05_06级振动力学试题
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2005级 《振动力学》 课程试题（A 卷）
二、基本概念与简单计算题：（共 50 分）
1．（5分）某粘滞阻尼振动系统，8个振动周期后振幅由10mm 减为1mm ，求
阻尼比。 解：对数衰减率01
ln n X n X δ
⎛⎫=
⎪⎝⎭110ln 81⎛⎫= ⎪⎝⎭1
ln 108
= ………………..（3分）
而2
21πξδ
ξ
=
-，则阻尼比2
2
4δ
ξ
π
δ
=
+＝0.046……………………（2分）
2. （10分）求图示系统微幅振动的微分方程和固有频率。已知l 、k 、m 、c 、F 。
不计水平杆的质量。 解：方程
493ml cl kl F θ
θθ=--+
…………….（6分）
固有频率
3
n k m
ω= ……………………
…………….（4分）
或 2
2
2194d n mk c
m
ωωξ
=-=-……………………….（4分）
3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值
响应。
解：干扰力0000
10()0
t F t t F t t t t ⎧⎛⎫
-≤≤⎪ ⎪
=⎨⎝⎭
⎪
>⎩….（2分）
000
01
()(1cos )sin 0n n n n
F x t t t t t t t t ωωωω⎛⎫=
--+≤≤ ⎪⎝⎭
………..（4分）
题二.2图
m
c
k
F l
l l
题二、3图
F (t )
F 0
t 0
t
0000
01
()cos [sin ()sin ]n n n n n
F x t t t t t t t t t ωωωωω⎛⎫=-
+
--> ⎪⎝⎭
……………………..（4分）
4. （15分）图示系统，均质杆
长为l 质量为m ，上端由铰链悬挂，下端用弹性系数为k 1和k 2的弹簧与光滑水平面上的质量m 1和m 2相连处于自然平衡状态。（1）建立系统的微振动微分方程。（2）写出频率方程（可以不求出固有频率）
解：（1）1
12
2213
m x m l
x
m θ⎡⎤⎧⎫⎢
⎥⎪⎪
⎢
⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣
⎦ 1112
1122222001()02
00k k l
x
k l k k l m gl
k l x k l
k θ-⎡⎤
⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪
⎢⎥+-++
-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭-⎣
⎦
.（10分）
（2）频率方程…… ………（5分） 5. （10分）左端固定，右端自由的均匀杆，长度为l ，轴向拉压刚度为EA ，单
位长度杆的质量为m ，轴向位移用u 表示，轴向力用P 表示。求杆纵向振动（一维波动方程）的固有频率与固有振型。 解：一维波动方程：
2
2(,)u x t x
∂∂2
2
2
1(,)u x t a
t
∂=
∂，0 = ………………（2分） 边界条件： (0,)0u t =， 0x l u x =∂=∂ ………………（2分） 固有频率： (21) 2i a i l πω=- ………………（3分） 固有振型： () ()i U x =(21)sin 2i i x C l π-=（i ＝1，2，……）………………（3分） 题二、4 图 三、综合题：（共 20 分） 分数 评卷人 图示标准m -k 振动系统，设m 1＝m ，m 2＝2m ，k 1＝k 2＝k ，k 3＝2k ；干扰力0()sin F t F t ω=;初始条件t ＝0 时01020x x =＝，01021x x = ＝。用正则坐标变换方法求系统的响应。 解：（1）方程 0[]0 2m M m ⎡⎤=⎢ ⎥⎣⎦，2[]3k k K k k -⎡⎤ =⎢⎥-⎣⎦ ，0sin {()}0F t F t ω⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ （2）固有频率和振型 2 1 k m ω= ，22 52k m ω= ；(1) 1{}1u ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，(2) 1{}12u ⎧⎫ ⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪ ⎩⎭ （3）正则振型矩阵 主质量：(1){1} 11{}[]{}3T m u M u m ==， (2) {2} 22{}[]{} 1.5T m u M u m == 正则振型矩阵： 121[]11 32m φ⎡⎤ ⎢⎥= ⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦ （4）初始条件正则化 00{}[][]{}{00}T T N q M x φ== ,00{}[][]{}{30}T T N q M x m φ== （5）正则初始激励响应 2 10110111 3cos sin sin N N N q m k q q t t t k m ωωω=+ ＝ ， 20220222 cos sin N N N q q q t t ωωω=+ ＝0 （6）广义坐标初始激励响应 题三图 F (t )