数学建模入门试题极其答案

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1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处,雨速是常数,方向不变。

你是否走得越快,淋雨量越少呢?

2.假设在一所大学中,一位普通教授以每天一本的速度开始从图书

馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10,若在充分长的时间内,一位普通教授大约借出多少年本书?

3.一人早上6:00从山脚A上山,晚18:00到山顶B;第二天,早

6:00从B下山,晚18:00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点?

4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分?

5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家,家

中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时,妹妹的速度为2公里/小时,狗的速度为5公里/小时。分析半小时后,狗在何处?

6.甲乙两人约定中午12:00至13:00在市中心某地见面,并事先

约定先到者在那等待10分钟,若另一个人十分钟内没有到达,先到者将离去。用图解法计算,甲乙两人见面的可能性有多大?

7.设有n个人参加某一宴会,已知没有人认识所有的人,证明:至

少存在两人他们认识的人一样多。

8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10

端小孔的

面积为0.5

9.假设在一个刹车交叉口,所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜

坡,计算这种情

下的刹车距离。如果汽车由西驶来,刹车距离又是多少?

10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料,如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

:顶=1:a:b ,选坐v>0,而设语雨速

L(

1q -+v x ),v≤x Q(v)=

L(

v x -q +1),v>x

2.解:由于教授每天借一本书,即一周借七本书,而图书馆平均每周

收回书的1/10,设教授已借出书的册数是时间t 的函数小x(t)的函数,则它应满足(时间t 以周为单位)

其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性题得X(t) =70[1-e t 10 ]

由于当t ∞时,其极限值为70,故在充分长的时间内,一位普通教授大约已借出70本书。

3.解:我们从山脚A 点为始点记路程,设从A 到B 路程函数为f (t ),

即t 时刻走的距离为f (t );同样设从B 点到A 点的路程为函数g (t )。由题意有 f(8)=0,f(18)=|AB|,g (8)=|AB|,g (18)=0;

令h (t )= f (t )--g (t ),则有h(8)= f(8) -- g (8)=-- |AB||<0, h(6)=f(6) -- g(6)= | AB|>0 又注意f (t ),g (t )都是时刻t 的连续函数,因此h (t )也是时刻t 的连续函数,由连续函数的介质定理,一定存在某时刻t 。使h (t 。)=0,即f (t 。)=g (t 。) 所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。

4.解:设I 为平面上任一封闭曲线,p 为平面上一点(不妨设p 在I 内),则存在已过点p 的直线,将I 所围的面积二等

分,如下图

设l为过点p的一条直线,若S1= S1,则得证,否则设S1 >S2,l与x 轴夹角为a,让l逆时针绕p旋转S2 ,S2,则S1,S2随a的变化连续的变化,记其面积为S1a),S2(a),则记S1(a)= S1, S2(a)= S2, f(a+∏)<0,且f(a)连续,由连续函数的介值定理知,在(0,∏)存在ā使f(ā)=0,a=ā对应的直线即为所求。

5.解:哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时,因此一小时后,哥哥与妹妹都已到家,而狗一直在二者之间,因此狗已到家。

6.解:设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点,显然0≤x≦60,0≦y≦60,若两人相遇则有|x-y|≦10,这是一个几何概率问题,其中样本空间为A={(x,y)|≤x≦60,0≦y≦60}

它构成了空间直角标系中的正方形,相遇空间为

G={(x,y), |x-y|≦10}

其图形见上图阴影部分,Sa,Sg分别表示正方形、阴影部分的面积,从而相遇的概率为P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)≈0.306 7. 证明:设第i个人认识的人为s(i),则s(i)∈{0.1.2.3……N-1} 设没有两个人认识的人一样多,则s(1),s(2),……互不相等,则s(i)取遍集合{0、1、2……N-1}中的一个值,即至少存在某两个人k1,k2使s(k1)=N-1,s(k2)=0,而对第ki个人,由于(ki)=N-I,故他必然认识第k2人,故s(k)至少为1,与s(k2)=0矛盾,得证。

8.解:由水力学定律可知Q=dv/dt=0.62S gh

2,其中0.62为流量系数S为空口横截面,g为重力加速度,h为从从空口到水面的高度,故有dv=0.31gh

2dt,

另一方面,在△t时间内,水面由h降至h+dh(dh<0),则仅有

dv=-∏r*r*dh=-∏/3*h*h*dh, 所以有0.31gh 2dt=-∏/3*h*h*dh ,再由h(0)=10,联立求得其解为

t=(∏/3)*(2/5)*1/(0.31g 2(5.210-5.2h ,当水流完时,h=0, 解得t=2∏/(15*0.31g 2)*5.210

9.解:设t=0时为开始刹车的时刻,x (t )为从t=0到t 时刻所幸的

距离,由刹车时所受的制动力为-uW

1100*100100+-W*1100*1001+,其中W 为车重,故x (t )满足g w

*d (dt/dt )/dt=-uW 1100*100100+-W*1

100*1001+ 又由x (0)=0,dx/dt|t=0=v 。

解得x (t )=-1/2(1100*100100+ug +1100*100+g )t 2+v 。*t 故制动时间为

t b =v 。/(1100*100100+ug +1100*100+g )

因此刹车距离为

x(t b )=1/2*[ v 。/(1100*100100+ug +1100*100+g )]

同理可得汽车由西驶来时,刹车距离为1/2*[ v 。/(1100*100100+ug +1100*100+g )]

10.解:假设管道是直的圆的、粗细一样,带子宽度一样。 参数宽为W ,圆管周长为C ,缠绕角度为a,

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