短学期小论文不等式

姓名：任剑锋

学号： 116160004

班级： 11数学基地班（经济）

修读课程名称：不等式方法（1 2 3 4）

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几种重要不等式的证明

任剑锋 116160004

摘要：不等式在数学中占有重要地位，在中学数学高等数学微积分几何学中都在出现不等式是相对等式而提出的，现实生活有许多的不等式问题。随着社会的发展，越来越多的领域需要学习和运用不等式来解决一些实际问题，所以本文作者将介绍几种重要的不等式，并且做出相关证明，供初学者参考。

关键词：均值不等式 柯西不等式

正文： 均值不等式

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为H n ≤G n ≤A n ≤Q n ，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。其中：

为调和平均数，为几何平

均数，

，

为平方

平均数。下面来证明均值不等式。 证：原题等价于：

, 当且仅当

时取等号。当n=2时易

证；假设当n=k 时命题成立，即

当且仅当时取等号，那么当n=k+1时，不妨设

为最大者，

。设

，

，所以

≥

= ≥当

且仅当

且

时取等号。

上面运用数学归纳法证明，其实还有很多种方法，在这儿也就不赘述了。

柯西不等式 柯西（Cauchy ）不等式

()22211n n b a b a b a +++ ()()2

222212

2

22

21n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈ 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证

明介绍如下：

证明1：构造二次函数 ()()()2

2

222

11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=

=()()()22222

12

1122122n

n

n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++++++

++++

+

22

120n

n a a a +++≥

()0f x ∴≥恒成立

()()()2

22

2211221212440n

n

n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=++

+-++

+++

+≤

即()()()2

22

2211221212n

n

n n n n a b a b a b a a a b b b ++

+≤++++++

当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即

12

12

n

n

a a a

b b b ===

时等号成立 证明（2）数学归纳法

（1）当1n =时 左式=()2

11a b 右式=()2

11a b 显然 左式=右式 当

2n =时， 右式

()()()()2

2

22

222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++

()()()2

2

2

1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式

仅当即 2112a b a b = 即

12

12

a a

b b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立

（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2

22

2211221212k

k k k k k a b a b a b a a a b b b ++

+≤++

+++

+

当 i i ka b =，k 为常数，1,2

i n = 或120k a a a ====时等号成立

设22

2

12k a a a A ===

= 22212k b b b B ====

1122k k C a b a b a b =+++

则()()22222

11111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A + ()2

2221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22

2222

2212

1121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++

++

()2

112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++

当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立

即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立

上面证明了两种重要的不等式，还有很多的不等式我们在日常生活中也会用到，这里也就不赘述了。

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