高等数学Ⅱ(本科类)第2阶段练习题及答案
大学高等数学试题一答案
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《数学试题一》参考答案 一、填空题1、-32、z=(x ²+y ²)3、1ln y y yx dx x xdy -+4、21zye -5、x+y=06、2πR ²7、28、22π二、选择题1、D2、C3、B4、B5、C三、1、解:sin 1lim 1x xx y xy →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1..sin 1lim 1xy x xxyx y xy →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin lim xyx y e→∞→∞=0e =12、解:令u=x+y ,D=xy //12..zf u f v f yf xu xv xδδδδδδδδδδ=+=+2//12///122().z f yf x y yf f f y yyδδδδδδδδ=+∂=++其中 /////11112f fx fyδδ=+ /////22122f f x f yδδ=+所以 2///////////////1112221221112222()()zf xf f y f xf f x y f xyf f x yδδ=++++=++++∂四、 解:所求直线的方向向量10443152i j S i j k k⎛⎫ ⎪=-=--- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭即方向向量(4,3,1)S =---所求直线方程为325431x y z +--==---五、1、解:令2222222x 1x y x y y +=--+=得 ①即在XOY 面上的投影为22x 1y +=由题知P=X Q= -Y R=Z 由高斯公式得xdydz ydzdx zdxdy-+∑⎰⎰22215(111)6dv dv d d dz ρπρπθρρ-ΩΩ=-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰曲面积分为56π。
2、解:连接OA 补全图形,由题知:sin 2xP e y x y=--c o s xQ e y x=-则cos 1xQe y x∂=-∂ c o s 2xPe y y∂=-∂ 由格林公式得(s i n2)(c o s )()2xxLDDQP e y x y dx e y x dy dxdy dxdy x yπ∂∂--+-=-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 对AO 段202(sin 2)(cos )(2)222x xLLxdx xdx e y x y dx e y x dy ππ-=-=---+-=--=+⎰⎰⎰所以六、1、解:由111lim1,R=1n n n n nxn∞-→∞=+=±∑得收敛半径R=1,当时幂级数均发散因此:11S x S x 0x n n nx∞-=→∑收敛域为I=(-1,1),设和函数为()即()=两边从积分x1221111()(1.............)x (1,1)1............1-xxn nxnnnn n n s x dx nxdx xxx x x x x x x ∞∞∞-=-=====+++++∈-=+++++∑∑∑⎰⎰当时()x21()11x s x dx x xx =--⎰所以两边对求导数得s(x)=所以和函数()21()1s x x =-(1,1)x ∈-122111111111122248489114nn n n n n n n n -∞∞∞+===⎛⎫⎛⎫===⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑∑2、解:2()ln(32)ln(1)ln(2)ln(1)ln(1)ln 22x f x x x x x x =++=+++=++++得(]1(1)ln(1),1,11nn n x xx n ∞+=-+=∈-+∑[]11(1)1ln(1)ln(1),2,22122n nn n x x x x n +∞+=-⎛⎫+==+∈- ⎪+⎝⎭∑(]11111(1)11(1)()ln(1)ln 2(1)ln 2,1,11221nnn n n n n n f x xx xx n n ∞∞++++==--=+++=++∈-++∑∑七、解:作拉格朗日函数 M λ、为参数 2L(,,)(1)()x y z x y z z M x y λ=+++-++则22120,120,10,x ,1,1x y z L ux L uy L y x y λλ=+==+==+===-+=得又,111,,m in 122222x y ==±=-所以由题知,最值一定存在,且在极值点取得,则max=1+八、证明:12n 1111,lim ,(......)n n n n n n n n n n n u u s s s s u u u u s u ∞∞∞∞→∞====∴=∴+++=∑∑∑∑ 绝对收敛收敛,设部分和为则是个常数收敛。
大一高数1-9的习题答案
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大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一,对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。
在学习过程中,习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。
下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案,希望能对大家的学习有所帮助。
第一章:极限与连续1. 求以下极限:a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案:2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案:2c) lim(x→0) sinx / x答案:12. 判断以下函数在给定点是否连续:a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案:连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案:不连续第二章:导数与微分1. 求以下函数的导数:a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案:f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案:f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案:f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分:a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案:df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案:df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章:定积分1. 求以下定积分:a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案:1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案:3c) ∫(0 to π) sinx dx答案:22. 求以下定积分:a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案:7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案:19 / 3第四章:不定积分1. 求以下函数的不定积分:a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案:x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案:-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分:a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案:(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案:e^x + ln|x| + C第五章:级数1. 判断以下级数是否收敛:a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案:收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案:发散2. 判断以下级数是否收敛:a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案:收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案:收敛第六章:多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数:a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案:∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案:∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分:a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案:df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案:df = e^xdx + (1 / y)dy第七章:多元函数积分学1. 求以下二重积分:a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案:π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域,顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案:12. 求以下二重积分:a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案:无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案:5 / 2第八章:无穷级数1. 判断以下级数是否收敛:a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案:收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案:收敛2. 判断以下级数是否收敛:a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案:收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案:收敛第九章:常微分方程1. 求以下常微分方程的通解:a) dy / dx = x^2答案:y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案:y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解:a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案:y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案:y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案,希望能对大家的学习有所帮助。
高数一历年真题答案解析
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高数一历年真题答案解析高等数学一是大部分理工科专业本科生必修的一门课程,它是数学基础理论的延伸和拓展。
在学习过程中,历年真题往往是我们检验学习成果、巩固知识点的重要材料。
本文将针对高数一历年真题进行一些常见问题的答案解析,帮助同学们更好地理解和掌握考点。
一. 单变量函数极限与连续性1. 函数极限:函数极限是高数一的重要概念,一般需要灵活运用极限的性质、极限的运算法则等进行计算。
举个例子,假设要求极限$\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$,我们可以通过因式分解将其化简为$\lim\limits_{x \to 2}(x + 2)$,再带入$x=2$得到解答为4。
2. 函数连续性:函数在某一点连续的条件是:极限存在且与函数值相等。
对于某些分段函数,我们在交叉点进行分段函数的边界极限计算时,要注意分段点连续,即$\lim\limits_{x \to a^+}f(x) = f(a)$,$\lim\limits_{x \to a^-}f(x) = f(a)$。
这样我们就能确定极限的值和函数的连续性。
二. 导数与微分1. 导数的定义:导数是函数变化率的极限,定义为$f'(x) =\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$。
除了直接计算导数的定义式外,我们还可以利用一些基本的导数公式,如$(x^n)' = nx^{n-1}$,$(e^x)' = e^x$等。
另外,对于一些复合函数的导数计算,可以通过链式法则进行求导。
2. 微分的意义:微分是函数在某一点的局部线性近似,定义为$df = f'(x)dx$。
微分具有线性性质和局部性质,可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率。
三. 函数的应用1. 泰勒展开:泰勒展开是对函数在某一点的局部近似展开,用于求解函数的值、导数、积分等问题。
《高等数学(一)》练习题参考答案
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《高等数学(一)》练习题一参考答案一、是非题1——5对 错 对 错 错 2——6对 对 对 对 错 11——15错 对 对 错 对 16——20 错 对 错 错 错 21——25错 对 错 对 错 26——30 对 对 对 错 错二、选择题1——5 A B B B D 6——10 C A B A B 11——15 B D D D A 16——20 B B A B B 21——25 D B D B B 三、填空题1、2x; 2、充分; 3、1; 4、0; 5、2y x =-622x e --; 7、必要; 8、12-; 9、)1(21+=x y ; 10、0,1,2y x ==-11、1; 12、21dx x+; 13、2; 14、32y x =-; 15、充分性条件.16、22xxe; 17、dx ; 18、x = 19、1(1)2y x =-; 20、216x x+.21、6e -; 22、1y =; 23、11e --; 24、23; 25、cos 2x dx .三、解答题1、00021limlimlim.4x x x x→→→===2、因为函数()f x 在点0x =连续,故其左右极限都应存在且相等,即由20lim ()lim (1)2xx x f x e--→→=+=,sin 22sin 22lim ()lim lim 2x x x x x f x ax axa+++→→→===,推得 221a a=⇒=. 3、 /////2312()1,()(1)2f x f x f xx=+=-⇒=-.4、因为(2)3f '=,而由定义可知2()(2)(2)lim2x f x f f x →-'=-,故所求极限2()(2)lim32x f x f x →-=-。
5、由243lim ()21x x ax b x →+∞+++=-,而2224343()(1)lim ()lim11(4)()3lim21x x x x x ax b x ax b x x a x b a x b x →+∞→+∞→+∞++++-++=--++--+==-存在,于是必有40,2a b a +=-=,可解得常数,a b 的值分别为-4,-2。
自考高数1试题及答案
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自考高数1试题及答案自考高等数学(一)试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列函数中,不是周期函数的是()。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案:C2. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在x = 1处的导数是()。
A. -1B. 3C. 5D. 7答案:D3. 定积分∫₀¹ x² dx的值是()。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案:A4. 二阶常系数线性微分方程y'' - 5y' + 6y = 0的特征方程是()。
A. r² - 5r + 6 = 0B. r² + 5r + 6 = 0C. r² - 6r + 5 = 0D. r² + 6r + 5 = 0答案:A5. 利用洛必达法则计算极限lim (x->0) [sin(x)/x]的正确步骤是()。
A. 直接代入x=0B. 计算分子的导数C. 计算分母的导数D. 计算分子和分母的导数答案:D6. 方程y² = x在点(4,2)处的切线斜率是()。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案:C7. 函数f(x) = ln(x)的值域是()。
A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案:C8. 利用定积分的几何意义,圆x² + y² = 4与直线y = x所围成的图形的面积是()。
A. 2πB. πC. 1/2πD. 4/3π答案:B9. 微分方程dy/dx + 2y = 8e²x的解是()。
A. y = 4e²x + Ce⁻²xB. y = 2e²x + Ce⁻xC. y = 8e²x + Ce⁻xD. y = Ce²x + 8e⁻²x答案:A10. 函数f(x) = x³在区间[-1, 2]上的最大值是()。
成考专升本《高等数学一》章节试题及答案
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成考专升本《高等数学一》章节试题及答案极限、连续[单选题]()。
Ay=-xBy=x2Cy=-x2Dy=cosx参考答案:A[单选题]曲线y=x3-6x+2的拐点坐标()。
A(0,4)B(0,2)C(0,3)D(0,-2)参考答案:B[单选题]()。
Acsc2xB-csc2xCsec2xD-sec2x参考答案:B[单选题]()。
A较高阶无穷小量B较低阶无穷小量C等价无穷小量D同阶但不等价无穷小量参考答案:C[单选题]()。
A2B1C0D-1参考答案:C[单选题]设f(x)在点x0的某邻域内有定义,()。
ABC-1D2参考答案:A[单选题]设f(x)有连续导函数,()。
ABCD参考答案:A[单选题]()。
A低阶无穷小B等价无穷小C同阶但不等价无穷小D高阶无穷小参考答案:D[单选题]()。
A2B1CD0参考答案:D[单选题]函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x0处可导的()。
A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分条件也非必要条件参考答案:B一元函数微分学[单选题]()。
ABCD参考答案:A[单选题]()。
ABCD参考答案:A[单选题]()。
A0B-1C-3D3参考答案:C[单选题]()。
ABCD参考答案:D[单选题]()。
A0BCD参考答案:A[单选题]()。
A高阶无穷小B低阶无穷小C同阶但不等价无穷小D等价无穷小参考答案:B[单选题]()。
A0BCD参考答案:C[单选题]()。
ABCD参考答案:D[单选题]()。
A1B2CD-1参考答案:C[单选题]()。
A2B1C0D-1参考答案:C空间解析几何[单选题]设f(x)为区间[a,b]上的连续函数,则曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为()。
ABCD不能确定参考答案:B[单选题]方程x=z2表示的二次曲面是()。
A球面B椭圆抛物面C柱面D圆锥面参考答案:C[单选题]方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是()。
高等数学I(本科类)第2阶段考试试题及答案
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江南大学现代远程教育 第二阶段测试卷 考试科目:《高等数学》专升本 第四章至第六章(总分100分) 时间:90分钟__________学习中心(教学点) 批次: 层次: 专业: 学号: 身份证号: 姓名: 得分:一. 选择题(每题4分,共20分)1. 下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 ( B ). (a) ,[2,1]y x =- (b) 2,[2,6]y x = (c)23,[2,1]y x =- (d)1,[2,6]3y x =- 2. 曲线 331y x x =-+ 的拐点是 A(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1)3. 下列函数中, ( ) 是 2cos x x 的原函数. D (a) 21cos 2x - (b) 1sin 2x - (c) 21sin 2x - (d) 21sin 2x 4. 设()f x 为连续函数, 函数1()xf t dt ⎰ 为 (B ).(a) ()f x '的一个原函数 (b) ()f x 的一个原函数(c) ()f x '的全体原函数 (d) ()f x 的全体原函数5. 已知函数()F x 是()f x 的一个原函数, 则43(2)f x dx -⎰等于(C ).(a) (4)(3)F F - (b) (5)(4)F F - (c) (2)(1)F F - (d) (3)(2)F F -二.填空题(每题4分,共28分)6. 函数 333y x x =-+的单调区间为________7. 函数 333y x x =-+的下凸区间为________ 8. tan (tan )xd x ⎰=_______. 9. 233()()x f x f x dx '⎰=_________.10.220062sin x xdx -⎰=___0____. 11. 0cos xdx π⎰=__2__.12. 极限23000ln(1)lim xx x t dttdt →+⎰⎰=________. 三. 解答题(满分52分) 13. 求函数 254(0)y x x x=-< 的极小值。
高数大一习题2-1答案
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高数大一习题2-1答案高数(高等数学)是大学一年级的必修课程之一,对于很多学生来说,高数是一门难以逾越的学科。
而习题是学习高数的重要环节,通过解答习题可以巩固知识,提高解题能力。
本文将为大家提供高数大一习题2-1的答案,希望能对大家的学习有所帮助。
2-1习题是高数中的基础部分,主要涉及到函数的概念、性质和运算。
下面将逐题进行解答。
1. 设函数f(x) = 2x + 3,求f(1)的值。
解答:将x = 1代入函数f(x)中,得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
所以f(1)的值为5。
2. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3,求f(-1)的值。
解答:将x = -1代入函数f(x)中,得到f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8。
所以f(-1)的值为8。
3. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1,求f(2)的值。
解答:将x = 2代入函数f(x)中,得到f(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 1 = 12 + 4 - 1 = 15。
所以f(2)的值为15。
4. 设函数f(x) = x^3 - x,求f(0)的值。
解答:将x = 0代入函数f(x)中,得到f(0) = (0)^3 - 0 = 0。
所以f(0)的值为0。
5. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1,求f(-2)的值。
解答:将x = -2代入函数f(x)中,得到f(-2) = 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3。
所以f(-2)的值为3。
6. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1,求f(3)的值。
解答:将x = 3代入函数f(x)中,得到f(3) = (3)^2 + 2(3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16。
所以f(3)的值为16。
通过以上六道题目的解答,我们可以看到,求函数在某一点的值,只需要将该点的横坐标代入函数中,进行计算即可。
专升本高等数学一(填空题)模拟试卷2(题后含答案及解析)
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专升本高等数学一(填空题)模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有:1.1.函数f(x)=的定义域是_________.正确答案:(一∞,一1)∪(一1,+∞)解析:sinμ的定义域为(一∞,+∞),但中1+x≠0,即x≠一1,故函数f(x)=的定义域为(一∞,一1)∪(一1,+∞).知识模块:函数、极限与连续2.函数f(x)=ln(x+)是_________函数,因而其图形关于_________对称.正确答案:奇,原点解析:f(x)==-ln(x+)=一f(x),所以f(x)为奇函数,其图形关于原点对称.知识模块:函数、极限与连续3.若x→0时,(1一ax2)一1与xsinx是等价无穷小,则a=________.正确答案:一4解析:=1,故a=一4.知识模块:函数、极限与连续4.设f’(x)=g(x),则[f(sin2x)]=________.正确答案:g(sin2x)sin2x解析:[f(sin2x)]=f’(sin2x).(sin2x)’=2sinxcosxf’(sin2x)=sin2xg(sin2x).知识模块:一元函数微分学5.函数F(x)=∫1x(2-)dt(x>0)的单调递减区间是_________.正确答案:0<x<解析:由F(x)=∫1x(2一)dt(x>0),则F’(x)=2一.令F’(x)=0,得时,F’(x)<0,F(x)单调递减.知识模块:一元函数微分学6.设函数f(x)=x2+px+q,有ξ∈(a,b)满足[a,b]上的拉格朗日中值定理,则ξ=_________.正确答案:解析:由拉格朗日中值定理得f’(ξ)==b+a+p,即有2ξ+p=b+a+p,故ξ=.知识模块:一元函数微分学7.=_________.正确答案:解析:,令tanx=μ,则原式=+C.知识模块:一元函数积分学8.已知∫f(x)dx=arctan+C,则f(x)的导数等于_________.正确答案:解析:由∫f(x)dx=arctan+C两边对x求导,得f(x)=,所以f’(x)=.知识模块:一元函数积分学9.函数y=一图像上点(2,一1)处的切线与坐标轴所围成图形的面积为________.正确答案:4解析:y’(x)=,y’(2)=,所以函数在点(2,一1)处的切线为y一(一1)=(x 一2),即y=—2,切线与两坐标轴的交点分别为(0,一2),(4,0),所以切线与两坐标轴所围成图形面积为知识模块:一元函数积分学10.设=π,其中D:a2≤x2+y2≤b2,这里a2+b2=1,则a=_______,b=_______.正确答案:a=0,b=±1解析:由题意得dσ=(b2-a2)π=π,所以b2一a2=1,又b2+a2=1,解之可得a=0,b=±1.知识模块:多元函数积分学11.设L为x2+y2=1上从点A(1,0)到B(-1,0),则∫Ley2dy=_______.正确答案:0解析:∫Ley2dy=∫L0dx+ey2dy,=0,故积分与路径无关,则积分路径也可看作是沿着x轴从A到B,则∫Ley2dy=0.知识模块:多元函数积分学12.微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是_______.正确答案:tany=C(ex一1)3解析:两边同乘以,方程分离变量为,积分得ln|tany|=3ln|ex一1|+1n|C|.所以方程有通解为tany=C(ex一1)3,其中C为任意常数.知识模块:常微分方程13.设二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x,那么非齐次微分方程y’’+ay’+by=1满足的条件y(0)=2,y’(0)=一1的解为________.正确答案:y=4ex一解析:二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为r2+ar+b=0,又由通解可得特征根r1=1,r2=2,即(r一1)(r一2)=0,r2一3r+2=0,故a=一3,b=2.所以非齐次微分方程为y’’一3y’+2y=1,由于λ=0不是特征方程的根,因此,设特解y*=A,则(y*)’=0,(y*)’’=0,代入可得,所以y’’一3y’+2y=1的通解为y=C1ex+C2e2x+,再由y(0)=2,y’(0)=一1,可得C1=4,C2=,故满足初始条件的特解为y=4ex一.知识模块:常微分方程14.设μn≥(n=1,2,…),则级数是________的.正确答案:发散解析:μn≥发散.知识模块:无穷级数15.幂级数xn的收敛半径是________,收敛区间是________.正确答案:解析:=2.所以幂级数xn的收敛半径是,收敛区间是.知识模块:无穷级数16.将展开成x的幂级数为_________.正确答案:解析:知识模块:无穷级数17.设向量a与单位向量j成60°,与单位向量i成120°,且|a|=,则a=_______.正确答案:解析:由题意设向量a的方向角为α,60°,120°,故由cos2α+cos260°+cos2120°=1,可得cos2α=.知识模块:向量代数与空间解析几何18.过原点(0,0,0)且垂直于向量(1,1,1)的平面方程为________.正确答案:x+y+z=0解析:由题意知,平面的法向量为(1,1,1),则平面方程可设为x+y+z+D=0,因该平面过(0,0,0)点,所以D=0,即x+y+z=0.知识模块:向量代数与空间解析几何19.设准线C为则母线平行于z轴的柱面方程为________.正确答案:3x2一y2=1解析:欲求母线平行于z轴的柱面方程,只要求出xOy平面上的准线方程即可,而此准线就是C在xOy平面上的投影曲线.由方程组消去z即得C在xOy平面上的投影曲线方程所以所求的柱面方程为3x2一y2=1.知识模块:向量代数与空间解析几何20.函数y=ln(x+1)在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=________。
北京邮电大学高等数学阶段作业二答案
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北京邮电大学高等数学阶段作业二答案一、单项选择题(共20道小题,共100.0分)1. 设,则曲线在区间内沿X轴正向( )A. 下降且为凹B. 下降且为凸C. 上升且为凹D. 上升且为凸知识点: 第五章导数的应用学生答[A;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:2.3. 若曲线有拐点,则一定有( )A.B.C. 不存在D. 或不存在知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:4.5. 当时,;当时,,则必定是的( )A. 驻点B. 极大值点C. 极小值点D. 以上都不对知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:6.7. 在区间(0,1)内为单调减少函数的是( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:8.9. ( )A. 1B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:10.11.若存在有穷极限,则的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:12.13.已知,则( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:14.15.下列分部积分中,选择正确的是( )A. ,令B. ,令C. ,令D. ,令知识点: 第六章不定积分学生答[A;] 案:得分: [5] 试题分5.0值:提示:16.17.设是的一个原函数,则( )A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[B;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:18.19.若,则( )A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:20.21.设函数的导数是,则的全体原函数是( )A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[C;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:22.23.是( )的一个原函数.A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[B;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:24.25.设,则( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案: 得分: [5] 试题分值: 5.0提示:26.27.( )A. 0B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:28.29.若,则常数( )A. 1B.C. 0D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:30.31.极限( )A.B. 0C. 1D. 2知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案: 得分: [5] 试题分值: 5.0提示:32.33.( )A. 0B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案: 得分: [5] 试题分值: 5.0提示:34.35.(错误)设,则有( )A. .极小值B. 极小值C. 极大值D. 极大值知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案: 得分: [0] 试题分值: 5.0 提示:36.设函数在上是连续的,下列等式中正确的是( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0 提示:37.38.设函数在闭区间上连续,则曲线与直线所围成的平面图形的面积等于( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[D;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0 提示:39.一、单项选择题(共20道小题,共100.0分)1. 设存在二阶导数,如果在区间内恒有( ),则在内曲线上凹.A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:2.3. 若点(1,3)是曲线的拐点,则的值分别为( )A.B.C.D. 以上都不对知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:4.5. 若曲线有拐点,则一定有( )A.B.C. 不存在D. 或不存在知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:6.7. 设,则为在上的( )A. 极小值点但不是最小值点B. 极小值点也是最小值点C. 极大值点但不是最大值点D. 极大值点也是最大值点知识点: 第五章导数的应用学生答[B;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:8.9. 若函数在点处可导,则它在点处得到极值的必要条件为( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:10.11.当时,;当时,,则必定是的( )A. 驻点B. 极大值点C. 极小值点D. 以上都不对知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:12.13.函数的单调增加区间为( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[A;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:14.15.在区间(0,1)内为单调减少函数的是( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:16.17.( )A. 1B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:18.19.若,则( )A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:20.21.若,则下列各式中正确的是( )A.B.C.D. 知识点: 第六章不定积分学生答[B;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:22.23.设函数的导数是,则的全体原函数是( )A.B.C.D. 知识点: 第六章不定积分学生答[C;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:24.25.设,则( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:26.27.设函数为上连续函数,则定积分( )A. 0B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[D;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:28.29.已知是的一个原函数,则( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:30.31.极限( )A.B. 0C. 1D. 2知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:32.33.设,则有( )A. .极小值B. 极小值C. 极大值D. 极大值知识点: 第七章定积分及其应用学生答[A;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:34.35.( )A.B.C. 0D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;]案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:36.37.设(为常数),则( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[D;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:38.39.设在闭区间上连续,( )A. 等于零B. 小于零C. 大于零D. 不能确定知识点: 第七章定积分及其应用学生答[A;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:40.。
高数(一)试题(1)参考答案
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高等数学(一)(第一章和第二章练习题)参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 1.设f (1-cos x )=sin 2x, 则f (x )=( A ) A.x 2+2x B.x 2-2x C.-x 2+2x D.-x 2-2x解:设:1cos x t -= c o s1x t ∴=+ ()()()21c o s 1c o s 1c o s 1c o s f x x x x -=-=+- ()()2112ft t t t t ∴=++=+ ()22f x x x =+ 2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=,则=ϕ)]x ([f ( D ) A.2x 2B.x2xC.x 2xD.22x解:()2f t t = ()()22[()]222xx xf x f ϕ===3.函数y=31x1ln -的定义域是( D ) A .),0()0,(+∞⋃-∞ B .),1()0,(+∞⋃-∞ C .(0,1] D .(0,1)解:110x -> 10x x-> 01x ∴<< ()0,1x ∴∈ 4.设f(x)=⎩⎨⎧>≤0x ,x 0x ,x ,则f(x)在点x=0处( D )A .无定义B .无极限C .不连续D .连续解:()00f = ()0lim lim 0x x f x x --→→== ()0lim lim 0x x f x ++→→==()0l i m 0x f x →∴= ()()0l i m 0x fx f →= 0x ∴=处连续5.函数2x x y -=的定义域是( D ) A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0,1]解:20x x -≥ ()10x x ∴-≥ []0,1x ∴∈ 6.∑∞==1n n)23ln (( ) A.23ln 3ln - B. 3ln 23ln - C. 3ln 21-D. 3ln 2)3(ln n-解:此为等比级数,1ln 32a =ln 32q =11l n 3l n 3l n 32()212ln 312n n a q ∞====---∑ 7.设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ,则( A )A.x211- B.x 12- C.x2)1x (2- D.x)1x (2- 解:设1t x= 1x t ∴= ()11111t f t t t∴==-- ()1212f x x ∴=-8.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=( ) A.x+3 B.x-3 C.2xD.-2x解:()()12;12f a b f a b -=-+==+=- 2;0a b ∴=-= ()2f x x∴=- 9.lim()1xx x x →∞=+( B ) A.eB.e -1C.∞D.1解:111lim()lim 111xxx x x e x e x -→∞→∞⎛⎫ ⎪=== ⎪+ ⎪+⎝⎭ 10.函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是( D )A.),1()2,(+∞---∞B.),1()1,(+∞---∞C.),1()1,2()2,(+∞-----∞D.[)+∞,3解:()()30210x x x -≥⎧⎪⎨+-≠⎪⎩3x ∴≥ [)3,x ∴∈+∞11.设函数⎩⎨⎧-=-≠++=1x a 1x )1x ln()1x ()x (f 2 , , 在x=-1连续,则a=( D )A.1B.-1C.2D.0解:1x =- 处连续, ()()11lim x f f x →-∴-=()()()()()211112122ln 11lim 1ln 1limlim2lim 101111x x x x x x a x x x x x →-→-→-→-⋅++∴=++===-+=-++12.设f(x+1)=x 2-3x+2,则f(x)=( B ) A.x 2-6x+5 B.x 2-5x+6 C.x 2-5x+2 D.x 2-x 解:设1x t += 1x t =- ()()()22131256f t t t t t =---+=-+ ()256f x x x =-+13.已知f(x)的定义域是[0,3a],则f(x+a)+f(x-a)的定义域是( ) A .[a,3a] B .[a,2a] C .[-a,4a]D .[0,2a]解:0303x a a x a a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 324a x aa x a-≤≤⎧∴⎨≤≤⎩ 2a x a ≤≤ [],2x a a ∴∈14.=→xsin x 1sinx lim20x ( D )A .1B .∞C .不存在D .0解:0,sin x x x →∴ 原式= 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x→→==15.函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是( C ) A .|x|≤1 B .|x|<1 C .0<|x|≤1D .0<|x|<1解:2010x >-≥⎪⎩ 011x x ≠⎧∴⎨-≤≤⎩ 01x ∴<≤16.0x lim →x 2sin2x1=( A )A .0B .1C .-1D .不存在解:0x lim →x 2sin 2x 1=017.函数y=1-cosx 的值域是( C ) A.[-1,1] B.[0,1] C.[0,2]D.(-∞,+∞)解:cos 1,110x y ==-=;()cos 1,112x y =-=--= 02y ≤≤ []0,2y ∴∈ 18.设2a 0π<<,则=→x x sin lim a x ( D )A.0B.1C.不存在D.aasin 解:=→x x sin lima x sin aa19.下列各式中,正确的是( D )A.e )x 11(lim x 0x =++→B.e )x 1(lim x 10x =-→ C.e )x11(lim x x -=-∞→D.1x x e )x11(lim -∞→=-解:()1111lim(1)lim 1x x x x e x x -⋅--→∞→∞⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭20.设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=( B ) A .x(x-1) B .x(x+1) C .(x-1)2-(x-1) D .(x+1)(x-2)解:设1x t -= 1x t =+ ()()()()22111f t t t tt t t ∴=+-+=+=+()()1fx x x =+21.设f(x)=ln4,则0x lim →∆=∆-∆+x)x (f )x x (f ( C )A .4B .41C .0D .∞解:0x lim→∆=∆-∆+x )x (f )x x (f 0ln 4ln 4lim0x x∆→-=∆ 22.设函数f (x )的定义域为[0,4],则函数f (x 2)的定义域为( D ) A.[0,2] B.[0,16] C.[-16,16]D.[-2,2]解:204x ≤≤ 24x ≤ 22x -≤≤ []2,2x ∴∈-23.xx x 1lim→=( C )A.0B.1C.-1D.不存在解:11limlim 1x x x xx x→→== 24.设f(t)=t 2+1,则f(t 2+1)=( D ) A.t 2+1 B.t 4+2 C.t 4+t 2+1 D. t 4+2t 2+2解:()21f x x =+ ()()2224211122ft t t t ∴+=++=++25.数列0,31,42,53,64,…的极限是( ) A.0 B.n2n - C.1 D.不存在解:11n n x n -=+ 111l i m l i m l i m1111n n n n n n x n n→∞→∞→∞--∴===++ 26.设1)1(3-=-x x f ,则f (x )=( B )A .x x x 2223++B .x x x 3323++C .12223+++x x xD .13323+++x x x解;设1x t -= 1x t =+ ()()3321133f x t t t t ∴=+-=++()3233f x x x x ∴=++ 27.下列极限存在的是( D ) A .11lim-→xx eB .xx e 1lim → C .x x sin lim ∞→D .221limx x x -∞→解:2221limlim 1111x x x x x →∞→∞==--- 28.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是( C )A.(-1,51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞)解:()0,ln1x f x ==;()1,ln 25x f x ==; ()ln1ln 2f x ≤≤ 29.设函数g (x)在x = a 连续而f (x) = (x-a)g(x),则'f (a) =( D ) A.0 B.g '(a) C.f (a)D.g (a)解:()()()()()()()()f x x a g x x a g x g x x a g x ''''=-+-=+- ()()()()()f ag a a a g a g a''=+-= 30.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,11)(x x xx x f ,则x =0是f (x )的( A ) A .可去间断点 B .跳跃间断点 C .无穷间断点 D .连续点解:()00f =()000111lim 2x x x x f x →→→→====()()0l i m 0x fx f →≠ 但极限存在,此为可去间断点31.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是( D ) A.(-1,1) B.[-1,1] C.[-1,0] D.[0,1]解:1211x -≤-≤ 022x ∴≤≤ 01x ≤≤ []0,1x ∴∈ 32.设函数y =f (x )的定义域为(1,2),则f (ax )(a <0)的定义域是( B )A.(a a 2,1)B.(a a 1,2) C.(a ,2a)D.(a a,2]解:12ax << 0a < 12x a a ∴>> 21,x a a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭33.函数f (x )=2211⎪⎭⎫⎝⎛--x 的定义域为( B )A .[]1,1-B .[]3,1-C .(-1,1)D .(-1,3)解:21102x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 2112x -⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭1112x --≤≤ 212x -≤-≤ 13x -≤≤ []1,3x ∴∈-34.设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<02302sin 2 x k x x x x x在x =0点连续,则k =( C )A .0B .1C .2D .3解:()0f k = ()00sin 2lim lim2x x xf x x→→== 0x = 处连续()()00lim x f f x →∴= 2k ∴=35.函数f (x )=21sin 2x x++是( C )A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数解:1sin 1x -≤≤ 12s i n 3x ∴≤+≤ 22212s i n 303111x x x x +∴≤≤≤≤+++ 36.函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是( C ) A .(-1,+∞) B .(0,+∞) C .(1,+∞) D .(0,1)解:010x x >⎧⎨->⎩ 1x ∴> ()1,x ∈+∞37.极限=→xxx 62tan lim0( B )A .0B .31C .21D .3解:0,tan 22x x x → 00tan 221limlim 663x x x x x x →→==二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.已知f (x +1)=x 2,则f (x )=________.解;设1x t += 1x t =- ()()21f t t ∴=- ()()21f x x ∴=-2.无穷级数 +++++n 31313112的和等于________.解:此为等比级数,111,3a q ==1211113113331213n a q +++++===-- 3.设函数f(x)的定义域是[-2,2],则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________. 解:212212x x -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩ 1331x x -≤≤⎧∴⎨-≤≤⎩11x -≤≤ []1,1x ∴∈-4.=-++∞→]x ln )2x [ln(x lim x ___________.解:22lim [ln(2)ln ]lim ln lim ln 1x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+⎛⎫⎛⎫+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222lim ln 1lim ln 1ln 2xxx x e x x ⋅→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.函数y=x ln ln 的定义域是 . 解:0ln 0x x >⎧⎨>⎩1x x >⎧⎨>⎩ 1x ∴> ()1,x ∴∈+∞ 6.nn 999.0lim ⋅⋅⋅∞→= . 解:1lim0.999lim 1110n n n n→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅=-= ⎪⎝⎭7.=∞→x21sinx 3lim x . 解:1110,0,sin 222x x x x →∴→∴ 113l i m 3s i n l i m 3222x x xx x x →∞→∞=⋅= 8.设⎩⎨⎧<-≥+=0x ,1x 0x ,1x )x (f ,则f (-1)= ___________.解:()1112f -=--=-9.=-+∞→)n 1n (n lim n ___________.解:n n =1l i l2n n n→∞====10.2x2xlim2x--→= ___________.解:()()()2222lim2x x xx xx→→→--==-2l i22x→=11.设函数1x2y+=,其反函数的定义域是________________.解:反函数的定义域是原函数的值域;而原函数的值域为0y≥其反函数的定义域是()0,+∞12.=--+∞→)nnn3n(limn________________.解:nn→∞=4l i l211 n n nn n+-=====+13.在一个极限过程中,变量u的极限为A的充分必要条件是u=A+α,其中α是极限过程中的________________.解:无穷小14.若f(x+1)=x+cosx则f(1)=__________.解:设11x+=0x=()10c o s01f=+=15..__________1n5n)n1(lim233x=++-∞→解:()()33333323233331111(1)lim lim lim151515111n n nnn nnn nn nn nn n n→∞→∞→∞⎛⎫--⎪--⎝⎭====-++++++16.函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.解:()1ln 2y x -=+ 12y x e -+= 12y x e-∴=- 反函数是12x y e -=-17. =∞→xxarctan limn _______.解:arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞=⋅=18.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。
(整理)高等数学(1)-2习题册答案(第十一章1-4节)
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第十一章 曲线积分与曲面积分第17次课 对弧长的曲线积分1.计算下列各题中的曲线积分: (1)cos d Ly s ⎰,其中L 为原点至点(2,1)的直线段;解:2200cos 2L x yds ⎤===⎥⎦⎰⎰ (2)d Lx s ⎰,其中L 为抛物线221y x =-介于1x =及0x =之间的一段弧;解:131222001121(116)(116)3232348Lxds x x ⎡⎤==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰(3)()d Lx y s +⎰,其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界;解:()()()()LOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++⎰⎰⎰⎰111((0x y =++++⎰⎰⎰11221000122x y =++=+(4)222()d Lx y s +⎰,其中L 为圆周222x y a +=;解:2222245()()22LLx y ds a ds a a a ππ+==⋅=⎰⎰(5)||d Lxy s ⎰,其中L 为圆周222x y a +=;解:根据xy 在四个象限的对称性,有14LL xy ds xy ds =⎰⎰(其中1L 是在第一象限的四分之一圆周),则12044(cos )(sin LL xyds xyds a t a t π==⎰⎰⎰333220sin 2(2)(cos 2)2atd t a t a ππ==-=⎰(6)222d z s x y Γ+⎰,其中Γ为圆周cos ,sin ,,02x a t y a t z at t π===≤≤. 解:22220z dsx yπτ=+⎰⎰222330013t dt t a ππ===⎰2.计算曲线积分22d x y Les +⎰,其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解:2240ax y Leds π+=++⎰⎰⎰ 4002(1)4aax a a ae t e ae e ππ=++=+-3.有一铁丝成半圆形cos ,sin (0)x a t y a t t π==≤≤,其上每一点的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.解:220sin (cos )2LM yds a a t a ππ===-=⎰⎰提高题:1.已知椭圆23:143x y L +=周长为a ,求22(234)d L xy x y s ++⎰. 解:原式(122)121212012LLLxy ds ds xyds a a =+=+=+=⎰⎰⎰2.计算曲线积分4433()d Lx y s +⎰,其中L 为星形线33cos ,sin (0)2x a y a πθθθ==≤≤在第一象限内的弧.解:4444433320()d (sin cos Lx y s a πθθθ+=+⎰⎰7772556633322000113(sin sin cos cos )3sin cos 66a d d a a πππθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰第18次课 对坐标的曲线积分1.计算下列各题中的曲线积分: (1)(2)d Lx y x +⎰,其中L 为从点(2,0)-到点(0,2)的直线段.解:02(2)(22)2Lx y dx x x dx -+=++=-⎰⎰(2)22d d Lxy y x y x -⎰,其中L 为圆周221x y +=,逆时针方向.解:2222220cos sin cos cos sin sin Lxy dy x ydx t t tdt t t tdt ππ-=+⎰⎰⎰2222000sin 21cos 411sin 4244162t t dt dt t t ππππ-⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰(3)d Lxy x ⎰,其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧(按逆时针方向). 解:LAOOAxydx xydx xydx =+⎰⎰⎰半圆周232320(cos )sin (sin )0sin sin cos aa a t a t a t dt dx a tdt a t tdt πππ=+⋅-+=--⎰⎰⎰⎰33233330001cos 2111sin sin sin 2sin 22432t a dt a td t a t t a ta πππππ-⎛⎫=--=---=-⎪⎝⎭⎰⎰(4)d d d Lx x y y z z ++⎰,其中Γ为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段.解:()1112[(1)(12)2(13)3](614)6713Lxdx ydy zdz t t t dt t dt t t++=+++⋅++⋅=+=+=⎰⎰⎰(5)d d L x yx y ++⎰,其中L 为从点(0,1)A -到点(1,0)B 再到点(0,1)C 的折线段.解:1001(11)(11)2L AB BC dx dy dx dy dx dydx dx x y x y x y +++=+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰2.计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L :(1)抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧; (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;(3)曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解:(1)2222321134=[()2()](2)3y y y y y dy y y y dy ++-=++=⎰⎰原式 (2)441112121108=[()()]()113333399x x x x dx x dx ++++-⋅=+=⎰⎰原式 (3)122220{(211)(41)[1(21)]2}t t t t t t t t dt =+++++++-++⎰原式132032(10592)3t t t dt =+++=⎰3.计算曲线积分2(12)d d Lxy x x y ++⎰,其中L 为从点(1,0)到点(1,0)-的上半椭圆周2221(0)y x y +=≥.解::cos ,,:02L x t y t t π==→20=[(1cos )(sin )cos cos ]2t t t tt dt π+-+⎰原式220sin sin sin (1sin )sin 2tdt td t t d t πππ=-+-⎰⎰ 2=-提高题: 1.计算曲线积分2sin 2d 2(1)d Lx x x y y +-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段.解:220=[sin 22(1)sin cos ]sin 2x x x x dx x xdx ππ+-=⎰⎰原式2200011cos 2cos 2cos 222x d x x x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰ []2200011111sin 2sin 2sin 222222xd x x x xdx πππππ=-+=-+-⎰⎰212π=-2.设在力场F y x z (,,)=-作用下,质点由(,0,0)A R 沿Γ移动到(,0,2)B R k π,其中Γ为 (1)cos ,sin ,x R t y R t z kt ===; (2)AB . 试求力场对质点所作的功. 解:(1)222220d d d ()d 2()W y x x y z z R k t t k R πππΓ==-+=-+=-⎰⎰(2)直线的参数方程为,0,2,:01x R y z kt t π===→12220d d d (2)d 2ABW y x x y z z k t t k ππ=-+==⎰⎰第19次课 格林公式及其应用1.应用格林公式计算下列各题中的积分: (1)22d d Lx y x xy y -⎰,其中L 为正向圆周222(0)x y a a +=>.解:22,Q Py x x y∂∂=-=∂∂,由格林公式 原式2222440011()()2()42a Dy x dxdy d r rdr a a πθππ=--=-=⋅-=-⎰⎰⎰⎰(2)()d (3)d Lx y y x y x -++⎰,其中L 为以(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)A B C D 为顶点的正方形沿顺时针方向. 解:1,3Q Px y∂∂==∂∂,由格林公式 原式(13)222DDDdxdy dxdy S=--===⎰⎰⎰⎰(3)22222(32)d (223)d x x Ly e x xy y x ye x xy y y ++++++-⎰,其中L 是半圆周y =自点(1,0)A 至(0,1)B .解:222,222x x Q Pye x y ye x y x y∂∂=++=++∂∂,由格林公式 原式L BO OABO OA++=--⎰⎰⎰012210(23)3Ddxdy y y x dx =---⎰⎰⎰⎰1=-(4)22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰,其中L 是在圆周y =上由点(0,0)到(1,1)的一段弧. 解:1,1Q Px y∂∂=-=-∂∂ 设(1,1),(1,0)B A ,由格林公式 原式L BA AOBAAO++=--⎰⎰⎰0022110[(1sin )]Ddxdy y dy x dx =---+-⎰⎰⎰⎰311710(sin 2)sin 224364=--+=-+2.利用曲线积分计算星形线33cos ,sin (0,02)x a t y a t a t π==>≤≤所围成图形的面积.解:23232011[cos 3sin cos sin (3cos sin )]22L A xdy ydx a t a t t a t a t t dt π=-=⋅-⋅-⎰⎰ 2222222220003331c o s 4s i n c o s s i n 22882t a t t d t a t d t a d t πππ-===⎰⎰⎰ 238a π=3.证明曲线积分21d d L y x y x x -⎰在右半平面内与路径无关,并求(1,2)2(2,1)1d d y x y x x -⎰.解:21Q Px x y∂∂==∂∂(0)x > ∴曲线积分在区域{}(,)0x y x >与路径无关 设(2,1),(1,2),:3,:21A B AB y x x =-+→则(1,2)1222(2,1)21131d d d d [(1)]AB y y x x y x y dx x xx x x x -+-=-=-⋅-⎰⎰⎰ 12332x =-=-4.验证表达式:2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--在整个平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .解:22Q Px y x y∂∂=-=∂∂ ∴2222(2)d (2)d x x y y x x x y y y +-+--是某一函数(,)u x y 的全微分(,)2222(0,0)(,)(2)d (2)d x y u x y x xy y x x xy y y =+-+--⎰(,0)(,)222(0,0)(,0)(2)x x y xyx x d x x x y y d y=+=+--⎰⎰⎰⎰ 32231133x x y xy y =+--提高题:1.设曲线积分2d ()d L xy x y x y ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续导数,且(0)0ϕ=,求()x ϕ,并求积分(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰的值. 解:曲线积分与路径无关可得2()Q P xy y x x yϕ∂∂'==∂∂即 从而2()2()x x x x C ϕϕ'=⇒=+,又(0)0ϕ=有2()x x ϕ= 故(1,1)123(0,0)01d ()d 22xy x y x y x dx ϕ+==⎰⎰2.[()]d [()]d x x L f y e my x f y e m y '-+-⎰,其中()f y 有连续的一阶导数,L 是连续点1(0,)A y ,2(0,)B y 的任何路径,且L 与直线AB 所围成区域的面积为定值S ,L 总是位于直线AB 的左方. 解:(),()x x Q P f y e f y e m x y∂∂''==-∂∂ 不妨设12y y <,由格林公式 原式12[()]y L BA BA y D mdxdy f y m dy +'=-=---⎰⎰⎰⎰⎰ 212121[()]()()()y D y mS f y my mS f y f y m y y =-+-=-+---第20 次课 对面积的曲面积分1.计算下列各题中的曲面积分:(1)d z S ∑⎰⎰,其中∑为上半球面z =解:222:xy D x y R +≤xy D zdS ∑=⎰⎰⎰⎰ 23xy D Rdxdy R R R ππ==⋅=⎰⎰(2)()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为锥面z =被平面1z =所截下的有限部分. 解:22:1xy D x y +≤()d (xy D x y z S x y ∑++=+⎰⎰⎰⎰2100(cos 1)d r sin rdr πθθθ=++⋅⎰20(cos sin 1)3d πθθθ=++⎰=(3)d S ∑⎰⎰,其中∑是平面1=++z y x 在第一卦限被0,0,0===z y x 截下的部分.解:∑的等边三角形,其面积为2S ∑=d S S ∑∑==⎰⎰(4)S ∑,其中∑为抛物面22z x y =+被平面1z =所截下的有限部分.解:22:1xy D x y +≤xyD S ∑=⎰⎰ 2122200(144)(14)xy D x y dxdy d r rdr πθ=++=+⎰⎰⎰⎰ 3232ππ=⋅=(5)()xy yz zx dS ∑++⎰⎰,其中∑为锥面z =被柱面222(0)x y ax a +=> 所截得的部分.解:222:()xy D x a y a -+≤()d [(xy D xy yz zx S xy x y ∑++=++⎰⎰⎰⎰2cos 22202[sin cos (sin cos )]a d r r rdr πθπθθθθθ-=++⎰454522(sin cos sin cos cos )d ππθθθθθθ-=++⎰422420(1sin )sin d πθθ=-=⎰(6)d ,:xy S ∑∑⎰⎰曲面22(01)z x y z =+≤≤在第一卦限的部分. 解:22:1(0,0)xy D x y x y +≤≥≥d xy D xy S ∑=⎰⎰⎰⎰12200sin cos d r πθθ=⎰⎰12001sin cos 2d πθθθ=⋅⎰⎰2201111sin 22242t d t dt πθθ-=⋅⋅⎰25311111cos 232253240o t t πθ⎛⎫⎛=-⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝2.计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰,:∑抛物面222z x y =--在xOy 平面上方的部分,(,,)f x y z 分别如下:(1)(,,)1f x y z =; (2)22(,,)f x y z x y =+; (3)(,,)3f x y z z =.解:22:2xy D x y +≤(1)(,,)d xyD f x y z S S ∑∑==⎰⎰⎰⎰20d πθ=⎰1313263ππ=⋅=(2) 22(,,)d (xy D f x y z S x y ∑=+⎰⎰⎰⎰200d πθ=⎰ 14914926030ππ=⋅=(3) 22(,,)d 3(2xyD f x y z S xy ∑=--⎰⎰⎰⎰2200d r πθ=-⎰11111122010ππ=⋅=提高题: 1.设曲面:1x y z ∑++=,求()d x y S ∑+⎰⎰. 解:由曲面的对称性和函数x 的奇偶性可知0xdS ∑=⎰⎰又曲面∑对坐标,,x y z 具有轮换对称性()d d d x y S x S y S∑∑∑∴+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 10()3x y z dS ∑=+++⎰⎰11183332dS S ∑∑===⋅=⎰⎰第21次课 对坐标的曲面积分1.计算下列各题中的曲面积分:(1)d d z x y ∑⎰⎰,其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分的上侧.(2)22d d x y z x y ∑⎰⎰,:∑球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.(3)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为球面2221x y z ++=上半部分外侧.(4)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,:∑柱面221(03)x y z +=≤≤在第一卦限内的部分的前侧.(5)d d d d xy z x z x y ∑+⎰⎰,其中∑为抛物面22z x y =+在0,0,01x y z ≥≥≤≤内部分的上侧.2.求()d d ()d d ()d d y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰,其中∑为曲面z =及平面(0)z h h =>所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.3.计算()d d ()d d ()d d f x y z g y z x h z x y ∑++⎰⎰,其中(),(),()f x g y h z 为连续函数,∑为直角平行六面体0,0,0x a y b z c ≤≤≤≤≤≤的表面外侧.提高题:1.把对坐标的曲面积分:(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:∑是平面236x y z -+=在第二卦限部分的上侧.2.设曲面∑是z =的上侧,求2d d d d d d xy y z x z x x x y ∑++⎰⎰.第22次课 第十一章 总复习题1.计算下列曲线积分:(1)d L x S ⎰, 其中L 为星形线332cos 2sin x t,y t ==经过点(2,0)A ,(0,2)C ,(2,0)B -的ACB 弧段.(2)22d d L y x y x y x -⎰,其中L 是圆周222x y a +=,沿顺时针方向.(3)求zds Γ⎰,其中Γ为曲线0cos sin ,(0)x t t y t t t t z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩.(4)求(sin 2)d (cos 2)d x x L e y y x e y y -+-⎰,其中L 为上半圆周222()(0)x a y a y -+=≥,沿逆时针方向.2.验证22(e cos 2)d (2e sin )d x xy xy x x y y y ++-是否是某一函数()u x,y 的全微分.若是,试求出()u x,y .3.设L 为平面曲线:222x y R +=,计算下列各积分:(1)22()d L x y s +⎰; (2)22()d L x y x +⎰,其中L 取正向; (3)22()d D x y σ+⎰⎰,其中D 为曲线L 所围成的平面区域.4.计算33d d L y x x y -⎰,其中L 是从(,0)A R -到(,0)B R 的上半圆周y =5.设曲面:∑2222x y z R ++=,计算下列各曲面积分:(1)222()d x y z S ∑++⎰⎰; (2)222()d d x y z z x ∑++⎰⎰,其中∑取其外侧; (3)222()d x y z V Ω++⎰⎰⎰,其中Ω为曲面∑所围成的空间区域.6.计算∑∑为介于0z =及(0)z H H =>之间的柱面222R x y =+.。
高等数学(一)本科-练习题 (含答案)
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《高等数学Ⅰ》练习题一、单项选择题(1) f(x)在x 0连续是0)(lim x x x f → 存在的( )。
A.必要条件B.充分条件C.充要条件D. 无关条件(2) x→∞时,f(x)=)1(sin x 3cosx 是21x的( )。
A.等价无穷小 B.高阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D. 低阶无穷小(3) f(x 0+0)与f(x 0-0)存在且相等,是)(lim 0x f x x →存在的( )。
A.必要条件 B.充分条件 C. 无关条件D. 充要条件(4) f +(0)=f -(0)=a ,则xx f x f x x 2)()2(lim 0-→ =( )。
A. 2a B. 0 C. a D. a /2(5) f(x)在x 0连续是f’(x 0)存在的( )。
A.必要条件B.充分条件C.充要条件D. 无关条件(6) 若f(x)在x 0取得极小值,则f(x)在x 0必然满足( )。
A. 在x 0连续B. f’(x 0)=0C. f’(x 0)=0且f 〃(x 0)>0D. f’(x 0)=0或f’(x 0)不存在(7) 在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的函数是( )。
A. f(x)=|x|,x ∈[-1,1]B. f(x)=32)1(-x ,x ∈[0,9]C. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>0,20,sin x x x x ,x ∈[0,2π]D. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>+0,10,)1ln(x x x x ,x ∈[0,1] (8) 若f(x)可微,下列各式中,不成立的是( )。
A. f(x)=f(0)+f’(0)x+o(x)B. ln (1+x 2)≈x , |x|<<1C. e x ≈x, |x|<<1D. f(2a+△x)-f(2a)≈f’(2a)△x, |△x|<<1(9) 计算积分⎰+dx x a 22时应作变量代换( )。
2021年高等数学一(专升本)考试题库(含答案)
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2021年高等数学一(专升本)考试题库(含答案)单选题1.A、AB、BC、CD、D答案:B解析:2.设.f(x)在[a,b]上连续,x∈[a,b],则下列等式成立的是()A、AB、BC、CD、D答案:B解析:由可变限积分求导公式知选B。
3.A、x+yB、xC、yD、2x答案:D解析:4.A、-1/2B、0C、1/2D、1答案:B解析:5.设f(x)在点xo的某邻域内有定义,()A、AB、BC、CD、D答案:A解析:6.A、-2B、-1C、0D、2答案:D解析:由复合函数链式法则可知2,应选D.7.下列方程为一阶线性微分方程的是().A、AB、BC、CD、D答案:C解析:一阶线性微分方程的特点是方程中所含未知函数及其一阶导数都为一次的.因此选C.8.A、1B、2C、3D、4答案:A解析:所给级数为不缺项情形,an=1,an+1=1因此9.在空间直角坐标系中方程y2=x表示的是()A、抛物线B、柱面C、椭球面D、平面答案:B解析:空间中曲线方程应为方程组,故A不正确;三元一次方程表示空间平面,故D不正确;空间中,缺少一维坐标的方程均表示柱面,可知应选B.10.设幂级数在x=2处收敛,则该级数在x=-1处必定().A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不能确定答案:C解析:11.设f(x)有连续导函数,(A、AB、BC、CD、D答案:A解析:本题考核的是不定积分的性质:“先求导后积分作用抵消”.前后两种运算不是对同一个变量的运算,因此不能直接利用上述性质.必须先变形,再利用这个性质.12.A、0B、1C、3D、6答案:C解析:所给问题为导数定义的问题,由导数定义可知故选C.【评析】导数定义的问题通常考虑y=f(x)在点x0处导数的定义的标准形式与等价形式13.A、AB、BC、CD、D答案:C解析:14.A、AB、BC、CD、D答案:C解析:由不定积分基本公式可知15.A、AB、BC、CD、D答案:D解析:16.曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为()A、2B、-2C、3D、-3答案:C解析:点(-1,0)在曲线y=x2+5x+4上.y=x2+5x+4,y'=2x+5,由导数的几何意义可知,曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3,所以选C.17.A、5yB、3xC、6xD、6x+5答案:C解析:18.A、AB、BC、CD、D答案:C解析:先依所给积分次序的积分限写出区域D的不等式表达式画出积分区域D的图形如图5-2所示.上述表达式不是题目中选项中的形式.如果换为先对y积分后对x积分的积分次序,则区域D可以表示为可知应选C.说明此题虽然没有明确提出交换二重积分次序,但是这是交换二重积分次序的问题.19.微分方程(y′)2=x的阶数为().A、1B、2C、3D、4答案:A解析:所给微分方程中所含未知函数的最高阶导数为1阶,因此方程阶数为1,故选A.20.A、AB、BC、CD、D答案:D解析:21.A、x2+cosyB、x2-cosyC、x2+cosy+1D、x2-cosy+1 答案:A解析:22.曲线y=x3-6x+2的拐点坐标()A、(0,4)B、(0,2)C、(0,3)D、(0,-2)答案:B23.设函数f(x)在(0,1)内可导,f'(x)>0,则f(x)在(0,1)内()A、单调减少B、单调增加C、为常量D、不为常量,也不单调答案:B解析:由于f'(x)>0,可知f(x)在(0,1)内单调增加.因此选B.24.A、AB、BC、CD、D答案:A解析:25.设y=f(x)为可导函数,则当△x→0时,△y-dy为△x的()A、高阶无穷小B、等价无穷小C、同阶但不等价无穷小D、低阶无穷小答案:A解析:26.设平面π1:2x+y+4z+4=0,π2:2x-8y+z+1=0,则平面π1与π2的位置关系是()A、相交且垂直B、相交但不垂直C、平行但不重合D、重合答案:A解析:平面π1的法线向量,n1=(2,1,4),平面π2的法线向量n2=(2,-8,1),n1·n2=0.可知两平面垂直,因此选A.27.过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的平面方程为().A、x+y+z=1B、2x+y+z=1C、x+2y+z=1D、x+y+2z=1答案:A解析:设所求平面方程为.由于点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)都在平面上,将它们的坐标分别代入所设平面方程,可得方程组故选A.28.微分方程y′-y=0的通解为().A、y=ex+CB、y=e-x+CC、y=CexD、y=Ce-x答案:C解析:所给方程为可分离变量方程.29.微分方程yy'=1的通解为()A、AB、BC、CD、D答案:D解析:30.A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但不等价无穷小D、等价无穷小答案:B解析:故2x+x2是比x2低阶的无穷小,因此选B.31.A、AB、BC、CD、D答案:C解析:32.A、AB、BC、CD、D答案:D解析:解法l由于当故选D.解法2故选D.33.A、过原点且平行于X轴B、不过原点但平行于X轴C、过原点且垂直于X轴D、不过原点但垂直于X轴答案:C解析:将原点(0,0,O)代入直线方程成等式,可知直线过原点(或由34.A、1/3B、1C、2D、3答案:D解析:解法1由于当x一0时,sinax~ax,可知故选D.解法2故选D.35.A、1-sinxB、1+sinxC、-sinxD、sinx答案:D解析:y=2-cosx,则y'=2'-(cosx)'=sinx.因此选D.36.A、AB、BC、CD、D答案:D解析:37.曲线Y=x-3在点(1,1)处的切线的斜率为().A、-1B、-2C、-3D、-4答案:C解析:点(1,1)在曲线.由导数的几何意义可知,所求切线的斜率为-3,因此选C.38.A、AB、BC、CD、D答案:D 解析:39.A、AB、BC、C答案:B解析:40.在空间直角坐标系中,方程x2+z2=z的图形是()A、圆柱面B、圆C、抛物线D、旋转抛物面答案:A解析:线为圆、母线平行于y轴的圆柱面.41.下列不等式成立的是()A、AC、CD、D答案:B解析:在[0,1]上,x2≥x3,由定积分的性质可知选B.同样在[1,2]上,x2≤x3,可知D不正确.42.设x是f(x)的一个原函数,则f(x)=A、AB、BC、CD、D答案:C解析:x为f(x)的一个原函数,由原函数定义可知f(x)=x'=1,故选C.43.A、0B、1C、eD、e2答案:B解析:为初等函数,且点x=0在的定义区间内,因此,故选B.44.A、cos(x+y)B、-cos(x+y)C、sin(x+y)D、-sin(x+y)答案:B解析:45.A、2dx+3y2dyB、2xdx+6ydyC、2dx+6ydyD、2xdx+3y2dy答案:C解析:46.等于().A、sinx+CB、-sinx+CC、COSx+CD、-cosx+C答案:D解析:由不定积分基本公式可知.故选D.47.A、AB、BC、CD、D答案:C解析:lim{x→0}sin(x^2+5x^3)/x^2=lim{x→0}(x^2+5x^3)/x^2=lim{x→0}(1+ 5x)=148.A、AB、BC、CD、D答案:C解析:由于f'(2)=1,则49.A、AB、BC、CD、D答案:C解析:50.A、6xarctanx2B、6xtanx2+5C、5D、6xcos2x答案:C解析:51.A、AB、BC、CD、D答案:D52.A、1B、2C、x2+y2D、TL答案:A解析:53.A、sinx+CB、cosx+CC、-sinx+CD、-COSx+C答案:A解析:54.设y=2^x,则dy等于().A、x2x-1dxB、2x-1dxC、2xdxD、2xln2dx答案:D解析:南微分的基本公式可知,因此选D.55.设f(x)在点x0处可导,()A、4B、-4C、2D、-2答案:D解析:因此f'(x0)=-2,可知选D.56.设区域D={(x,y)|-1≤x≤1,-2≤y≤2),A、0B、2C、4D、8答案:A解析:积分区域关于y轴对称,被积函数xy为X的奇函数,可知57.下列命题中正确的为()A、若xo为f(x)的极值点,则必有,f'(xo)=0B、若f'(xo)=0,则点xo必为f(x)的极值点C、若f'(xo)≠0,则点xo必定不为f(x)的极值点D、若f(x)在点xo处可导,且点xo为f(x)的极值点,则必有f'(xo)=0答案:D解析:由极值的必要条件知D正确.Y=|x|在x=0处取得极值,但不可导,知A 与C不正确.y=x3在xo=0处导数为0,但Xo=0不为它的极值点,可知B不正确.因此选D.58.A、xyB、yxyC、(x+1)y1n(x+1)D、y(x+1)y-1答案:C解析:59.设二元函数z=xy,则点Po(0,0)()A、为z的驻点,但不为极值点B、为z的驻点,且为极大值点C、为z的驻点,且为极小值点D、不为z的驻点,也不为极值点答案:A解析:可知Po点为Z的驻点.当x、y同号时,z=xy>0;当x、y异号时,z=xy<0.在点Po(0,0)处,z|Po=0.因此可知Po不为z的极值点.因此选A.60.设函数f(x)=COS2x,则f′(x)=().A、2sin2xB、-2sin2xC、sin2xD、-sin2x答案:B解析:由复合函数求导法则,可得故选B.61.A、AB、BC、CD、D答案:A解析:62.A、f(x)B、f(x)+CC、f/(x)D、f/(x)+C答案:A解析:由不定积分的性质“先积分后求导,作用抵消”可知应选A.63.A、2x2+x+CB、x2+x+CC、2x2+CD、x2+C答案:B解析:64.A、0B、cos2-cos1C、sin1-sin2D、sin2-sin1答案:A解析:由于定积分存在,它表示一个确定的数值,其导数为零,因此选A.65.A、e-1B、e-1-1C、-e-1D、1-e-1解析:66.设区域D为x2+y2≤4,A、4πB、3πC、2πD、π答案:A解析:A为区域D的面积.由于D为x2+y 2≤4表示圆域,半径为2,因此A=π×22=4π,所以选A.67.设f(x,y)为连续函数,A、AB、BC、CD、D解析:积分区域D可以由0≤x≤1,x2≤y≤x表示,其图形为右图中阴影部分.68.A、AB、BC、CD、D答案:B解析:69.B、x=2C、y=1D、y=-2答案:C解析:70.当x→0时,2x+x2是x的()A、等价无穷小B、较低阶无穷小C、较高阶无穷小D、同阶但不等价的无穷小答案:D解析:71.A、2B、1C、0答案:C解析:72.A、3B、2C、1D、0答案:A解析:73.设y=5x,则y'=()A、AB、BC、C答案:A解析:74.A、仅为x=+1B、仅为x=0C、仅为x=-1D、为x=0,±1 答案:C解析:x=-1,因此选C.75.A、AB、BC、CD、D答案:A解析:76.A、2x-2eB、2x-e2C、2x-eD、2x答案:D解析:由导数的基本公式及四则运算法则,有故选D.77.设A、-cosxB、cosxC、1-cosxD、1+cosx答案:B解析:由导数四则运算法则,有故选B.78.A、AB、BC、CD、D答案:A解析:79.A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、收敛性与口有关答案:A解析:80.A、AB、BC、CD、D答案:B81.A、1/2B、1C、π/2D、2π答案:B解析:82.A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充分必要条件D、无关条件答案:D解析:内的概念,与f(x)在点x0处是否有定义无关.83.A、2xy+sinyB、x2+xcosyC、2xy+xsinyD、x2y+siny答案:A解析:将y认作常数,可得知因此选A.84.A、2x+1B、2xy+1C、x2+1D、2xy答案:B解析:85.设,f(x)在点x0处取得极值,则().A、AB、BC、CD、D答案:A解析:如果f(x)在点x0处可导,且f(x)在点x处取得极值,由极值的必要条件可知f′(x0)=0.又如y=1xI在点戈=0处取得极小值,但在点x=0处不可导.86.对于微分方程y"-2y'+y=xex,利用待定系数法求其特解y*时,下列特解设法正确的是()A.Y*=(Ax+B)exB.y*=x(Ax+A、exB、y*=Ax3exC、Y*=x2(Ax+D、ex答案:D解析:87.微分方程y"-4y=0的特征根为()A、0,4B、-2,2C、-2,4D、2,4答案:B解析:由r2-4=0,r1=2,r2=-2,知y"-4y=0的特征根为2,-2,故选B.88.设A是一个常数,()A、单调增加且收敛B、单调减少且收敛C、收敛于零D、发散答案:C解析:89.A、arctan2-arctan1B、arctan2C、arctan1D、0答案:D解析:由于定积分存在,它表示一个确定的数值,其导数为零,因此选D.90.A、exB、2exC、-exD、-2ex答案:D解析:由导数的基本公式及四则运算法则,有故选D.91.设f(x)=e3x,则在x=0处的二阶导数,f"(0)=()A、3B、6C、9D、9e答案:C解析:92.A、必条件收敛B、必绝对收敛C、必发散D、收敛但可能为条件收敛,也可能为绝对收敛答案:D解析:93.A、AB、BC、CD、D答案:D解析:94.A、必定存在且值为0B、必定存在且值可能为0C、必定存在且值一定不为0D、可能不存在答案:B解析:由级数收敛的定义可知应选B.95.A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、无法判定敛散性答案:C解析:96.A、AB、BC、CD、D答案:A97.设y=2x3,则dy=().A、2x2dxB、6x2dxC、3x2dxD、x2dx答案:B解析:由微分基本公式及四则运算法则可求得.也可以利用dy=y′dx求得故选B.98.方程z=x2+y2表示的二次曲面是().A、球面B、柱面C、圆锥面D、抛物面答案:D解析:对照标准二次曲面的方程可知z=x2+y2表示的二次曲面是抛物面,故选D.99.A、AB、BC、CD、D答案:A100.A、AB、BC、C。
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析
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成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析- 1 -2021 年专升本数学一习题第一章极限、连续1.已知f(x) = � 3x + 2,x ≥0x 2 −1,x < 0。
求f(0)=2. limx→∞sinxx=3. limx→2 (x −2)sin1x−2=4. limx→0xln(3x+1)=5. limx→0sin4xx=6. limx→∞�1 +5x �x =7. limx→0tan2x2x=8. limx→0 (1 −x)1x =9. limx→0 (1 + x)−1x =10. limx→∞�1 +1x �x+2 =11. limx→0x ⋅tanx= 12. limx→0sinxsin2x =13. limx→0ln (2x+1)sin3x14. limx→1x−1x 2 −1=15. limx→4x−4√x+5−3=- 2 -- 2 -16. limx→∞2x 3 +3x 2 +5 7x 3 +4x 2 −1 = 17.设f(x) = �x −1,x < 0 0,x = 0x + 1,x > 0,求limx→0f(x)18. limx→2x 2 +x−6x 2 −4=19. limx→0x−sinxx 2 +x=20.设函数f(x) = �√x3,x < 0,x 2 + 1,x ≥0, 则在点x=0 处是否连续。
21.函数f(x) =x 2 +1x−3的间断点是()。
22.设函数f(x) = �e x,x < 0x + a,x ≥0 在x=0 处连续,则a=()第二章一元函数微分学1.已知f ′(2) = 2,求limΔx→0f(2−3Δx)−f(2)Δx=2.已知f ′(4) = 1,求limΔx→0f(4+2Δx)−f(4)Δx=3x + lnx在点(1,0)处切线斜率K。
4lnx在点(1,0)处的切线方程和法线方程。
5x 2 上的一点,使该点处的切线与直线y = 2x + 2平行。
中国石油大学高等数学1第二阶段在线作业答案
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一、单选题答题要求:每题只有一个正确的选项。
1(5.0分)A)通解B)特解C)是解,但既不是通解,又不是特解D)不是解参考答案: C收起解析解析:无2(5.0分)A)B)C)D)参考答案: A收起解析解析:无3(5.0分)A)B)C)D)参考答案: D收起解析解析:无4(5.0分)A)B)aC)af(a)D)f(a)参考答案: C收起解析解析:无5(5.0分)A)B)C)D)参考答案: D收起解析解析:无6(5.0分)A)B)1C)2D)3参考答案: A收起解析解析:无7(5.0分)A)2B)1C)4D)1/4参考答案: C收起解析解析:无8(5.0分)A)B)C)D)参考答案: D收起解析解析:无9(5.0分)A)1/2B)-1/2C)3/2D)-3/2参考答案: C收起解析解析:无10(5.0分)A)B)C)D)参考答案: C收起解析解析:无11(5.0分)A)B)C)D)参考答案: B收起解析解析:无12(5.0分)A)B)C)D)参考答案: C收起解析解析:无13(5.0分)A)1/3B)1/4C)2/3D)参考答案: C收起解析解析:无14(5.0分)A)在[a,b]的某个区间上f(x)=0B)对于[a,b]上的一切x均使f(x)=0C)在[a,b]内至少有一点x使f(x)=0D)在[a,b]内不一定有x使f(x)=0参考答案: C收起解析解析:无15(5.0分)A)B)C)D)参考答案: D收起解析解析:无16(5.0分)A)2B)C)4D)6参考答案: C收起解析解析:无17(5.0分)下列积分中能用牛顿-莱布尼兹公式的是A)B)C)D)参考答案: D收起解析解析:无18(5.0分)A)B)C)D)参考答案: A收起解析解析:无19(5.0分)A)B)C)D)参考答案: C收起解析解析:无20(5.0分)A)必要条件B)充分条件C)充分必要条件D)既非充分也非必要精选文库参考答案: B收起解析解析:无。
高等数学(2-1)高起本 复习题 及答案
![高等数学(2-1)高起本 复习题 及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/d115f65f0975f46526d3e131.png)
《高等数学》复习题一一、判断题(每题3分,共15分) 1. f(x)=x 是偶函数 ( )2. f(x)=2x+1在x=0处连续。
( )3. u(x) 、v(x)可导,则v u v u v u '+'='+)( ( )4.⎰⎰+=vdu uv udv ( )5. x=0是函数y=cosx 的驻点 ( )。
二、选择题 (每题3分,共15分)1.=→xxx sin lim0( )①.1 ②.2 ③.21④. 0 2. f(x)=392+-x x 的间断点( )①.1 ②.2 ③.-3 ④. -43. 函数3x y =在x=0点的切线方程__________. ①.x=0 ②. y=0 ③. x=1 ④. y=1 4.⎰=dx x 2( )①.c x+22ln 1 ②.2x +c ③. x x ln 2+c ④. 2ln 2x 5. =+⎰-dx x x x 2224cos ( )①.0 ②.1 ③. 2 ④. 3 三、填空题(每题3分,共15分)1. x y 2sin =是由函数2u y =与_____复合而成。
2. =+/)1(sin x __________ 3. d(tanx)=_____________. 4.⎰xdx =______________.5. 设f(x)连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则 (x)b af dx =⎰____________.四、(10分)叙述拉格朗日微分中值定理 五、综合计算(每题5分,共30分)1. 求极限(1)1231x 4lim 222-++→x x x (2)xx x3)11(lim +∞→2. 求下列函数的导数(1)y=x 2 -3x 4 +2 (2)y=sinx 2 3. 求积分(1)dx x x x)2sin 2(3⎰+-(2)⎰2cos πxdx x六、(15分)求函数y=19623-+-x x x 的单调区间、极值。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
![大一第二学期高数期末考试题(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/1ecf7d08591b6bd97f192279168884868762b876.png)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1.。
(A)(B)(C)(D)不可导.2.。
(A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)是等价无穷小;(C)是比高阶的无穷小; (D)是比高阶的无穷小。
3.若,其中在区间上二阶可导且,则().(A)函数必在处取得极大值;(B)函数必在处取得极小值;(C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点;(D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。
(A)(B)(C)(D)。
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.。
5..6..7..三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)8.设函数由方程确定,求以及.9.设函数连续,,且,为常数. 求并讨论在处的连续性.10.求微分方程满足的解。
四、解答题(本大题10分)11.已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程。
五、解答题(本大题10分)12.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V。
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)13.设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,.14.设函数在上连续,且,.证明:在内至少存在两个不同的点,使(提示:设)解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5.。
6。
.7. . 8.。
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9.解:方程两边求导,10.解:11.解:12.解:由,知。
,在处连续。
13.解:,四、解答题(本大题10分)14.解:由已知且,将此方程关于求导得特征方程:解出特征根:其通解为代入初始条件,得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分)15.解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程:由于切线过原点,解出,从而切线方程为:则平面图形面积(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)16.证明:故有:证毕.证:构造辅助函数:.其满足在上连续,在上可导。
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江南大学现代远程教育 第二阶段练习题
一. 选择题(每题4分,共20分)
1. 下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 ( B ).
(a) ,[2,1]y x =- (b) cos ,[2,6]y x = (c)23
,[2,1]y x =- (d)1
,[2,6]3
y x =
- 2. 曲线 3
81y x x =-+ 的拐点是 A
(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1) 3. 下列函数中, ( D ) 是 2
2x xe 的原函数.
(a) 2
2x e
(b)
2212x e (c) 2
234
x e (d) 2
214
x e 4. 设()f x 为连续函数, 函数
2
()x
f u du ⎰ 为 ( B ).
(a) ()f x '的一个原函数 (b) ()f x 的一个原函数 (c) ()f x '的全体原函数 (d) ()f x 的全体原函数
5. 已知函数()F x 是()f x 的一个原函数, 则
9
8
(7)f x dx -⎰等于( C ).
(a) (4)(3)F F - (b) (5)(4)F F - (c) (2)(1)F F - (d)
(3)(2)F F -
二.填空题(每题4分,共28分)
6. 函数 3
33y x x =--的单调区间为____(,1),
[1,1],(1,)-∞--+∞_____
7. 函数 3
33y x x
=-- 的下凸区间为____(,0)-∞_____
8.
x xe dx -⎰=______21
(tan ),(为任意实数)
2x C C +_____. 9. 23()x f x dx '⎰=_________321
(f(x )),(为任意实数)
6C C +____.
10.
3
2008
3
sin
x xdx -⎰=____0______.
11.
2
2
sin x dx ππ-
⎰=___2____.
12. 极限3
3
ln(1)lim
2x
x t dt x →+⎰=___1
2_______.
三. 解答题(满分52分)
13. 求函数 32
321
32x y x x =-++ 的极小值。
14. 求函数 3y x = 的单调区间、极值及其相应的上下凸区间与拐点。
15. 计算2
1
x
x
e
dx e
+
⎰
.
16. 求
sin xdx ⎰
.
17. 计算1
1
1
dx
x
+
⎰
.
18. 计算4
2
1
4
x dx
-
⎰
.
19. 求由抛物线
2
3
x
y=
; 直线1
x=及0
y=所围成的平面图形的面积, 并求该图形
绕x轴旋转一周所得旋转体体积。