几何辅助线之手拉手模型(初三)

手拉手模型

教学目标:

1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点

2：掌握手拉手模型的应用

知识梳理：

1、等边三角形

条件：△OAB，△OCD均为等边三角形

结论：；；

导角核心：

2、等腰直角三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形

结论：；；

导角核心：

3、任意等腰三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；

核心图形：

核心条件：；；

典型例题：

例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；

（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC

例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

A

例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H

问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

F

例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

A

例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？

（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？

（4）HB是否平分∠AHC？

A

例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。

例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.

（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

例9：在△ABC中，，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使，，连接CE．

1）如图1，当点D在线段CB上，且时，那么_______度；

（2）设，．

①如图2，当点D在线段CB上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；

②如图3，当点D在线段CB的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系．

（3）结论：与之间的数量关系是____________．

例10：

在中，，，BD为斜边AC上的中线，将绕点D顺时针旋转(

)得到，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，BE与FC相交于点H.

（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：____________;

（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：__________;

（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关

系：.

当堂练习：

1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．若点D在线段BC上，①依题意补全图1；

②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；

2：已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：．

3：如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．

4：已知，如图，是正方形内一点，且，求的度数．

5：如图所示，是等边

中的一点，

，

，

，试求

的边长.

6：在Rt △ABC 中，，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果

，那么DE 与CE 之间的数量关系是___________．

（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，如果

（

），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕

点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．

D

B

F

E D

A

B E D

A

B C C C

P A

E