4一阶逻辑公式及解释
屈婉玲离散数学第四章
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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F4一阶逻辑基本概念
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
一阶逻辑推理理论
一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中
的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使 用 量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。 苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。” 命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）； G（x）：x是要死的； a：苏格拉底 前提：x（F(x)→G(x)），F(a) 结论：G(a) 证明： （1）x（F(x)→G(x)） 前提引入 （2）F(a)→G(a) UI(1) （3）F(a) 前提引入 （4）G(a) (2)(3)假言推理
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束 出现的个体变项。
全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③ 公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
例:设定义域为实数， 取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。 如下推理是否正确 : ①xF(x,y) 前提引入 ②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。 出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现 ②zxF(x,z) ①UG √
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x 是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理 是否正确： (1) xF(x)∧xG(x) 前提引入 (2) xF(x) (1)化简规则 (3) xG(x) (1)化简规则 (4) F(a) (2)EI (5) G(b) (3)EI (6) F(a)∧G(b) (4)(5)合取规则 (7) x(F(x)∧G(x)) (6)EG
前提: x ( F(x) → G(x)) ，x ( F(x) ∧ H(x) ) 结论: x ( G(x) ∧ H(x) )
一阶逻辑公式及解释
引入量化
一阶逻辑可以通过引入全称量词和存在量词来扩展其表达能力，使其能够描述更复杂的概念和关系。
函数符号
通过引入函数符号，一阶逻辑可以表达更丰富的语义信息，例如集合的运算和关系。
约束变量
通过引入约束变量，一阶逻辑可以表达更复杂的约束关系，例如集合的约束和时序约束。
语义解释
语义解释关注公式所表达的逻辑关系和意义，即公式在何种情况下为真或假。语义解释通常涉及对公式中命题变元的解释以及它们之间逻辑关系的理解。
总结词
语义解释着重于理解公式所表达的逻辑关系和意义，需要结合具体情境和背景知识进行解释。
详细描述
在语义解释中，我们需要对公式中的命题变元进行解释，明确它们所代表的实体或概念。此外，我们还需要理解公式中各个逻辑运算符的含义和作用，以及它们所表达的逻辑关系。通过结合具体情境和背景知识，我们可以深入理解公式的意义和真观察和实验数据推导出结论。
科学推理
在法律领域，推理规则用于根据法律条文和事实判断案件的合法性。
法律推理
在数学、哲学和计算机科学等领域，推理规则用于证明定理和推导结论。
逻辑推理
一阶逻辑的应用场景
CATALOGUE
05
知识表示
一阶逻辑是知识表示的常用工具，能够将知识以结构化的方式进行表达和存储，为推理提供基础。
公式的有效性：判断一个逻辑公式是否在所有情况下都为真。如果公式在所有可能的情况下都为真，则称为有效公式。
一阶逻辑推理规则
CATALOGUE
04
演绎推理
从一般到特殊的推理方式，即从普遍性前提推出特殊性结论。
归纳推理
从特殊到一般的推理方式，即从特殊性前提推出普遍性结论。
第4章_一阶逻辑
Q(1,2) = 0
Q(3,0) = 1
7
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 3
设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，
则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?
R(1, 2, 3)= 1
R(0, 0, 1)= 0
8
一阶逻辑基本概念
当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。 例如， P(x,y,z) 表示 x 位于 y 与 z 之间，是一个三元 谓词。当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时， 得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值 为 1 。再如，将杭州、南京、北京代入，则得到： 杭州位于南京和北京之间，真值为0。 当n=0时（即0元谓词），该谓词对应一个命题。
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 8
设P(x) 表示语句“x2>10.”，个体域 为不大于4的所有正整数。则xP(x)的 真值是多少?
xP(x) =P(1)∨P(2)∨P(3)∨P(4) =1
19
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 9
在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1) 所有的狮子都是凶猛的。
x(C(x)∨y(C(y)∧F(x, y))) 其中，C(x)表示“x有一台计算机”，F(x,y)表示“x和y 是朋友”，x和y的个体域为数计学院的所有学生集合。 解答：对于数计学院的任意一个学生x来说，x有一台 计算机，或者存在一个学生y，y有一台计算机而且x和 y是好朋友。换句话说，数计学院的所有学生要么有一 台计算机，要么有一个拥有一台计算机的朋友。
从苏格拉底三段论到一阶逻辑
苏格拉底苏格拉底三段论：人都是会死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
ch4 一阶谓词公式
二、谓词的符号即一阶逻辑命题的符号化 1、个体常项: 独立存在的个体，如“杨圣洪”、“老 王”. 2、个体变元 a, b, c 表示某个范围(个体域)任意对象。 t表示“老师”中任一位,p表示“人”类中任一位。 3、谓词 大写字母表示F，G，H 刻画一个对象的性质或多个对象之间的关系。 如：杨圣洪是老师，杨圣洪是男人 杨圣洪与刘晓华是同事。 x是老师，y是男人，x与y是同事 F(x)表示x是老师，F(杨圣洪) M(y)表示y是男人，M(杨圣洪) L(x,y)表示x与y是同事，L(杨圣洪,刘晓华) 谓词常项：含义是确定，如F、M、L。 谓词变项：含义是不确定，如K(x,y),P(x,z)，简称谓词 当谓词常项中没有变元时，它为命题，如F(杨圣洪) 当谓词中不含有个体变元时，称为0元谓词。K(杨圣洪,
二、谓词的符号即一阶逻辑命题的符号化 例3 (1)兔子比乌龟跑得快 (2)有的兔子比所有的乌跑得快 (3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 (4)不存在跑得同样快的两只兔子. 解：H(x,y)表示x比y跑得快. L(x,y)表示x与y一样快 R(x)表示x是兔子 T(x)表示x是乌龟 (1) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (2) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (3) xy(R(x)T(y)H(x,y)) xy(R(x)T(y)H(x,y)) (4) xy(R(x)R(y)L(x,y)) xy(R(x)R(y) L(x,y))
dom(x)=D2=实数集R F(x)表示x是自然数，G(x)表示x是整数。 x(F(x)G(x))：所有的自然数都是整数，值为T.
例4.7：xy (F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)) f(x,y),g(x,y)是函数变元，一元谓词公式F(x),二 元谓词G与H。 x与y的个体域：全总个体域。 F(x):x是实数 G(x,y):xy H(x,y):x>y f(x,y)=x2+y2 g(x,y)=2xy 这时整个公式的含义： 对于任意的x和y，若x与y是实数且xy，那么 x2+y2 >2xy ，其真值为1. 如果H(x,y): x<y，则以上解释为假。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
一阶逻辑的合适公式及解释
一阶逻辑的合适公式及解释一、一阶逻辑合适公式是啥呢？一阶逻辑里的合适公式啊，就像是这个逻辑世界里的“合法居民”。
你想啊，就像在一个游戏里，每个角色都得符合一定的规则才能存在，合适公式也是这样。
它是按照一阶逻辑的语法规则构建出来的表达式。
比如说，原子公式就是那些最基本的构建块，像P(x)这种，P呢可能是一个谓词，比如说“是红色的”，x就是一个变量，可以代表某个东西。
然后呢，我们可以用逻辑连接词，像“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）这些把原子公式组合起来，就像搭积木一样，搭出更复杂的合适公式。
比如说，P(x) ∧ Q(x)，这就表示x既满足P又满足Q这个情况。
二、合适公式的解释又是什么鬼呢？哈哈，这个解释啊，就像是给这些公式赋予生命一样。
我们给变量、谓词都赋予实际的意义。
比如说，我们说这个变量x代表“苹果”，谓词P代表“是甜的”，那P(x)就是说这个苹果是甜的。
在解释的时候，我们还得确定一个论域，就是这个变量能取的值的范围。
比如说，我们的论域是所有的水果，那x就只能是水果啦。
而且啊，不同的解释会让同一个公式有不同的结果哦。
就像同样一句话，在不同的场景下意思就不一样。
比如说，P(x)在一种解释下可能是真的，换一种解释可能就变成假的了。
三、那合适公式和解释之间有啥好玩的联系呢？这就有趣啦。
合适公式就像是一个没有被填满的框架，解释呢就是把这个框架变成一个有血有肉的东西。
比如说，一个合适公式就像一个菜谱，变量和谓词是那些原料和步骤，解释就是真正按照菜谱做出一道菜来。
而且啊，通过改变解释，我们可以探索这个合适公式的各种可能性。
就像我们可以用不同的食材按照同样的菜谱做出不同口味的菜一样。
我们可以通过对合适公式进行不同的解释来看看它在不同情况下的表现。
这就像是在探索一个神秘的逻辑世界，每一种解释都是打开一扇新的门，让我们看到这个公式不同的一面。
四、举些例子来瞅瞅呗。
比如说我们有个合适公式∀x (P(x) → Q(x))。
第四章 一阶逻辑基本概念
4.2 一阶逻辑公式及解释
一阶语言——用于一阶逻辑公式的形式语言 用于一阶逻辑公式的形式语言 一阶语言 一、一阶语言F与合式公式 一阶语言 与合式公式 1．F的字母表，定义 一阶语言 的字母表定义如下： ． 的字母表 定义4.1 一阶语言F的字母表定义如下 的字母表， 的字母表定义如下： （1）个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ≥1 ）个体常项： （2）个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ≥1 ）个体变项： （3）函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ≥1 ）函数符号： （4）谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ≥1 ）谓词符号： （5）量词符号：∀, ∃ ）量词符号： （6）联结词符号：¬, ∧, ∨, →, ↔ ）联结词符号： （7）括号与逗号：(, ), ， ）括号与逗号：
2 是无理数仅当 3 是有理数
（3）如果 ）如果2>3，则3<4 ， 要求： 先将它们在命题逻辑中符号化， 要求 ： 先将它们在命题逻辑中符号化 ， 再在一 阶逻辑中符号化
在命题逻辑中： 解：在命题逻辑中： (1)p, p为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲 (2)p→q, 其中，p： 2 是无理数，q： 3 是有理数 其中， ： 是无理数， ： 是有理数. (假命题 假命题) 假命题 (3)p→q, 其中，p：2>3，q：3<4. (真命题 → 其中， ： 真命题) ， ： 真命题 在一阶逻辑中： 在一阶逻辑中： (1)F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 位于南美洲. ，其中， ：墨西哥， ： 位于南美洲 (2) F( 2) →G( 3), 其中， 是无理数， 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 ： 是无理数 ： 是有理数 (3)F(2,3)→G(3,4)， → ， 其中， 其中，F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y ： ， ：
一阶逻辑基本概念
将下列命题符号化，并讨论真值。 例4.4 将下列命题符号化，并讨论真值。 （1）所有的人都长着黑头发 ）所有的人都长着黑头发. （2）有的人登上过月球 ）有的人登上过月球. （3）没有人登上过木星 ）没有人登上过木星. （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人 ）在美国留学的学生未必都是亚洲人. 解：由于本题没提出个体域，因而应采用全 由于本题没提出个体域， 总个体域，并令 为人。 总个体域，并令M(x): x为人。 为人
∀x ∀y (F(x) ∧ G(y) →H(x,y)) ∃x (F(x) ∧ ∀y( G(y) →H(x,y) ) ) ¬∀x ∀y( F(x) ∧ G(y) →H(x,y) ) ¬ ∃x ∃y( F(x) ∧ G(y) ∧ L(x,y) )
补充) 例(补充 在一阶逻辑中将下面命题符号化 补充 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
下面讨论n（n≥2）元谓词的符号化 问题
将下列命题符号化： 例4.5 将下列命题符号化： （1）兔子比乌龟跑的快 ） 2） （2）有的兔子比所有的乌龟跑的快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
解：因为本题没有指明个体域，因而采用全总个体 因为本题没有指明个体域， 因为本例中出现二元谓词， 域，因为本例中出现二元谓词，因而引入两个个 体变项x与y。 体变项 与 。 是兔子， 令F(x)：x是兔子，G(y)：y是乌龟 ： 是兔子 ： 是乌龟 H(x,y)：x比y跑的快， L(x,y)：x与y跑得同样快 ： 比 跑的快 跑的快， ： 与 跑得同样快 这四个命题分别符号化为： 这四个命题分别符号化为：
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符 号化，并讨论它们的真值： （1）如果2是素数，4才是素数。 解：设一元谓词F(x)：x是素数。 a：2 b：4 则（1）中命题符号化为0元谓词的蕴涵 式： F(a) → F(b)。 由于此蕴涵式前件为假，所以命题为真.
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
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小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
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实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
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小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
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22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
一阶逻辑的解释
一阶逻辑的解释一阶逻辑是数理逻辑中重要的逻辑体系之一，也被称为一阶谓词逻辑或一阶谓词演算。
它的主要功能是描述和推理关于对象和它们之间关系的陈述。
一阶逻辑具有形式化的语言和规则系统，以及对推理的严格要求。
一阶逻辑由符号、语义解释、公式、语法规则和推理规则等多个组成部分构成。
一、符号体系一阶逻辑采用一组符号来表示各种逻辑概念，如命题、谓词、变量、量词等。
其中，命题用P、Q、R等大写字母表示，谓词用P、Q、R等大写字母加小写字母表示，变量用x、y、z等小写字母表示，量词包括全称量词∀和存在量词∃。
二、语义解释一阶逻辑中的符号需要通过语义解释来理解其含义。
语义解释对于谓词逻辑而言是特别重要的，因为它涉及到对命题的真值赋值。
例如，对于某个谓词P(x)来说，当x取某个特定值时，P(x)可能被赋予真值，反之则为假值。
三、公式一阶逻辑的公式是用逻辑符号表示的表达式，可以由基本命题符号、谓词符号、量词符号、逻辑连接词和括号组成。
公式可分为原子公式和复合公式。
原子公式是由谓词和变量组成的简单逻辑表达式，而复合公式由多个公式通过逻辑连接词、量词和括号组合而成。
四、语法规则一阶逻辑具有严格的语法规则，包括公式的构成和推理规则。
公式的构成受到语法规则的限制，必须符合合法的语法结构。
推理规则则用于推导和验证逻辑论证的合法性。
五、推理规则一阶逻辑的推理规则包括等价变形、简化规则、合取规则、析取规则、推理规则等。
这些规则通过逻辑运算的合法性和逻辑关系的等价性，实现对逻辑公式的准确推演和判定。
总之，一阶逻辑是通过符号体系、语义解释、公式、语法规则和推理规则等多个组成部分构成的一种逻辑体系。
它具有形式化的语言和规则系统，可以描述和推理关于对象和它们之间关系的陈述。
一阶逻辑的应用涉及到数学、计算机科学、人工智能等多个领域，并为这些领域提供了严密的推理方法和逻辑基础。
离散数学第四章一阶逻辑基本概念
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。
因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。
考虑下面的推理:凡偶数都能被2整除；6是偶数。
所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为(p∧q)→r由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑所研究的内容。
一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1 一阶逻辑的符号化下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。
个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。
下面讨论这三个要素。
一、个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。
将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。
称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。
个体域可以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。
有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。
本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。
二、谓词谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
考虑下面四个命题(或命题公式):(1)是无理数。
(2)x是有理数。
(3)小王与小李同岁。
(4)x与y具有关系L.在(1)中，是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示(1)中命题。
第四章一阶逻辑基本概念
第四章一阶逻辑基本概念【教学目的与要求】1．掌握一阶逻辑的命题符号化；2．理解谓词公式与解释。
【教学重点、难点】个体词、谓词、量词；谓词公式及其解释。
【教学方法】：讲授法【主要内容】一阶逻辑命题符号化个体词、谓词、量词一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及其解释一阶语言合式公式合式公式的解释永真式、矛盾式、可满足式【教学过程】一阶逻辑命题符号化1.个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体。
个体常项：具体的事务，用a, b, c表示。
个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示。
个体域(论域)——个体变项的取值范围。
有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}；无限个体域，如N, Z, R, …；全总个体域——由宇宙间一切事物组成。
2.谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词。
谓词常项如, F(a)：a是人谓词变项如, F(x)：x具有性质Fn（n1）元谓词一元谓词(n=1)——表示性质；多元谓词(n2)——表示事物之间的关系。
如, L(x,y)：x与y 有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项。
3.量词——表示数量的词全称量词: 表示所有的.x : 对个体域中所有的x.如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F；x yG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G。
存在量词: 表示存在, 有一个.x : 个体域中有一个x .如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F;x yG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G.x yG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得x和y有关系G;x yG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y, x和y有关系G.例1 用0元谓词将命题符号化(1) 墨西哥位于南美洲;(2) 2是无理数仅当3是有理数;(3) 如果2>3，则3<4.解：在命题逻辑中：(1) p, p为墨西哥位于南美洲（真命题）.(2) p→q, 其中, p:2是无理数，q：3是有理数. 是假命题.(3) p q, 其中，p：2>3，q：3<4. 是真命题.在一阶逻辑中：(1) F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲.(2) F(2)G(3),其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数.(3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y.例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美;(2) 有人用左手写字.个体域分别为(a) D为人类集合;(b) D为全总个体域.解: (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美(2) xG(x), G(x)：x用左手写字(b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美(1) x(F(x)G(x))(2) x(F(x)G(x))注：1. 引入特性谓词F(x)； 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式。
一阶逻辑基本概念
1 一阶逻辑命题符号化
• 例:将下列命题用0元谓词符号化
– 2既是素数又是偶数
• F(x)：x是素数 • G(x)：x是偶数 • a:2 • F(a) G(a)
• 例:将下列命题用0元谓词符号化
– 如果3>5，则2>3
• F(x,y):x>y • a:3, b:5, c:2 • F(a,b) F(c,a)
DI
d) I将任意一个n元谓词F L映射到DI上的n元关系RF
2一阶逻辑公式及其解释
• 公式A在I下的解释AI：
a) 取个体域DI
b) A中个体常项符号a L替换为DI上的个体a* c) A中的n元函数f L替换为DI上的n元函数f*: (DI)n DI d) A中n元谓词F L替换为DI上的n元关系RF
• G(x): x+5=3
• xG(x) – 任意x，x2-3x+2=(x-1)(x-2) （个体域为实数集合） – 存在x, x+5=3 （个体域为实数集合）
1 一阶逻辑命题符号化
• 谓词逻辑符号化几点说明
– 不同的个体域，符号化形式可能不一样，命题真值也可能不 同
– 一般默认是全总个体域，即包含一切个体 – 特性谓词：描述个体变元取值范围的谓词
1. 原子公式是合式公式
2. A为合式公式，则 A是合式公式 3. A，B为合式公式,则(A B), (A B),
(A B), (A B) 为合式公式 4. 如A是合式公式，则 xA, xA也是合式
公式 5. 只有有限次应用1-4构成的符号串才是合
式公式
2一阶逻辑公式及其解释
• 例子
– F(a, b) – F(a, b) G(x,y) – F(a, b) xG(x,y) – x(F(a, b) G(x,y)) – ( y)( x)( G(x,y))
一阶逻辑公式及解释
.
4
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
.
12
（4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) 公式被解释成：x(x*0=x)→(x=y) 由于蕴涵式的前件为假，所以在解释I下公式为真命题
（5）xF(g(x, a), x) 公式被解释成：x(x*0=x) 在解释I下公式为假命题
（6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) 公式被解释成：xy((x+0=y)→(y+0=x)) 在解释I下公式为真命题
（7）xyz F(f(x, y), z) 公式被解释成：xyz(x*y=z)， 在解释I下公式为真命题
.
13
例4.8 给定解释I：
（a）个体域D=N（自然数集合）；
（b）a=0；
（c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y；
（d）F(x, y)：x=y。
在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
说明：在使用一个解释I解释一个公式A时， 将A中的个体常项、函数和谓词分别用I中指定的 个体常项、函数和谓词代替。
一阶逻辑公式及解释
永真式。
•22
定义4.1（字母表）
以下是字母表的成员： (1)个体常项:a，b，c，…，ai，bi，ci，…，i≥1 (2)个体变项:x，y，z，…，xi，yi，zi，…，i≥1 (3)函数符号:f，g，h，…，fi，gi，hi，…，i≥1 (4)谓词符号:F，G，H，…, Fi，Gi，Hi，…，i≥1 (5)量词符号: ， (6)联结词符号: ┐，∧，∨，→， (7)括号和逗号:（） ，
•3
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
变项，则称A是封闭的公式，简称闭式。 例如：（1）x（F（x）→G（x））
（2）x（F（x）→G（x，y）） 显然（1）是闭式，（2）不是闭式
•8
定义2.7（解释） 一个解释I有下面4个部分组成： （1）非空个体域D：指定个体词的取值范围 （2）D中特定元素的集合：指定个体常项的值 （3）D上特定函数的集合：指定函数符号的含义 （4）D上特定谓词的集合：指定谓词的含义
•10
（1）F(f(x, y), g(x, y)) 公式被解释成：x+y=x*y 在解释I下，该公式不是命题
（2）F(f(x, a), y)→F(g(x, y), z) 公式被解释成：(x+0=y)→(x*y=z) 在解释I下，该公式不是命题
（3）xF(g(x, y), z) 公式被解释成：x(x*y=z) 在解释I下，该公式不是命题
一阶逻辑合式公式的解释及赋值的题目
一阶逻辑合式公式的解释及赋值的题目一阶逻辑合式公式的解释及赋值是指对于一个给定的一阶逻辑合式公式，我们需要确定其语义意义以及变量的赋值。
首先，一阶逻辑合式公式是由命题符号、谓词符号、连接词和量词组成的符号串。
其中命题符号表示命题，谓词符号表示谓词，连接词包括逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含、等价等）和量词（如全称量词∀和存在量词∃）。
解释是为了给一阶逻辑合式公式中的所有非逻辑符号赋予语义意义。
常见的解释包括给命题符号赋真值（真或假），给谓词符号赋予关于个体域的解释（即将个体域中的元素与谓词符号关联起来），同时也可以给连接词和量词赋予解释（例如，合取的解释是两个命题的逻辑与）。
赋值是指对一阶逻辑合式公式中的变量进行具体化。
对于每个变量，我们需要指定它所能取到的个体域中的元素。
赋值是解释的一部分，它将变量与个体域中的元素进行关联，并使得公式中的量词有具体的意义。
对于一个给定的一阶逻辑合式公式，我们可以通过解释和赋值来确定其真值。
为了判断一个一阶逻辑合式公式在某个解释下的真假，我们可以根据公式中的连接词和量词的语义规则，逐步推导出公式的真值。
如果在所有可能的解释和赋值下，公式始终为真，则称该公式是一个永真式；如果在所有可能的解释和赋值下，公式始终为假，则称该公式是一个矛盾式；如果在某些解释
和赋值下，公式为真，而在另一些解释和赋值下，公式为假，则称该公式是可满足式。
总结起来，一阶逻辑合式公式的解释及赋值是为了确定其语义意义以及变量的具体取值，从而判断公式的真值。
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4一阶逻辑公式及解释
一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）是数理逻辑中的一个重要分支，它被广泛应用于数学、计算机科学和人工智能等领域。
在一阶逻辑中，逻辑公式是推理的基础，能够对命题进行符号化的描述和推理。
本文
将介绍一阶逻辑的基本概念和常见的一阶逻辑公式，并对其进行解释。
一、一阶逻辑基本概念
1. 常量：在一阶逻辑中，常量是指代具体对象的符号，如a、b、c 等。
常量一般用小写字母表示。
2. 变量：变量是用来占位的符号，可以代表任意对象。
在一阶逻辑中，变量一般用大写字母表示，如X、Y、Z等。
3. 函数：函数是一种从一个或多个参数到一个值的映射关系。
在一
阶逻辑中，常用的函数包括算术函数、关系函数等。
函数一般用小写
字母或希腊字母表示，如f(x)、g(x)等。
4. 谓词：谓词是描述对象性质的符号，可以表示真假的陈述。
在一
阶逻辑中，常用的谓词包括等于、大于、小于等。
谓词一般用小写字
母或希腊字母表示，如P(x)、Q(x)等。
二、一阶逻辑公式
在一阶逻辑中，公式是用符号表示的逻辑陈述，包括原子公式和复
合公式两类。
1. 原子公式
原子公式是一阶逻辑中最基本的公式，它不再含有其他公式作为子
公式。
原子公式由一个谓词和一个或多个常量、变量组成，形式为
P(t1,t2,...,tn)，其中P为谓词，t1,t2,...,tn为常量、变量。
举例：P(a,b)表示P是一个二元谓词，a和b是其两个参数。
2. 复合公式
复合公式由一个或多个公式通过逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）组合而成。
- 否定（¬）：如果φ是一个一阶逻辑公式，则¬φ也是一个一阶逻
辑公式。
- 合取（∧）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∧ψ)也是一
个一阶逻辑公式。
- 析取（∨）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∨ψ)也是一
个一阶逻辑公式。
- 蕴含（→）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ→ψ)也是一
个一阶逻辑公式。
举例：如果P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x是聪明的”，那么复合公
式可以表示为：(P(x)∧Q(x))，表示“x是人且x是聪明的”。
三、解释一阶逻辑公式
解释一阶逻辑公式是指为公式中的变量赋予具体值，使得公式成立。
解释一阶逻辑公式需要给出一个解释域和一个指派函数。
- 解释域：指示了变量可能取值的范围，可以是整数、实数、布尔值等。
- 指派函数：将变量映射到解释域中的值。
通过给变量赋值，我们可以判断一个公式在某个解释下是否成立。
如果在所有可能的解释下都成立，那么该公式就是有效的。
综上所述，一阶逻辑是对命题进行符号化描述和推理的工具，其中逻辑公式是推理的基础。
原子公式和复合公式是一阶逻辑中常见的公式形式，可以通过逻辑连接词进行组合。
解释一阶逻辑公式需要给变量赋具体值，可以判断公式的成立性。
了解和掌握一阶逻辑公式的概念和解释方法对于理解和应用一阶逻辑具有重要意义。