等积模型教师版

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教师风采大赛课题：相似三角形中等积式的证明技巧(教师版)

教学内容概要证明等积式常用的方法是添平行线或寻找相似三角形，本节课主要探讨如何用相似的方法证明等积式。

一，直接寻找相似三角形等积式转换成等比式，用三点定形法寻找三角形，证明三角形相似【例1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：DC2=DE⋅DF证明：△DCE与△DCF相似二，等量代换法等积式先转换成等比式，寻找可能相似的三角形，当找不到三角形或无法证明三角形相似，需要根据已知条件找到与原比例式中某条线段相等的一条线段替换，重新寻找三角形。

【例2】如图在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，证明：BP2=PE⋅PF联结PC，可证明PC=PB，证明△PCE与△PCF相似三，等比代换法当用前两种方法寻找不到可以代换的线段时，可考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，然后再用三点定形法确定三角形。

【例3】如图，△ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC 延长线于H，求证：DF2=FG⋅FH先证明△AFD与△BFD相似，得到等积式DF2=AF⋅BF，再证明△AFH与△BFG相似【练习】1、如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）AB⋅AC=AD⋅BC （2）DE2=DB⋅CE（2）用AD与AE替换DE，证明△ABD与△ACE相似2、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE=CF，联结AE、FB，FB的延长线交AE于点M，求证：（1）△BEM ∽△BFC （2）CF2=FB⋅ME（1）先证明△ABE与△BCF全等，得到∠E=∠F，可证相似（2）用BE替换CF，证明△CBF与△BME相似3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC 求证：（1）AF=CE （2）BF2=EF⋅AF（1）证明△ABF与△ACE全等（2）用（1）中结论替换AF为CE，再替换BF=AE，证明△AEF与△ACE相似4、已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD（1）求证：△AGE ≌ △DAB （2）延长BD 交AE 于点M ，求证：BG 2=ME ⋅AE（1）SAS（2）BG=CD=DE ，证明△MED 与△ADE 相似5、如图，在△ABC 中，正方形EFGH 内接于△ABC ，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且FB AE EF ⋅=2（1）求证：∠C=90° （2）求证：AH ⋅CG=AE ⋅FB（1）证明△AEH 与△BFG 相似，可得∠A 与∠B 互余（2）可证△HCG 与△BFG 相似，可得FB ：CG=BG ：HG=BG ：GF ，即证明△AHE 与△BFG 相似即可6、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：FD2=FC FB联结AF，替换FD，证明△FCA与△AFB相似7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M、N分别在边AC、BC上，将△MCN沿直线MN折叠，点C 落在AB边上的点P，过点A作AD\\BC交CP的延长线于D求证：（1）∠D=∠PMN （2）PA：PB=MC：CN（1）△MCE与△ACD相似可证角等（或利用等角的余角相等）（2）替换等比式PA：PB=AD：BC，由BC=AC再替换相等线段，证明△ADC与△CNM相似8、已知在△BAC中，AD是角平分线，AE是外角平分线，交BC的延长线于点E，T为DE的中点求证：TE2=BT⋅CT可证∠DAE=90°，即T是直角三角形斜边中点，可得AT=DT=TE，即证△ABT与△ACT相似9、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，EG⊥BC，L是AF的中点，求证：CD2=EG⋅DL 联结EL，ED，将CD替换成DE，证明△DEG与△DEL相似。

2014年五年级暑假第10讲-等积变形与鸟头模型(教师版)

第十讲等积变形与鸟头模型三、鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A例题1【提高】【精英】（1）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是________平方厘米。

【分析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米。

（2）如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH 交于点O ，1S 、2S 、3S 及4S 分别表示四个小四边形的面积。

试比较13S S +与24S S +的大小。

OS 4S 3S 2S 1H GFEDC BAOS 4S 3S 2S 1H GFEDC B A【分析】如右图，连接AO 、BO 、CO 、DO ，则可判断出，每条边与O 点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于13S S +、24S S +这两个不同的组合，所以可知1324S S S S +=+。

例题2【提高】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。

EEBA【分析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。

连接BH 、CH 。

∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△。

同理，BFH CFH S S =△△，S =SCGH DGH，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)。

【精英】如图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是________2cm 。

六年级等积变换刘军辉

教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T (等积变换) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：等积变换模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；baS2S1DCBA如左图12::S S a b=③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCDS S=△△；反之，如果ACD BCDS S=△△，则可知直线AB平行于CD．④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、同步题型分析题型1：等积变换的基本应用。

例1：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBA AB CD E【解析】连接BE．∵3EC AE=∴3ABC ABES S=又∵5AB AD=∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷，∴1515ABC ADES S==．例2：如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC的面积.【解】根据定理：ABCBED∆∆=3211⨯⨯=61，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。

题型2：等积变换的能力提升。

例1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEFS=⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．例2：长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影_H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H12EFGB S =边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积． P DCBAA B C D(P )PDC BA【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．检测题3：如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。

第十六讲等积变换模型直线形计算一分析

直线形计算一等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比）AB 为公共边，所以21::ABCABD ss h h ∆∆=1h 为公共的高，所以12::BD DC s s=（3）两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以()21::)(ABDCDE BD DC h ss h ∆∆=⨯⨯比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6）1．如下图，四边形ABCD 是直角梯形。

其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），并且三角形ADE 、四边形DEBF 、三角形CDF 的面积相等，请问阴影三角形DEF 的面积是多少？2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如下图所示（单位：平方米），请问：剩下一块的面积应该是多少平方米？3．如下图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍．三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？4．如下图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍．三角形ABC的面积是36平方厘米三角形BDE的面积是多少平方厘米？5．如下图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点．三角形AED的面积是多少平方厘米？6．如下图所示，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？7．如下图所示，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD 边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？8．如下图，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形面积的5倍。

请问：三角形ABE的边BE的长是多少？9．如下图，把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米，结果面积增加了71平方厘米（阴影部分）。

小学数学几何五大模型教师版

几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。

2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。

专题三角形中的重要模型-等积模型(老师版)

专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。

图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。

A ．4B ．3【答案】D【分析】利用三角形面积公式，【详解】解：∵BD 是ABC 边A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:CG GF=∴的面积为4，∴△ACG【答案】14.4【分析】连接BF ,据2BE CE =，可得建立方程3182a -=【详解】解：连接∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =，S∴2ABCBDCSS∴==3322ABCABESS ==即3189.2a a -=+解得【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题例5．（2023春·江西萍乡如图1，AD 是ABC=，连接DA (1)如图2，延长ABC的边BC到点D，使CD BC的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使则2S=（用含a的代数式表示）；=，连接FD，(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB则3S=（用含a的代数式表示）；延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE ∴12ACD AED ECD S S S ∆∆∆==，ACD ABC S ∆，22ECD ABC S S a ∆∆∴==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S ∆∆==22S S a ==2BFD S a ∆=，3ECD EFA S S S S ∆∆∴=++，理由如下：理由：∵点E 是线段AD 的中点，1BCEABCS =．C 作CE AB ∥，连接AE模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

【精品】五年级下册数学竞赛第7讲等积模型与等分法北师大版

B 第7讲等积模型与等分法知识导航：等分法是指把一个图形分成若干相等的部分，从而达到求一个部分的面积的效果。

通常分为整体等分和局部等分1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（1）或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比（2）两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

例题精讲：例1：如下图，在三角形ABC 中，DC BC 3=，EC AC 3=。

三角形DEC 的面积是3平方厘米。

问：三角形ABC 的面积是多少？练习1：如下图：E 是BC 上靠近C 的三等分点，且AD ED 2=。

三角形ABC 的面积是36平方厘米。

求三角形BDE 的面积。

练习2：正方形ABCD 的面积为32，E 、F 、G 为BC 边上四等份点，M 、N 、P 为对角线AC 上的四等分点，计算NPG ∆的面积。

例2：三角形ABC 的面积是36平方厘米，AE=DE ，BC=5BD,求阴影部分的面积。

EC D BA214266D C B A练习1：BD=2CD,AE=DE,将BE 延长与AC 交于点F ，已知三角形ABC 的面积是15平方厘米，求阴影部分的面积。

A练习2：如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形 DBE 的面积是多少？．例3：如图，一个长方形的面积被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积如图所示，求阴影部分的面积。

练习1：如图，有 9 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20 平方米。

其余 4 个长方形的面积分别是多少平方米DFC D F E B C D F E B C D E练习2：下图中的数字分别表示两个长方形与一个直角三角形的面积，求阴影部分的直角三角形S 的面积例4：正方形内接于一个等腰直角三角形。

已知正方形面积为72平方厘米，求三角形的面积。

四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第4讲：等积变形(教师版)

第4讲等积变形（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1、三角形的面积=21底边长高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。

2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。

3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。

4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。

1、灵活运用三角形和四边形的面积公式2、掌握三角形的等积变形技巧（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例1:如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？A B EC答案：三角形BDE的面积是4 D解析：连结CE.此时出现两个“同高”模型因为AE=3AB，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC面积：三角形BCE面积=1：2，三角形ABC 面积为1，所以三角形BCE的面积为2，又因为BD=2BC，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE 的面积：CDE的面积=1：1，所以三角形CDE的面积是2，所以三角形BDE的面积是4.例2：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？GFHEC答案：50平方厘米解析:连接CF.则C F∥BD。

则三角形BCD与三角形BDF就是这两条平行线之间的等积模型。

因为他们有一条公共的底边BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。

所以面积相等，而三角形BDC的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。

例3：图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。

小学奥数几何五大模型短期班第一讲教师版讲义

7 / 14
【解析】 A
4 2
B
C
将正六角星等分为 12 个相同的等边三角形，其中三角形 ABC 由 9 个组成，占总体的 9 3．
12 4 A
4 D
11
B
13
E 2C
根据鸟头模型，
SBDE

1113 15 15
SABC

143 225
3 4

S总
=
143 300
S总
，
S阴影

SABC
C
G Q
F
P
O
H
K
G Q
F
P
O
H
K
A
B
E
A
B
E
【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接 FK 、GE 、 BD ，则 BD / /GE / /FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得 SDGE SBGE ， SKGE SFGE ，所以阴影部分的面积就等于正方形 GFEB 的面积，即为102 100 平方厘米．
1.已知正方形 ABCD 边长为10，正方形 BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．
A
D
A
D
F G
F G
J
I
J
I
B
ECH
B
E
C
H
【解析】如果注意到 DF 为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到 DF 与 CI 是平行的．所以可以连接 CI 、 CF ，如上图．由于 DF 与 CI 平行，所以 DFI 的面积与 DFC 的面积相等．而 DFC 的面积为 10 4 1 20 ，所以 DFI 的面积也为 20． 2

五年级上册秋季奥数培优讲义——5-09-等积模型4-讲义-教师

第9讲等积模型【学习目标】1、熟悉等积模型的几种类型；2、会根据底高的关系求面积。

【知识梳理】1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；3、两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

【典例精析】【例1】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

（1）求三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？（2）求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？（1）（12+4）÷4=4（2） 12÷4=3【趁热打铁-1】如图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，AD ＝12厘米，DE ＝3厘米。

求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？12÷3=4【例2】如图，在△ABC 中，4 CDE S △，CE=2AE,BD=3CD ，求△ABC 的面积。

连接AD 或BE.4+4÷2=66×（3+1）=24【趁热打铁-2】如图：CE=2BE ，AC=3CD ，10 CDE S △平方厘米，求△ABC 的面积。

10×3÷2×（2+1）=45（cm ²）【例3】如图，三角形ABC 的面积是40，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点。

求：三角形DEF 的面积。

40÷2÷2÷2=5【趁热打铁-3】如图，在三角形ABC 中，BC ＝8厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？8×6÷2÷2÷2=6（cm²）【例4】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。

平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？连接BF或CE。

10×3×2=60（cm²）【趁热打铁-4】如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？连接AD或CE.1×2×（3-1）=4【例5】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。

3三角形中的模型(一)(教师版)鸟头模型

第三讲三角形中的模型专题解析本讲主要是通过等积变形体会鸟头模型的证明，并在复杂图形中找到鸟头模型来解决相关面积问题。

典型例题解析例1：用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．解析：省略。

练习1(1)用三种不同的方法，把任意一个三角形分成六个面积相等的三角形．解析：省略。

(2)用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为1∶3∶4．(3)如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？解析：12÷4=3（倍）(4)如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？解析：12÷4=3（倍）(5)如右图，在梯形ABCD 中，AC 与BD 是对角线，其交点O ，问：△AOB 与△COD 面积是否相等？解析：相等。

(6)正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？解析：10÷2=5（平方厘米）(7)图中三角形AOB 的面积为15平方厘米,线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD的面积。

解析：15+5+15+45=80（平方厘米）(8)如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1=∆ADES ，求△BEF 的面积。

解析：△BEF 的面积为1。

(9)如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。

问：阴影部分与空白部分的面积比为多少？解析：5x 4x 4x 3x 3x 2x 2x x x例2（1）已知三角形ADE 的面积是1，AD:AB=2:3，AE:AC=1:4，求三角形ABC 的面积。

解析：4×3÷（2×1）×1=6（2）在△ABC 中，D 在AB 的延长线上，BA DA 21=， E 在AC 的延长线上，EC EA 31=，两个三角形的总面积为250平方厘米。

等积变换模型--五大模型

等积变换模型—五大模型一、等积模型简介。

1. 等底等高的两个三角形面积相等；2. 两个三角形高相等，面积之比等于底之比；如图1所示，CD :BD :△△=ACD ABD S S ;3. 两个三角形底相等，面积之比等于高之比；如图2所示，BF :AE :△△=BCD ACD S S4. 在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，BCD ACD S S △△=；反之，如果BCD ACD S S △△=，则直线AB//CD 。

二、将三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？练习：1.画一画：用三种不同方法，把下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为2:1:1。

2.画一画：用三种不同的方法将下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为4:3:1。

3.如图，在梯形ABCD中，共有8个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？三、三角形中的等积变换。

例1：在如图三角形ABC中BD:DC=2:3，AE=EB，甲乙两个图形的面积比是多少？例2：如图所示，三角形ABC 被分成四个小三角形，其中三个三角形的面积分别为8平方厘米、6平方厘米、12平方厘米，求阴影部分的面积。

例3：如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点。

已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE 的面积。

例4：如图，三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

练习：1. 如图所示，在三角形ABC 中，CE=ED=DB ，AF=FB ，三角形ABC 的面积是24平方分米，那么，三角形FDE 的面积是多少平方分米？2. 已知一个大三角形被分成四个小三角形，其中有三个三角形的面积分别是3，4，6，求阴影部分的面积？3. 已知图中△ABC 的每边长都是96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，则线段CE 和CF 的长度之和是多少厘米？4. 如图，已知三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

小学六年级数学第3讲：等积变形(教师版).docx

第三讲普积变形知识械理1.等积模型①等底等高的两个三角形而积相等；②两个三角形高相等，而积比等于它们的底Z比; 两个三角形底相等，血积比等于它们的高之比；如图: S2 = a: b③夹在一组平行线之间的等积变形，如图氐①反之，如果s△心=S△灿，则可知直线AB平行于CD.④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面枳的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ ABC屮，分别是A3, AC上的点如图（1）（或D在脑的延长线上，E在AC上），图(i)3.蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：(DS1:S2=S4:S3或者S,X S3=S2X54 (2)AO:OC = (S1+52):(S4 + 53)蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方而可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.①S|沾3 =亍:b2②S] : S、: S2: S4 = a2: b2: ab: ab ；③S的对应份数为(a + b)2.4.相似模型(一)金字塔模型(-)沙漏模型T AD _ AE _ _ AF~ AB~~AC~~BC~~^G'②S&BC= AF? : AG2•所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的屮位线.三角形中位线定理：三角形的屮位线长等于它所对应的底边氏的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形Z间的边与血积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.5•共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线A0和BC相交于D （有四种情形），则有S E・S MCO =BD:DC在三角形ABC中，AD, BE , CF相交于同一点0,那么: S^co = BD: DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AAB0和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形Z屮，为三角形屮的三角形面积对应底边Z间提供互相联系的途径.AE教学重•难&1 •了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。

小升初22次课程14-等积变化和一半模型教师版)

平面几何图形的面积计算公式不仅要记住，而且要理解其推导过程，最好在理解的基础上记忆。

这样不仅记得牢，而且运用起来也更灵活自如。

对于较复杂的组合图形，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，通过等积变形、一半模型、添加辅助线等方法，推导求解。

所谓“等积变换”是指在解某些几何问题时，通过几何图形的面积相等，相互间进行转换，从而使问题得到解决，主要依据是：平行线间的距离处处相等”以及“等底等高的三角形面积相等”，运用“等积变换”的方法可以简捷、巧妙地解决某些复杂图形的面积; 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b等积变化和一半模型知识结构模块一：等积变化知识精讲内容分析等积变化和一半模型等积变化一半模型baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． ⑦平移前后面积相等【例1】如图，在ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？【难度】★【答案】,,AEC BED DEC【解析】因为D 、E 是BC 、AD 中点，所以BD=DC 、AE=ED ，从而有等底同高可得出答案【总结】考查等底同高模型例题解析【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD=厘米，3DE=厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ED CBA【难度】★【答案】4【解析】当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC 的高，于是三角形ABC的面积=BC×12÷2=BC×6，三角形EBC的面积=BC×3÷2=BC×1.5，所以面积的倍数是4【总结】等相同看高【例3】两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

小学求面积六大模型之：等积模型

小学求面积六大模型之：等积模型
很多同学喜欢数学，尤其是喜欢做图形面积题，但是课本上的知识是有限的，完全按照三角形、平行四边形和梯形面积公式解题，不仅方法少，而且视野不够宽阔。

如果您对数学面积题感兴趣，今天给您介绍一下小学面积题里的六大模型。

第一部分★等积模型
☞结论1:
❶等底等高的两个三角形面积相等；
❷等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
一句话:等底等高，面积相等。

☞结论2:三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
☞结论3:
❶两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

❷两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比。

例题:
练习:已知大正方形边长为6，求阴影面积。

解:。

六年级数学奥数第7讲：等积模型-教案

星系站备课教员：*** 第七讲等积模型一、教学目标： 1. 掌握三角形等积变换的基本模型。

2. 学会构造出模型进行解题。

3. 掌握直线型面积求解的方法。

二、教学重点：等积模型在三角形中的应用。

三、教学难点：构造出模型进行解题。

四、教学准备： PPT 、橡皮、纸条。

五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）上课前，每个学生发一张画有不同三角形或长方形的纸条。

师：同学们都拿到了图形吧？生：拿到了，这有什么用啊？师：同学们能不能画出一个图形，这个图形的面积是所给图形面积的3倍？谁先画出来并且正确的将有大拇指的奖励哦。

学生画图中师：同学们你是怎么画的？生：只要所画的图形与所给的图形的一条边共边，另外一条边是所给图形的另外一条边的3倍就可以了。

师：这位同学们太棒了！这其实就是我们这节课所要学习的内容。

接下来就一起学习这方面的知识。

【板书课题：等积模型】二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）如图，AD 、CE 是△ABC 的两条高，AB=4cm ，BC=10㎝，CE=8㎝，求AD 的长。

师：图中有几条高？生：2条。

师：三角形的面积公式是什么？生：底×高÷2。

师：那么三角形ABC 的面积等于什么？生：21AB ×CE=21×4×8=16（平方厘米）。

师：三角形ABC 的面积还可以等于什么？生：21BC ×AD 。

师：边BC 的长度知道吗？生：知道，等于10厘米。

师：三角形ABC 的面积知道，底边BC 也知道，则BC 边上的高AD 能求出来吗？板书：AD=AB ×CE ÷BC=4×8÷10=3.2（厘米）答：AD 的长是3.2厘米。

（一）星海历练1（5分钟）如图，已知三角形ABC 是直角三角形，AB=3分米，BC=4分米，AC=5分米，求BD 的长。

分析：因为三角形ABC 是直角三角形，又因为三角形的面积等于底与高积的一半，所以三角形ABC 的面积等于21AB ×BC 或者21AC ×BD ，所以BD=AB ×BC ÷AC 。

小学奥数几何模型——等积模型

三角形等积模型例1、△ABC 中，将BC 边四等分，已知△ABC 的面积是20平方厘米，求△ABD 的面积练1、△ABC 中，将BC 边五等分，已知△ABC 的面积是30平方厘米，求△ACD 的面积练2、△ABC 中，BD ＝37DC ，已知△ABD 的面积是60平方厘米，求△ABC 的面积。

练3、下面每幅图都是由两个边长不相等的正方形组成的，求出阴影部分的面积。

例2、△ABC 中，BD ＝34DC ，E 是AB 中点，已知△ABC 的面积是42平方厘米。

(1)求△ABD 的面积。

(2)求△ADE 的面积。

练1、△ABC 中，将AB 边三等分，BC 边四等分，△ABC 的面积是240平方厘米，求△BDE 的面积。

练2、△ABC 中，将AB 边三等分，BC 边五等分，△BDE 的面积是△ABC 的几分之几？练3、△ABC 中，将BC 边三等分，AC 边五等分。

已知△ABC 的面积是300平方厘米，求△BDE 的面积。

练4、△ABC 中，BD ＝2DC ，AE ＝ED ，BF ＝3FE ，△ABC 的面积是36，求△AFE 的面积。

例3、△ABC中，DC＝2BD，CE＝3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求△ABC的面积。

练1、△ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且AB＝3BE，已知四边形EDCA的面积是35，求△ABC的面积。

练2、如图，AD＝DB，AE＝EF＝FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，求△ABC的面积。

练3、如图，△ABC中，BC边五等分，连结AD并将它三等分，再连结BE将它4等分。

已知△ABF的面积是24平方厘米，求△ABC的面积。

例4、如图，长方形ABCD的面积是60平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积练1、图中E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，H是AD边上任一点。

如果正方形的边长是6，求阴影部分的面积。