四种命题之间的相互关系及真假关系判断
高一数学四种命题的关系
真 真 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0 （2）逆命题： 若x 2
x a 0有实数根，则 a0 否命题： 若a 0，则x 2 x a 0没有实数根 逆否命题： 若x 2 x a 1没有实数根，则 a0
假 假 真
注意：（1）本题中设计到一元二次方程有无实数根的判断，所以应 该利用一元二次方程的根的判别式。 （2）当一个命题的逆否命题的真假性不容易判断时可以根据 原命题的真假进行判断。
例3：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假。
(1)若a 2 b 2 0，则a, b全为0；
(2)若a 0，则x 2 x a 0有实数根。
1.7.2四种命题的关系及真假判断
解：（1）逆命题 2 b 2 0，则a, b不全为0 逆否命题：若a, b不全为0，则a 2 b 2 0
2、设原命题是“当 c>0时，若a>b，则ac>bc“写出它的逆命题、否命题与
注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命 题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时：若a>b，结 论是：ac>bc.
完成下列练习
3、互为逆否命题的真假性判断 原命题 若p则q 互 互 否 互 否命题 若p则q 互 逆 逆命题 若q则p
1.7.2四种命题的关系及真假判断
学习目标： 1、理解四种命题之间的相互关系；
2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；
3、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。
4、互为逆否命题的等价性。
1.7.2四种命题的关系及真假判断
一、复习回顾： 1、原命题：若p则q. 2、逆命题：若q则p. 3、互否命题 ：若非p则非q 4、逆否命题：若非q则非p
高中数学教师备课必备系列(简易逻辑)专题五 四种命题及真假判断 Word版含解析
【基础回顾】
一．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
二．四种命题及其关系
．四种命题
即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
．四种命题间的逆否关系
．四种命题的真假关系
()两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【典型例题】
例．已知是两个命题，若“”是假命题，则（）
．都是假命题．都是真命题
．是假命题，是真命题．是真命题，是假命题
【答案】
【解析】
例．给出下列命题：其中正确命题的序号是（）
①已知,若,则,
②不存在实数,使
③是函数的一个对称轴中心
④已知函数.
．①②．②④．①③．④
【答案】
【解析】
试题分析：
④因为在锐角三角形中，，所以，；则有
，；又因为函数
在上为减函数，所以.故正确.
考点：向量的线性运算；三角函数的基本关系式；函数的图像和性质.
例．下列说法中正确的是（）
（）“”是“函数是奇函数”的充要条件。
四种命题的真假-P
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真） （真） （真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。
布置作业：33页 3、4两题 。 课外延拓：各小组自编命题并判断真假。
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真） （真） （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
四种命题间的相互关系
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤： 反设 归谬 结论
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确
例2： 若a2能被2整除，a是整数，
练习2 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2＝ 1 ［（p －q）2＋（p ＋q）2］ 2
≥ 1（p ＋q）2＞ 1×２２＝２ 1
2
2
2
所以p2 ＋ q2≠2． 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而 原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 ——反证法.
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；真 （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；假 （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；假 （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 真
1.1.3 四种命题间的相互关系
（二）四种命题的真假关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假，并总结规律。 原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 (1) 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 (2) 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 (3) 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
分析
直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它 的逆否命题的证明. 将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题， 要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否 命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题， 从而达到证明原命题为真命题的目的．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
（1）设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少 有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假 情况是（ A ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
（2） 命题“若a＞b则ac＞bc”(这里a、b、c 都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题的个数为（ D ）
（1）两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或互为否命 题，它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有 相同的真假性，所以在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以 通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
高二数学四种命题的相互关系
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证明 假设_________
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠_______, (x-a)(x-b)=0 又_________
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且 x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真）
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
四种命题的真假关系表格
以下是四种命题的真假关系表格：
命题类型
命题A命Biblioteka B逆命题逆逆命题原命题
A ⇒ B
A ⇒ B
B ⇒ A
B ⇒ A
逆命题
A ⇒ B
B ⇒ A
B ⇒ A
A ⇒ B
逆逆命题
A ⇒ B
A ⇒ B
A ⇒ B
A ⇒ B
在上述表格中，假设A和B是两个命题，其中A表示前件，B表示后件。原命题表示“如果A为真，则B也为真”，逆命题表示“如果B为真，则A也为真”，逆逆命题表示“如果A为真，则B也为真”。
需要注意的是，四种命题的真假关系并不是绝对的，而是取决于具体的逻辑条件和假设。因此，在实际应用中，需要根据具体的情况来判断四种命题的真假关系。
四种命题的关系及真假判断
例3：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假。
(1)若a2 b2 0，则a,b全为0；
(2)若a 0，则x2 x a 0有实数根。
四种命题的关系及真假判断
解：（1）逆命题：若a，b全为0，则a2 b2a,b不全为0 真
逆否命题：若a,b不全为0，则a2 b2 0 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0
（2）逆命题： 若x2 x a 0有实数根，则a 0
假
否命题：若a 0，则x2 x a 0没有实数根
假
逆否命题：若x2 x a 1没有实数根，则a 0 真
逆命题：不是菱形的平行四边形，对角线不互相垂直 真
否命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
真
逆否命题：平行四边形是菱形，其对角线互相垂直 真
注意： 若p则q的形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与上一节的复合
命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题 的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．另 须指出的是：
逆否命题：若 ab 0 则 a 0
是真命题 是假命题 是假命题 是真命题
原命题真假与其他命题真假的关系： （1）原命题为真， （2）逆命题不一定为真， （3）否命题也不一定为真， （4）逆否命题一定为真。
四种命题的关系及真假判断
例2 、设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题、否命
假
否命题：若a≠0，则ab≠0
假
逆否命题：若ab≠0，则a≠0 真
2、设原命题是“当 c>0时，若a>b，则ac>bc“写出它的逆命题、否命题与 逆否命题。
四种命题间的相互关系
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
即（1-a）b > 1 ， （1-b）c> 1 ,（1-c）a> 1 4
4
4
4
而 1- a + b ≥ (1- a)b > 1 , 1- b + c ≥ (1- b)c > 1 , 1-c +a ≥ (1-c)a > 1 ,
2
22
22
2
1 得
-
a+ 2
b
+
1
-
b+ 2
c
+
1-
c+ 2
a
>
3 2
即 3 > 3 ，属于自相矛盾，
A．4
B．3 C．2
D．0
5. 命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解 集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆 否命题，并判断真假．
高一数学教案：四种命题之间的相互关系及真假判断
四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系．2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具．2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力．●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用．●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点．●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张：(记作§1．7．2 A)第二张：(记作§1．7．2 B)原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．第三张：(记作§1．7．2 C)［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．”［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断．Ⅱ.讲授新课§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系：(师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题)［师］请同学们讨论后回答下列问题：(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系．原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系．原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系．(在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．)［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书)2.四种命题的真假之间的关系：［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B)原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题．［师］原命题与逆命题的真假关系如何?生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假．生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢?［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题.［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?［生］原命题为真，它的否命题不一定为真.［师］正确.它的逆否命题呢?［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题．［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论，例证后回答)［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真．［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真．［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书)［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题：(师应强调分析：“c ＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a ＞b ”，结论是“ac ＞bc ”．)［生］逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”逆命题为真．否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，否命题为真.逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，逆否命题为真.［师］回答正确.请看练习题.Ⅲ．课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后，教师加以评述)．Ⅳ.课时小结［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：1.四种命题之间的关系：(投影片§1．7．2 A)2.四种命题的真假关系：⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业：课本P33 3、4题．(二)1.预习内容：课本P32～P332.预习提纲：(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结：(略)。
四种命题的真假-P
四种命题的真假
总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
练一练
1.判断下列说法是否正确。否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。
四种命题的关系 及真假
1.四种命题的关系：
原命题 若p则q 互否 否命题 若 p则 q 互逆 逆命题 若q则p
互为
互逆
逆否
互否
逆否命题 若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q,命题r是命题q的否命题，则 q是r的（ 逆否）命题。
(真 ) 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真 ) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真 ) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真 ) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （假） （真） 逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （真） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 （假） 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。 （假） 逆命题：若a2>b2, 则a>b。 （假） 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 （假） 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。 （假）
最新四种命题真假关系
思考：由以上4例，我们能发现什么？ 二、四种命题之间的真假关系:
问题汇总 (1) (2) (3) (4) 原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 假 假
⑴互为逆否的一对命 题，同真或同假。
⑵互逆的一对命题， 不一定同真假。
⑶互否的一对命题， 不一定同真假。
逆否命题： 若a、b不都是偶数，则a+b不是偶数。 假
例 1 、 判 断 命 题 真 假 ， 命 题 ： 若 a + c b + d ， 则 a b 或 c d 。
解 ： 该 命 题 的 逆 否 命 题 为 ： 若 a = b 且 c = d ， 则 a + c = b + d 。 真 命 题 。 于 是 ， 原 命 题 也 为 真 。
注 ： 当 一 个 命 题 难 以 判 断 其 真 假 时 ， 可 以 转 而 判 断 其 逆 否 命 题 的 真 假 。
例2 设原命题是：当c>0时，若a>b，则ac>bc. 写出它的 逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 （假）
(4) 原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。
逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假）
（假） （假） （假）
当 说 明 一 个 命 题 是 假 的 时 候 ， 只 需 举 一 个 反 例 即 可 ！
如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和 结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把 其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 否命题。
1.1.3四种命题的相互关系
七、课堂小结、知识归纳
让我想一 想 1、四种命题的相互关系 2、四种命题的真假性间的关系
3、正难则反，等价转化的思想
八、课外作业、自我检测
• 完成课时作业（二）
1.1.3
四
１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设） 是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二 个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果 把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命 题的逆命题。 ２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论 是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命 题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的否命题。 ３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和 结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定， 那么这两个命题叫做互为逆否命题。
(2)逆命题：“若 x ＝3 且 y＝2，则 x ＋y＝5”，真命题． 否命题：“若 x ＋y≠5，则 x ≠3 或 y≠2”，真命题． 逆否命题：“若 x ≠3 或 y≠2，则 x ＋y≠5”，假命题．
六、合作学习、尝试应用
例 证明：若x y 0，则x＝y 0
2 2
点拨：正难则反，看逆否命题
原命题：若p 则q 逆命题： 若q 则p 否命题： 若 p 则 q 逆否命题： 若 q 则 p
二、观察思考、自主探究
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。
（假）
一般地,四种命题的真假性,有而 且仅有下面四种情况:
四种命题的真假关系-高中数学知识点讲解
四种命题的真假关系
1．四种命题的真假关系
【知识点的认识】
一．四种命题的间的关系：
二．四种命题间的真假关系
（一）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（二）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【解题方法点拨】
“正难则反”是数学解题中一种转化的方式，将判断一个命题的真假的问题转化为判断它的逆否命题的真假就是这种技巧的一个方面的运用，对于有些命题，转化为与其真假性相同的逆否命题来证可大大简化判断过程降低判断难度，如：“若x≠2 或y≠3，则x+y≠5”这个命题的判断，正面不易判断，而其逆否命题为“若x+y＝5，则x ＝2 且y＝3”，容易判断此命题是一个假命题．
【命题方向】
命题的真假判断是本考点中试题的考察重点，对于原命题情况较复杂，真假不易判断的命题，常常转化为判断它的逆否命题的真假，这是对四种命题真假关系考察的主要方式．
1/ 1。
四种命题的真假
（假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
布置作业：33页
3、4两题 。
课外延拓：各小组自编命题并判断真假。
； 猫先生app 猫先生 ；
回族中?对于俺们来说比死还痛苦.生当作人杰,死亦为鬼雄,俺既然叫鬼雄,你呀们应该很清楚俺の选择.死路一途?你呀们还真以为,你呀就这空间禁锢,俺就逃不了了?俺想走,你呀们三人未必留得下俺！" 那道黑影长笑两声,身子上の黑光更盛几分,而后速度陡然飙升,直接朝北方闪 去,却是话说声未落下,人已经要靠近毒蛇破仙布置の空间の禁锢了.夜妖娆看の暗惊,这速度也太骇人了吧. "是吗?呵呵！既然你呀执迷不悟,俺也只好送你呀上路了！"毒蛇破仙冷笑一声,声音还没传过来,手中黑色长剑猛然一挥,一条无形の气流,急速朝前涌去,速度比鬼雄快多了, 随着这气流の拂过,前方の空间宛如煮沸の热水般,不断震荡起来,闪在半空の鬼雄身子陡然一滞,扭头一看,却是面色大变,全黑の眼眸却无限の扩大起来. 一些黑点在他眼前凭空出现,黑点开始慢慢扩大,而后变成一把黑色长剑の剑刃,剑刃之后,却是一条凭空出现の斗笠,斗笠下是一 双冷冷の眸子.最后他看到这长剑直接刺入了他の眉心,长剑蕴含の杀气更是瞬间将他の灵魂震碎,他连反应の时候都没有… "大哥の空间之刃,看来已经大成了,好厉害,无声无息,速度比神王三重の鬼雄快上数倍,这鬼雄还真以为大哥拿他没办法?" "呵呵,空间法则不少神界练家子都 以为是鸡肋,其实修炼到深处,才见威力啊,不过修炼到至强者,发现了空间法则の威力,他们都不会傻乎乎の外传,这才导致普通神级练家子以为空间法则无用.哼,至高法则,岂会是鸡肋?" 一龙和另外一名破仙望着,正收起鬼雄の神晶和空间戒指の毒蛇破仙,眼中露出敬佩
命题之间的关系及命题真假的判断
试填表：
原命题 逆命题 真 真 假 假 真 假 假 真 假 否命题 逆否命题 真
1.反证法的定义
• 从命题的结论的反面出发，进行推理，引 出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证 明方法叫反证法。
2.反证法证题的步骤：
（1）否定— 假设命题的结论不成立，而假设命题 的反面成立 ，即否定结论 .（若结论的反面有多 种情况时，必须一一加以否定。） （2）推理— 从这个假设和原条件出发，进行推理。 — （3）矛盾— 通过推理，导致矛盾。即得出与已知 条件、定义、公理或明显的事实相矛盾。 （4）肯定— 有矛盾判定假设不成立 ，从而肯定原 命题成立 。
例2：写出下列命题的逆、否、逆否 命题，并判断其真假。
（1） 当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc； 解：原命题真； 逆命题：当c ＞0时，若ac ＞ bc ，则a ＞ b ； 为真； 否命题：当c ＞0时，若a ≤ b ，则ac ≤ bc ； 为真； 逆否命题:当c ＞0时,若ac ≤ bc ，则a ≤ b ； 为真。
（2）若a2+b2=0 ,则a、b全为0；
解：原命题为真； 逆命题：若a、b全为0 ，则a2+b2=0；为真； 否命题：若a2+b2≠0,则 a、b不全为0；为真； 逆否命题：若a、b不全为0 ，则a2+b2≠0；为真。 (3) 若a ＞0，则x2+x－a=0有实根。 解：原命题为真； 逆命题：若x2+x－a=0有实根，则a ＞0；为假； 否命题：若a ≤0，则 x2+x－a=0没有实根；为假； 逆否命题：若x2+x－a=0没有实根，则a ≤0 ；为真。
结论：
• 两个互为逆否的命题的真假是相同的。即 两个互为逆否的命题的真假是相同的。 两个互为逆否的命题是等价命题。 两个互为逆否的命题是等价命题。 • 解题技巧:(1)若判断一个命题的真假较困 若判断一个命题的真假较困 难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 • (2)在判断四种命题的真假时，只需判定其 中两个就行了。
四种命题间的相互关系
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b. （真）
（真）
（真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0. （真） （真）
3.下列说法中错误的一项是( C )
A. 一个命题的原命题为真,它的逆命题不一定为真;
B. 一个命题的原命题为假,它的否命题不一定为真;
C. 一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为假; D. 一个命题的原命题为真,它的逆否命题一定为真.
4.下列说法 (1)四种命题中真命题的个数一定是偶数; (2) 若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题不一定是真命题
总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否
命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
ห้องสมุดไป่ตู้
③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④“若ab≠0,则a≠0”的否命题. 其中真命题的个数是( A.0个 B. 1个
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四种命题之间的相互关系及真假关系判断
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
§1.7.2四种命题之间的相互关系及真假关系判断[教学目的]
使学生掌握四种命题的相互关系及真假关系.
[教学过程]
一、复习引入
⒈四种命题的形式是什么？
答：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.
⒉什么叫互逆命题？互否命题？互为逆否命题？
答：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就叫做互逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这样的两个命题就叫做互否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题就叫做互为逆否命题.
⒊根据问题2，你能说出四种命题之间的相互关系和真假关系吗？这是今天我们要学习的主要内容.
二、学习、讲解新课
⒈四种命题的相互关系
经过前面的学习，我们已经有了四种命题的概念，而且知道互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：
⒉四种命题的真假关系
一个命题的真假与其他三个
命题的真假有如下三条关系：
⑴原命题为真，它的逆命题不
一定为真；
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.
⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题.
⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab≠0，则a≠0”是真命题.
结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.
⒊巩固新课，反馈矫正
例（P32例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否
命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.
分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；
否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.
练习：课本P32练习：1，2.
答案：1.⑴正确；⑵正确.
2.⑴逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；
否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；
逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.
⑵逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.
否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.
逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.
三、小结
本节课我们主要学习了四种命题之间的相互关系和真假关系，两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题）.
四、布置作业
内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(一)复习：课本P
31-32
(二)书面：课本P
习题：3，4.
33-34
答案：3.⑴真；⑵假；⑶真；⑷真.
4.⑴逆命题：若a是无理数，则a+5是无理数.逆命题为真.
否命题：若a+5不是无理数，则a不是无理数 .否命题为真 .
逆否命题：若a不是无理数，则a+5不是无理数.逆否命题为真.
⑵逆命题：若一个四边形的两条对角线相等，则它是矩形.逆命题为假.
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等 .否命题为假.
逆否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形.逆否命题为真.
(三)思考题：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何
一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？
反证法.
(四)预习：课本P
32-33。