2007自动控制原理第三章
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自动控制原理第三章课后习题答案
⾃动控制原理第三章课后习题答案3-1 设系统的微分⽅程式如下：（1） )(2)(2.0t r t c =&（2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&&试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1）因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，⽤其测量容器内的⽔温，1min 才能显⽰出该温度的98%的数值。
若加热容器使⽔温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指⽰误差有多⼤？解法⼀依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由⼀阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ===11v TK ⽤静态误差系数法，当t t r ?=10)( 时，C T Ke ss ?===5.21010。
《自动控制原理》课件第三章
h(t) 1
ent sin(
1 2
1 2nt arccos ) 1
1
1
2
e t
sin(dt
)
(3-13)
2) 无阻尼(ζ=0)二阶系统的单位阶跃响应
系统有两个共轭纯虚根s1=jωn，s2=－jωn 由式(3-10)可知系统的单位阶跃响应为
h(t)=1－cosωnt
(3-14)
这是一条平均值为1的正弦或余弦形式的等幅振荡，其振荡
2. 动态性能与稳态性能 稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态 过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。 1) 动态性能 通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。 一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果 系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其 他形式函数的作用下，其动态性能也是令人满意的。 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时 间t的变化状况的指标称为动态性能指标。为了便于分析和 比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态， 而且输出量及其各阶导数均为零。
令
T1
n (
1
2
, 1)
T2
n (
1
2
1)
由式(3-12)可得此时二阶系统的单位阶跃响应为
h(t) 1 et T1 et T2 T2 T1 1 T1 T2 1
(3-15)
以上四种情况的单位阶跃响应曲线如图3-5所示，其横 坐标为无因次时间ωnt。由图3-5可见，在过阻尼和临界阻尼 响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度 最快； 在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大， 上升时间越短，通常取ζ=0.4～0.8为宜，此时超调量适度， 调节时间较短； 若二阶系统具有相同的ζ和不同的ωn，则其 振荡特性相同，但响应速度不同，ωn越大，响应速度越快。
自动控制原理 第三章
如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号， 则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突 变性质时，则选用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管采用何 种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统 特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制 系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便 于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的 输入信号作为典型实验信号。 本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数等 输入信号作用下的输出响应。
为了研究控制系统的输出响应，必须了解输入信号的变化形 式。在工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系 统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是 如何变化的（如随动系统）。因此，为了方便系统的分析和设计， 使各种控制系统有一个进行比较的基础，需要选择一些典型试验 信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。 常用的试验信号已作介绍，它们是阶跃函数、斜坡函数、抛物线 函数、脉冲函数及正弦函数。这些函数都是简单的时间函数，并 且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。
为便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前 处于静止状态，而且系统输出量及其各阶导数均等于零。对于 大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。控制系统 的典型单位阶跃响应曲线如下页图所示 一般认为，阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状态， 如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，在其他输入 形式作用下的动态性能也能满足要求。因此，通常在阶跃函数 作用下测定或计算系统的动态性能。而系统的动态性能指标就 用其在单位阶跃函数作用下的响应，即系统的单位阶跃响应的 特征量来描述。
A s
2 2
自动控制原理第三章
0.368/T 0.135/T 0.05/T
时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。 t 1 T h( t ) C 脉冲 ( t ) e T
0
T
2T
3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于 系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
六. 二阶系统的时域分析
＝e
ts T
( 取5%或2%)
t s 3T ( 5% ) t s 4T ( 2% )
T反映了系统的 惯性。 T越小惯性越小， 响应快！ T越大，惯性越 大，响应慢。
2. 单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
1 1 1 T T C ( s) 2 2 Ts 1 s s s s 1 T c( t ) t T Te t / T ( t 0)
1. 阶跃函数（位置函数） A r(t) 0 记为 1(t) t0 t0
f(t)
1
令 A 1 称单位阶跃函数， 1 s
R(s) L1(t)
0
t
2. 斜坡函数 （等速度函数）
At t 0 r (t ) 0 t0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
i t
i 1
n
y p (t) 是强迫响应， fi 由输入信号决定。 C
零输入响应是系统的输入为零时，系统的 初始状态所引起的响应。 零输入响应表示为：
y x (t) C xi e
i 1
n
i t
C xi 由初始状态决定。
两种分解方法的关系是：
y(t) Ci e y p (t) i 1 强迫响应
自动控制原理第三章课后习题答案(免费)
自动控制原理第三章课后习题答案（免费）3-1判别下列系统的能控性与能观性。
系统中a,b,c,d 的取值对能控性与能观性是 否有关，若有关其取值条件如何？rankU c = 4，所以系统不完全能控，讨论系统能控性a 0 0 0] 乍L-b0 0 0x =x +1 1-c 0 0<0 01 d 丿<0jY = (0 0 1 0)x[-a,0,1,0]T,A 2B = [a 2,0, -a -3 33= [-a,0, aac c ,-a -c -d]判断能控型：U cAB A 2B A 3B「1 0<0-a0 1 0 23a-a 0 02 .. 2-a - c a ac c1「a -c 「d（1）系统如图所示。
解：状态变量：L X = ax u L X 2 - -bx 2L X 3 = x 1 X 2 - CX 3 LX 4 = X3 dX 4题3-1（ 1）图系统模拟结构图u由此写出状态空间： B 二[1,0,0,0]T,ABT 3C,1] ,A BrC 、r 00 1 0、 判断能观性：u 0 =CA1 1 -c 0 CA 2—2 c_a _c—b —c 03」2丄 丄2>a +ac+c2 2b +bc + c2-c °」rankU 。
= 4，所以系统不能观(2)系统如图所示。
X iy = 10 x1 -a+b' Uc=[B,AB] =Q —c —d 丿若 a-b-c-d -b=0,贝U rankU c 二 2，系统能控.U o'c iCA 丿 l _a0 b;若b = 0,则rankU 。
=2,系统能观. (3)系统如下式：fX 1C1 1 0、 *'2 1 A * X2=0-10X2+ a 0 u* 3 0 -2.<b 0」E 丿5〕=c 0d 、X 2A 丿<00 0」g解:系统如下: a解：状态变题3-1 (2)图系统模拟结构图(3)求取对角标准型,1 1 ' …-4 1 1 1 ',P-b2 d -1> P - 1-1 1 0LX = 0 -1 0X 2+<00 -2 ) 0若a =0,b = 0,系统能控. 若c = 0,d = 0 ,系统能观. 3-2时不变系统：• '-3 1 )竹1「1 <试用两种方法判别其能控性与能观性。
自动控制原理——第3章
第三章 时域分析法
系统的特征方程
Js + Fs + K = 0
2
F 称为实际阻尼系数。 称为实际阻尼系数。 当
F = 4JK
2
特征方程有一对相等的负实根， 时 ， 特征方程有一对相等的负实根 ， 系统 处于临界阻尼状态。 处于临界阻尼状态。 为临界阻尼系数， 令Fc为临界阻尼系数，则
Fc = 2 JK
解： (1) 由结构图写出闭环传递函数
100 / s 10 C ( s) Φ( s ) = = = R( s ) 1 + 100 × 0.1 0.1s + 1 s
自动控制原理
第三章 时域分析法
的分母多项式看出时间常数T=0.1 s， 从Φ(s)的分母多项式看出时间常数 的分母多项式看出时间常数 ， 故调节时间 ts = 3T = 3 × 0.1 s = 0.3 s (2) 计算 s＝0.1 s的反馈系数值 计算t 的反馈系数值 设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数 设反馈系数为
1/K h 100 / s Φ( s ) = = 100 0.01 1+ s +1 × Kh s Kh 0.01 T= Kh
故
自动控制原理
第三章 时域分析法
调节时间
0.03 ts =3T = Kh
要求t 要求 s=0.1 s，代入上式得 ，
0.03 0.1= Kh
所以
K h =0.3
自动控制原理
第三章 时域分析法
实际阻尼系数 临界阻尼系数
ξ=
F F = = Fc 2 JK
闭环传递函数写成如下一般形式
2 ωn Φ( s ) = 2 2 s + 2ξωn s + ωn
《自动控制原理》第三章 第5讲
四、两种特殊情况的处理. 第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中 出现某一行第一列的元素值为零, 而这一行其它各列的 元素值不全为零. 例3: 设系统的特征方程为 D( s ) = s 4 + 2s 3 + s 2 + 2s + 1 = 0 解: s 4 1 1 1 用一大于零的无穷小量 3
s s2 s1 s0
2 0(ε ) 2ε − 2 ε 1 2 0 1 0 0 0 ⇒ 2− 2 ε 0 0
ε
代替第三行第一列的零 参与以下各行各列元素 值的计算.
因为 ε 是大于零的无穷小量, 所以 (2 − 2 / ε ) < 0 系统不稳定, 且有两个根在s的右半平面上. 教材 介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法,也可行，不 再介绍.
s1 1 3 0 0 0
从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要 计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得： s1, 2 = ± j 2 , s3, 4 = ± j 2 ( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 0 , 纯虚根，此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定 的。
其系统稳定的必要条件是：上式中各项系数为正数。
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
三、 劳斯稳定性判据 设线性系统的特征方程为
D ( s ) = a0 s + a1s
n
n −1
+ + an −1s + an = 0
式中 a0 > 0 , 构造如下劳斯行列表:
s1 − 6 0 0 s0 5 0 0
[例]系统的特征方程为： s 5 + 2 s 4 + 24 s 3 + 48s 2 + 23s + 46 = 0 该 系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。 [解]：劳斯阵如下
自动控制原理第三章(胡寿松)
11
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第一章 自动控制的一般概念
注意：
1．不同性质的控制系统，对稳定性、准 确性和快速性要求各有侧重。 2．系统的稳定性、准确性、快速性相互 制约，应根据实际需求合理选择。
12
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第三章 线性系统的时域分析法
延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的 时间。
调节时间ts：响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的 最小时间，误差带通常取 5 % h ( )或 2 % h ( )
h(t)
1.0
误 差 带 5%或 2%
0.5
td
h()
0
tr tp ts
16
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第三章 线性系统的时域分析法
超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值 之比。即：
快速性：输出量产生偏差时，系统消除这种偏差的快 慢程度。快速性表征系统的动态性能。一般用过渡过 程的时间来表示，如：上升时间、峰值时间、调节 时间等。
10
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第一章 自动控制的一般概念
准确性：是衡量控制系统控制精度的重要标志。一般 用被控量的稳态值与期望值之间的误差（称为稳态误 差）表示。
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3
第一章 自动控制的一般概念
⑴阶跃函数
Step Signal 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 1 2 3 4 t 5 r(t)
函数表达式：
当A=1时称为单位阶跃信号。
阶跃信号：含宽频带谐波分量，产生容易，是最常 用系统性能测试信号。
4
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第一章 自动控制的一般概念
自动控制原理 第三章(四)
s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0
解 劳斯阵列表为
s3 s2 s1 s0
1 2
e
1 2
2
由于e的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚 根存在。上述特征方程可因式分解为
(s 2 1)(s 2) 0
(2) 若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为 零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对 称的根。在这种情况下可做如下处理： a. 利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是 偶数的；
一、稳定性的概念 稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考 虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜， 外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。 而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持 平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果 没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。
(a) 稳定的 (b) 不稳定的 图3-31 圆锥体的稳定性
f A
图3-18 不稳定系统
A'
d
A
图3-17
f
摆运动示意图
c
f
A 图3-19 小范围稳定系统
根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受 到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后， 系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。 瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界和发散这三种情况 之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只影响到稳 态响应项，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r(t)是 有界的： | r(t)|<∞， t ≥0 则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于系统稳定性 的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其 输出是否有界的问题。 一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出 响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为 BIBO稳定。
自动控制原理第三章
t h(t ) 1 e ntnt e n 1 e nt (1 nt )
15
t
t
(4)过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 过阻尼 1
C ( s)
s1 即：, 2 n n 2 1
t
2 n
T1
T2
s( s 1 / T1 )(s 1 / T2 )
3 动态特性: 由时间常数T决定。 T↑→响应速度↓ ，即响应时间↑ ，反之亦然 4 跟踪能力: 阶跃输入：无稳态误差，即能够跟踪阶跃信号，跟踪速度取决于T； 斜坡输入：有位置误差，且稳态误差等于时间常数T； 加速度输入：稳态误差无穷大，即一阶系统不能跟踪加速度信号。
11
用二阶系统微分方程描述的控制系统
t T
稳态误差 0
0 T
t T
t
1(t) t
1 2 t 2
1
1 s
t 0
t T
c(t)
1 e
t 0
t T
1 s2 1 s3
t T Te
t 0
t 0
1 2 t Tt T 2 1 e 2
∞
t
2 等价关系: 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分； 注意：积分常数由零初始条件确定。
t e t r t c t Tt T 1 e T 2
t 0
跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。
10
3-2-6 一阶系统时域分析小结
1 典型输入信号的响应
15
t
t
(4)过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 过阻尼 1
C ( s)
s1 即：, 2 n n 2 1
t
2 n
T1
T2
s( s 1 / T1 )(s 1 / T2 )
3 动态特性: 由时间常数T决定。 T↑→响应速度↓ ，即响应时间↑ ，反之亦然 4 跟踪能力: 阶跃输入：无稳态误差，即能够跟踪阶跃信号，跟踪速度取决于T； 斜坡输入：有位置误差，且稳态误差等于时间常数T； 加速度输入：稳态误差无穷大，即一阶系统不能跟踪加速度信号。
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用二阶系统微分方程描述的控制系统
t T
稳态误差 0
0 T
t T
t
1(t) t
1 2 t 2
1
1 s
t 0
t T
c(t)
1 e
t 0
t T
1 s2 1 s3
t T Te
t 0
t 0
1 2 t Tt T 2 1 e 2
∞
t
2 等价关系: 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分； 注意：积分常数由零初始条件确定。
t e t r t c t Tt T 1 e T 2
t 0
跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。
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3-2-6 一阶系统时域分析小结
1 典型输入信号的响应
自动控制原理第三章
(1)延迟时间 t d ：曲线第一次达到终值一半 所需的时间。 (2)上升时间 t ：响应曲线从终值10％上 升到90％所需的时间；对于欠阻尼系统 可定义为响应从零第一次上升到终值所 需的时间。 (3)峰值时间 t p ：响应超过终值到达第一个 峰值所需的时间。 ) (4)超调量M ：响应的最大偏离量c(t 与终值 c (∞ ) 之差的百分比，即
图3-10
0 < ζ < 1 时的单位阶跃响应
0 < ζ < 1情况下二阶系统单位阶跃响应的暂态
性能的各项指标。 ①上升时间 tr ：是指在暂态过程中第一次达 到稳态值的时间。
π − arctan
tr = 1−ζ 2
ζ
2
ωn 1 − ζ
=
1
ωd
(π − arctan
1− ζ 2
ζ
)
tp
②峰值时间t p ：是指响应由零上升到第一个峰 值所需的时间。
3.3.2 单位阶跃响应
对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，R(s)=1/s，得到系统 的输出为
2 ωn s + 2ζωn 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = = − 2 2 2 2 s ( s + 2ζωn s + ωn ) s s + 2ζωn s + ωn
当 ζ 为不同值时，所对应的响应具有不同 的形式。 （1）当 ζ = 0时，为零阻尼情况，系统的输出 为 ω 1 s
(t ≥ 0)
1 − t T
e(t ) = r (t ) − c(t ) = Tt − T (1 − e
2
)
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应
传递函数 输入信号 输出响应
[工学]自动控制原理第3章
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25
三、劳斯判据 系统特征方程的标准形式: ■ 系统稳定的必要条件: 特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，可 ■ 用劳斯判据判稳。 ■ 系统稳定的充分条件: 特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必须
为正。 ■ 列劳斯表:
26
例 四阶系统特征方程式: 试判别系统的稳定性，并说明特征根中具有正部根 的个数。 列劳斯表:
（1）用
代入特征方程；
（2）将z看作新坐标, 用劳斯判据再次判稳。
30
3.6 稳态误差分析及计算
一、误差及稳态误差概念定义
1．误差: （2种定义） 输入端定义 输出端定义 两者之间的关系
31
32
2．稳态误差: 稳定系统误差的终值。 3．稳态误差的计算公式: 终值定理 二、稳态误差计算 1.在给定输入信号作用下的分析: 令
28
四、劳斯判据的其它应用 1.分析系统参数对稳定性的影响 例 系统如图所示，求使系统稳定的K值的 范围。解 : 系统闭环特征方程为 列劳斯表
系统稳定必须满足 所以
29
2.确定系统的相对稳定性
稳定裕量: 系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部最大的特 征根与虚轴的距离。
若要求系统有 的稳定裕量, 则
18
例 有一位置随动系统，结构图如下图所示，其中K=4 。 求该系统的自然振荡角频率和阻尼比； 求该系统的超调量和调节时间； 若要阻尼比等于0.707，应怎样改变系统 放大倍数K ？
解（1）系统的闭环传递函数为
写成标准形式
可知
19
（2）超调量和调节时间
（3）要求
时,
四、提高二阶系统动态性能的方法 1.比例——微分（PD）串联校 正
将其代入超调量公式得
, 叫 峰值时间。
三、劳斯判据 系统特征方程的标准形式: ■ 系统稳定的必要条件: 特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，可 ■ 用劳斯判据判稳。 ■ 系统稳定的充分条件: 特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必须
为正。 ■ 列劳斯表:
26
例 四阶系统特征方程式: 试判别系统的稳定性，并说明特征根中具有正部根 的个数。 列劳斯表:
（1）用
代入特征方程；
（2）将z看作新坐标, 用劳斯判据再次判稳。
30
3.6 稳态误差分析及计算
一、误差及稳态误差概念定义
1．误差: （2种定义） 输入端定义 输出端定义 两者之间的关系
31
32
2．稳态误差: 稳定系统误差的终值。 3．稳态误差的计算公式: 终值定理 二、稳态误差计算 1.在给定输入信号作用下的分析: 令
28
四、劳斯判据的其它应用 1.分析系统参数对稳定性的影响 例 系统如图所示，求使系统稳定的K值的 范围。解 : 系统闭环特征方程为 列劳斯表
系统稳定必须满足 所以
29
2.确定系统的相对稳定性
稳定裕量: 系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部最大的特 征根与虚轴的距离。
若要求系统有 的稳定裕量, 则
18
例 有一位置随动系统，结构图如下图所示，其中K=4 。 求该系统的自然振荡角频率和阻尼比； 求该系统的超调量和调节时间； 若要阻尼比等于0.707，应怎样改变系统 放大倍数K ？
解（1）系统的闭环传递函数为
写成标准形式
可知
19
（2）超调量和调节时间
（3）要求
时,
四、提高二阶系统动态性能的方法 1.比例——微分（PD）串联校 正
将其代入超调量公式得
, 叫 峰值时间。
自动控制原理第三章
0 l i m c (t ) t
T
(t 0 )
特 征 方 程 Ts 1 0 特 征 根 s 2 . c(t ) 2c(t ) 5 c (t ) r(t ), r(t ) δ (t ) C (s ) 1 R (s ) (s 1 )2 2 2 C (s ) 1
参考答案：0<k<16 参考答案：不稳定。 右2，左2，虚轴2。
s 6 4 s5 4 s4 4 s3 7 s2 8 s 1 0 0
4、已知单位负反馈系统开环传递函数如下所示，判系统的稳定性及根的分布。
G(s ) 46
4 2 s (s 2 s3 2 4 s 4 8 s 2 3 )
定义：给定值变化测量值具有跟踪给定值的能力；干扰 作用破坏系统的平衡，但具有抗拒干扰重新回到平衡状 态的能力。
无条件稳定（大范围稳定） 条件稳定（局部稳定） 线性系统若稳定，则为大范围稳定系统
大范围稳定特征
稳定性与初始条件无关； 与输入信号无关。
F(t) 大范围稳定
局部稳定
系统产生运动的原因：扰动（外力）；初始状态（偏离平衡点）
c2 a0
代数稳定判据
稳定的必要条件：特征方程所有项系数同号且不为0。 稳定的充分条件：Routh表中第一列元素均大于零。 S5 S4 S3 a5 a4
a a a5a 2 b1 4 3 a4
b a a 4b 2 c1 1 2 b1 c b c 2b1 d1 1 2 c1
第三章 时域分析法
控制系统的典型输入信号 和系统性能指标
一、系统性能分析的思路
人为破坏系统的平衡状态（施加扰动），考查系统是否具有重新恢 复平衡状态的能力及水平。
T
(t 0 )
特 征 方 程 Ts 1 0 特 征 根 s 2 . c(t ) 2c(t ) 5 c (t ) r(t ), r(t ) δ (t ) C (s ) 1 R (s ) (s 1 )2 2 2 C (s ) 1
参考答案：0<k<16 参考答案：不稳定。 右2，左2，虚轴2。
s 6 4 s5 4 s4 4 s3 7 s2 8 s 1 0 0
4、已知单位负反馈系统开环传递函数如下所示，判系统的稳定性及根的分布。
G(s ) 46
4 2 s (s 2 s3 2 4 s 4 8 s 2 3 )
定义：给定值变化测量值具有跟踪给定值的能力；干扰 作用破坏系统的平衡，但具有抗拒干扰重新回到平衡状 态的能力。
无条件稳定（大范围稳定） 条件稳定（局部稳定） 线性系统若稳定，则为大范围稳定系统
大范围稳定特征
稳定性与初始条件无关； 与输入信号无关。
F(t) 大范围稳定
局部稳定
系统产生运动的原因：扰动（外力）；初始状态（偏离平衡点）
c2 a0
代数稳定判据
稳定的必要条件：特征方程所有项系数同号且不为0。 稳定的充分条件：Routh表中第一列元素均大于零。 S5 S4 S3 a5 a4
a a a5a 2 b1 4 3 a4
b a a 4b 2 c1 1 2 b1 c b c 2b1 d1 1 2 c1
第三章 时域分析法
控制系统的典型输入信号 和系统性能指标
一、系统性能分析的思路
人为破坏系统的平衡状态（施加扰动），考查系统是否具有重新恢 复平衡状态的能力及水平。
《自动控制原理》第三章第4讲
∑ ∴c(t) =a0 + n1 a je− pjt j =1
n2
n2
∑ ∑ +
β e−ζlωlt l
cosωl
1−ζl2t +
γ
e−ζ lωl t
l
sin ωl
l 1=l 1
1−ζl2t
高阶系统的阶跃响应总可以由简单函数项组成，即由一 阶、二阶系统的响应组成。
可见，c(t)不仅与 p j ,ζ l ,ωl （闭环极点）有关，而且与系数
C(s) = Φ(s) ⋅ 1 = 10
s+9
= 1 − 80 1 − 1 1
s 9 s(s + 1)(s + 10) s 81 s + 1 81 s + 10
近似：C(s)
=
s(s
1s 9 + 1)(
+1 1s
+ 1)
≈
1 s(s + 1)
=
1 s
−
s
1 +1
10
C(s) = Φ(s) ⋅ 1 = 10 s + 1.1 = 1 − 10 1 + 89 1 s 1.1 s(s + 1)(s + 10) s 99 s + 1 99 s + 10
− p1,− p2 虚轴近，系统的瞬态特性主要由 − p1,− p2 决定，呈二阶
系统的特性。反之，当 b << 1 时，表示− p3 离虚轴近，− p1,− p2
离虚轴远，系统的瞬态特性主要由− p3 决定，呈一阶系统的特性。
第二个因素是阻尼系数 ζ ，如下图所示：
c(t)
b= ∞ b=2
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At
2，t
0
当A=1/2时，称为单位抛物线函数
Xr
(s)
1 s3
3.1 自动控制系统的时域指标
（4）脉冲函数
xr
(t
)
A，0 t ( 0)
0，t 0，t ( 0)
当A=1时，称为单位脉冲函数（t）
(t)dt 1
1
X
r
(s)
L[lim 0
]
1
3.1 自动控制系统的时域指标
L1[ X c (s)]
L1
A0 s
s
A1 p1
s
A2 p2
1
1
e(
2 1)nt
e(
2 1)nt
，
2 2 1 2 1 2 1
t0
结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多。这时， 二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。
3.3 二阶系统的阶跃响应
综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系
该系统单位阶跃响应的调节时间ts ；如果 要求ts(5%) 0.1(秒)，试问系统的反馈系
数应取何值？
3.2 一阶系统的阶跃响应
解： （1）首先由系统结构图写出闭环传递函数
100
WB (s)
X c (s) Xr (s)
s 1 100 0.1
10 0.1s 1
s
得 T=0.1（s）
因此得调节时间 ts=3T=0.3(s)，（取5%误
,
ts
2%
4
n
,
0 0.9 0 0.9
结论：
调节时间ts 近似与n
成反比关系。
3.3 二阶系统的阶跃响应
（4）振荡次数
在调节时间ts内，输出量波动的次数。
式中：
ts
tf
tf
2 d
n
2 1 2
为阻尼振荡的周期时间。
3.3 二阶系统的阶跃响应
3.二阶系统特征参数与暂态性能指标之间 的关系
3.2 一阶系统的阶跃响应
1.一阶系统的数学模型
K
WB (s)
Xc (s) Xr (s)
K
s
1
s
K K
1
1 1 s 1 Ts 1
s
K
3.2 一阶系统的阶跃响应
2.一阶系统的单位阶跃响应
1 X r (s) s
X
c
(s)
WB
(s)
X
r
(s)
1 Ts 1
1 s
xc
(t)
L1
1 Ts
1
1 s
则
ts = 3T = 0.03/Kt 0.1(s)
所以
Kt 0.3
3.3 二阶系统的阶跃响应
1.典型二阶系统的暂态特性
假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时， 输出量的拉氏变换为
X c (s)
s(s 2
2 n
2n s
2 n
)
3.3 二阶系统的阶跃响应
系统的特征方程为
s2
2
ns
2 n
0
（1）欠阻尼（ 0 1 ）
小结
5.动态结构图。 动态结构图是传递函数的图解化，能够
直观形象地表示出系统中信号的传递变换特 性，有助于求解系统的各种传递函数，进一 步分析和研究系统。
6.信号流图。 信号流图是一种用图线表示系统中信号
流向的数学模型，完全包括了描述系统的所 有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够 简便、快捷地求出系统的传递函数。
xc (t) L1 X c (s)
1 ent cos
1 2nt
sin
1 2
1
2nt
111 2 Nhomakorabeaent
sin dt
,
t0
式中：d 1 2n 阻尼振荡角频率，或振荡角频率 arctan 1 2 阻尼角
3.3 二阶系统的阶跃响应
结论：在的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量
为一按指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度与 有关： 越小，振荡越剧烈。
的输入量和输出量，根据各环节的物理 规律写出各环节的微分方程； (3)消去中间变量，就可以求得系统的微分 方程式。
小结
3.非线性元件的线性化。 针对非线性元件的非线性微分方程分析
的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对 非线性系统的线性化描述。 4.传递函数。
通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷 的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线 性微分方程转换为复数 s 域的数学模型— —传递函数以及典型环节的传递函数。
xc (t) 1
1
1 2
ent
sin dt
,
(0 1)
快速性指标：上升时间tr ，调节时间ts
平稳性指标：最大超调量 %，振荡次数
3.3 二阶系统的阶跃响应
2.二阶系统暂态特性指标
（1）上升时间tr：
系统的输出第一次达到稳态值的时间。
令t =tr 时，xc（t）=1，得
e ntr
1 2
sin
dtr
0
3.3 二阶系统的阶跃响应
tr d
n 1 2
结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间
tr 越长；当阻尼比一定时，n 越大， 则tr 越短。
3.3 二阶系统的阶跃响应
（2）最大超调量 %
输出最大值相对于输出稳态值的误差。
用公式表示为
%
xmax xc ()
xc
100%
最大超调量发生在第一个周期中t = tm 时刻。
输出量的时间函数： xc (t) 1 ent (1 nt), t 0
3.3 二阶系统的阶跃响应
（4）过阻尼（ >1）
系统的特征根为
p1 ( 2 1)n p2 ( 2 1)n
3.3 二阶系统的阶跃响应
输出量的拉氏变换：
X c (s)
s(s 2
2 n
2ns
2 n
)
s(s
2 n
p1 )(s
输出量的拉氏变换：
Xc (s)
n2 s(s n )2
A0 s
A02
s n
A01
(s n )2
A0 X c (s)ss0 1
A01 X c (s)(s n )2 sn n
A02
d ds
X c (s)(s n )2
s n
s2
2 n
s n
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
（2）一般情况下，系统在欠阻尼（0 1）情况下 工作。但是 过小，则超调量大，振荡次数多，调 节时间长，暂态特性品质差。应注意到，最大超 调量只与阻尼比这一特征参数有关。因此，通常 可以根据允许的超调量来选择阻尼比 。
3.3 二阶系统的阶跃响应
（3）调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率
这两个特征参数的乘积成反比。在阻尼比 一定
令 dxc t 0
dt ttm
得
sind tm cosd tm
1 2
tand tm
1 2
3.3 二阶系统的阶跃响应
因此
1 2 d tm n arctan n
即 d tm n
因为在n=1时出现最大超调量，所以有 tm
d
。
1 2n
峰值时间为
tm
d
1 2n
3.3 二阶系统的阶跃响应
1 %, 2 tm, 3tr, 4 ts 2%, 5ts 5%,
3.3 二阶系统的阶跃响应
结论：
（1）阻尼比 是二阶系统的一个重要参量，由值
的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。 在过阻尼（ ） 1情况下，暂态特性为单调变化 曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统 反应迟缓。当 ，0 输出量作等幅振荡或发散振 荡，系统不能稳定工作。
p2 )
A0 s
s
A1 p1
A2 s p2
A0 [ X c (s)s]s0 1
A1 [ X c (s)(s p1 )]s p1
2
1
2 1(
2 1)
A2 [ X c (s)(s p2 )]s p2
2
1
2 1(
2 1)
3.3 二阶系统的阶跃响应
输出量的时间函数：
xc (t)
统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系统的重要参量。当 = 0时，系统不 能正常工作，而在 = 1时，系统暂态响应进
行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻 尼情况（0 1）是最有实际意义的。
3.3 二阶系统的阶跃响应
2.二阶系统暂态特性指标
当 xr (t) 1(t)时，典型二阶系统的输出响应为
3.1 自动控制系统的时域指标
1.对控制性能的要求
(1)系统应是稳定的； (2)系统达到稳定时，应满足给定的稳态
误差的要求； (3)系统在暂态过程中应满足暂态品质的
要求。
3.1 自动控制系统的时域指标
2.自动控制系统的典型输入信号
（1）阶跃函数
0，t 0 xr (t) A，t 0
A=1时称为单位阶跃函数
将
tm
代入，得输出最大值为
1 2n
xmax 1
e 12 sin
1 2
因为 所以
sin sin 1 2
xmax 1 e 1 2
3.3 二阶系统的阶跃响应
根据超调量的定义
%
xmax
xc
xc
()
100%
在单位阶跃输入下，稳态值 xc () 1， 因此得最大超调量为
% e 1 2 100%
差带）
3.2 一阶系统的阶跃响应
（2）求满足ts(5%)0.1(s)的反馈系数值。
假设反馈系数Kt(Kt>0)，那么同样可由结构图