大学数学排列组合

1.两个基本原理

(l)从甲地到乙地，可乘火车、汽车、轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

分析：因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．

(2) 由A 村去B 村的道路有3条，由B 村去C 村的道路有2条．从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？

分析：从A 村到B 村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B 村后，再从B 村到C 村又有2种不同的走法．因此，从A 村经B 村去C 村共有 3×2=6种不同的走法． 一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．

例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6+5=11．

（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 6530N =⨯=．

例2 (1)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是555125N =⨯⨯=．

练习：

1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．

（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？

（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O 张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O 的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？

3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法

2.排列(1)

【基本概念】

1. 什么叫排列？从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）

按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.

3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.

【例题与练习】

1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.已知a 、b 、c 、d 四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.

【排列数】

1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中

取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示.

排列数公式：)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!

(!m n n A m n -=，规定 0!=1 2. 2n A = ；3n A = ；4n A = ； 计算：25A = ； 45A = ；2

15A =

3. 写出：

a) 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列；

b) 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.

c) 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

3.排列(2)

例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040

⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040

⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720

⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有2

2A 种；第二步 余下的5名

同学进行全排列有55A 种，则共有22A 55A =240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在

排头和排尾有2

5A 种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排

列）有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法． 解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若

甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．

小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特

殊元素可以优先考虑．

例2 ： 7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有66A 2

2A ＝1440种．

⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种． ⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不

能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有4

4A 种方法；最后将甲、乙两个同学