05_06级振动力学试题
《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结
令 引起的静变形为 ，则有：
，即
令 + 引起的静变形为 ，同理有：
得：
则系统的自由振动可表示为：
其中系统的固有频率为：
注意到 与 方向相反，得系统的自由振动为：
1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角 为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
图T 2-10答案图T 2-10
解：
m的位置：
， ，
，
，
2.11图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 。
（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率 为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？
图E1.2
解：
如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
利用 和 可得：
1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为 ， 和 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。
图E1.3
解：
系统的动能为：
和 相当于串联，则有：
以上两式联立可得：
系统的势能为：
利用 和 可得：
1.4在图E1.4所示的系统中，已知 ，横杆质量不计。求固有频率。
图E1.4答案图E1.4
解：
对m进行受力分析可得：
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学习题集含答案
解：
，
动量守恒：
，
平衡位置：
，
，
故：
故：
2.4在图E2.4所示系统中，已知m， ， ， 和 ，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。
图E2.4答案图E2.4
解：
取坐标轴 和 ，对连接点A列平衡方程：
即：
（1）
对m列运动微分方程：
即：
（2）
由（1），（2）消去 得：
图E2.7
解：
，
s=1时共振，振幅为：
（1）
远离共振点时，振幅为：
（2）
由（2）
由（1）
， ，
故：
2.7求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 及 ，悬臂梁的质量忽略不计。
图T 2-7答案图T 2-7
解：
和 为串联，等效刚度为： 。（因为总变形为求和）
和 为并联（因为 的变形等于 的变形），则：
图E1.9答案图E1.9
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图E1.12
解：
平面在液体中上下振动时：
和 为串联（因为总变形为求和），故：
故：
2.9如图T 2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
振动力学习题集含答案
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图
解：
平面在液体中上下振动时：
，
，
图所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
，
图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图T 2-17
解：
（1） ，
（2） ，
如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
因此有：
图所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频率方程。
图
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图所示。求系统扭振的频率方程。
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
(完整版)振动力学试题
1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束，如图所示。
求系统的固有频率。
解：系统的动能为 221•=θJ T2k 和3k 相当于串联，则 32θθθ+= 3322θθk k =联立以上两式得 θθ3232k k k +=θθ3223k k k +=系统的势能为 ()[]223322221323232121212121θθθθk k k k k k k k k k U +++=++=利用θωθn =•和U T =可得 ()()3232132n k k J k k k k k +++=ω2.面积为S ，质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。
作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=，S 2为薄板总面积，ν为速度。
若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。
求系数μ。
解：平面在液体中上下振动时：02=++•••kx x S x m μ dn d n T T m k πξωωπω2-1,220====kS m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==⇒= kS k 222--1μξ=2020220-2-22T T T ST mk S k T T T T d dd πμμ=⇒=3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ，求系统的频率方程。
解：先求刚度矩阵。
令0x 1,==θ得：22212111a k b k a a k b b k k +=⋅+⋅=b k 221-k =令1,0==x θ得：a k k 212-=222-k k =则刚度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2222221--k ak a k a k b k K再求质量矩阵。
令0,1==••••x θ ，得：0,31212111==m a m m令1,0==••••x θ，得：22212,0m m m ==则质量矩阵为： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2210031m a m M故频率方程为： 0-2=M K ω4.在图所示系统中，已知m 和k 。
振动力学习题集含答案
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
《振动力学》作业资料(含答案解析)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
《振动力学》习题集[含答案]
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《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学习题集
2振动力学》习题集（含答案）质量为 m 的质点由长度为 l 、质量为 m 1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如 图所示。
求系统的固有频率。
解： 系统的动能为：1 2 1 2 T m xl I x22 其中 I 为杆关于铰点的转动惯量：利用xnx 和T U 可得：3 2m m 1 g2 3m m 1 lml 1dxx 2l m 1x 2dxlm 1l31则有：系统的势能为：1 2 2 1 2 2ml x m 1l x 2 611 2 2 3m m 1 l x6U mgl 1 cosxm 1g cosx 1 2mglx14m 1glx1 2m4m 1 glx 2图质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。
求系统的固有频率。
CA=a的A 点系有解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：利用1212 1 2 23T I B mR2mR2 2mR2B2241222U2k Ra2 k R a24k R a 23mR2R 3m图U 可得：n J k 2 k 3转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k 1 ， k 2 和 k 3 的轴约束，如图所示。
求系统的固有频率。
k 2解：系统的动能为：12J 2k 2和 k 3相当于串联，则有：以上两式联立可得：系统的势能为：k 2k 3 k 1 k 2 k 3k 1 3,k 2k 2k 3k 3k 2k 2 k 3利用U 12k 1k 2 2212k 3 k 1 k 2 k 3 k 2k 3 2k 2 k 3n 和T U 可得：在图所示的系统中，已知 k i i 1,2,3 , m, a 和b ，横杆质量不计。
求固有频率。
答案图解：对 m 进行受力分析可得：质量 m 1在倾角为 的光滑斜面上从高 h 处滑下无反弹碰撞质量 m 2 ，如图所示。
确定mg k 3x 3 ，即 x 3mgk 3如图可得：F 1 mgb F 2 x 1, x 2k 1a b k 1k 2mga a b k 2x 0 x 1 x x 1a x 2 x 1ab a 2k 1 2b 2k 2 mga b 2 k 1k 2 x 则等效弹簧刚度为：x 0 x 3a 2k 1b 2 k 2 a b 2k 1k 21mgk 0mg2b k 1k 2k3a 2k 1k 3b 2k 2k 3 a b 2 k 1k 2则固有频率为：nk 1k 2k 3 a b 2 2 2 2 m k 1k 2 a b k 3 k 1a k 2bx 2mg系统由此产生的自由振动。
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动试验试题及答案
振动试验试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 振动试验中，以下哪个参数是不需要测量的？A. 频率B. 加速度C. 温度D. 时间答案：C2. 振动试验的目的是什么？A. 测试产品的重量B. 测试产品的耐热性C. 测试产品的耐振性D. 测试产品的耐压性答案：C3. 在振动试验中，通常使用哪种类型的振动？A. 随机振动B. 正弦振动C. 谐振振动D. 所有以上答案：D4. 振动试验中，加速度的单位是什么？A. 米/秒²B. 牛顿C. 帕斯卡D. 瓦特答案：A5. 振动试验中，频率的单位是什么？A. 赫兹B. 米/秒C. 牛顿D. 瓦特答案：A6. 以下哪种振动试验不适用于电子产品？A. 正弦振动试验B. 随机振动试验C. 冲击试验D. 跌落试验答案：D7. 振动试验的频率范围通常是？A. 5Hz-500HzB. 1Hz-100HzC. 100Hz-1000HzD. 500Hz-5000Hz答案：A8. 振动试验的加速度范围通常是？A. 0.1g-10gB. 1g-100gC. 10g-1000gD. 100g-10000g答案：B9. 在振动试验中，什么是“g”？A. 重力加速度B. 重力的单位C. 振动的频率D. 振动的振幅答案：A10. 振动试验的持续时间通常由什么决定？A. 试验设备的能力B. 被测试产品的重量C. 被测试产品的耐振性D. 试验标准的规定答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 振动试验可以模拟以下哪些环境条件？A. 运输过程中的振动B. 地震C. 操作过程中的振动D. 所有以上答案：D2. 在振动试验中，哪些因素会影响试验结果？A. 试验设备的精度B. 试验环境的温度C. 被测试产品的材料D. 被测试产品的结构答案：A, B, C, D3. 以下哪些是振动试验的类型？A. 正弦振动试验B. 随机振动试验C. 冲击试验D. 跌落试验答案：A, B4. 振动试验中，哪些参数需要记录？A. 频率B. 加速度C. 时间D. 振幅答案：A, B, C5. 振动试验中，以下哪些因素需要控制？A. 试验的频率B. 试验的加速度C. 试验的时间D. 试验的环境答案：A, B, C, D三、判断题（每题1分，共10分）1. 振动试验只适用于机械产品。
振动力学习题集
《振动力学》习题集（含答案）质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn = 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn = 和U T =可得：()()3232132k k J k k k k k n +++=ω在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
2005年-机械振动试题(参考答案)
3.1 解：1)以静平衡位置为原点，设123,,I I I 的位移123,,θθθ为广义坐标，画出123,,I I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：1111212222213233333243()0()()0()0θθθθθθθθθθθθθ⎧++-=⎪+-+-=⎨⎪+-+=⎩t t t t t t I k k I k k I k k所以：[][]12312222333340010000050;000102101210012⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦t t t t t t t t t t I M I I I k k k K k k k k k k k k系统运动微分方程可写为：[][]1122330θθθθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭M K ………… (a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为222112233111222T E I I I θθθ=++222211212323431111()()2222t t t t U k k k k θθθθθθ=+-+-+222121232343212323111()()()222t t tt t t tt k k k k k k k k θθθθθθθ=+++++--求偏导也可以得到[][],M K 。
2)设系统固有振动的解为： 112233co s θθωθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭u u t u ，代入（a ）可得：[][]1223()0u K M u u ω⎧⎫⎪⎪-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭………… (b)得到频率方程：222220()2502ωωωω--=---=-- k Ik k k Ik kk I即：222422()(2)(5122)0ωωωω=--+= k I I kI k解得：25ω=k I和22ω=k I10 -1 -0.2211 1.8211所以：123ωωω=<=<=………… (c)将（c ）代入（b ）可得：12320562(505025⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎧⎫⎢⎥±⎪⎪---=⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦kk I k I u k k k Ik u Iu k k k I I和1232202250022⎡⎤--⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥---=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎣⎦k k I k I u k k k Ik u I u kkk I I解得：112131::1:1.82:1≈u u u ；122232::1:0:1u u u ≈-；132333::1:0.22:1≈-u u u ；令31u =，得到系统的三阶振型如图：四 证明：对系统的任一位移{x }，Rayleigh 商}]{[}{}]{[}{)(x M x x K x x R T T=满足221)(nx R ωω≤≤这里，[K ]和[M ]分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和n ω分别为系统的最低和最高固有频率。
振动力学考题集[]资料讲解
![振动力学考题集[]资料讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/bcbb1c361ed9ad51f01df2db.png)
振动力学考题集[]1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。
A. 单摆；B. 质量-弹簧；C. 匀质弹性杆；D. 无质量弹性梁；2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼是（）。
A. c1+c2；B. c1c2/(c1+c2)；C. c1-c2；D. c2-c1；3、（）的振动系统存在为0的固有频率。
A. 有未约束自由度；B. 自由度大于0；C. 自由度大于1；D. 自由度无限多；4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。
A. 相同的，且都是质量；B. 相同的，且都是转动惯量；C. 相同的，且都是密度；D. 可以是不同的；5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固有频率时，稳态位移响应幅值最大。
A. 等于；B. 稍大于；C. 稍小于；D. 为0；6、自由度为n的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（A ）。
A. 为n；B. 为1；C. 大于n；D. 小于n；7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Mu(s)的值一定（）。
A. 大于0；B. 等于0；C. 小于0；D. 不能确定；8、无阻尼振动系统的某振型u(r)，u(r)T Ku(r)的值一定（）。
A. 大于0；B. 等于0；C. 小于0；D. 不能确定；9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无限大时，该集中质量的稳态位移响应一定（）。
A. 大于0；B. 等于0；C. 为无穷大；D. 为一常数值；10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。
A. 杆的纵向振动；B. 弦的横向振动；C. 一般无限多自由度系统；D. 梁的横向振动；11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度是（）。
A. k1+k2；B. k1k2/(k1+k2)；C. k1-k2；D. k2-k1；12、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Ku(s)的值一定（）。
《振动力学》习题集(含标准答案)
《振动力学》习题集(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T &&+=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T &&&+=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω=&和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ωml m 1 x1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ&&&mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn =&和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ωkk A Ca R θ1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ&J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn =&和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ωkk 2 kJ1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)
2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案1. 圆筒质量m 。
质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其固有频率。
（10分）解：令t A xt A x ωωωcos ,sin == t A xrJ m xr J m rxJ x m J x m T o o o o ωωθ22222222222cos )(21)(21)(21212121 +=+=+=+=t kA kx U ω222sin 2121==222222max max /21)(21r J m kkA A xr J m U T o o +==+∴=ωω2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。
（10分）)(t2x xm 11x k(t P 22x k解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形对m 列运动微分方程： 022=+x k xm (2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3)由(3)式可以得出：1221)(k x k t P x +=将上式代入(1)式可得出：2112)(k k xk t P x ++-=将上式代入(2)式可得出：0)(2122121=+-++t P k k k x k k k k xm令mk k k k k k e e e =+=ω,2121，有t k k k P t P k k k x k xm e ωsin )(2120212+=+=+t k P t k k k k P x eee ωωωωωωsin )(11sin )(11121022120-⋅=-⋅⋅+=∴3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
（10分）解：对物体m 列运动微分方程，有：0)(1=--+x x k x c xm 即：t kA kx x c xm ωsin =++ t Aωsin 1=xm )x -其稳态响应为：)sin()2()1(1222θωξ-+-⋅=t s s k kA x其中，20012arctan ,2,,s skmc m k s -====ξθξωωω4. 如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。
振动力学-习题
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
图2-1 图2-2 2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置， 如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求 出振动固有周期。
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求 其摆动的固有频率。
图2-3 图2-4 2-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况 系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。
已知杆的质量为m，A 端弹簧的刚度为k。
并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？图2-5 图2-62-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。
已知m=50kg，19800N mk=，234900N mk k==，419600N mk=。
试问：（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？2-7 图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。
试求此系统的固有频率。
图2-72-8 如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。
图2-82-9 图2-9所示的系统中，m ＝1kg ，k ＝224N/m ，c ＝48N.s/m ，l 1＝l ＝0.49m ，l 2＝l /2，l 3＝l /4，不计钢杆质量。
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2005级 《振动力学》 课程试题（A 卷）二、基本概念与简单计算题：（共 50 分）1．（5分）某粘滞阻尼振动系统，8个振动周期后振幅由10mm 减为1mm ，求阻尼比。
解：对数衰减率01ln n X n X δ⎛⎫=⎪⎝⎭110ln 81⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 108= ………………..（3分）而221πξδξ=-，则阻尼比224δξπδ=+＝0.046……………………（2分）2. （10分）求图示系统微幅振动的微分方程和固有频率。
已知l 、k 、m 、c 、F 。
不计水平杆的质量。
解：方程493ml cl kl F θθθ=--+…………….（6分）固有频率3n k mω= ………………………………….（4分）或 222194d n mk cmωωξ=-=-……………………….（4分）3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值响应。
解：干扰力000010()0t F t t F t t t t ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩….（2分）00001()(1cos )sin 0n n n nF x t t t t t t t t ωωωω⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭………..（4分）题二.2图mckF ll l题二、3图F (t )F 0t 0t000001()cos [sin ()sin ]n n n n nF x t t t t t t t t t ωωωωω⎛⎫=-+--> ⎪⎝⎭……………………..（4分）4. （15分）图示系统，均质杆长为l 质量为m ，上端由铰链悬挂，下端用弹性系数为k 1和k 2的弹簧与光滑水平面上的质量m 1和m 2相连处于自然平衡状态。
（1）建立系统的微振动微分方程。
（2）写出频率方程（可以不求出固有频率）解：（1）1122213m x m lxm θ⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 11121122222001()0200k k lxk l k k l m glk l x k lk θ-⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥+-++-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭-⎣⎦.（10分）（2）频率方程…… ………（5分） 5. （10分）左端固定，右端自由的均匀杆，长度为l ，轴向拉压刚度为EA ，单位长度杆的质量为m ，轴向位移用u 表示，轴向力用P 表示。
求杆纵向振动（一维波动方程）的固有频率与固有振型。
解：一维波动方程：22(,)u x t x∂∂2221(,)u x t at∂=∂，0<x <l 其中E A a m=………………（2分）边界条件： (0,)0u t =，0x lu x=∂=∂ ………………（2分）固有频率： (21)2i a i lπω=- ………………（3分）固有振型： ()()i Ux =(21)sin2i i xC lπ-=（i ＝1，2，……）………………（3分）题二、4图三、综合题：（共 20 分）分数评卷人图示标准m -k 振动系统，设m 1＝m ，m 2＝2m ，k 1＝k 2＝k ，k 3＝2k ；干扰力0()sin F t F t ω=;初始条件t ＝0时01020x x =＝，01021xx = ＝。
用正则坐标变换方法求系统的响应。
解：（1）方程0[]02m M m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2[]3kk K kk -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0sin {()}0F t F t ω⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（2）固有频率和振型21k mω=，2252k mω=；(1)1{}1u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，(2)1{}12u ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭（3）正则振型矩阵主质量：(1){1}11{}[]{}3T m u M u m ==，(2){2}22{}[]{} 1.5T m uM um ==正则振型矩阵： 121[]1132m φ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（4）初始条件正则化00{}[][]{}{00}TT N q M xφ== ,00{}[][]{}{30}TTN qM x m φ==（5）正则初始激励响应2101101113cos sin sinN N N qm k q q t t t kmωωω=+＝，20220222cos sin N N N qq q t t ωωω=+＝0（6）广义坐标初始激励响应题三图F (t ){}[]{}N x q φ==21231sin 11302m k t k m m ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭＝sin sin k t m m k k t m ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭（7）对激励正则化:{()}[]{()}TR t F t φ=＝00sin 132sin F t m F t ωω⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭（8）干扰力的正则坐标响应:01221sin 3()N F q tm ωωω=-，012222sin 3()N F q t m ωωω=-（9）干扰力的广义坐标响应:{}[]{}N x q φ==222212022221212sin 113F t m ωωωωωωωωω⎧⎫+⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪-⎪⎪--⎩⎭（10）总响应{}x =222212022221212sin 113F t m ωωωωωωωωω⎧⎫+⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪-⎪⎪--⎩⎭＋sin sin k t m m k k t m ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭(评分标准：每步2分)2006级 《振动力学》 课程试题（A 卷）二、基本概念与简单计算题：（共 50 分）1．（5分）设多自由度振动系统的质量矩阵为[M ]，刚度矩阵为[K ]，主质量矩阵用[M p ]表示，主刚度矩阵用[K p ]表示，主振型矩阵用[Q ]表示。
证明：11[][][][]Tp Q M Q M --=。
证明：[][][][]T p M Q M Q =， …………….【2分】左乘1[]p M -得1[][][][][]Tp E M Q M Q -=， …………….【2分】 右乘1[]Q -得11[][][][]Tp Q M Q M --=。
…………….【1分】2. （10分）求图示单自由度线性阻尼系统微幅振动的微分方程和固有频率。
已知l 、k 、m 、c 、F ，水平杆的质量为M 。
解：方程221(3)(2)(2)(3)(3)33st M l m l m gl c l l l k l F l θθθδ⎛⎫+=--++⎪⎝⎭而：3st mgl lk δ=，则：()3493M m l cl kl F θθθ+++= …………….【6分】固有频率33nk M mω=+ …………………………………..…….【4分】或 22219(3)43d n M m k cM mωωξ=-=+-+………….【4分】3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值响应。
解：干扰力()01122112()0F t t t t t t t F t t t or t t⎧-<≤⎪-=⎨⎪≤≥⎩….【2分】1()()sin ()t n n x t F t d m τωττω=-⎰ 01()0sin ()0t n nx t t d m ωττω=-=⎰，t <t 101112121()sin ()()n nF x t t t t t t t t k t t ωω⎛⎫=-+-≤≤ ⎪-⎝⎭………..【4分】122122121()()cos ()[sin ()sin ()]()n n n nF x t t t t t t t t t t t k t t ωωωω⎛⎫=--+---> ⎪-⎝⎭…..【4分】题二.2图mckF ll l题二、3图F (t )F 0 t 1tt 24. （15分）三自由度线性阻尼振动系统，质量为m 2的均质圆盘绕固定轴转动，其它参数如图所示。
（1）以x 1、x 3和θ 为广义坐标建立系统的微振动微分方程； （2）写出频率方程（不必求出固有频率）。
解：（1）【10分】利用动力学定律。
设平衡时弹簧静变形为δ1、δ2、δ3，则1111112211()()sin 30m x k x cx k x r m g δδθ=---+--︒222213331()()2m r k x r r k x r rθδθδθ=+---+333333()m x k x r m gδθ=-+-而：333223311221,,sin 30k m g k r k r k k m g δδδδδ===+︒则：11111222222233333323000000100000()020000000m x x x c k k k r m r k rk k r k r k rk xx x m θθθ⎡⎤⎧⎫⎧⎫+-⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-+-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎣⎦题二、4图30°ck 1（2）2[][]0n K M ω-=，即：2121222222323233301()02nnnk k m k rk r k k r m r k r k rk m ωωω+---+--=--展开即可。
【5分】5. （10分）设均匀梁长度为l ，横截面积为A ，弯曲刚度为EI ，质量密度为ρ，挠度用u 表示。
求梁两端简支时的横向振动固有频率与固有振型（可以直接利用微振动方程及振型函数的通解，不必推导）。
解：振动方程24224u u atx∂∂+=∂∂，EIa Aρ=【1分】振型函数通解1234()sin cos sinh cosh x C x C x C x C x Φββββ=+++，242aωβ=【2分】边界条件(0,)(,)0u t u l t ==，2222(,)(,)0x x lu x t u x t EIEIxx==∂∂==∂∂ 【2分】即(0)()0l ΦΦ==，(0)()0l ΦΦ''''== 【1分】 代入求得2340C C C ===则1()sin x C x Φβ= 特征方程sin 0l β=，(1,2,)i i i lπβ==固有频率222()iiEI i a A lπωβρ==【2分】振型函数11()sin sin ,(1,2,)i i i x C x C x i l πΦβ=== 【2分】三、综合题：（共 20 分）图示标准m -k 振动系统，设m 1＝m ，m 2＝2m ，k 1＝k ，k 2＝2k ，k 3＝3k ；干扰力0()sin F t F t ω=;初始条件t ＝0时01020x x =＝，010x= ，021x ＝。