m) y) 2
2
x(k) y
2
2
x(m) y
2
(x(k) y) (x(m) y)
2
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多面体(polyhedral set)是有限闭半空间的交. (可表为 Axb ). x1
凸集与凸函数
凸集与凸函数凸集与凸函数是数学中具有较高应用价值的两个概念，它们在优化、经济学、工程学、数学物理等领域都有着广泛的应用。
一、凸集的定义凸集是指在欧几里得空间中，对于任意两个点$x_1$和$x_2$ ，如果这两个点都处于凸集内，那么它们之间的所有点也都应该在该凸集内，即：$$x_1,x_2\in C\Rightarrow\lambda{x_1}+(1-\lambda)x_2\in C\0\leq\lambda\leq1$$其中的$\lambda$是权重系数，使得对于$x_1$和$x_2$的线性组合能够在凸集内。
凸集不仅包括均匀分布的整个区域，而且还包括所有边界上的点。
凸函数是指在定义域内的任意两个点$x_1$和$x_2$之间，其函数值的线性组合仍然处于函数的值域内，即：凸函数是凸集上的实值函数，其定义域是一个凸集。
凸函数的定义与凸集的定义类似，可以形式化证明凸函数在其定义域上是凸集。
具体来说，对于凸函数$f(x)$，当且仅当它的定义域是凸集时，它才是凸函数。
同时，凸函数也存在一些性质，例如其导数是递增的、局部最小值是全局最小值等。
除此之外，凸集与凸函数还有许多更深入的联系。
例如，可分离凸函数、第一性原理的凸优化算法、鞍点理论等，都是凸集与凸函数相关的研究领域。
四、应用举例凸集与凸函数的应用非常广泛，例如：1. 在优化中，凸集与凸函数是常用的工具。
例如，线性规划、半定规划、凸优化等问题都涉及到凸集和凸函数。
2. 在经济学中，凸集与凸函数可以用来描述市场需求、供给等重要问题，例如企业的利润最大化、消费者选择最大化等问题。
3. 在计算机科学中，凸集与凸函数被广泛应用于机器学习、人工智能等领域。
例如，梯度下降法、反向传播算法等都是基于凸函数的优化算法。
总之，凸集与凸函数是数学中非常重要的概念，不仅应用广泛，而且具有一些深刻的理论性质。
在未来的科学研究中，凸集与凸函数的研究将会得到更加广泛的关注和应用。
凸集和凸函数和凸规划-课件
凸集---定义
01
线性组合 (linear Combination)
单击此处添加小标题
02
仿射组合 (Affine Combination)
单击此处添加小标题
03
凸组合 (Convex Combination)
单击此处添加小标题
04
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
单击此处添加小标题
第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸集 (Convex Set) 凸函数 (Convex Function) 凸规划 (Convex Programming) 凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
则有：
即点
属于超球,
所以超球为凸集．
凸集----举例
(1)
任意多个凸集的交集为凸集．
(2)
设
是凸集，
是一实数，
则下面的
集合是凸集：
凸集-----性质
(3)
推论：
设
是凸集，
则
也是凸集，
其中
是实数．
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
凸集-----性质
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据.
凸函数
定理4-----
01
几何
02
解释
03
一个可微函数
04
是凸函数当且
05
仅当函数图形
06
上任一点处的
07
切平面位于曲
08
面的下方.
演示文稿凸集与凸函数
可证, S的仿射包
k
kLeabharlann affS { i xi | i 1,i R, xi S,i 1,.., k, k }
i1
i1
2. 凸集与凸函数
Df2.1 Rn中任一集合S的维数定义为它的仿射包 affS的维数,即包含S的仿射集的最小维数. Df 2.5 由m 1个向量组成的向量组x0 , x1 ,...xm 称为是仿射无关的,是指集合{x0 , x1 ,...xm}的维 数为m,即仿射包aff {x 0 , x1 ,...xm}维数是m. 一般,有限点集的仿射包aff {x0 , x1 ,...xm} L x0, L aff {0, x1 x 0 ,...xm x 0 } 是包含{x1 x0 ,...xm x 0 }的最小子空间. L的维数是m x1 x 0 ,...xm x 0线性无关.
m
有1x1 ... mxm S,其中 i 1, i1
i 0 R,i 1,.., m.
2. 凸集与凸函数
运用定义不难验证如下命题：
命题2.2 设S1和S2为En中两个凸集,是实数,则 1,S1 {x x S1}为凸集。 2，S1 S2为凸集 3，S1 S2 ={x(1)+x(2) x(1)S1 ,x(2)S2 }为凸集 4，S1 S2 ={x(1)-x(2) x(1) S1 ,x(2) S2 }为凸集
2. 凸集与凸函数
•可验证,仿射集的交集仍是仿射集
若记 AT (a1, a2 ,..., am ),b (b1,b2,...,bm )T
Hi {x | aiT x bi}.i 1, 2,..., m, 则
M
H m
i1 i
Df2.3 给定Rn中集合S,包含S的所有仿射集的交集,
凸集与凸函数.ppt
f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2 处的函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
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凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
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凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集
为凸集． （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集：D y y x , x D
（３）设 D1 , D2 是凸集，则 D1 , D2 的和集
D1 D2 y y x z, x D1, z D2 是凸集;
§1.2 凸集与凸函数
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一、凸集
定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1, 都有：
x 1 y D
则称集合 D 为凸集．
注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn
超平面：H x Rn a1x1 a2x2 an xn b
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
(3)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数, 是实数,则水平集
S f , x x D, f x 是凸集.
(1) f x 是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对x, y D ,一
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
第2讲凸集与凸函数
第二讲凸集与凸函数22•定义1(凸集)设集合, 若对于任意两点及实数, 都有, 则称集合为凸集.nR D ⊂D y x ∈,]1,0[∈αD y x ∈-+)1(ααD 凸集x y xyx y凸集•例1. 证明超平面为凸集.证明:设, 对有因此，故为凸集.}{b x a R x H T n =∈=H y x ∈,]1,0[∈∀αbb b ya x a y x a T T T=-+=-+=-+)1()1())1((ααααααH y x ∈-+)1(ααH •例2. 欧式空间, 半空间为凸集.规定空集Ø为凸集.n R }{b x a R x H T n ≥∈=+凸集的性质•(3). 设为凸集，则为凸集.•(2). 设为凸集, , 则为凸集.D R ∈β},|{D x x y y D ∈==ββ21,D D },|{2121D y D x y x z D D ∈∈+==+比如,对于性质(3),是单点集，是三角形为四边形1D 2D 21D D +•(1). 设,,...,为凸集，则...为凸集.1D 2D n D 21D D D =n D•(4).S 是凸集当且仅当S 中任意有限个点的凸组合仍然在S 中.•(5). 设是凸集，则也是凸集，其中是实数。
k i D i ,,2,1, =i ki i D ∑=1βi β例3. 表示x 轴上的点.表示y 轴上的点.则表示两个轴上得所有点，它不是凸集；而是凸集.(){}R x x D T ∈=|0,1(){}R y y D T ∈=|,0221D D ⋃221R D D =+注：凸集的和集和并集有很大的区别，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集.凸集的性质定义2（-水平集）设是定义在集合R 上的实函数，是实数，则称如下的集合是函数的-水平集。
α)(x f α})(,|{αα≤∈=x f R x x S )(x f α凸函数•定义3 (凸函数)设函数定义在凸集上，若对于及,都有,则称为上的凸函数.f nR D ⊂D y x ∈∀,]1,0[∈∀α)()1()())1((y f x f y x f αααα-+≤-+f D •定义4 (严格凸函数)设函数定义在凸集上若对于及,都有,则称为上的严格凸函数.f n R D ⊂D y x ∈∀,)1,0(∈∀α)()1()())1((y f x f y x f αααα-+<-+f D凸函数•定理1(一阶条件) 设在凸集上可微, 则在上为凸函数的充分必要条件是对, 都有.f n R D ⊂f D D y x ∈∀,)()()()(x y x f x f y f T -∇+≥•定理2(二阶条件) 设在开凸集上二阶可微,则(1).在为上凸函数的充要条件为时,半正定.(2). 时, 正定, 则为上的严格凸函数.f n R D ⊂f D D x ∈∀)(2x f ∇D x ∈∀)(2x f ∇f D 1x 0x 1f 0f ()f x 000()f f T x x +∇-典型凸函数6) f (x) = x log x, x >0.既凸又凹！凸函数与不等式凸函数的性质性质1设()f x 是凸集n D R ⊂上的凸函数,实数0k ≥,则()kf x 也是D 上的凸函数.性质2设()()12,f x f x 是凸集nD R ⊂上的凸函数,实数,0λμ≥,则()()12f x f x λμ+也是D 上的凸函数.性质3设()f x 是凸集nD R ⊂上的凸函数,β是实数,则水平集()(){},,S f x x D f x ββ=∈≤是凸集. 12例5.试判断下列函数的凸凹性。
孙文瑜-1.2凸集与凸函数
邋l i xi , 其中l i 挝R+ , xi
i= 1
m
R n , i = 1, 2,...m且
i= 1
l i = 1.
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
n x , 其中 R , x R , i 1,2,...m . i i i i i 1 m
1.2.1 凸集
例1.2.2 1)超平面H= x | p T x 是凸集，其中p R n 是非零向量，称为超平面H的法向量， R 2)闭半空间H - = x | p T x≤ 和H - = x | p T x≥ 是凸集
T ＋ T 3)开半空间H－ = x | o o
1.2.1 凸集
Def1.2.1 凸集 集合D R n 称为凸集，如果对于任意x，y D，有 x+ 1 y D, 0 1
换句话说，如果任意两点x,y∈D，则连接x和y的直线段上所有点都在D内
1.2.1 凸集
凸集---相关定义
线性组合 (linear Combination)
å
仿射组合
m i= 1
m
l i xi , 其中 l
i
挝R, xi
R n , i = 1, 2, ...m.
i= 1
(Affine Combination)
R n , i = 1, 2,...m, 且
邋l i xi , 其中l i 挝R, xi
m
m
l i = 1.
i= 1
凸组合 (Convex Combination)
1.2.1 凸集
多面集(Polyhetral)
是由有限个闭半空间的交组成的集合 D= { x | piT x≤b i , i = 1, 2,..., m } 其中pi 是非零向量，b i Î R。
(大学数学)凸集和凸函数讲义
二阶条件
定理3: 设在开凸集 D Rn 内 f x 二阶可微，则
(1) f x 是 D内的凸函数的充要条件为，在 D 内任一点 x 处，f x 的海色矩阵Gx半正定,
其中：
2 f x12
2 f
Gx
2
f
x
x2 x1
2 f
xn
x1
2 f
x1 x2 2 f x22
若对任意的 x, y D , 及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y 则称函数 f x 为凸集 D上的凸函数．
定义5 严格凸函数
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
例1：设 f x x 12 , 试证明 f x 在 ,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, y R, 且 x y , 0,1 都有： f x 1 y f x 1 f y
极点
定义1 设 D为凸集，x D, 若 D 中不存在
两个相异的点y , z 及某一实数 0,1 使得 x y 1 z , 则称 x 为 D 的极点．
例：D x Rn x a a 0, 则 x a
上的点均为极点．
• 图中0，Q1,2,3,4都是顶点。
凸函数
定义4 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上，
§ 1.2 凸集和凸函数
一 、凸集
定义1 设S为n维欧氏空间Rn 中一个集合.若对S
中任意两点,联结它们的线段仍属于S.即 对S中任意两点 x（1），x（2）及每个实数 [0，1]，都有
x（1）（1 ）x（2） S
则称S为凸集.
x（1）（1 ）x（2）称为x（1）和x（2）的凸组合 .
• 实心圆，实心球体，实心立方体等都是凸集， 圆环不是凸集。从直观上讲，凸集没有凹入 部分，其内部没有空洞。图1-7中的(a)(b)是凸 集，(c)不是凸集。
凸函数的性质
凸函数的性质：（1）设)(),(21x x f f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则)()(21x x f f +也是Ω上的凸函数； （2）设)(x f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则对任意常数0>c，函数)(x cf也是凸函数； （3）设)(x f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则对任意实数c，水平集{}c f ≤Ω∈)(,x x x 是凸集。
（4）设Ω是内部非空的凸集，)(x f是定义在Ω上的凸函数，则)(x f 在Ω的内部连续。
凸函数的判定条件当函数一阶或二阶可微时，除了可以根据定义来判断其是否是凸函数外，更常用的方法是如下的判别条件：定理1-2 定义在凸集nR⊂Ω上的可微函数)(x f 为凸函数的充要条件是：对于任意Ω∈y x ,都有)()()()(x y x x y -∇+≥Tf f f （1-23）定理1-2的几何意义：设)(x f 是一元凸函数，21,x x 是两个不同点，则))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥即凸函数的图像上任一点切线上的纵坐标总不大于曲线在该点的纵坐标，见图1-4，反之亦然。
图1-4 凸函数的几何意义只要将定理1-2中（1-23）式的“≥”改为“>”，就可得到严格凸函数的充要条件。
定理1-3（凸函数的二阶充要条件） 设nR⊂Ω为含有内点的凸集，)(x f在Ω上二次可微，则)(x f 为Ω上凸函数的充要条件是：)(x f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在整个Ω上半正定。
特别地，当1=n时，)(x f 的Hesse 矩阵)()(2x f x f ''=∇，则该定理为：若)(x f 具有二阶连续导数，则)(x f 为凸函数的充要条件是：0)(≥''x f，其中),(b a x ∈。
定理1-4（严格凸函数的二阶充分条件） 设nR⊂Ω为非空开凸集，)(x f在Ω上二次可微，若)(x f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在Ω上处处正定，则)(x f 为Ω上的严格凸函数。
〈l1,l2〉凸函数
定义 ２在定义 １ ＝二时成立 中当 Ｉ Ｉ
ｚ （ ， ） ｚ≤ ＋： （） ２
ｆ ｘ）ｆ（ ） Ｉ （１ ｘ ≥ ＋ ２
—
～
ｉ
ｆ１ ） （ ＋ ￣ ／ ｘ ２
这 时称 ，（ ） 为 上 的 中点 ＜ｚ， ＞凸函数 ； ｚ 当 ＿ （） 厂 为 上 的中点＜ｚ ｆ ２ ， ＞凸函数 时 ，称，（） 为
，（ 在 上为＜ｆ １ ） １２ ， ＞凸函数 ，式（） １都有意义 ， 意 味着 ＋（一 ２ ， Ｌ ｌ １ １ ∈ 因Ｃ ＜
Ｐ 看作 中点 Ｃ（ 向上 或向下的） 的偏移 点。 必存在常数
ｚ ｆ ２ ｙ－ ｃ ２ 和 ，使 ｐ ｌ ＋ｆ Ｙ ，将 Ｐ与 的纵坐标大小关系 进行 比较 ，有
维普资讯
２ ０ ０ ７年 ４ 月
宁波 职业 技术学 院学报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ Ｎｉ ｇ ｏ ｏｙｅ ｈ ｉ ｏ ｒａ ｏ ｎ ｂ Ｐ ｌｔｃ ｎｃ
Ａ ｐ ，２０ ７ ｒ ０ Ｖ＿ ． １ ． ０ １ Ｎｏ２ １
第 １ 卷第 ２ １ 期
＜ １Ｚ Ｚ ２ ，＞凸函数
２０ 年纂２ 。 ７ 。 ０７ 期 ２
维普资讯
Ｘ＝ ２ Ｘ 可 以得 到 ｉ ｚ＋ ： （） 于是式（） 边 １Ｘ￣ ， ｆ（） １≤， ， ３ 左 ＝ｆ ［ ＋ ２ （＋ｆ ｆ ） ｆ ＋ １ １ ＋…＋ ２ ２ ｆ （） （ 】 ＋ｆ ｆ－） ≤ ＋ ｆ 一 （ ｆｆ １ ｌｆ ＋ ＋ ＋…＋ ２ ２ ｆ ２ ） ｆ＋ １ ｆ ｆ ｆ ）＝ ［ － ｆ － ｆ ＋２ （ ｌ ｆ 】 ＋ ＋ ＋…＋ ３ ｆ ） － ｌ≤… ≤ ｉ ｘ＋１≤， 。 ２ ｆ（） ２ （） 性质 ２ 当，（） 为 上的＜ｆ １ ２ ， ＞凹函数或 中点
1-2凸集与凸函数
x∈D
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21
(2) 设 x , y ∈ D, x ≠ y , 若 ( t ) 在 [ 0,1] 上 为 严 格 凸 函 数 , 则
f ( x ) 在 D 上为严格凸函数. 严格凸函数
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该定理的几何意义是： 该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 间的部分是一段向下凸的弧. 之间的部分是一段向下凸的弧
则称 f ( x ) 为凸集 D 上的凸函数 。 上的凸函数 凸函数。
定义1.5 严格凸函数 定义
定义中 不等式反向 可以得到 函数的定义。 反向,可以得到凹 注:将上述定义中的不等式反向 可以得到凹函数的定义。 将上述定义
严格凸 例 : 设 f ( x ) = ( x 1) ,试 证明 f ( x ) 在 ( ∞ , +∞ ) 上 是 严格 凸 试
§1.2 凸集与凸函数
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1
一、凸集
定义1.1 定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y ∈ D, 及实数 λ ( 0 ≤ λ ≤ 1) , 都有： 都有：
λx + (1 λ) y ∈ D
凸集． 则称集合 D 为凸集． 注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn 常见的凸集：空集， 常见的凸集 超平面： 超平面： = {x ∈Rn a1x1 + a2 x2 +L+ an xn = b} H
为凸集, 上的凸函数,则称规划 定义 1.6: 设 D R n 为凸集 f ( x ) 为 D 上的凸函数 则称规划 为凸规划问题. 问题 min f ( x ) 为凸规划问题
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所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
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凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
则称 f x 为凸集 D 上的凸函数。
定义1.5 严格凸函数
注:将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数的定义。
例: 设 f x x 12 ,试证明 f x 在 , 上是严格凸
函数.
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证明: 设 x, y R ,且 x y, 0,1 ,都有
a2
不等式要取等号，必须 y z a ,
且 y, z y z , 容易证明 y z x ,
根据定义可知 x 为极点．
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三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上,若对任意的
x, y D, 0,1,都有:
f x 1 y f x 1 f y,
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
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该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 之间的部分是一段向下凸的弧.
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L
x2 xn
M
M
M
M
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2 f 2 f
2 f
xn
x1
xn x2
L
xn2
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(2)若在 D 内G x 正定,则 f x 在 D 内是严格凸函数.
注：反之不成立．
例: f x x4 显然是严格凸的,但在点 x 0 处G x 不是正
m
ai 1, 则 x
m
ai xi ,
称为 xi ,i 1, 2,L , m,
i 1
i 1
的凸组合．
注：凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该 凸集中．
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二、极点
定义1.3 设 D为凸集，x D, 若 D 中不存在
两个相异的点y , z 及某一实数 0,1
D1 , D2的差集 D1 D2 y y x z, x D1, z D2 也是凸集。
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注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例2：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点． D2 0, yT y R 表示 y 轴上的点．
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一阶判别条件 定理 1.2: 设在凸集 D Rn 上 f x 可微,则: f x 在 D 上为
凸函数的充要条件是对x, y D ,都有:
f y f x f xT y x
定理 1.3: 严格凸函数(充要条件)
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二阶判别条件 定理 1.4: 设在开凸集 D Rn 内 f x 二阶可微,则
(1) f x 是 D 内 凸 函 数 的 充 要 条 件 为 : 对 x D, f x 的
Hesse 矩阵半正定.其中
2 f
x12
2 f L
x1 x2
2 f
x1 xn
2 f 2 f
2 f
G
x
2
f
x
x2
x1
x22
§1.2 凸集与凸函数
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1
一、凸集
定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1, 都有：
x 1 y D
则称集合 D 为凸集．
注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn
超平面：H x Rn a1x1 a2x2 an xn b
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凸函数的判定
定 理 1.1: 设 f x 是 定 义 在 凸 集 D Rn 上 , x, y D , 令
t f tx 1 t y ,t 0,1,则:
(1) f x 是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对x, y D ,一
半空间：H x Rn a1x1 a2 x2 an xn b
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例1：证明超球 x r 为凸集．
证明：设 x , y 为超球中的任意两点，0 1,
则有： x 1 y
x 1 y r 1 r r 即点 x 1 y 属于超球
所以cT x是凸函数.
类似可以证明cT x 是凹函数.
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凸函数的几何性质
对一元函数 f x ,在几何上 f x1 1 f x2 ,
0,1表示连接 x1, f x1 , x2, f x2 的线段.
f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2 处的函数
(3)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数, 是实数,则水平集
S f , x x D, f x 是凸集.
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下面的图形给出了凸函数 f x, y x4 3x2 y4 y2 xy
的等值线的图形,可以看出水平集是凸集.
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例:试证线性函数是 Rn 上的凸函数
f x cT x c1 x1 c2 x2 L cn xn
证明:设 x, y R, 0,1 ,则 f x 1 y cT x 1 y
cT x 1 cT y f x 1 f y
使得 x y 1 z , 则称 x 为 D 的极点．
注：若 x 是 S 中的一个极点,且有 x x1 1 x2 , 0,1,
x1, x2 S ,则必有 x x1 x2 .
例3：D x Rn x a a 0, 则 x a
xD
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所以超球为凸集．
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凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集
为凸集． （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集：D y y x , x D
（３）设 D1 , D2 是凸集，则 D1 , D2 的和集
D1 D2 y y x z, x D1, z D2 是凸集;
f x 1 y f x 1 f y
x 1 y 12 x 12 1 y 12
1 x y2 0
因此 f x 在, 上是严格凸函数.
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1 D2 R2 凸集．
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m
推论：设 Di ,i 1, 2,L , m 是凸集，则 i Di i 1
也是凸集，其中i 是实数．
定义1.2:设 xi D ,i 1, 2,L , m, 实数 ai 0,
定的.
二、凸规划 定义 1.6: 设 D Rn 为凸集, f x 为 D 上的凸函数,则称规划
问题min f x 为凸规划问题. xD
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定理 1.5: (1)凸规划问题的任一局部极小点 x 是全局极小点, 全体极小点组成凸集.
(2) 设 D Rn 为凸集, f x 为 D 上的严格凸函数,且凸规划 问题min f x 的全局极小点存在,则全局极小点是唯一的.
上的点均为极点．
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证：设 x a , 若存在 y, z D 及 0,1, 使得 x y 1 z , 则： a2 x 2 y 1 z, y 1 z
2 y 2 1 2 z 2 2 1 y z