最新高一下学期第二次月考数学试题

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高一数学下学期第二次月考试题含解析试题

海淀区首都师范大学附属中学2021-2021学年高一数学下学期第二次月考试题〔含解析〕一、单项选择题〔一共40分，每一小题4分，一共10小题〕 1.函数()1log 1a x f x x x +=+〔01a <<〕的图象的大致形状是〔〕 A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，应选C ．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进展定性的分析，从而得出图象的上升(或者下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．()2log 2f x x a x =+-零点的近似值时，假如确定零点所处的初始区间为11(,)42，那么a 的取值范围为〔〕 A. (),2-∞B. 5(,)2+∞C. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5(,2)(,)2-∞⋃+∞【答案】C 【解析】试题分析：由零点存在性定理，可知，即，解得．考点：函数零点存在性定理的应用．3.二次函数f 〔x 〕＝x 2+bx +c ，假设对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，有|f 〔x 1〕-f 〔x 2〕|≤6，那么b 的取值范围是〔〕 A. []5,5- B. []4,4-C. []3,3-D. []22-,【答案】C 【解析】【分析】由题意得，当x 1，x 2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案．【详解】∵二次函数f 〔x 〕＝x 2+bx +c ＝22b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+c ﹣24b ，对称轴x ＝﹣2b ，①﹣2b＜﹣1即b ＞2时，函数f 〔x 〕在[﹣1，1]递增， f 〔x 〕min ＝f 〔﹣1〕＝1﹣b +c ，f 〔x 〕max ＝f 〔1〕＝1+b +c ，故f 〔﹣1〕﹣f 〔1〕＝﹣2b ，|f 〔1〕﹣f 〔﹣1〕|＝|2b |≤6得23b <≤ ，②﹣2b＞1时，即b ＜﹣2时，|f 〔1〕﹣f 〔﹣1〕|＝|2b |≤6得32b -≤<-， ③当﹣1≤﹣2b ≤1，即﹣2≤b ≤2时，函数f 〔x 〕在[﹣1，-2b ]递减，函数f 〔x 〕在[﹣2b，1]递增，∴|f 〔1〕﹣f 〔﹣2b 〕|≤6，且|f 〔﹣1〕﹣f 〔﹣2b〕|≤6，即|24b +b +1|≤6，且|24b ﹣b +1|≤6，解得：﹣3≤b ≤3，又﹣2≤b ≤2，故b 的取值范围是[]3,3- 应选C ．【点睛】此题考察的知识点是二次函数的图象和性质，纯熟掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题.4.假设集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =<，那么()R A C B =〔〕A. {4,5}B. {3,4,5}C. {1,2,3}D. {1,2}【答案】B 【解析】【分析】先求得R C B ，然后求两个集合的交集.【详解】依题意{}|3R C B x x =≥，故(){}3,4,5R A C B ⋂=，应选B. 【点睛】本小题主要考察补集、交集的概念和运算，属于根底题.5.函数y = 〕 A. 11{|}22x x x ≥≤-或 B. 11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 11(,)22-D. 1{}2【答案】B 【解析】函数有意义，那么：22410140x x ⎧-≥⎨-≥⎩，求解不等式组可得：2141,2x x =∴=±，据此可得函数的定义域为11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 此题选择B 选项.6.设集合P ＝{m |－1＜m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，那么以下说法正确的选项是A. P 是Q 的真子集B. Q 是P 的真子集C. P ＝QD. P ∩Q ＝∅【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的恒成立，分类讨论，确定集合Q ，在根据集合之间的关系，即可求解. 【详解】当m ＝0时，－4＜0对任意实数x 恒成立；当m≠0时，由mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立可得216160m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得－1＜m ＜0．综上所述，Q ＝{m|－1＜m≤0}，所以P ＝Q ，应选C ．【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的恒成立问题的求解及集合关系的断定，其中分类讨论求解一元二次不等式的恒成立问题，得到集合Q 是解答的关键，着重考察了分类讨论思想和推理、运算才能，属于中档试题.7.α是第二象限的角，角β终边经过点(sin ,cos )P αα，那么β为第几象限的角： A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】先根据α所在的象限，判断出sin ,cos αα的符号，由此判断出P 点所在象限，进而求得β终边所在象限.【详解】由于α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以P 在第四象限，故β为第四象限角，应选:D.【点睛】本小题主要考察三角函数在各个象限的符号，属于根底题. 8.131log 4a =，154b=，，那么〔〕 A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D.b c a >>【答案】C【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比拟32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 应选：C.【点睛】此题考察利用指、对数函数的单调性比拟大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比拟大小时，注意数值的正负，对于同为正或者者负的情况可利用中间值进展比拟. 9.正实数a ，b 满足2a b +=，那么12a b+的最小值〔〕 A.32B. 3D. 3+【答案】C 【解析】【分析】化简1212112112()2()()(3)222b aa b a b a b a b a b+=+⨯⨯=+⨯+⨯=++，再利用根本不等式求解. 【详解】121211211211()2()()(3)(3(322222b a a b a b a b a b a b +=+⨯⨯=+⨯+⨯=++≥+=+当且仅当1),2(2a b ==时取等. 应选：C【点睛】此题主要考察利用根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.10.如图，A 、B 两点在双曲线4y x=上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，S 阴影＝1，那么S 1＋S 2等于( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得4xy =，由此求得两个矩形的面积，用总面积减去叠加起来的两个阴影局部的面积，求得12S S +的值. 【详解】∵点A 、B 是双曲线4y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，那么根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于4k =，所以1244126S S +=+-⨯=，应选A.【点睛】本小题主要考察反比例函数的图像与性质，考察矩形面积的计算，属于根底题. 二、填空题〔一共25分，每一小题5分，一共5小题〕(2,1),(,1)a b x ==-，且a b -与b 一共线，那么x 的值是【答案】2- 【解析】试题分析：a b -(2,2)x =-，由a b -与b 一共线得2(2)x x =--，解得2x =-．考点：向量的一共线．12.假设a 10=12，a m 2，那么m =______．【解析】10521,522a a m ==== 13.如图①是反映某条公交线路收支差额〔即营运所得票价收入与付出本钱的差〕y 与乘客量x 之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示：给出以下说法：〔1〕图②的建议：进步本钱，并进步票价；〔2〕图②的建议：降低本钱，并保持票价不变；〔3〕图③的建议：进步票价，并保持本钱不变；〔4〕图③的建议：进步票价，并降低本钱．其中所有说法正确的序号是______．【答案】〔2〕〔3〕【解析】【分析】根据题意知图像反响了收支差额y 与乘客量x 的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当0x =的点说明公司的本钱情况，再结合图像进展说明．【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低本钱而保持票价不变，故〔2〕正确；由图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即一样的乘客量时收入变大，即票价进步了，即说明了此建议是进步票价而保持本钱不变，故〔3〕正确. 故答案为〔2〕〔3〕【点睛】此题考察用函数图像说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进展判断，考察了读图才能和数形结合思想，解题关键是对图形的理解．14.复数2(1+2i)34i-的值是____________.【解析】【分析】利用多项式乘法化简复数的分子，即可得出结果．【详解】复数()234(1+2i)34134i 3434i ii i---+===----．故答案为-1【点睛】此题考察了复数的运算法那么，属于根底题． 15.函数22x y a -=+〔0a >且1a ≠〕恒过定点(),m n ，那么m n +=________________.【答案】5 【解析】【分析】当20x -=时，函数值域与a 没有关系，由此求得恒过的定点(),m n ，并求得表达式的值. 【详解】当20x -=，即2x =时，函数值域与a 没有关系，此时3y =，故函数过定点()2,3，即2m =，3n =，所以235m n +=+=.【点睛】本小题主要考察指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为0的时候，01a =，由此求得恒过的定点，属于根底题. 三、解答题〔一共6小题，一共85分〕()2,,21xf x m x R m =+∈+为常数．〔1〕假设()f x 为奇函数，务实数m 的值；〔2〕判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性的定义予以证明; 〔3〕求()f x 在(],1-∞上的最小值．【答案】〔1〕1m =-〔2〕函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，证明见解析〔3〕()min 43f x m =+ 【解析】试题分析：〔1〕由x ∈R ，函数()f x 为奇函数，那么()00f =，或者根据奇函数的定义可务实数m 的值；〔2〕利用函数单调性的定义，计算()()12f x f x -，判断其符号正负，即可判断并证明()f x 在R 上的单调性；〔3〕由〔2〕易得()f x 在(],1-∞上的最小值．试题解析：〔1〕法一：由函数()f x 为奇函数，得()00f =即10m +=，所以1m =-法二：因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=∴()()22222121212112x x x x f x f x m m m -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭ ()2?212?2222220122112x x x x xm m m +⎛⎫=++=+=+= ⎪+++⎝⎭，所以1m =-〔2〕证明：任取12,x x R ∈，且12x x <那么有()()()()()21122112122?2222222121212121?21x x x x x x x x f x f x m m -⎛⎫⎛⎫-=+-+=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∵12x x <，∴12220x x -<，∴2210x +>，∴1210x +>，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >所以，对任意的实数m ，函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数〔3〕∵函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数， ∴函数()f x 在(],1-∞-上为减函数， ∴当1x =-时，()()min 413f x f m =-=+ 考点：函数的单调性，奇偶性，以及函数的最值17.有一块铁皮零件，其形状是由边长为30cm 的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE ，其中8,AF cm =6BF cm =，如下图.如今需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN ，使得矩形相邻两边分别落在,CD DE 上，另一顶点P 落在边CB 或者BA 边上.设DM xcm =，矩形DMPN 的面积为2ycm .〔1〕试求出矩形铁皮DMPN 的面积y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；〔2〕试问如何截取〔即x 取何值时〕，可使得到的矩形DMPN 的面积最大？【答案】〔1〕230,024462,24303x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，定义域(0,30]D =〔2〕先在DE 上截取线段934DM cm =，然后过点M 作DE 的垂线交BA 于点P ，再过点P 作DE 的平行线交DC 于点N ，最后沿MP 与PN 截铁皮，所得矩形面积最大. 【解析】【分析】〔1〕分类讨论,当点P 分别落在线段CB 或者线段BA 上.根据矩形面积即可求得y 关于x 的函数解析式及其定义域.〔2〕根据〔1〕由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时x 的值,即可知截取矩形的方式.【详解】〔1〕根据题意并结合图形,可知： ①当点P 落在线段CB 上即024x <≤时,30y x =； ②当点P 在线段BA 上,即2430x <≤时,由PQ BFQA FA=, 得4403QA x =-. 于是y DM PM =⋅DM EQ =⋅24623x x =-. 所以230,024462,24303x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩定义域(0,30]D =.〔2〕由〔1〕知,当024x <≤时,0720y <≤；当3040x <≤时,24623y x x =-2493288328833444x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当934x =时,等号成立. 因此,y 的最大值为28834. 答：先在DE 上截取线段934DM cm =,然后过点M 作DE 的垂线交BA 于点P ,再过点P 作DE 的平行线交DC 于点N ,最后沿MP 与PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为228834cm . 【点睛】此题考察了分段函数在实际问题中的应用,根据二次函数的性质求得最大值,属于根底题.18.函数22()cos sin cos =-+f x x x x x .〔I 〕求12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值和函数()f x 的最小正周期；〔II 〕求()f x 的单调递减区间及最大值，并指出相应的x 的取值集合.【答案】〔I 〕π；〔II 〕|6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式,以及两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用正弦函数的周期公式求出最小正周期；(Ⅱ)根据正弦函数函数的图象和性质,即可求函数()f x 的最大值,利用正弦函数的单调性，解不等式可得单调增区间.【详解】〔I 〕()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，2sin 2sin 12663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数()f x 的最小正周期22T ππ==；〔II 〕由〔I 〕知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最大值为2，相应的x 的集合为|6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭, 3222,62k x k k Z ππππ≤+≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题主要考察三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考察计算才能,此类题目的解答,关键是根本的三角函数的性质的掌握纯熟程度.19.解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈. 【答案】当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或者1}x ≤-；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a -≤≤.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式．【详解】解：原不等式可化为()2220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得2x a≥或者1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭.当21a >-，即2a <-时，解得21x a-≤≤；当21a=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意；当21a <-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或者1}x ≤-；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.【点睛】此题考察含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原那么，同时最后记得把求得的结果进展综合表述. 20.()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．〔1〕求函数()g x 的定义域；〔2〕求函数()g x 的最大值及此时x 的值．【答案】〔1〕[1]4，；〔2〕4x =时，函数有最大值13．【解析】【分析】〔1〕由()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求〔2〕由可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ．【详解】解：〔1〕()42log [116]f x x x =+∈，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，；〔2〕()42log ,[116]f x x x =+∈，，()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，那么[01]t ∈，，而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增，当1t =，即4x =时，函数有最大值13．【点睛】此题主要考察了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，此题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．21.设:p “关于x 的不等式2504x ax a -++>的解析为R 〞，:q “函数()12x f x x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间()1,2-上有零点〞. 〔1〕假设q 为真，求a 的取值范围；〔2〕假设p q ∧为假，p q ∨为真，求a 的取值范围.【答案】(1)734a -<<.(2)7(,1][3,5)4--⋃. 【解析】试题分析：〔1〕由命题q 为真，那么(1)0(2)0f f -<⎧⎨>⎩，即可求解实数a 的取值范围.〔2〕根据p q ∧为假，p q ∨为真，得,p q 中一真一假，分类讨论即可求解实数a 的取值范围. 试题解析：〔1〕函数()f x 是增函数，所以假设q 为真，那么()()1020f f ⎧-<⎪⎨>⎪⎩，解得734a -<<. 〔2〕假设p 为真，那么25404a a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即2450a a -+<，解得15a -<<，因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以,p q 中一真一假，假设p 真q 假，那么35a ≤<；假设p 假q 真，那么714a -<≤-，综上，a 的取值范围是][7,13,54⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（） A ．sin y x =B ．sin 2y x =C ．cos y x =D ．cos 2y x =2．O 是空间任意一个确定的点，点P 在直线AB 上，且13OP xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则x =（）A ．1B ．13 C ．23D ．13-3．已知向量()1,2a =-r ，()2,1b =r，且()2a a b ⋅-=r r r （） A ．5 B ．5- C ．11 D ．11-4．复数z 满足条件()43i 34i z +=+（i 为虚数单位），则z =（） A ．1B ．5C ．15D ．255．将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则（）A ．()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()πsin 26x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()πsin 212x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．已知tan 2θ=，求cos sin 4πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值（）A ．10B ．35C ．10-10D ．107．已知是定义在R 上的函数()f x ，且()()2f x f x +=，当()0,2x ∈时，则()22f x x =，则()2023f =（）A ．2-B ．2C ．98-D ．988．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，且AC ，2ADC BAD ∠=∠．若AB CD BC AD ⋅+⋅=O 的半径为（）A ．4B ．2 CD ．二、多选题9．已知复数1i z =--，则（）A ．z 的虚部为1B ．1i z =-+C ．||z =D ．22i z =10．设函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且把()f x 的图像向左平移π6个单位后得到的图像关于原点对称，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =对称B ．函数()f x 的图像关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若325f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则π3225f α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[]1,0-上单调递增，且满足()()4f x f x -=，()()2f x f x -=-，则（）A ．()1010k f k ==∑B ．()()0.9 1.20f f +<C ．()()22.5log 80f f >D ．()1sin1ln 2f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭三、填空题12．已知向量()()1,,1,2a m b m ==-r r ，且2a b -r r与a r 共线，则实数m =．13．已知角α的顶点为原点，始边为x 轴的非负半轴，若其终边经过点()1,2P -，2sin2cos 1αα=+． 14．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知,A B 两点间的距离为2，点P 为»AB上的一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为．四、解答题15．已知函数()2cos 1f x x =-.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出()f x 在[]0,2π上的简图；（2）求不等式()1f x ≤的解集.16．已知单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为2π3，1224a e e =+ru r u u r ，2124b e e =-r u u r u r .(1)求a b ⋅r r ；(2)求a r 与b r的夹角余弦值.17．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为(),,,5,sin 2sin a b c b a b A b B =+=. (1)证明：a b =；(2)点D 在边AB 上，2,AD BD CD =sin BCD ∠. 18．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)当ππ,312x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈时，求函数()f x 的最值及此时x 的值．19．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120︒时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120︒；当三角形有一内角大于或等于120︒时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos πsin 2cos 6A C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 为ABC V 的费马点．(1)求角B ；(2)若22()6b a c --=，求PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值； (3)若1b =，求||||||PA PC PB +-的取值范围．。

湖南省常德市2021学年高一数学下学期第二次月考试题(含解析)

湖南省常德市2021学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.已知集合{}|03A x x =<<，{}|12B x x =≤<，则A B =（）A. {}|0x x ≤B. {}|2x x ≥C. {}|12x x ≤<D.{}|02x x <<【答案】D 【解析】【分析】根据集合的并集的运算，准确运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}|03A x x =<<，{}|12B x x =≤<，则AB ={}|02x x <<.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中熟记集合的并集概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.若函数(2)23,g x x +=+则(3)g 的值是 A. 3 B. 5C. 7D. 9【答案】B 【解析】【分析】令2=3x +，可得=1x ，将=1x 代入表达式23x +可求得函数值【详解】令2=3x +，得=1x ，则(12)=(3)213=5g g +=⨯+ 答案选B【点睛】本题考查函数值的求法，根据对应关系解题相对比较快捷，也可采用换元法令2t x =+，将函数表示成最新t 的表达式，再进行求值3.下列函数中，为偶函数的是（） A. 1y x =+ B. 1y x=C. 4y x =D. 5y x =【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义，逐项准确判定，即可求解.【详解】由题意，函数1y x =+为非奇非偶函数，所以A 符合题意；函数()1f x x=，满足()11()f x f x x x -==-=--，所以函数1y x =为奇函数，所以B 不符合题意；函数()4f x x =，满足()44())(f x x x f x ==-=-，所以函数4y x =是偶函数，满足题意；函数()5f x x =，满足()55()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数5y x =为奇函数，所以D不符合题意. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 4.下列函数在()0,∞+上是增函数的是（）A. 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 25y x =-+C. ln y x =D. 3y x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性的定义，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】根据指数函数的性质，可得函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+为单调递减函数，不符合题意；根据一次函数的性质，可得函数25y x =-+在()0,∞+为单调递减函数，不符合题意；根据对数函数的性质，可得函数ln y x =在()0,∞+为单调递增函数，符合题意；根据反比例函数的性质，可得函数3y x=在()0,∞+为单调递减函数，不符合题意. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定，其中解答中熟记初等函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.5.已知函数()lg ,012,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则()10f 的值是（）A. -2B. 1C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】由分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解. 【详解】由题意，函数()lg ,012,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，可得()10lg101f ==.故选：B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段条件，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6.下列计算正确的是（） A. ()239a a =B. 22log 6log 31-=C. 11220aa -⋅=D. ()()233log 42log 4-=-【答案】B 【解析】【分析】根据指数幂的运算和对数的运算性质，逐项运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据实数指数幂的运算，可得()11236022,1a a a a a -=⋅==，所以A 、C 不正确；由对数的运算性质，可得632222log 6log 3log log 21-===，所以B 是正确的；对于D 中，根据对数的化简，可得()233log 42log 4-=，而()3log 4-是无意义的.故选：B.【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 1B. 2C.13D.43【答案】D 【解析】【分析】根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，利用锥体的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为11142223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 8.函数1xy a =+（0a >且1a ≠）图象一定过点（） A. ()0,1 B. ()2,0C. ()1,0D. ()0,2【答案】D 【解析】分析】令0x =，解得012y a =+=，即可得到函数1x y a =+恒过定点.【详解】根据指数函数的性质，令0x =，解得012y a =+=，即函数1x y a =+恒过定点()0,2.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，其中解答中熟记指数函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.三个数20.320.3,log 0.3,2a b c === 之间的大小关系是 ( )A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D.b ac <<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质、对数函数的性质确定20.320.3,log 0.3,2a b c ===所在的区间，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质可知22log 0.3log 10b =<=，由指数函数的性质可知000.31,21a c <==，b ac ∴<<，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10.函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间 A. (5,6) B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)【答案】B 【解析】试题分析：根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 考点：零点存在性定理11.已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A. 25π B. 50π C. 125πD. 都不对【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解．【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2223524R =++2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12.()f x 是定义在()-22，上的减函数，若()()121f m f m ->-，则实数m 的取值范围是（）A. ()0+∞，B. 302⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. ()-1,3D.1322⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义域和单调性，得到不等式组2122212121m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()f x 是定义在()22-，上的减函数，又由()()121f m f m ->-，所以2122212121m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得302m <<，即实数m 的取值范围是3(0)2，，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中利用函数的定义域和单调性得出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知幂函数()y f x =的图象过点(2，则()9f =______．【答案】3 【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()ay f x x ==，由于图象过点(2,122,2aa ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，则这个平面图形的面积为．【答案】【解析】试题分析：由题可知：斜二测发画的直观图与直观图的区别在于，x 轴的长度一致，y 轴长度是其一半，本题在斜二测直观图是一个等腰三角形，可知，由,可知在直观图中其边长为2，故平面图形的面积为。

广东省佛山市实验中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题

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【分析】求出 ar × cr 即可判断 A；根据平面向量共线的坐标表示即可判断 B；求出两向量夹角的余弦值，从而可判断 C，根据投影向量的计算公式计算即可判断 D.
【分析】由 f (x) =
2
cos
æ çè
2x
-
π 4
ö ÷ø
可得
f
(
x)
的最大值为
2 ，故 A 错误；将 y =
2 cos 2x 的
图象向右平移 p 个单位长度得到 y = 2 sin 2x 的图象，所以 B 错误；根据余弦函数的减区 4
间可知
f
(
x)
在
æ çè
ππ, 4
3 8
ö ÷ø
上单调递减，所以
2．下列函数中最小正周期为 π 且是奇函数的为（）
D． 5 2
A． y = tan2x
B．
y
=
tan
æ çè
x
+
π 4
ö ÷ø
C．
y
=
cos
æ çè
2πx
+
3 2
ö ÷ø
D．
y
=
sin
æ çè
2x
+
π 2
ö ÷ø
3．
uuur AB
=
ur e1
-
uur e2
，
uuur BC
=
ur 3e1
+
uur 2e2
=
cos
2x
为偶函数，故
D
错误.
故选:C. 3．A
【分析】由已知可求
uuur AC
=
ur 4e1

安徽省阜阳市红旗中学2023-2024学年高一下学期第二次月考(5月)数学试题(含答案)

2023—2024学年高一年级第二学期第二次月考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.在中，D 是BC 边上的中点，则（）A. B. C. D.3.已知m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（）A. B.4 C. D.5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.，，B.，C.，， D.，，6.已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（）A. B. C. D.z ()1i z 12i +=-z 3i 2-32-12-1i2-ABC △AB = 2AD AC - 2AD AC - 2AD AC + 2AD AC +αβ//m α//n α//m n //m α//m n n α⊥//αβm α⊥//n βm n ⊥//m n n α⊂//m αOAB △y 'A B ''AB =ABC △4a =5b =6c =a =2b =45A =︒10a =45A =︒70B =︒3a =2b =60A =︒a b c ()a b c +⊥ ()a b c -⊥ ()//a b c + ()//a b c -7.已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，平面ABC ，，，若三棱锥P -ABC，则球O 的表面积为（）A. B. C. D.8.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术可以视为将一个圆内按正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（）（取近似值3.14）A.0.039 B.0.079 C.0.157 D.0.314二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

天津市双菱中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

天津市双菱中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足112i i z -=-+，则z =（）A ．25BCD 2．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）A ．平均数B ．第50百分位数C ．极差D ．众数3．ABC n 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若45A a b =︒==，B 等于 A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒ D ．60︒或120︒4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若αγ⊥，αβ⊥，则//γβB ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβC ．若//m n ，//m α，则//n αD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 5．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（）A ．3 cm 6πB ．3 cm 3C 3cmD ．3 cm 3π6．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是（） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（）A B ．23 C D ．128．如图所示，在三棱锥-P ABC 中，PA BC ⊥且1,PA BC PB AC PC =====则下列命题正确的个数是（）①平面PAB ⊥平面PBC②平面PAB ⊥平面ABC③平面PAC ⊥平面PAB④平面PAC ⊥平面PBC⑤平面PBC ⊥平面ABC⑥平面PAC ⊥平面ABCA ．3B ．4C ．5D ．69．在ABC V 中，E 为AC 上一点，3AC AE =u u u v u u u v ，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>u u u v u u u v u u u v ，则31m n+的最小值是 A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题10．若向量(6,8)a =-r ，则与a r 平行的单位向量是．11．如图，一个水平放置的正方形ABCD ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()2,2，则在用斜二测画法画出的正方形ABCD 的直观图A B C D ''''中，顶点B '到x '轴的距离为．12．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．13．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为．14．在ABC V 中，90A ︒∠=，3AB =，AC 若2CM MB =u u u u r u u u r ，AN AC AB λ=+u u u r u u u r u u u r ()λ∈R ，且8AN AM ⋅=u u u r u u u u r，则λ的值为.15．如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是．三、解答题16．天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：(1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数；(2)求样本数据的中位数的近似值（保留1位小数）；(3)估计这1000名学生的数学平均分．17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 0a b c A C +-=．（1）求C 的值；（2）若c =2b a =，求ABC V 的面积S ．18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面边长AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，侧棱长为D 为BC 中点，CE ⊥AD ，E 为垂足．（1）求证：1AC //平面1AB D ；（2）求证：平面1AB D ⊥平面1CC E ；（3）求直线1DC 与平面1CC E 所成角的正弦值．19．如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由.。

广东省佛山市高一下学期第二次月考数学试题(解析版)

高一数学试题审题人：高一数学备课组本试卷共4页，全卷满分150分．考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知向量，，则（）(2,3)a = (3,2)b =r |2|a b -=A.B. 2C.D.【答案】C 【解析】【分析】求出，求模即可.2(1,4)a b -=【详解】∵，，∴，(2,3)a =(3,2)b =r 2(1,4)a b -=∴. |2|a b -==故选：C.2. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（） πA.B.tan2y x =πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. D.3cos 2π2y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB ，根据诱导公式化简CD 的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.【详解】的最小正周期为,故A 错误； tan2y x =π2为非奇非偶函数，故B 错误；πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知为奇函数，且最小正周期为，故C 正确；3cos 2πsin 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2ππ2=为偶函数，故D 错误.πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选:C.3. ，，，且三点共线，则=（） 12AB e e =- 1232BC e e =+122C e D ke =+ A C D 、、k A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】由已知可求，由三点共线得,根据向量共线的定理即可求出124AC e e =+A C D 、、AC CD A k的值.【详解】由题得,121212324AC AB BC e e e e e e =+=-++=+因为三点共线,A C D 、、所以,AC CD A 所以存在实数,使得,λAC CD λ=所以,()121212422e e ke e k e e λλλ+=+=+所以,解得. 421k λλ=⎧⎨=⎩1,82k λ==故选：A4. 若一个圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，则该圆锥的底面半径为（）． 90︒πA. 2 B. 1C.D.1214【答案】C 【解析】【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.【详解】如图，设扇形的半径，即圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，l r由圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，得，则， 90︒π21ππ4l =2l =从而扇形的半径为2，即圆锥的母线长为2. 故扇形的弧长，即圆锥的底面周长为，即，解得， π2π2⨯=2ππr =12r =所以该圆锥的底面半径为. 12故选：C.5. 已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（）,a b a a = b ()30,b a a λ-⊥λA. B. 2C. D.2-12-12【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案.【详解】因为，所以，()b a a λ-⊥()0b a a λ-⋅=即，故， 20a b a λ⋅-=130,2λλ=∴=故选：B6. 在中，已知，那么一定是（）ABC A 2cos c a B =⋅ABC A A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形【答案】B 【解析】【分析】利用正弦函数进行边化角，再利用正弦函数的两角和公式求解即可【详解】解：已知， 2c a cosB A ＝则：，2sinC sinAcosB ＝整理得：， ()2sin A B sinAcosB +＝则：， ()0sin A B -＝所以：. A B ＝故选：B7. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选OT 取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，O A B 105OBA ∠=︒45OAB ∠=︒45m AB =，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（）B T OTA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. AOB A OB =BOT A tan 30OT OB =︒【详解】依题意，中，，，即，AOB A 30AOB ∠=︒sin sin AB OB AOB OAB ∴=∠∠45sin 30sin 45OB=︒︒解得. OB =在中，，即. BOT A tan tan 30OTOBT OB =∠=︒tan 30OT OB =︒==故选：A.8. 对于函数，下列结论中正确的是（） ()2sin (cos sin )1f x x x x =-+A. 的最大值为 ()f x 1B. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 ()f x 2y x =π4C. 在上单调递减 ()f x 3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 的图象关于点中心对称 ()f x π,18⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由可得，故A 错误；将的图象向π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 2y x =右平移个单位长度得到的图象，所以B 错误；根据余弦函数的减区间可知在4π2y x =()f x上单调递减，所以C 正确；由可知D 不正确. 3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭π()8f =【详解】，2π()2sin (cos sin )1sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=+=- ⎪⎝⎭所以当，，即，时，，故A 错误； π22π4x k -=Z k ∈ππ8x k =+Z k ∈()f x将的图象向右平移个单位长度得到2y x =4π的图象，所以B 错误；ππ22242y x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得，所以是的一个单调π2π2π2π()4k x k k ≤-≤+∈Z π5πππ()88k x k k +≤≤+∈Z π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 递减区间，所以在上单调递减，所以C 正确； ()f x3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭因为不是的图象的对称中心，所以D 不正确.πππ()884f =⨯-=π,18⎛⎫⎪⎝⎭()f x 故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.已知向量，则（）(2,1),(3,1)a b ==-A. ，则B.c = a c ⊥ ()a b a+∥C. 与D. 向量在向量上的投影向量为 a a b - ab 12b - 【答案】ACD 【解析】【分析】求出即可判断A ；根据平面向量共线的坐标表示即可判断B；求出两向量夹角的余弦值，a c ⋅从而可判断C ，根据投影向量的计算公式计算即可判断D. 【详解】解：对于A ，因为， 0a c ⋅==所以，故A 正确；ac ⊥对于B ，，(1,2)a b +=-因为，所以与不平行，故B 错误；112250-⨯-⨯=-≠()a b +a对于C ，，()5,0a b -=则，()cos ,a b a a b a a b a-⋅-===-所以与，故C 正确； aa b -对于D ，向量在向量上的投影向量为，故D 正确. ab 12a b b b bb⋅⋅==-故选：ACD . 10. 已知，关于该函数有下列说法中的是（）． ()1sin 22f x x =A. 的最小正周期是 ()f x 2πB. 在上单调递增()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 当时，的取值范围为 ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到()f x ()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π8【答案】BC 【解析】【分析】对于ABC ，根据正弦函数的性质逐一分析判断即可；对于D ，利用三角函数平移的性质即可判断.【详解】对于，它的最小正周期，故A 错误；()1sin 22f x x =2ππ2T ==当时，， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B 正确；sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，，所以， ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以的取值范围为，故C 正确； ()f x 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象向左平移个单位长度得到解析式为()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π8，故D 错误；1ππ1π1sin 2sin 2cos 2284222y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：BC ．11. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则下ABC A sin :sin :sin 2:A B C =6b =列说法正确的是（） A. 为钝角三角形 ABC A B.3C π=C. 周长为ABC A 10+D. 的外接圆面积为ABC A 1123π【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦定理可得三边，然后利用余弦定理，正弦定理逐项判断即得. 【详解】因为，sin :sin :sin 2:A B C =所以， ::2:a b c =6b =∴， 4,a c ==∴，故，a cb <<A C B<<，(2222244436a c b +=+=>=所以B 为锐角，故为锐角三角形，故A 错误；ABC A 由，，可得，故B 正确；2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯()0,C π∈3C π=由上可知周长为C 正确；ABC A 10+由正弦定理可得的外接圆直径为，即， ABCA 2sin c R C ===R =的外接圆面积为，故D 错误. ABC A 2283R ππ=故选：BC.12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=11AACC 角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）O E 1BBA. 直三棱柱的体积是1B. 直三棱柱的外接球表面积是8πC. 三棱锥的体积与点的位置有关 1E AAO -E D. 的最小值为 1AE EC +【答案】AD 【解析】【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的体积即可判断A ；直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱中，，，， 111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=所以其体积， 111212V Sh ==⨯⨯⨯=故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得， 111ABC A B C -其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，，=所以其外接球的表面积为， 24π6π⨯=故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，1//BB 11AAC C 1BB，111122ABC S =⨯⨯=A三棱锥的高，1E AAO -h111112222AA O AA C S S ==⨯=A A，11136-∴==E AA O V 故三棱锥的体积为定值，故C 错误； 1E AAO -将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内， 11BCC B 1BB 11ABB A 11BCC B 此时，连接与相交于点E ，此时最小， 1111112=+=AC A B C B 1AC 1BB 1AE EC +即，11AE EC AC +===故D 正确．故选：AD .三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若且，则__________． 4sin 5α=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin π2α-=【答案】## 2425-0.96-【解析】【分析】先由三角函数的平方关系求得，再利用正弦函数的倍角公式即可求出结果. 3cos 5α=-【详解】因为，，所以， 4sin 5α=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5α==-所以. ()4324sin π2sin 22sin cos 25525αααα⎛⎫-===⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：. 2425-14. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【解析】【分析】利用计算即可.11A NMD D AMN V V --=【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点所以 11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.15. 记函数的最小正周期为T ，若为的()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<()f T =9x π=()f x 零点，则的最小值为____________． ω【答案】 3【解析】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从T ()f T =ϕπ9x =ω而得解；【详解】解：因为，（，） ()()cos f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<所以最小正周期，因为， 2πT ω=()()2πcos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+==⎪⎝⎭又，所以，即，0πϕ<<π6ϕ=()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又为的零点，所以，解得， π9x =()f x ππππ,Z 962k k ω+=+∈39,Z k k ω=+∈因为，所以当时； 0ω>0k =min 3ω=故答案为： 316. 如图,摩天轮的半径为40m ,O 点距地面的高度为50m ,摩天轮作匀速转动,每12分钟转一圈,摩天轮上P 点的起始位置在最低处,那么在t 分钟时,P 点距地面的高度________（m ）．h =【答案】5040cos 6tπ-【解析】【分析】根据每12分钟转一圈,可以求出周期,再根据圆的半径可以求出振幅,最后可以写出在t 分钟时,P 点距地面的高度的表达式. h 【详解】每12分钟转一圈,所以.圆的半径为40,所以振幅A 为40m . 摩天轮上P 点的起2=12=6ππωω⇒始位置在最低处,此时高度为50-40=10,所以P 点距地面的高度.5040cos6h tπ=-【点睛】本题考查了根据实际背景求余弦型函数的解析式,考查了数学阅读能力.四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在菱形中，.ABCD 1,22CF CD CE EB ==（1）若，求的值；EF xAB y AD =+23x y +（2）若，求.6,60AB BAD ∠==AC EF ⋅ 【答案】（1）1（2）9【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.EF,x y 23x y +（2）先求得，然后利用转化法求得.AB AD ⋅ AC EF ⋅ 【小问1详解】因为， 1122CF CD AB ==-2CE EB = 所以， 2233EC BC AD == 所以， 21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=- 所以， 12,23x y =-=故.231x y +=【小问2详解】，AC AB AD =+ ， ()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭为菱形，，ABCD ||||6,60AD AB BAD ∠∴=== 所以，66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯= . 2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯= 18. 如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转ABCD AD AB ⊥//AD BC AB 一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）；（2）. 68π1403π【分析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可；（2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，， 214282S ππ=⨯⨯=半球，(25)35S ππ=+=圆台侧.2525S ππ=⨯=圆台底故所求几何体的表面积为.8352568ππππ++=（2）， 221254523V πππ⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台， 341162323V ππ=⨯⨯=半球所求几何体体积为. 161405233V V πππ-=-=圆台半球【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 19. 已知，且 π,,π2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3cos π5α-=（1）求的值； πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）若，求的值. ()3sin 5αβ-=sin β【答案】（1）7-（2）1【解析】【分析】（1）结合诱导公式可得，根据同角三角函数关系可得，再由两角差的正切公3cos 5α=-tan α式，即可得出结果；（2）根据题中条件，得到，根据平方关系可得，再由π02αβ<-<()4cos 5αβ-=，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦【小问1详解】因为，所以， ()3cos πcos 5αα-=-=3cos 5α=-又因为，所以， ,2ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4sin 5α==因此， sin tan s 43co ααα==-所以. 4π1tantan π34tan 7π441tan tan 143ααα+-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭+⋅-【小问2详解】因为，所以， π,,π2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ22αβ-≤-≤又，所以， ()3sin 5αβ-=π02αβ<-<所以， ()4cos 5αβ-==所以，()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦即. 4433sin 15555β=⨯+⨯=20. 在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且．ABC A 22cos b c a C =+（1）求角A 的值；（2）若，求面积的最大值．2a =ABCA 【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用正弦函数的和差公式化简即可求得角A ；（2）利用余弦定理与基本不等式求得，从而利用三角形的面积公式即可求得面积的最大4bc ≤ABC A 值.【小问1详解】因为，22cos b c a C =+所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos B C A C =+又，()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣所以，()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +=+所以，2cos sin sin A C C =因为，则，所以， 0πC <<sin 0C ≠1cos 2A =因为，所以. ()0,πA ∈π3A =【小问2详解】由（1）得，又， π3A =2a =所以由余弦定理，得，即， 2222cos a b c bc A =+-22π42cos 3b c bc =+-224b c bc =+-所以，可得，当且仅当时，等号成立，2242b c bc bc +=+≥4bc ≤2b c ==所以的面积 ABC A 1sin 2S bc A ==≤所以ABC A 21. 建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温0C ︒（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足0C ︒t 024t ≤≤关系. 3π()sin((0,0)4f t A t b A ωω=-+>>（1）求的表达式；()y f t =（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.【答案】（1） ()()π3π8sin 4024124f t t t ⎛⎫=-+≤≤⎪⎝⎭（2）8小时【解析】【分析】（1）直接利用函数图像，求出，进而求出的表达式； ,,A b ω()f t （2）利用条件和由（1）中所求结果建立不等式，再借助的图像与性质即π3π1sin 1242t ⎛⎫-<-⎪⎝⎭sin y x =可求出结果.【小问1详解】如图，因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为()3πsin (0,0)4f t A t b A ωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭()3,4-，()15,12所以， ()1248,15312,448422T A b A --===-==-+=-+=所以，又，所以， 2π24T ω==0ω>π12ω=所以. ()()π3π8sin 4024124f t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭【小问2详解】根据题设，由（1）得，即， π3π8sin 40124t ⎛⎫-+<⎪⎝⎭π3π1sin 1242t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭由的图像得， sin y x =7ππ3π11π2π2π,Z 61246k t k k +<-<+∈解得，23243124,Z k t k k +<<+∈又因为，024t ≤≤当时，，当时，，1k =-07t ≤<0k =2324t <≤所以或,07t ≤<2324t <≤所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.22. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线为湿地两P ,AB AC 边夹角为的公路(长度均超过千米)，在两条公路上分别设立游客接送点,从观景台120︒2,AB AC ,M N 到建造两条观光线路，测得千米，千米．P ,M N ,PM PN 2AM =2AN =(1)求线段的长度；MN (2)若，求两条观光线路与之和的最大值．60MPN ∠=︒PM PN【答案】（1）千米；（2）千米【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理即可求得结果；（2）设，根据正弦定理可用表AMN ∆PMN α∠=α示出和，从而可将整理为，根据的范围可知PM PN PM PN +()30α+ α()sin 301α+=时，取得最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得： AMN ∆ 2222212cos12022222122MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭MN ∴=（2）设，因为，所以PMN α∠=60MPN ∠= 120PNM α∠=- 在中，由正弦定理得： PMN ∆()sin sin sin 120MN PM PN MPN αα==∠-， 4sin MN MPN ==∠ ()4sin 120PM α∴=- 4sin PN α=()14sin 1204sin 4sin 4sin 2PM PN ααααα⎫∴+=-+=++⎪⎪⎭()6sin 30ααα=+=+0120α<< 3030150α∴<+<当，即时，取到最大值∴3090α+= 60α= PM PN +两条观光线路距离之和的最大值为 ∴【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题，涉及到三角函数最值的求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.。

高一数学下学期第二次月考试题试题

学院附中2021-2021学年高一下学期第二次月考数学试题一、选择题〔每一小题只有一个选项符合题意，一共10小题，每一小题3分，一共30分〕1．集合2{|10},{1,0,1}, P x x T P T =-==-则与的关系为（）. B. C. D. A P T P T P T P T ⊆⊇=2．以下函数中与函数y x =一样的一个函数是〔〕()22332. B. y= C. y=D. y= x A y x x x x=3．如图是函数的图像，根据图像可知函数()y f x =的单调递减区间是〔〕. (1,0) B. (1,+) C. (1,0)(1,+) D. (1,0) , (1,+) A -∞-∞-∞4． 222[2,2]y x x =-+-函数在上的最大值、最小值分别为（）. 10 , 2 B. 10 , 1 C. 2 , 1 D. A 以上都不对5． 2()2(1)1[2,)f x x m x m =++++∞在区间上单调递增，则的取值范围是（）. B. [3,) C. (,2) D. [3,+) A ∞-+∞-∞∞（-,-3] 6． 2|1| 2 , ||11() [()]( )12 , ||11x x f x f f x x--≤⎧⎪==⎨>⎪+⎩则14925. B. C. D. 213541A -7． 2.52.5012, 2.5,,,,2a b c a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭设则的大小关系为（）. B. c C. D. A a c b a b a b c b a c >>>>>>>>8．以下函数中在(,0)-∞在内是减函数的是（）12121. 1 C. log || D. +22xA y x y y x y x x -⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭9．以下关系式中成立的是〔〕00311333031133311. log 4 >>log 10 B. log 10 > > log 45511 C. log 4 >log 10 > D. log 10 > log 4>55A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6210. () log ,(8) f x x f =已知则等于（）41. B. 8 C. 18 D. 32A y =二、填空题〔一共8个小题，每一小题4分，一共32分〕11. ,{|0},{|1},________UU R A x x B x x A B ==>=>=设则12．1[3,5]______,_________.1x y x x -=∈+函数的最大值是最小值是13. ______y =函数______y =14. 函数 2()2_____f x ax x a =+15. 若是奇函数，则的值是1()),()27_______3y f x f x x ==16. 幂函数的图像经过点(-2,-则满足的的值是17.log (3) 1(0,1)______a y x a a =+->≠函数且的图像必经过点0018.199254.81x y y x 年底世界人口达到亿，若人口的年平均增长率为，经过年后世界人口数为（亿），则与的函数关系式为_______三、解答题〔解答题应写出必要的文字说明，计算和证明过程〕 19.计算〔每一小题4分一共8分〕101310.25328331(1)[2][16]10(0.027)48(2)log 9log 32lg5lg 2ln e --⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯--+220.(10()41[,2](),()f x x x t t g t g t =--+分）设二次函数在区间上的最小值是试求函数的解析式22222110()(log ),log () 2 (1)1()2(log )f x x x b f a b f a a f x f x x =-+==≠（分）若且，求（）的解析式（）的最小值及对应的值00000022.10A 20055000 2020062009A 2005805012009A 2200520052009（分）某电器公司生产型电脑，年这种电脑每台平均生产成本为元，并以纯利润确定出厂价。

河北省邯郸市大名县第一高级中学校2022-2023学年高一下学期5月第二次月考数学试题

(1)求 BAC ； (2)求 ABC 的面积. 22．在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形，PA AB ，E 和 F 分别为 PD 和 BC 的中点．
(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点 A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 A ，求蚂蚁爬行的最短距
离．
19．求解下列问题：
(1)在
ABC
中，若
a
4
，
b
3
，
sin
A
2 3
，求角
B．
(2)在 ABC 中，若 A 105 ， C 30， b 2 2 ，求边 c．
20．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC 4 ， BC 3， AB 5 ．
(1)证明： EF // 平面 PAB ； (2)求二面角 F ED A 的余弦值．
D．六边形
三、填空题
13．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3500 人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，
高二学生人数比高一学生人数多
300，现在按
1 100
的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应
抽取高一学生数为________．
14．在三棱锥 P ABC 中，PA PB CA CB 10 ， AB PC 12 ．若三棱锥的四个顶点都在球 O
大名县第一高级中学校 2022-2023 学年高一下学期 5 月第二次月考数学试题
一、单选题 1．复数1 2i 的虚部为（）
A．1
B． 2i
C．2i
D． 2
2．用斜二测法画边长是 4 的正方形直观图，则所得直观图的面积是（）
A． 4 2
B．8

高中高一数学下学期第二次月考试题(共8页)

民办(mín bàn)高中2021-2021学年下学期第二次月考高一数学考前须知：1.本卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕，满分是150分，考试时间是是120分钟。

2.在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卷上。

3.请将答案正确填写上在答题卷上，写在其它地方无效。

4.本次考题主要范围：必修5等第I卷〔选择题 60分〕一、选择题1.数列，，2 ，，…，那么2 B.7 C.192.a，b均为正数，且a+b=1，那么+的最小值为〔〕B.25C.26B.26C.254.等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a12 B.31 C.305.点M〔a，b〕在直线3x+4y=15上，那么 B.3 C.2﹣ax+b＜0的解集为〔1，2〕，那么不等式＜的解集为〔〕A.〔，+∞〕B.〔﹣∞，0〕∪〔，+∞〕C.〔，+∞〕D.〔﹣∞，0〕∪〔，+∞〕7.在以下各函数(hánshù)中，最小值等于2的函数是〔〕A.y=x+B.y=cosx+〔0＜x＜〕C.y=D.y=中，，那么角〔〕A. B. 或者 C. D.9.设公比为〔〕的等比数列的前项和为，假设，，那么〔〕A. -2B. -1C.D.10.的内角的对边分别是，且，假设，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.11.设第一象限内的点满足约束条件假设目的函数的最大值为，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.∆为“和12.假设沿着三条中位线折起后可以拼接成一个三棱锥，那么称这样的ABC∆的三个内角分别为，，，那么以下条件不可以确定为“和谐三角形〞，设ABC谐三角形〞的是〔〕A. ；B.C. D.第II卷〔非选择题 90分〕二、填空题的内角(nèi jiǎo)所对的边分别为，假设，那么.ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为、、，且，那么_________.15.假设数列{}n a 中，，那么__________．16.假设实数满足,那么的最大值是_____三、解答题 17.在ABC ∆中，，，.〔1〕求的长；〔2〕求的值.18.等比数列{a n }满足记其前n 项和为〔1〕求数列{a n }的通项公式a n ；〔2〕假设19.数列的前n 项和为nS ，向量,满足条件.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设函数,数列{}n a 满足条件.①求数列的通项公式；②设数列的前n 项和为.20.在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，，.〔1〕当时，求ABC ∆的面积(miàn jī)；〔2〕求ABC ∆周长的最大值. 21.数列{}n a 中，，，数列中，，其中；〔1〕求证：数列{}n b 是等差数列；〔2〕假设n S 是数列{}n b 的前n 项和，求的值．{}n a 的前项和为n S ,，，是数列的前n 项和．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求n T ．〔3〕求满足的最大整数n 的值．参考答案1.13.15.17.〔1〕〔2〕【解析(jiě xī)】〔1〕由余弦定理知，,所以.〔2〕由正弦定理得,为锐角, 那么,.18. 【解析】〔1〕设等比数列{a n}的公比为q，因为那么，所以〔2〕，由19.〔1〕；〔2〕①；②.【解析(jiě xī)】〔1〕因为.当时,. 当a .时,, 满足上式, 所以2nn〔2〕①,,即,又是以1为首项,1公差的等差数列..②,两边同乘得,以上两式相减得.20.〔1〕或者；〔2〕6.【解析】〔1〕由条件得：，∴，∴.①时，，，∴，②时，，∴，，∴.∴233S =或者(huòzhě)3. 〔2〕设ABC ∆的外接圆半径为，∴由正弦定理得：，∴，∴周长.∵3A π=，∴，∴，∴，∴，∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴∴，∴.21.〔1〕见解析〔2〕【解析】〔1〕根据等差数列定义，即证为常数，将用代人，结合条件112n na a +=-，可得〔2〕先根据等差数列前n 项和得，再利用裂项相消法求和试题解析：解:(1)数列中,,,数列中,,其中.,,═常数,数列是等差数列,首项为1,公差为1,(2) ,即{}n a22.〔1〕；〔2〕；〔3〕1.【解析(jiě xī)】〔1〕∵当2n ≥时，*1145,(2,)n n n S S S n n N +-+=≥∈且，∴，∴，∵，∴，∴数列{}n a 是以为首项，公比为4的等比数列． ∴．〔2〕由〔1〕得：，∴．〔3〕，令，解得：故满足条件的最大正整数n 的值是1．内容总结（1）民办高中2021-2021学年下学期第二次月考高一数学考前须知：本卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕，满分是150分，考试时间是是120分钟（2）②设数列的前项和为.20.在中，内角，，所对的边分别为，，，， .〔1〕当时，求的面积。

安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一下学期第二次单元检测(月考)数学试题(含解析)

安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一下学期第二次单元检测（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．24 55 a b-C．2455a b-+(sin2sinA A=A．4B．37．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔别测塔顶的仰角为30 、45 、A．20米B．70 3米C．803米D．30米8．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，A ．383rB ．38π3rC ．3163r 二、多选题9．已知平面向量()1,0a =，()1,23b = ，则下列说法正确的是（）A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．3cos ,3a b =D ．向量+a b 在a 上的投影向量为,m n ,a βA ．当点P 运动到1BC 中点时，直线B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有D ．当点P 在1BC 上运动时，直线三、填空题14．在正方体111ABCD A B C D -111113A H C G A D ==，则异面直线15．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为16．已知SAB ∆是边长为2的等边三角形，45ACB ︒∠=其外接球的表面积为__________．(1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点(2)若点P为线段AB的靠近点中，内角A，19．在ABC(1)求角A的大小；(1)证明：PC∥平面EFG；==(2)若22PC PD CD===，AC AD AP21．如图所示，在海岛A上有一座海拔0.5高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的22．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥线BD 将ABD △折至A BD ' 的位置，记二面角(1)当90θ=︒时，求证：平面A CD '⊥平面A BD '；(2)若E 为BC 的中点，当120θ=°时，求二面角A DE B '--的正切值．参考答案：对B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故对C，如图所示的三棱锥中有形，但它不是正三棱锥，故对D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故故选：A则G是DE的中点，且1124 GF EC BC ==14GF AD∴=，对②，因为F ，M ，N ，Q 分别为AB CD ，则FN AB ，故F ，N 错误；对②，E 在过F ，N ，A ，B 四点的平面外，故直线对③，N ，Q 重合，故直线BQ 与直线设建筑物的高为m PO h =，则PA =由余弦定理可得2cos 2PB PBA PB +∠=22223cos 22h PB BC PC PBC PB BC +-∠==⋅因为PBA PBC π∠+∠=，故cos PBA ∠即22222230h AB AB h +-+=，可得对于C ，在长方体111ABCD A B C -平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面显然满足,ααβ⊥⊥m ，而m β⊂【点睛】关键点点睛：图形中向量的数量积问题，通过找基底并将未知的待计算的向量表示为基底的形式去计算能很大程度上简化计算即EP ⊥平面111A B C ，所以直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值，因为112EP BB =，1AE A B =所以15tan 5PA E ∠=，故A 正确；由题意知，11B BCC 为正方形，即有所以111A B BC ⊥，又111A B B C 所以1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面同理可证：11A B OB ⊥，又1A B所以Q 为中线的交点，即Q 为所以根据重心的性质有1PQ QA =对于D ：由于11//A B AB ，直线结合下图分析知，点P 在BC 当P 在B 或1C 上是，11B A P ∠当P 在1BC 的中点时，11B A P ∠所以11B A P ∠不可能是30︒，故故选：AB ．13．414．513.【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为则有(0,0,0)D ，(3,3,0)B 1315．32/1.5【分析】根据水的体积与棱柱体积的关系得出结论．【详解】棱柱的体积公式是V =在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，棱柱底面的14，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的。

海南省乐东黎族华东师范大学第二附属中学乐东黄流中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

华二黄中2023-2024学年第二学期第二次月考高一年级数学试卷试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．在复平面内，已知复数11z i=-，则其共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（）A ．至少摸出1个白球B ．至少摸出1个红球C ．摸出2个白球D ．摸出2个白球或摸出2个红球3．已知数据12,,,,n x x x t 的平均数为t ，方差为21s ，数据12,,,n x x x 的方差为22s ，则（）A ．2212s s >B ．2212s s =C ．2212s s <D ．21s 与22s 的大小关系无法判断4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个结论，其中正确结论是：①//l m αβ⇒⊥；②l m αβ⊥⇒⊥；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒.A ．①与②B ．①与③C ．②与④D ．③与④5．在ABC 中，若138,7,cos 14a b C ===，则最大角的余弦是（）A ．15-B ．16-C ．17-D ．18-6．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（）A ．10cmB ．2cmC ．D ．527．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%8．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB CD ，22AB CD ==，M 是DC 的中点，2=CN NB ，若AC AM AN λμ=+，则λμ+的值为（）A ．119B ．89C ．2D ．3二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的有（）．A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．数据1210,,,x x x 的平均数为90，方差为3；数据1215y ,y ,,y 的平均数为85，方差为5，则12101115,,,,,,,x x x y y y 的平均数为87，方差为10.2C ．数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D ．已知数据1210,,,x x x 的极差为6，方差为2，则数据121021,21,,21x x x +++ 的极差和方差分别为12，811．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则（）A ．异面直线1AB 与11B D B ．取1BB 的中点为M ，过1A MC ､､三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为734C ．1A B //平面11BD CD ．点1B 到平面11BD A 的距离为125第II 卷（非选择题）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与b垂直，则a 的值为.13．某学校高二年级选择“物化地”，“物化生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“物化生”组合中选出的同学人数为．14．已知正三棱锥-P ABC 的底面边长为1，点P 到底面ABC ，则该三棱锥的内切球半径为，该三棱锥外接球半径为．四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15．已知复数112i x =-是关于x 的方程20x ax b ++=的根（i 是虚数单位），其中,a b ∈R ．(1)求a ，b 的值．(2)若||z =1x z 是纯虚数，求z ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，,E F 分别为,AD PB 的中点．(1)求证：PE BC ⊥；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；17．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，且满足2sin 0a C =(1)求角A 的值；(2)若a =ab ≤，求2cb -的取值范围．18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的众数、中位数、平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19．如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为2.(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由.1．D【分析】根据复数运算和共轭复数定义求得z ，由此可得对应点坐标，从而确定结果.【详解】()()111111122i z i i i i +===--+ ，1122z i ∴=-，z ∴对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.2．C【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项．【详解】对于A ，至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于B ，至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件；对于C ，摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件；对于D ，摸出2个白球或摸出2个红球与摸出个白球1个红球是互斥也是对立事件.故选：C ．3．C【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断2212,s s 的大小.【详解】由题设，123...1n x x x x t t n +++++=+，即123...nx x x x t n++++=，∴22111()1n i i s x t n ==-+∑，22211()n i i s x t n ==-∑，即有2212s s <.故选：C.4．B【解析】由面面平行的性质和线面垂直的定义，可判断①的真假；由线面垂直的性质、面面垂直的性质及空间关系，可判断②的真假；由线面垂直的判定定理，及面面垂直的判定定理，可判断③的真假；根据线面垂直、线线垂直的定义及几何特征，可判断④的真假.【详解】过直线m 做一平面,,//n γγααβ= ，//m n ∴，l ⊥平面α，,l n l m ∴⊥⊥，①正确；直线l ⊥平面α，若αβ⊥，则l 与m 可能平行，异面也可能相交，②错误；直线l ⊥平面α，若//l m ，则m ⊥平面α，m ⊂平面β，αβ∴⊥，③正确；直线l ⊥平面α，若l m ⊥，则//m α或m α⊂，则α与β平行或相交，④错误.故选:B.【点睛】本题以空间线面关系的判定为载体，考查了空间线面垂直，线面平行，面面垂直及面面平行的判定及性质，考查空间想象能力，属于中档题.5．C【分析】运用余弦定理求出c ，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为138,7,cos 14a b C ===，所以3c =，因为a b c >>，所以A B C >>，因此222499641cos 22737b c a A bc +-+-===-⨯⨯，故选：C 6．D【分析】将圆柱展开，根据题意即可求出答案.【详解】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后1552()222E F cm ππ'=⨯⨯=，∴)E G cm '=，即为所求最短距离．故选:D.7．C【分析】由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的110，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比．【详解】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的3013040100805010=++++，∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%110⨯=3%．故选C ．8．A【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出λ、μ即可.【详解】根据题意，//AB CD ，22AB CD ==，M 是DC 的中点，2=CN NB ，画出梯形ABCD 如下图所示：所以AM AC CM =+ 14AC BA =+()14BN C NAA =++ 1142NC AC NA ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1184NC NA AC =++ ()1184AC AN AC NA=+-+ 111884AC A AC N AN =+-- 9388AC AN =- ，则8193AC AM AN =+ ，又AC AM AN λμ=+ ，AM 、AN不共线，所以8913λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以8111939λμ+=+=.故选：A 9．BCD【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】解：对于A ，由折线图的变化趋势可得，月接待游客量有增有减，故选项A 错误；对于B ，由折线图的变化趋势可得，年接待游客量逐年增加，故选项B 正确；对于C ，由折线图可得，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故选项C 正确；对于D ，由折线图可得，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故选项D 正确．故选：BCD.10．ABD【分析】A 选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B 选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C 选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D 选项，根据方差性质得到121021,21,,21x x x +++ 的方差可判断.【详解】A 选项，每个个体被抽到的概率为50.150=，故A 正确；B 选项，12101115,,,,,,,x x x y y y 的平均数为10901585871015⨯+⨯=+，方差{}2221103(9087)155(8587)10.21015S ⎡⎤⎡⎤=⨯+-++-=⎣⎦⎣⎦+，故B 正确；C 选项，这10个数据从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；D 选项，不妨设1106x x -=，则()10110121212()2612x x x x +-+=-=⨯=，即数据121021,21,,21x x x +++ 的极差为12，由方差性质知22228S =⨯=，故D 正确．故选：ABD 11．ACD【分析】由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.利用余弦定理计算可判断A ，作出截面计算可判断B ，根据线面平行的判定定理判断C ，利用等体积法求点到面的距离判断D.【详解】对于A ，依题意115CB CD ==，11B D =，由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠（或其补角），在三角形11CB D 中，2221155cosB DC +-∠==所以异面直线1A B 与11B D ，故A 选项正确；对于B ，设过1A M C ､､三点的平面α交棱1DD 于N ，连接1,AN C N ，如图，由1//C M 平面11ADD A ，α 平面11ADD A AN =，1C M α⊂，所以1//C M AN ，同理可得1//AM NC ，所以截面为平行四边形1AMC N ，又Rt ABM ≌11Rt C B M △，可得1AM C M =，所以四边形1AMC N 为菱形，所以Rt ADN △≌11Rt C D N ，可得1D N DN =，即N 为1DD 中点，所以面积1122S AC MN =⋅==B 错误；对于C ，由于11//A B CD ，1⊄A B 平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，所以1//A B 平面11B D C ，故C 选项正确；对于D ，设点1B 到平面11BD A 的距离为h ，由111111B A BD B A B D V V --=，所以1111454433232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得125h =，故D 选项正确.故选：ACD.12．2【分析】首先根据2a b - 与b垂直求得x =a 的值即可.【详解】解：根据题意，向量()1,a x =，()1,b x =- ，则()23,a b x -=，若2a b - 与b垂直，则()2230a b b x =-+-=⋅ ，解可得：x =则2a ==.故答案为：2.13．3【分析】根据分层抽样的概念，按各层比列求解即可.【详解】由分层抽样可知，“物化生”组合中选出的同学人数为901232109060⨯=++人，故答案为：314．267212【分析】设PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.【详解】如图，PM 是棱锥的高，则M 是ABC 的中心，D 是AB 中点，233144ABC S ==△，113633412P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△，113DM ==PD =CM =12PAB S AB PD =⨯⨯△112612=⨯⨯=，所以33PAB ABC S S S =+=⨯△△设内切球半径为r ，则13P ABC Sr V -=，3126r ⨯=；易知外接球球心在高PM 上，球心为O ，设外接球半径为R ，则在Rt OMC 中，222OM MC OC +=，即)222R R +=⎝⎭，解得12R =.故答案为：26；7212．15．(1)2,5a b =-=；(2)z =或z =-．【分析】（1）将112i x =-代入方程，根据复数相等列方程组求解可得；（2）设i z m n =+，根据复数模公式和纯虚数概念列方程组求解即可.【详解】（1）112i x =- 是方程的根，()()212i 12i 0a b ∴-+-+=，即()342i 0a b a +--+=，30420a b a +-=⎧∴⎨--=⎩，解得2,5a b =-=；（2）设i z m n =+，则z =2210m n +=①，又()()()()112i i 22i x z m n m n n m =-+=++-为纯虚数，所以2020m n n m +=⎧⎨-≠⎩②，由①②联立，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩z ∴=或z =-．16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到PE AD ⊥，再根据//BC AD 可得PE BC ⊥；（2）根据面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面PAD ，进一步得到AB PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到PD ⊥平面PAB ，最后根据面面垂直的判定定理可证平面PAB ⊥平面PCD .【详解】（1）因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为底面ABCD 为矩形，所以//BC AD ，所以PE BC ⊥.（2）因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，PA AB A = ，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .17．(1)2π3或π3(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简求得sin A =A 的值；（2）根据题意，得到因π3A =，求得4sin bB =，π4sin 4sin 3cC B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，化简得到1π26b c B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合π2π33B ≤<，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：因为2sin 0a C =，由正弦定理得2sin sin 0A C C =，又因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以sin 2A =，因为(0,π)A ∈，所以2π3A =或π3A =，（2）解：因为a =且a b ≤，所以π3A =，由正弦定理得4sin a A =，所以4sin b B =，π4sin 4sin 3c C B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭则1ππ4sin 2sin 3sin 2236b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由a b ≤，可得π2π33B ≤<，所以πππ662B ≤-<，可得π1sin [,1)62B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则π6B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以即2c b -的取值范围．18．(1)频率分布直方图见解析(2)众数为100，中位数约为99.7，平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)不能【分析】（1）根据频率分布表完成频率直方图即可；（2）根据频率分布直方图求出众数、中位数、平均数、方差；（3）计算出质量指标值不低于95的产品所占比例，由此可得出结论.【详解】（1）由表格数据知：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125频率0.060.260.380.220.08频率分布直方图如下：（2）众数为951051002+=，前2个矩形面积之和为0.060.260.320.5+=<，前3个矩形面积之和为0.320.380.70.5+=>，所以中位数位于()95,105，质量指标值的样本中位数为0.18951099.70.38+⨯≈，质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.质量指标值的样本方差为()()22222200.06100.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.所以这种产品质量指标值的众数为100，中位数约为99.7，平均数的估计值为100，方差的估计值为104.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．(1)60(3)存在，F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置【分析】（1）取AD 中点M ，连接OM 、PM ，由正四棱锥的性质知PMO ∠为所求二面角P AD O --的平面角，PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，设AB a =，求出tan PMO ∠的值，即可得解；（2）依题意连接AE 、OE ，可知OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角，证明出AO OE ⊥，计算出AO 、OE 的长，即可求得结果；（3）延长MO 交BC 于N ，取PN 的中点G ，连接EG 、MG ，易得BC ⊥平面PMN ，可得平面PMN ⊥平面PBC ，分析出PMN 为正三角形，易证MG ⊥平面PBC ，取AM 的中点F ，连接EF ，可得四边形EFMG 为平行四边形，从而//MG FE ，可得EF ⊥平面PBC ，即可得出结论.【详解】（1）解：取AD 的中点M ，连接OM 、PM ，由正四棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂ 平面ABCD ，则AD PO ⊥，依条件可知AD MO ⊥，则PMO ∠为所求二面角P AD O --的平面角.PO ⊥ 面ABCD ，则PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，则tan PAO ∠=设AB a =，则AO =，所以，tan PO AO POA =⋅∠=，则tan PO PMO MO∠==，因为090PMO <∠< ，故60PMO ∠=o .（2）解：连接AE 、OE ，所以，AEO ∠为异面直线PD 与AE 所成的角.PO ⊥ 平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，则AO PO ⊥，AO BD ⊥ ，BD PO O = ，AO ∴⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，AO OE ∴⊥.12OE PD a = ，所以，210tan 5AO AEO EO ∠==.（3）解：延长MO 交BC 于N ，则N 为BC 的中点，取PN 的中点G ，连接EG 、MG .因为PB PC =，N 为BC 的中点，则BC PN ⊥，同理可得BC PM ⊥，PM PN P = ，故BC ⊥平面PMN ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PMN ⊥平面PBC ，又PM PN ==，60PMN ∠=︒，所以，PMN 为正三角形，G 为PN 的中点，则MG PN ⊥，又因为平面PMN 平面PBC PN =，平面PMN ⊥平面PBC ，MG ⊂平面PMN ，所以，MG ⊥平面PBC ，取AM 的中点F ，连接EF ，G 、E 分别为PN 、PB 的中点，则//EG BN 且12EG BN =，因为//AD BC 且AD BC =，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则//AM BN 且AM BN =，F 为AM 的中点，则//FM BN 且12FM BN =，故//FM EG 且FM EG =，所以，四边形EFMG 为平行四边形，则//EF MG ，故EF ⊥平面PBC .因此，F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置.。

2023-2024学年甘肃省平凉市静宁县文萃中学高一下学期第二次月考数学试题

2023-2024学年甘肃省平凉市静宁县文萃中学高一下学期第二次月考数学试题1.已知复数且，其中为虚数单位，则（）A．－4B．－3C．－2D．02.在中，已知，，，则（）A．B．C．或D．或3.已知向量，它们的夹角为，则（）A．4B．12C．2D．4.下列说法正确的是（）A．等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥B．过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径C．棱锥的侧棱一定相等D．正三角形的平面直观图一定是等腰三角形5.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（）A．B．C．D．6.如图，已知四棱锥，底而ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7.已知为钝角，，则的值为（）A．B．-2C．D．8.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A．B．C．D．9.已知复数，则下列说法正确的有（）A．复数z的实部为3B．复数z的共轭复数为C．复数z的虚部为D．复数z的模为510.是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等11.不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张蓝色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色12.已知，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．13.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是___.14.如图所示的直观图，其中，，，则原平面图形的面积为______.15.已知三内角的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为______.16.已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.17.已知向量，，，O为坐标原点.（1）若，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求与所成角的余弦值.18.已知，，角β的终边过点.(1)求的值；(2)求的值.19.在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：参加志愿服务礼仪培训未参加志愿服务礼仪培训参加赛会应急救援培训610未参加赛会应急救援培训628(1)从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；(2)在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率.20.如图，在四棱锥中，平面分别为的中点．(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．(1)求角B的大小；(2)若的面积为，求AC边上的中线长．22.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.。

广西贺州市贺州第一高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

广西贺州市贺州第一高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是（）A ．应采用分层随机抽样抽取B ．应采用抽签法抽取C ．三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆D ．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的10．已知m n l ，，为空间中三条不同的直线，a b g ，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A ．若,m m a b g Ç=^，则,a g b g ^^B ．若,m n a a ÌË，则m 与n 为异面直线C ．若,,l m n a b b g g a Ç=Ç=Ç=，且l m P =I ，则P n ÎD ．若,,//m m a b a g ^^，则//b g11．已知锐角ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b，c ，且ABC V 的面积为(1)证明：平面ECD^平面(2)求二面角D EC B--的余弦值．22．设A是如下形式的2行3列的数表，1．D【分析】利用复数的运算，得到i z a b =+的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点(),Z a b ，从而判断出所在象限.【详解】由题得()()213i 1i 1i 3i 3i 1i 3i 342i z =-+=+--=+-+=-，则在复平面内对应的点的坐标为()4,2-，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D 2．C【分析】（方法一）由,a b r r 的坐标，求得2a b +r r的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；（方法二）先由()2a b b +^r r r化简，再代入,a b r r 得坐标计算即得.【详解】（方法一）由()1,a l =r ，()2,1b =-r ，得()25,2a b l +=-r r ．由()2a b b +^r r r ，得()20a b b +×=r r r，即()()52210l ´+-´-=，解得12l =．故选：C ．（方法二）由()2a b b +^r r r ，得()20a b b +×=r r r，即220a b b ×+=r r r ，将()1,a l =r，()2,1b =-r 代入得，()()221212210l éù´+´-+´+-=ëû，解得12l =．22．(1)0.7(2)1【分析】（1）根据题意，分别求（2）根据题意，结合1-比较得到其中的最小值，。

2023-2024学年河北省高一下学期第二次月考数学质量检测试题(含答案)

2023-2024学年河北省高一下册第二次月考数学质量检测试题一、单选题1．若复数z 满足()()1i i 2z --=，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据复数的乘、除法运算可得复数12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足()1i (i)2z --=，可得()()()21i 2i i 12i 1i 1i 1i z +=+=+=+--+，可得复数z 在复平面内对应的点为(1,2)位于第一象限.故选：A.2．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A ．8B ．C ．16D ．【正确答案】C【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=，所以6AB ==，所以原图形的周长为2(26)16⨯+=．故选：C.3．下列说法正确的是（）A ．过空间中的任意三点有且只有一个平面B ．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分C ．空间中的三条直线a ，b ，c ，如果a 与b 异面，b 与c 异面，那么a 与c 异面D ．若直线a 在平面α外，则平面α内存在直线与a 平行【正确答案】B【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A ；根据分别乘法计数原理即可判断B ；根据异面直线的概念即可判断C ；根据线面关系即可判断D.【详解】A ：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A 错误；B ：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，所以三棱柱各面所在的平面将空间分成7321⨯=个部分，故B 正确；C ：空间中直线a 、b 、c ，若a 与直线b 异面，b 与c 异面，则a 与c 可能异面，也可能共面，故C 错误；D ：由直线a 在平面α外可知，//a α或a 与α相交.若//a α，则α内存在一条直线与直线a 平行；若a 与α相交，则α内不存在直线与直线a 平行，故D 错误.故选：B.4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a π4B =，b =，则A =（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．π6或5π6【正确答案】A【分析】由正弦定理求得sin A ，然后由三角形的性质求得A ．【详解】由正弦定理，得1,sin sin sin 2sin4a b A A B ==，因为a b <，所以A B <，π6A =故选：A.5．已知i 是虚数单位，复数i z a b =+，a ∈R ，b ∈R ，且i 2i -=+-z z ，则3-+z 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【正确答案】B【分析】根据复数的模长公式可求得1a =-，再利用复数的模长公式可求得3-+z 的最小值.【详解】因为()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b -=+-，()()2i 21i z a b +-=++-，由i 2i -=+-z z ，解得1a =-，则1i z b =-+，所以，(34i z b -+=-++，因此，34z -+=，当且仅当b =故3-z 的最小值为4.故选：B.6．三角形的三边分别为a ，b ，c ，秦九韶公式S =和海伦公式S =，其中2a b cp ++=，是等价的，都用于求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出了四边形的面积公式：若四边形的四边分别为a ，b ，c ，d ，则S =，其中2a b c dp +++=，θ为一组对角的和的一半.已知四边形四条边长分别为2，4，6，8，则四边形最大面积为（）A ．B ．C ．20D ．28【正确答案】B【分析】首先求出p ，依题意可得0πθ<<，sin 0θ>，根据所给公式得到in S θ=，再结合正弦函数的性质计算即可.【详解】不妨设2a =，4b =，6c =，8d =，则2468102p +++==，又易知0πθ<<，sin 0θ>，则S =i n θ==，当sin 1θ=，即π2θ=时，有最大值为故选：B ．7．已知2a = ，b = t ∃∈R ，a tb a b +<+ ，那么向量a 、b的夹角不能是（）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6【正确答案】C【分析】设向量a 、b的夹角为θ，则0πθ≤≤，根据a tb a b +<+ 可得出关于t 的二次不等式，根据0∆>求出cos θ的取值范围，结合0πθ≤≤即可得解.【详解】设向量a 、b的夹角为θ，则0πθ≤≤，由a tb a b +<+ 可得()()22a tba b +<+ ，整理可得222220t b ta b a b b +⋅-⋅-< ，即2222cos 2cos 0t b t a b a b b θθ+⋅-⋅-< ，即2cos 10t θθ+--<，因为t ∃∈R ，使得2cos 10t θθ+--<成立，则())228cos 41410θθθ∆=++=+>，解得cos 2θ≠-，因为0πθ≤≤，则3π4θ≠.故选：C.8．如图，圆锥的母线长为6，底面圆的半径为1，PAB 是圆锥的轴截面，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点D ，当蚂蚁的爬行距离最短时，DP 在AB上的投影向量为（）A ．15ABB ．14ABC ．13ABD ．12AB【正确答案】B【分析】将圆锥沿着母线PA 展开为扇形1APA ，设1APA θ∠=，求出θ的值，可知当D 为AP 的中点时，蚂蚁的爬行距离最短，再利用投影向量的定义可求得DP 在AB上的投影向量.【详解】将圆锥沿着母线PA 展开为扇形1APA ，设1APA θ∠=，如下图所示：由题意可得62πθ=，可得π3θ=，又因为1PA PA =，故1APA △为等边三角形，当1A D PA ⊥时，即当D 为AP 的中点时，蚂蚁的爬行距离最短，在PAB 中，取线段AB 的中点O ，连接PO ，因为PA PB =，则PO AB ⊥，所以，AP 在AB上的投影向量为12AO AB =u u u r u u u r ，因为12DP AP = ，故DP 在AB上的投影向量为1124AO AB = .故选：B.二、多选题9．下面关于空间几何体的表述，正确的是（）A ．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥B ．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形C ．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台D ．从三棱柱的6个顶点中选取4个不共面的点，这4点形成的三棱锥的体积一定是三棱柱体积的13【正确答案】BD【分析】根据旋转体的概念即可判断A ；根据圆锥的结构特征，即可判断B ；根据棱台的概念即可判断C ；根据同底等高的三棱锥与三棱柱的联系，即可判断D.【详解】A ：当直角三角形以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故A 错误；B ：圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形，故B 正确；C ：用平行于底面的一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，故C 错误；D ：从三棱柱的6个顶点中选取4个不共面的点，这4点形成的三棱锥与三棱柱同底等高，所以三棱锥的体积为三棱柱体积的的13，故D 正确.故选：BD.10．以下命题中正确的是（）A ．任意两个复数1z ，2z 满足1212z z z z -≤+B ．任意复数z 满足22||z z =C ．若复数1z ，2z 满足120z z ->，则1z ，2z 互为共轭复数D ．任意两个复数1z ，2z 满足1212z z z z =【正确答案】AD【分析】由复数的几何意义可判断A 正确，再设1i z a b =+，2i,(,,,R)z c d a b c d =+∈，依照选项分别进行复数运算即可判断B 、C 、D.【详解】设两个复数1z ，2z 对应的向量为12,OZ OZ，由向量减法的几何意义，可知1212OZ OZ OZ OZ -≤+ ，A 正确；设i(,R)z a b a b =+∈，则222z a b =+，2222i z a b ab =-+，所以22||z z ≠，故B 错误；设1i z a b =+，2i(,,,R)z c d a b c d =+∈，若12()()i>0z z a c b d -=-+-，则12z z -是实数，所以,b d a c =>，故1z ，2z 不是共轭复数，C 错误；12z z ==12z z ==，D 正确.故选：AD11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，对于ABC 有如下命题，其中正确的是（）A ．若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B ．若π3A =，a =ABC 的外接圆的面积等于πC ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰直角三角形【正确答案】BC【分析】根据余弦定理即可判断A ；根据正弦定理，即可判断B ；由题意可得ππ022A B >>->，即可判断C ；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.【详解】A ：由余弦定理，得222cos 02a c b B ac+-=>，得B 为锐角，不能判断ABC 为锐角，故A 错误；B ：设ABC 的外接圆的半径为R，由正弦定理得22sin a R A ==，得1R =，所以其外接圆的面积为2ππR =，故B 正确；C ：若ABC 为锐角三角形，则π2A B +=，且ππ022A B >>->，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；D ：cos cos a A b B =，由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或2π2A B =-，即A B =或π2A B +=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故D 错误.故选：BC.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则（）A ．1AC EF∥B ．平面1B EF截此正方体所得截面的周长为2C ．三棱锥1D B EF -的表面积为D ．三棱锥1D B EF -的体积为1【正确答案】BD【分析】根据线线平行的判定定理即可判断A ；如图梯形1EB HF 即为平面1B EF 截此正方体所得的截面，即可判断B ；利用余弦定理和三角形面积公式计算即可判断C ；利用等体积法计算，即可判断D.【详解】A ：如图，连接AC ，1AC ，取AC 的中点O ，连接OF ，因为F 为1CC 的中点，所以1//OF AC ，又EF OF F = ，所以1//EF AC 不成立，故A 错误；B ：如图，记DC 的中点为G ，连接1GC ，则11//EB GC ，取CG 的中点H ，连接FH ，则1//FH GC ，所以1//FH EB ，得四边形1EB HF 为梯形，即为平面1B EF 截此正方体所得的截面，易知11,22EB FB FH EH ====，所以梯形1EB HF B 正确；C ：如图，连接CE ，DB ，由题意知，11EB FB FD ED ===，1DB ==，EF ==在1 B DE中，11EB ED DB ==由余弦定理，得222111155121cos 2105ED EB DB DEB ED EB +-+-∠==-⋅，所以1sin 5DEB ∠=，所以1111sin 2B DE S ED EB DEB =⋅∠同理可得11B EF B DF DEF S S S =，所以三棱锥1D B EF -的表面积为，故C错误；D ：记1BB 的中点为P ，连接AP ，在//AP DF ，取BP 的中点Q ，连接EQ ，FQ ，则//EQ AP ，所以//EQ DF ，所以四边形DFQE 为梯形，由13B QBQ=，得13B DEF B DEF V V --=，所以1111333(12)1132D B EF B DEF B DEF F DEB V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：BD.三、填空题13．已知24a b ==，a b += ，则⋅= a b ______【正确答案】72【分析】根据题意可得2b =，对等式a b += .【详解】由24a b == ，得2b =，由222227a b a a b b +=+⋅+= ，解得72a b ⋅= .故答案为.7214．用一个圆心角为π，半径为4的扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的高是___________.【正确答案】【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求得半径，进一步根据勾股定理求得高.【详解】扇形的弧长为4πl =，设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2π4πr =，解得2r =.=故答案为.15．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线1AA 与直线1BB 的交点为P ，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为___________.【正确答案】3【分析】先确定四棱锥P ABCD -为正四棱锥，则其外接球的球心O 在直线1PO 上，由勾股定理可得半径，结合球的体积公式计算即可求解.【详解】设AC 与BD 相交于点1O ，因为四棱台1111ABCD A B C D -为正四棱台，直线1AA 与直线1BB 的交点为P ，所以P ABCD -四棱锥为正四棱锥，得1PO ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在直线1PO 上，连接BO ，设该外接球的半径为R ，由11122AB A B ==，11//AB A B ，所以1112,PB BB BO PO ====22211OB O O O B =+，即222(2)(2)R R =+-，解得2R =，则四棱锥P ABCD -外接球的体积为3482ππ33R =.故答案为.82π316．祖暅（gèng ）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R 的半球与底面半径和高都为R 的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面α的距离为23R ，则平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积等于___________.【正确答案】38π81R 【分析】根据题意中给的原理，结合圆柱、圆锥的体积运算，即可求解.【详解】由题意知，2311ππ33V R R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭圆柱，2233111228ππ,ππ3333381V R R R V R R R ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小圆锥大圆锥，所以3331819ππ38181V V V R R R π=-=-=小圆锥圆台大圆锥，所以该平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积为：3331198πππ38181V V V R R R =-=-=圆柱圆台.故答案为.38π81R 四、解答题17．已知平面向量()3,4AB =- ，(),BC x y = ，()4,3CD =- .(1)若//BC AD ，求x 与y 之间的关系式；(2)在（1）的条件下，若AC BD ⊥，求x ，y 的值.【正确答案】(1)y x=(2)3x y ==或4x y ==-【分析】(1)应用向量平行坐标运算即得.(2)应用向量垂直坐标运算即得.【详解】（1）因为(3,4)AB =- ，(,)BC x y = ，(4,3)CD =- ，所以(1,1)AD AB BC CD x y =++=++ ,//BC AD,∴(1)(1)y x x y +=+，即y x =.（2）(3,4)AC x y =-+ ，(4,3)BD x y =+- ，AC BD ⊥ ,∴(3)(4)(4)(3)0x x y y -+++-=,y x =,∴3x y ==或4x y ==-.18．在英语中，实数是Real Quantity ，一般取Real 的前两个字母“Re ”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity ，一般取Imaginary 的前两个字母“Im ”表示一个复数的虚部.如：()Re 23i 2+=，()Im 23i 3+=；()Re 3i 0-=，()Im 3i 3-=-.已知复数z 是方程2220x x ++=的解.(1)若()Im 0z >，且2i a b z=-（a ，R b ∈，i 是虚数单位），求i a b +；(2)若()Im 0z <，复数20231i 3it z z +=+，R t ∈，且()1Re 0z <，()1Im 0z >，求t 的取值范围.【正确答案】(1)(2)122t -<<【分析】（1）根据方程和题意可得1i z =-+，利用复数的乘法运算可得220a b b =-+⎧⎨+=⎩，结合复数的几何意义即可求解；（2）根据题意可得1i z =--，由复数的乘方和除法运算可得()1212i 5t t z --+-=，即可求解.【详解】（1）因为z 是方程2220x x ++=的根，解得1i z =-±，Im （z ）0>，∴1i z =-+，∴2i 1ia ab z ==--+，()()()2i 1i 22i a b b b =--+=-+++，∴220a b b =-+⎧⎨+=⎩，解得4,2a b ==-，∴i a b +=；（2） Im （z ）0<，复数20231i 3it z z +=+，R t ∈，且Re （1z ）0<，Im （1z ）0>∴1i z =--，又20233i i i ==-，∴()20231212i i i 12i 12i 5t t t t z --+-+-===-+-+， Re （1z ）0<，Im （1z ）0>∴2051205t t --⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得122t -<<.所以t 的取值范围为122t -<<.19．记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos235cos B B +=.(1)求B ；(2)若3a c =-，1b c =-，求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3B =(2)【分析】（1）由二倍角的余弦公式可得出cos B 的方程，解出cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理结合已知条件可求得a 、c 的值，利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.【详解】（1）解：由cos 235cos B B +=，得22cos 5cos 20B B -+=，解得1cos 2B =或cos 2B =（舍），因为0πB <<，所以π3B =.（2）解：由（1）及余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222b a c ac =+-，又3a c =-，1b c =-，所以()()()222133c c c c c -=-+--，解得8c =，5a =，所以ABC 的面积11sin 58222ABC S ac B ==⨯⨯⨯= .20．无人机在城市管理、农业、地质、气象、电力、抢险救灾、视频拍摄、快递配送等行业应用广泛.在一次城市宣传的取景拍摄中，一架无人机从A 处出发，沿北偏东70°的方向航行)1km -后到达B 处，然后从B 出发，沿北偏东10°的方向航行2km 到达C 处.(1)求A 与C 的距离；(2)如果下次航行直接从A 出发到达Ｃ，应沿什么方向航行？【正确答案】(2)应沿北偏东25 的方向航方向航行【分析】（1）根据题意求出ABC ∠、AB 、BC ，结合余弦定理计算即可求解；（2）根据正弦定理可得sin CAB ∠=.【详解】（1）由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=-+= ，1=AB ，2BC =，根据余弦定理，得))22222cos 14216AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=++=，所以AC =．（2）根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠，即22sin2s in BC A B BC CA AC∠==∠又,0180BC AC CAB <≤∠≤ ，所以45CAB ∠= ．所以应沿北偏东25 的方向航方向航行即可到达C 处.21．如图，PA 是圆柱的母线，AB 是圆柱的底面圆的直径，点C 是圆柱的底面圆周上异于A ，B 的点，1AC =，BC =，PB =(1)求圆柱的侧面积和体积；(2)若D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值.【正确答案】(1)侧面积4π侧=S ，体积2π=V .【分析】（1）利用圆柱的侧面积和体积公式即可.（2）将平面ACE 展开到和平面AED 重合，转化为同一平面内线段和的最小值，三点共线时，线段和最小，即可求解.【详解】（1）由已知，2224AB AC BC =+=，2AB =2224PA PB AB =-=，2PA =∴圆柱底面圆的半径12AB r ==，∵母线长2PA =，∴圆柱的高2h PA ==，∴圆柱的侧面积2π2π124πS rh ==⨯⨯=侧，圆柱的体积22ππ122πV r h ==⨯⨯=.（2）如图，延长线段BA 至C '，使得1AC AC '==，连接C E '，易证EAC EAC '≅ ，∴C E CE '=，∴CE ED +=C E ED '+，连接C D '，则当C '，E ，D 三点共线时，C E ED '+最小，即CE ED C E ED C D''+=+≥取AB 中点O ，则O 为底面圆心，连接OD ，∵D 为PB 中点，则OD PA ∥，112OD PA ==，易知PA AB ⊥，∴OD AB ⊥，∴在直角DOC ' 中，()()()()222222125C D OD OC OD OA AC '''=+++=+=∴CE ED +522．如图，半球底面圆的圆心为O （即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆1O ，以圆面1O 为底面向下挖去一个圆柱1OO （圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x ，体积为V .(1)求出体积V 关于x 的函数解析式，并指出定义域；(2)当x 为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？附：0a >，0b >，0c >222a b ab +≥，a b ab +≥a b =时取等）3333a b c abc +≥+，a b c ++≥（当且仅当a b c ==时取等）【正确答案】(1)V x=，定义域为{0x x <<(2)当x =【分析】(1)先设正四棱柱的高为h ,再根据柱体体积公式求解即可；(2)应用基本不等式求正四棱柱体积最大即得.【详解】（1）设正四棱柱的高为h ，则222216()22x h x h =+=+，h08<<，2V x h x ==定义域为{0x x <<，（2）2V x h x ===≤=当22216442x x x ==-，x =时取等，∴当x =。