第10章 相关系数与Copula函数

多元Copula函数
Copula函数可以用于描述多于两个变量之间的相关结构。
假定已知N个变量V1, V2,…Vn的边际分布，可以按照分位数
对应的原则将 Vi 映射到标准正态分布Ui ，其中Ui 服从多 元正态分布。 因子模型
U i ai F 1 a Zi
2 i
F及Zi分别服从标准正态分布，且相互独立 其他形式的Copula模型对应的F及Zi可以是其他形式。
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w w 0
T
为什么？一定满足吗？
w (1,1,1)
0 1 0.9
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T
1 0 0.9
0.9 0.9 1
10.3 多元正态分布
假定V1 及V2服从二元正态分布，变量V1 的某个观察值为v1， V2在V1 = v1 的条件下分布为正态分布，期望值为
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10.5 Copula函数应用于贷款组合
假定在一个贷款组合中涉及N个公司，定义Ti 为公司i的违 约时间。定义Qi 为Ti的累积概率分布。 为了应用一元Copula模型来描述Ti之间的相关结构，将变 量Ti的分位数与Ui的分位数进行一一对应，满足
U i ai F 1 a Zi
第n天相关系数的估计值为
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covn varx,n vary ,n
监测方差
EWMA:
covn covn1 (1 ) xn1 yn1
GARCH(1,1)
covn xn1 yn1 covn1
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协方差矩阵的一阵性
协方差矩阵需要满足内部一致性条件
E(Y) X
E(Y) X
(a)
E(Y)
(b)
X
(c)
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10.2 监测相关系数
假定变量X及Y在第i天结束时的收益率为 xi=(Xi-Xi-1)/Xi-1 ， yi=(Yi-Yi-1)/Yi-1
varx,n: 第n-1天计算的变量 X 的日方差
vary,n: 第n-1天计算的变量 Y 的日方差 covn: 第n-1天计算的变量 X 和Y的协方差
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相关系数及关联性
如果变量V1 和 V2 任意一个变量的信息不影响另一个变量 的分布，那么在统计上它们被定义为独立。即
f (V2 V1 x) f (V2 )
其中 f(.)表示变量的概率密度函数。
两个变量的相关系数为零，是否一定不相关？ 举例说明
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相关性的类型
精髓在于没有直接定义变量V1 及 V2的相关性，而是采取一种间接的 方式，即将V1 和 V2映射到较好的分布上定义其相关性。
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映射实例
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-0.2
0
0.2
0.4
V1
V2
0.6
0.8
1
1.2
One-to-one mappings
-6
-4
-2
对于多元联合正态分布的随机抽样，通常用Cholesky分解 法来生成，要求方差—协方差矩阵半正定。
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因子模型
若 Ui 服从标准正态分布，在单因子模型中，可设定为
U பைடு நூலகம் ai F 1 a Zi
2 i
其中 F为共同因子，Zi 为相互独立的因子，均服从独立的标 准正态分布， ai 为介于-1到1之间的常数。 多因子模型
Chapter 10 相关系数与Copula函数
引言
假设一家公司对市场的两个不同的变量有风险暴露，两个 变量之中的任何一个变量增加1个标准差，公司会收益 1000万美元；两个变量之中的任何一个变量减少1个标准 差，公司会亏损1000万美元。
如果这两个市场变量的变化有很强的正相关性，公司面临 的整体风险很大；如果市场变量的相关性为0，公司面临 的整体风险会小一些，但整体风险仍然很大；如果市场变 量的变化有很强的负相关性，公司面临的整体风险会大大 减小。
0
2
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
U1 Correlation Assumption
U2
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其他Copula函数
假定G1 和 G2分别为V1 和 V2的累积边际概率分布函数，N 为累积正态分布函数
G1 (v1 ) N (u1 ), G2 (v2 ) N (u 2 )
变量U1 和 U2 被假定为其他联合分布。
比如，学生-t 分布，t-Copula函数。
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抽样比较
10
5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 5
5
0 -10 -5 0 5 10
-5
-10
二元正态分布5000个抽样
二元学生t分布5000个抽样
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这个例子说明：相关系数及波动率的合理估计，对于正确 检测风险的暴露至关重要。
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引言
本章内容：
－讨论对于相关系数如何做出一个类似检测波动率的检验方法； － 通过Copula函数定义两个或者更多变量之间的相关结构； － 利用Copula计算一个贷款组合的风险价值度。
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2 i
Ti与Ui之间的映射意味着 Prob(Ui<U) = Prob(Ti<T) 当 N(U) = Qi(T)
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Copula函数应用于贷款组合（续）
U a F i P rob(U i U F ) N 2 1 ai 因此 N 1 Q (T ) a F i i P rob(Ti T F ) N 2 1 ai 假定所有公司的Q和 a都一样 N 1 Q (T ) F P rob(Ti T F ) N 1 对于一个大的贷款组合 ，对应于 - X分位数的 F， % 的把握， 1 X 在T时刻最大违约概率为 N 1 Q (T ) N 1 ( X ) N 1
1 m 协方差 covn E ( xn y n ) E ( xn ) E ( y n ) E ( xn y n ) xni y ni m i 1 方差 1 m 2 1 m 2 VARx ,n xni ,VAR y ,n y ni m i 1 m i 1
10.1 相关系数
变量V1 及V2的相关系数定义为
E (V1V2 ) E (V1 ) E (V2 ) SD(V1 )SD(V2 )
变量V1 及V2的协方差定义为
cov E(V1V2 ) E(V1 ) E(V2 )
虽然直觉上更容易理解相关系数，但是协方差才是真正需要分析的变 量。正如在EWMA及GARCH模型中，波动率更容易被人理解，但是 方差才是真正的基础变量。
2 U i ai1F1 ai 2 F2 aiM FM 1 ai2 ai22 aiM Zi 1
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10.4 Gauss Copula 函数
已知两个相互关联的变量V1 及 V2的边际分布的估计，如何决定变量 间的联合分布呢？
当变量V1 及 V2的边际分布为正态分布时，一种方便的做法（不是唯 一）是假设变量V1 及 V2服从二元正态分布。 若变量V1 及 V2的边际分布不为正态分布，也可以做类似假设。将变 量V1 及 V2按分位数对应的原则映射到变量U1 及 U2，变量U1 及 U2服 从二元联合正态分布。
标准差为
V1 m1 m2 s1
s2 1 2
m1,, m2, s1, s2 分别为变量 V1 和 V2 的无条件均值和方差， 是变量 V1 和 V2的相关系数。
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随机抽样
近似正态分布的生成
Ri 6
i 1
12
其中 Ri 是 0 到 1之间的相互独立的随机变量。