单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动
机械振动运动学2单自由度系统振动2
【例2-11】如图2.29所示为一辆石油载重卡车在波形路面行走
的力学模型。路面的波形可以用公式
表示，其中幅
度d=25mm波长l=5m。卡车的质量为m=3000kg，弹簧刚度系数为
k=294kN/m。忽略阻尼，求卡车以速度v=45kM/h匀速前进时，车
体的垂直振幅为多少？卡车的临界速度为多少？
图2.29石油载重卡隔离
隔振分为：主动隔振，被动隔振两类。
（a）主动隔振
（b）被动隔振
图2.39单自由度隔振系统的动力学模型
两种模型比较
①主动隔振
防止振动传递开去的隔振称为主动隔振。如图2.39(a) 所示为主动隔振的简化模型。
弹簧传到支承上的最大载荷 支承上的最大载荷
最大合力
力
的作用。此时振动系统的响应就是（2.96）式
在
阶段
式中：
当常力 去除后，系统自由振动的振幅A随着矩 形脉冲作用时间和振动系统固有周期之比值 的改变 而改变。
当
时，系统自由振动的振幅
在 时是以振幅等于 作简谐运动
当
时，A=0
2.5单自由度系统振动应用专题
2.5.1等效粘性阻尼
实际的石油机械振动系统中存在的阻尼是非常复杂的，只 有在特定情况下，阻尼力才表现为与运动速度成线性关系。工
1cosnt
式中
图2.35 系统的位移响应与阻尼的关系
【例2-13】 如图2.36（a）所示，一无阻尼弹簧—质量系统受到
的矩形脉冲的作用。这一矩形脉冲可用
表
示，试求这一振动系统的响应。
图2.36 作用于弹簧-质量系统上的矩形脉和系统的响应
【解】在
阶段，相当于振动系统在t=0时受到突加常
单自由度振动系统的运动方程解析解的应用案例分析
单自由度振动系统的运动方程解析解的应用案例分析单自由度振动系统是机械工程中非常重要的一类振动系统。
它的运动方程可用解析解表示，这在许多实际问题的解决中发挥着重要作用。
本文将通过分析两个应用案例，展示单自由度振动系统运动方程解析解的实际应用。
案例一：弹簧振子考虑一个弹簧振子系统，由一个质量为m的物体通过一个弹簧与固定支撑相连。
假设摩擦系数为零，物体只有沿水平方向的振动。
根据牛顿第二定律可以得到以下运动方程：m a=−aa其中a是物体的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是物体的位移。
通过简单的求解可以得到该系统的解析解为：a = a cos(a_0 t + a)其中A和a分别是振幅和相位，a_0 是系统的固有角频率，有关常数可以通过初始条件来确定。
这个方程给出了振子在任意时间点的位移，通过振幅和相位可以描述振动的特征。
在实际应用中，我们可以利用这个方程来分析弹簧振子的运动规律，如计算特定时刻的位移、速度和加速度等。
案例二：简谐受迫振动考虑一个简谐受迫振动系统，它除了由弹簧力驱动外，还受到外部激励力F(t)的作用。
运动方程可以表示为：m a=−aa +F(t)其中F(t)是外部激励力的函数形式，可以是任意周期性函数。
在这种情况下，运动方程没有解析解，但我们可以通过变换方法将其转化为解析解出现的形式。
一个常见的方法是利用复指数形式的解，并通过计算使运动方程等号两边的实部和虚部相等。
通过求解可以得到：a = a cos(a_0 t + a) + a_p其中a_p是该系统的稳态解，表示受迫振动的特定解，由外部激励力决定，A和a是自由振动的振幅和相位。
这个方程描述了受迫振动系统的运动，可以用于分析系统在不同激励力下的响应，如共振频率、相位差等。
总结起来，单自由度振动系统运动方程解析解的应用案例分析有助于我们深入理解振动系统的运动行为。
通过解析解，我们可以更好地预测和控制系统的振动特性，为相关工程问题提供解决思路。
机械振动系统与机械振动分类
机械振动系统与机械振动分类1. 机械振动系统简介机械振动系统是指由于外界激励或系统自身特性而引起的物体或结构产生振动运动的系统。
机械振动系统广泛应用于工程领域，如机械制造、工程结构、航空航天等。
了解机械振动系统及其分类对于研究和应用机械振动具有重要意义。
2. 机械振动分类机械振动可以根据不同的分类标准进行分类，包括运动形式、激励方式、振动特性等。
2.1 运动形式机械振动根据物体或结构的运动形式可以分为自由振动和强迫振动。
2.1.1 自由振动自由振动是指系统在无外界激励的情况下，由于系统本身的特性而产生的振动。
自由振动分为自由衰减振动和自由无衰减振动两种形式。
自由衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，由于系统阻尼的存在而衰减的振动。
在自由衰减振动中，振动幅值呈指数衰减。
自由无衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，没有阻尼或阻尼较小而不影响振动的情况下产生的振动。
在自由无衰减振动中，振动幅值保持不变。
2.1.2 强迫振动强迫振动是指系统由外界激励引起的振动。
外界激励可以是周期性的，也可以是非周期性的。
强迫振动分为共振和非共振两种形式。
共振是指外界激励频率与系统的固有频率相等，从而使得系统振动幅值达到最大的状态。
共振时，振动幅值会明显增大，甚至会出现破坏性振动。
非共振是指外界激励频率与系统的固有频率不同，振动幅值会有所减小。
2.2 激励方式机械振动根据激励方式可以分为有源振动和无源振动。
有源振动是指通过外部能量源对振动系统进行能量输入的振动。
典型的有源振动系统包括激励器、驱动器等。
无源振动是指在自由振动状态下，由于外界条件或系统初始激励引起的振动。
无源振动通常分为两种情况，即系统外力激励和几何和材料非均匀性。
2.3 振动特性机械振动根据振动特性可以分为单自由度振动和多自由度振动。
单自由度振动是指一个自由度的振动系统，在一个平面或轴向上只有一个振动方向的振动。
典型的单自由度振动系统包括单摆、弹簧振子等。
机械动力学——单自由度受迫振动
响应分析
F0 A2 cos 0 m F 2 0 A2 0 sin 0 m
2 0 2
A2
F0
2 m 0 2 2 0 2 2
tan 1
2 0 2 2 0
A2
14
稳态响应的特性——幅频特性
(s)
1 (1 s 2 ) 2 (2 s) 2
Q
品质因数：
Q s1 2
1 2
Q/ 2
2
带宽：
km c
在共振峰的两侧取与 Q / 2 对应 的两点， 1 2
2 1
Q与 有关系 ：
1 0
1 2
s
2 3
s 0
20
谢 谢！
21
Ω cx kx cy my
检测轴(y) mx ky 驱动轴(x)
17
例题
科氏力的计算公式为： F 2my x
Ω cx kx cy my 检测轴(y) mx ky 驱动轴(x)
为驱动轴的振动速度 Ω 为角速度， x
设驱动轴的驱动力为 求： （1）驱动轴的振动微分方程； （2）分析驱动轴的稳态响应，计算科氏力； （3）为了增大科氏力，应该增大增大阻尼还 是减小阻尼？是否需要使驱动轴发生共振？
5 4 3 2 1 0 0
(s)
（2）当s>>1（ 0 ） 激振频率远大于系统固有频率
0.25 0.375 0 .5 1
0
结论：稳态响应的振幅很小
s
1 2 3
12
稳态响应的特性——幅频特性
(s)
（3）当
1 (1 s ) (2 s)
第3章单自由度系统受迫振动(2)资料
1 0
0 .5 1
s
0
1 2 3
幅频特性曲线
0
2018年10月14日 <<振动力学>>
2 1 2
6
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
在共振频率下的振幅为：
X max
F0 k 2 1
2
F0 c d
在一般情况下，阻尼比ζ <<1，这时可以认为共振频率
e m
t
x
x e sin t
系统在垂直方向的动力学方程：
k 2
c
k 2
2018年10月14日 <<振动力学>>
d2 m 2 ( x e sint ) cx kx 0 ( M m ) x dt
17
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
d2 m 2 ( x e sin t ) cx kx 0 ( M m) x dt
0.25
0.375
0 .5 1
F (t ) F0 cost
从左到右：
0
0
0
s
1 2
3
0 0
0.4, 1.01, 1.6
2018年10月14日 <<振动力学>>
9
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
幅频特性与相频特性
1、s ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ， β 1，＝0， 响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2
3
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动_1
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。
激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。
对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。
系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。
有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。
简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。
第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。
系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。
该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。
（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。
单自由度系统在简谐激励作用下的受迫震动读后感
三 单自由度系统在简谐激励作用下的受迫震动读后感这一章讲的是单自由度系统受到简谐荷载或者简谐位移作用时, 系统的位移时间函数求解与应用, 可以把此章节分为三部分。
系统对简谐力的响应表达式:无阻尼系统在受简谐荷载作用时, 可以算得其位移时间方程的表达式：t rk F t B t A t u θωωsin 1/sin cos )(20-++= 当初始条件给定时, 比如说如果初始位移 和初始速度 , 该以得出:)sin (sin 1/)(20t r t rk F t u ωθ--= 由这个表达式可以看出当r=1时, 即激励的频率与系统的固有频率相同时, 系统的位移无限大, 这种现象称之为共振, 这时结构会冲破约束, 导致破坏。
阻尼系统在受简谐激励作用时, 通过解微分方程, 可以得出其位移时间表达式：222)2()1()sin()sin cos ()(ξϕθωωξωr r t u t B t A e t u st D D t +--++=-由于阻尼的存在, 初始自由振动和伴随自由振动都含有一个振幅衰减因子, 故经过一段时间之后系统的振动将趋于稳定, 工程上比较关心稳态解, 即原方程的特解, 即:222)2()1()sin()(ξϕθr r t u t u st +--=从该试可以得出稳态阶段的振幅, 将振幅与静态位移ust 作比, 可以得到系统的动力放大系数D 。
计算阻尼比的方法:共振放大法: 我们可以通过测出r=1时的D 的值, 计算出系统的阻尼比, 因为当r=1时, , 但是该方法不太实用, 求静位移时可能出现问题, 因为典型的简谐震动加载体系是不能再零频率是工作的。
带宽法：通过测得 最大振幅处（共振时的振幅）时的对应两个频率, 然后通过计算可以得到系统阻尼比, 该方法避免开了测系统静位移, 比共振法适用。
每周能量损失法: 由于系统的阻尼, 系统就会有能量的耗散, 因为在稳态阶段, 系统每周的运动方式是相同, 为周期函数, 故在稳态阶段, 在一个周期里, 外力对结构做的功等于系统耗散的能量。
机械振动单自由度系统的简谐讲义强迫振动1
机械振动单自由度系统的 简谐强迫振动1
§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构 的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励 下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与 系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从 而确定系统的振动特性（系统识别）。
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
2.4.3 能量关系与等效阻尼
图 2—17
说明： 无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由
于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动 的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振 幅逐渐增大。
利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析 其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系 统振动特性最常用的方法之一。
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2-13。
图 2—13
图 2—14
从波形图可以看出：
2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性
由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积 累振动能量。这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法 避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通
过共振区的办法来解决。
The end
观感 看谢
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论分析和 实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响应的影响。
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析引言机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象以及振动特性的一门学科。
振动系统在受到外部激励时会产生瞬态响应，瞬态响应是指系统在初始时刻受到外部干扰后，振动幅值和相位都发生变化的过程。
了解振动系统的瞬态响应对于分析系统的动态特性和设计控制策略至关重要。
一、单自由度系统的瞬态响应分析单自由度系统是机械振动学中最基本的振动系统之一，通常由质点和弹簧-阻尼器构成。
在受到外部激励时，单自由度系统的瞬态响应可以通过拉普拉斯变换等方法进行分析。
振动系统的瞬态响应主要包括自由振动和受迫振动两种情况，其中自由振动是指在没有外部激励的情况下系统的振动响应，而受迫振动是指在受到外部激励时系统的振动响应。
二、多自由度系统的瞬态响应分析多自由度系统是由多个质点和弹簧-阻尼器构成的振动系统，具有更加复杂的动力学特性。
在受到外部激励时，多自由度系统的瞬态响应需要通过矩阵计算等方法进行分析。
多自由度系统的振动模态是研究系统振动特性的重要方法，通过振动模态分析可以得到系统的固有频率和振动模型。
三、瞬态响应分析在工程应用中的意义瞬态响应分析在工程实践中具有重要的应用意义，可以帮助工程师了解系统在受到外部干扰时的振动特性，并设计合适的控制策略。
工程领域中的许多振动问题都需要进行瞬态响应分析，例如建筑结构的地震响应、风力作用下桥梁的振动响应等。
结论机械振动学是一门研究物体振动现象和振动特性的重要学科，瞬态响应分析是分析振动系统动态特性的关键方法。
通过对振动系统的瞬态响应进行深入研究，可以更好地理解系统的振动机制，为工程实践提供重要参考依据。
我们需要不断深化对振动系统的瞬态响应分析，推动机械振动学领域的进步与发展。
第三章-单自由度系统的受迫振动
x = x e iω t
为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程， ， x 为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程，有
x = H (ω ) F0
2 n
H(ω) =
2 iω t n
1 k −m 2 +icω ω
复频响应函数
同时，微分方程可变形为 同时，
引入
F && + 2ξωn x + ω x = Bω e & B= 0 静变形 x k ω ，有 1 1 − s 2 − 2ξsi 1 − iθ s= H (ω ) = [ ] = βe ωn 2 2 2 k (1 − s ) + (2ξs ) k
欧拉公式
显含时间t，非齐次 显含时间 ，
P(cos x+isin x) = Peix
对应齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程
通解
=
通解
有阻尼自由振动 逐渐衰减
+
特解
持续等幅振动
稳态响应
暂态响应
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
c k 仍然记系统的固有频率 ω n = 及相对阻尼系数 ξ = 。 m 2 km
振动理论与声学原理
四、受迫振动的过渡阶段
由于是线性系统， 由于是线性系统，也适用叠加原理
& x t & +ω2x =0 & x n m&+kx= F sin ω 0 = &(0) = x0 x(0) = x0, x(0) = x0 + & & & x(0) = x0, x
单自由度系统受迫振动
x(0) x0
x(0) x0
x
2 0
x
B
2 0
sin
t
B F0 k
s 0
通解：
x(t)
c1
cos 0 t
c2
sin
0t
B 1 s
2
sin
t
齐次通解
非齐次特解
c1、c2 初始条件决定
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(t)
c1
cos0t
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
1
Bs s
2
sin 0t
1
B s
2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(0) x0
x(t)
x1 (t )
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
（2）当s>>1（ 0 ）
位移与激振力反相
（3）当 s 1
0
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： 0 1
外部作用力规律：
F (t) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
sinx00 0stin10Bt s21cBosss2 stin
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
结构动力学之单自由度体系一般动力荷载作用下的受迫振动
y (t )
1 m d
t
0
p ( )e ( t ) sin d (t ) d
2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是用一系列离 2）对于许多实 情 如果荷载的变化 律是用 系列离 散数据表示（如试验数据），此时的响应计算就必须借助于 数值分析方法。 数值分析方法
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.39 0.20 0.66 0.25 0.73 0.371 1.00 0.40 1.05 0.50 1.20 0.75 1.42 1.00 1.55 1.50 1.69 2.00 1.76
2.00
t
1 t sin t yst 1 cos t t1 t1
(t t1 )
课后练习
为了求最大动力位移，由y(t)对时间求导等于 零来达到最大位 零来达到最大位移的时间 时 tm，即
dy d dt 1 1 cos tm 0 t tm y st sin t m t1 t1
将其带入自由振动方程得
y (t t1 ) (t1 ) y
sin (t t1 ) y (t1 ) cos (t t1 ) (t t1 )
此自由振动的幅值为：
1/ 2 1/ 2 2 y 2 2 (t1 ) 2 A [ y ( t )] y 1 (1 cos t ) sin t1 1 1 st 2 t1 t1
a (t ) a (t ) a(t ) a(t )
结构动力学之单自由度体系简谐荷载作用下的受迫振动
由初始条件确定 振动由两部分组成： 第一部分按荷载频率 θ 振动，为纯粹的强迫振动； 第二部分按自振频率 ω 振动，为外力引起的自由振动。
变换得： y 2 y
。
即把非直接作用于质体的荷载按照静力位移 等效的条件转换成直接作用于质体的荷载。
等效 12 F (t ) F( t ) 11
2013/12/10
课后练习
F 则运动方程的解为：y 0.6875 2 m 1 1
48 EI ml 3
b）当2 1.2
ymax
F 1 F ml 3 Fl 3 0.6875 0.6875 (2.2727) 0.0326 2 m 1 1.44 m 48EI EI
2013/12/10
有阻尼受迫振动方程解
在外力 p( t ) P sin t 作用下，并且考虑阻尼
2013/12/10
动力系数β
sin t P 即特解部分： y (t ) m 2 (1 2 2 )
令：
p y st p 2 m k
p
1 1Байду номын сангаас 2 / 2
yst为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷 载作用时结构所产生的位移；
β为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移 [y(t)]max 与最大静位移yst 的比值。
课后练习
例2：
F (t ) F sin t 图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷载
作用在距离左端l/4处，若
第2章_单自由度系统-2.4简谐强迫振动
显含时间 t 非齐次微分方程
非齐次微分方程 通解
＝
齐次微分方程 通解
阻尼自由振动 逐渐衰减
＋
非齐次微分方程 特解
持续等幅振动
稳态响应
本节内容
暂态响应
4
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
齐次方程的通解上一节已经给出。
其通解为对应的阻尼自由振动的解。
设其特解为:
xp X sin(t )
9
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
系统的复频率响应为
H () H () ei ( )
( ) 为复频率响应 H ( ) 的幅角
( ) arctan
2 / n 1 ( / n ) 2
因此，系统在简谐激励下的稳态响应，可写为
x A H () cos(t )
Q与 有关系 ： Q
n
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： n 1
外部作用力规律：
F (t ) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
0
5 4 3 2 1
H ()
0
0 .1
22 ) ] (2 )2 n n
（3）在以上两个领域
0.25 0.375 0 .5 1
1, 1 n n
s
0 1 2 3
0
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
13
率与激励频率相同;激励与稳态响应之间有一个相位
振动力学第二章第二节单自由度系统的受迫振动
x B sin(t )
1. 激振力 FS H sin t
周期 T 2π
WH
T
0
FS
dx dt
(t ) d t
T
0
H
sintB cos(t
)dt
HB
2
T
0
[s
in
(2t
)
s in ]d t
π BH
s in
在系统发生共振的情况下，相位差 π ，激振力在
一周期内做功为 WH π BH，做功最多。2
3. 弹性力 FE kx 做的功
WE
T
dx
0
FE
(t)
dt
dt
T
Bk sin(t )B cos(t ) d t
0
kB2
2
T
0
sin
2(t
)d
t
0
表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。
能量曲线
在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量
WH WR
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
已知简谐激振力 FS H sin t
稳态受迫振动的响应为 x B sin(t )
dx dt
B
cos(t
),
d2 x dt2
B
2
sin(t
)
应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成
m
d2 dt
x
2
c
dx dt阻尼力 弹性力 激振力
现将各力分别用 B、kB、cB、H、m 2 B 的旋转矢量表示。
d2 x dt2
2n
dx dt
pn2 x
h sin t
x(0) x0和v(0) v0
单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
xt
M
F0t
0
sin
0
2
0 t
t
sin
0
2
t
2
当 0
x t F0t sin t
2M
1、无阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
结论：无阻尼振子在谐和力激励下是两个简谐振 动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振 动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动 总也不消失。
M
d 2 x%(t) dt 2
Rm
dx%(t) dt
Dx%(t)
F0e jt
得到
M2 j Rm D Xm F0
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
Xm
M2
F0
j Rm
D
j
Rm
F0
j M
D
x%2 (t)
j[Rm
F0
e jt
j(M D)]
此解数学上称为“特解“ ；物理中称为“稳态解”
2、频率特性曲线
机械振动系统在简谐力作用下振动，改变 激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅值 不变,初相位为0；得到的某个响应信号幅值随频 率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线；得到 的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响应 的相频特性曲线。——二者称作该响应的频率 特性曲线。
幅频特性曲线和相频特性曲线，统称作该 响应的频率特性曲线。
2、频率特性曲线
三、质点的稳态振动
①前例单自由度阻尼机械振动系统的位移响应
x%(t) F0 e j(t )
F0
e jt
j Zm
j
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结论：阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量
的位移由两个函数组成：
第一项为暂态分量：振动角频率为
。
表示外力刚开始项为稳态分量：振动频率等于外力的频率，
表示外力产生的强制振动分量。
是振幅不变的简谐振动。
随时间的增加，前者对位移的影响趋于0,后者
成为描述振子运动的函数—稳态解。
三、质点的稳态振动
Zm
Rm
，
j
M
D
Rm
j M
1 C m
Z m e j
Zm
Rm2 MD2 ;
tg
1
M
Rm
D
物理意义：机械阻抗的绝对值等于产生单位振速
幅值所需力的大小。
三、质点的稳态振动
2、频率特性曲线
机械振动系统在简谐力作用下振动，改变激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅 值不变,初相位为0；得到的某个响应信号幅值随频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线； 得到的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响应的相频特性曲线。——二者称作该响应 的频率特性曲线。
0
1et
0
二、强迫振动的过渡过程
图1. Qm =1.7（低） 大阻尼
图2. Qm=5（中） 中阻尼
图3. Qm =15（高） 小阻尼
三、质点的稳态振动
振子受迫振动，经过一段时间后，暂态解影响 。
（实际工程中，主要关心的是稳态解）
0，只有稳态解，所以下面分析稳态解
三、质点的稳态振动
系统振动达到稳态时 位移：
且外加谐和力的频率等于系统的固有频率。则：
x0 0 ,v0 0
0
二、强迫振动的过渡过程
Zm
Rm2 MD2 ；
tg
1
M Rm
D
0
Zm Rm,0
得
xtA m e tco s0t1F 0R 0msin0t
带入零初始条件得
1
π, 2
Am
0FR0m
二、强迫振动的过渡过程
所以
x(t)F 0R 0m(1et)sin0t
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
设方程（*）特解的一般形式为
x2 t x20ejt
特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率 等于外力的频率。
~x t 代入强迫振动方程（*） 2 Mdd2xt2 (t)Dx(t)F0ejt （*）
1、无阻尼系统的强迫振动 得
一、强迫振动方程及其解
一、强迫振动方程及其解
0
二、强迫振动的过渡过程
对解的进一步分析： (1)强迫振动的过渡过程（暂态解）
阻尼振子受迫振动，总是经过一段时间后达到稳定，一般说，振子受力激励后到达到 稳定振幅的简谐振动这段过程称为过渡过程；从数学上讲就是暂态解幅值减小到0的过程 。
二、强迫振动的过渡过程 几种典型情况外力作用下，振动过渡过程的形式不同。 ①零初始条件：从最简单的情况入手分析之，设振动系统开始时完全处于静止状态
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 运动方程式
Mdd 2x t2 (t)D x(t)f(t)F 0cost
用复数表示： ， x(t)R~ xe(t)() f(t)Re ~ f(t())
则运动方程化为：
Mdd2xt2(t)Dx(t)F0ejt
（*）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次
Rm
D
) }
π 2
2、频率特性曲线
三、质点的稳态振动
位移的幅频曲线
位移的相频曲线
Xm
F0
j(Rmj(mD))
xar g((Rm jj(m D)))
位移的频响曲线
2、频率特性曲线
三、质点的稳态振动
②前例单自由度阻尼机械振动系统的振速响应
v (t ) d x (t ) F0 e j(t)
F0
x20 02 2
F0 M
所以方程的解为：
x20
M
F0
02 2
x(t)Aej(0t) F0 ejt
M ( 0 22)
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
所以，实际位移为：
x (t) R e x (t) A c o s (0 t) M (F 0 2 0 2 )c o st
求得
A F0 ; 0
M 02 2
一、强迫振动方程及其解 1、无阻尼系统的强迫振动
零初始条件的振动位移
三角变x换tMF 0 202 costcos0t
xtM 2 0 2 F 02sin 02 t sin 02 t
1、无阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
0 0
时‘拍’现象明显 形成‘拍’振动
e j t
dt Zm
Rm
j(m
D
)
V m e j( tv )
其 中 ： Vm
F0
R
2 m
(m
D
)2
(m D )
v arctan{
} Rm
2、频率特性曲线
三、质点的稳态振动
振速的幅频曲线
振速的相频曲线
Vm
F0
Rm
j(m
D)
varR gm(j(m D))
振速的频响曲线
2、频率特性曲线 ③前例单自由度阻尼机械振动系统的加速度响应
2、有阻尼系统的强迫振动
有阻尼时，运动方程
d2x(t) dx(t)
M dt
Rm dt D x(t)f(t)
外力为谐和力 复数表示：
FtF 0co ts
x(t)R~ xe(t)()
F(t)RF ~ e(t())
2、有阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
运动方程： 其解：
M dd 2x t2 (t)R mdx d(tt)D x(t)F 0ejt
0~0
时‘拍’现象不明显
1、无阻尼系统的强迫振动
无阻尼系统的拍频振动规律 ①振动频率近似等于 ②“振幅”作慢周期变化，拍周期
一、强迫振动方程及其解
2π 0
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
当xtMF00tsin 002 t tsin02t
2
0
xt2F M0tsint
1、无阻尼系统的强迫振动
π 定义： 为系统的过渡时间。单位，秒（Sec）。 0
值与 的关系：
Qm
0
Qm
π
T0
QmT00
Q 大， 大——达到稳态需要时间长（阻小）
m
0
0 QmT0
二、强迫振动的过渡过程
②外力频率接近而又不等于自由振动频率，则在过渡过程期间，暂态成分和稳态成分迭 加表现出拍现象。随时间的增加，拍越来越不明显，直到消失。
停，就要不断从外部获得能量。
外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动) （forced vibration ）
1、无阻尼系统的强迫振动 谐合函数——正弦、余弦函数。
无阻尼强迫振动示意图
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
质量元件M受两个作用力
①弹性力
②外加推力 f(x)
Dx
一、强迫振动方程及其解
~ x(t) ~ x(t) ~ x(t) 理中称为“暂态解”。
为齐次方程的解，已在前面解出。此解数学上称为“通解”；物
1
2
其中： x1(t)Ametej( t1)
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
当 时, 0
022 0
x 1t A m e tc o s0 t1
, 系统的固有频率，决定于系统本身的参数 0 由系统的初始条件确定
D)
a
arg( Rmj
(jm D))
加速度的频响曲线
三、质点的稳态振动
共振频率 定义:机械振动系统在恒振幅激励力作用下发生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大
值，则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系统该响应的共振频率。 一般上，同一系统不同的响应有不同的共振频率。例如：位移共振频率、速度共振频率、加速 度共振频率…等。
振速：
x(t) F0 ej(t)
j Zm
v ( t) d x d ( tt) jF Z 0m je j( t ) Z F m 0e j( t ) F Z 0 m e e j j t F Z ( m t)
其中，
F(t)F0ejt
ZmR mj(M D )Zmej
1、机械阻抗
三、质点的稳态振动
定义，机械阻抗：机械振动系统在谐合激励力作用下产生稳定的同频率谐合振速，若用复数力
振动位移的过渡过程
二、强迫振动的过渡过程
显然，此振动振幅达到稳定的过程由系数 就达到了稳态。
决定，一般上，认为振幅到稳定值的 95％时,
系统过渡时间 ：稳态振动基本建立所需的时间称为稳态振动的建立时间。 0 xm00.950FZ0 m
二、强迫振动的过渡过程
若 1 e t 0 .9， 56可 t π 得 ( e π ： 0 .0)4
Am ,1
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
设特解
代入到运动方程 得到
~ x2tXmejt
M dd 2x t2 (t)R mdx d(tt)D x(t)F 0ejt
M 2 jR m D X m F 0
2、有阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
XmM 2F j0Rm DjRmjF 0 M D x2(t)j[RmjF(M 0 D)]ejt
三、质点的稳态振动
a (t ) dv (t ) j F0 e j(t) j