容斥原理习题加答案精编版

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容斥原理练习二(有答案)

1、某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。

这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
解：求出参加了美术或音乐小组的人数，用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。

根据排除法，该班至少参加了一个小组的总人数为12＋23- 5＝30(人)。

所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。

综合列式为
46- ( 12＋23- 5)＝16(人)。

2、老师统计考试成绩，数学得90分以上有25人，语文得90分以上的有21人，两科中有一科在90分以上的有38人，问：两样都得90分以上的有几人？
25+21-38=8
3.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有多少人？
32+39—x=45
X=26
4.某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人，问既会游泳又会体操的有多少人？
50-15=35
27+18-X=35
X=10。

完整版容斥原理习题加答案

1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。

2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25%是白色的, 75%是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。

(完整版)容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。

容斥原理(二)(含答案)-

容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的++---⨯=（人）方法二：664311210答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。

已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人？30人参的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参7。

答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。

问这个班最多多少人？最少多少人？满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。

另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。

当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。

答：这个班最多有46人，最少有39人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。

2024小升初专项训练容斥原理练习及答案解析

第3讲容斥原理第一关两量重叠问题【知识点】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．【例1】“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行多少天？【答案】13【例2】三（1）班同学给“手拉手”小伙伴捐物品，捐衣物的有26人，捐文具的有32人，两样都捐的有18人．捐物品的同学一共有几人？【答案】40【例3】同学们去动物园游玩，每人至少参观一个馆．参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参加的有6人，一共有多少人去动物园？【答案】19【例4】某班老师建议学生读A、B两本课外读物，结果有25人没有读A，有19人没有读B，20人只读了1本书，11人读过2本书，那么该班共有多少人？【答案】43【例5】假期中，王老师给三（1）班同学推荐了《冰雪奇缘》和《疯狂原始人》两部动画片供大家选择观看．两部电影都看的有36人，两部电影都没看的只有2人；看了《冰雪奇缘》的有40人，看了《疯狂原始人》的有38人．三（1）班一共有多少人？【答案】44【例6】光辉小学六年级在一次语、数联赛中，语文及格的有24人，数学及格的有27人，其中语、数都及格的有14人，另外还有8人语、数都没及格，六年级共有学生多少人？【答案】45【例7】三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组，已知参加音乐小组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人，三（5）班共有学生多少人？【答案】52【例8】四（1）班每个同学至少参加一项兴趣小组，参加美术小组的有32人，参加书法小组的有36人，两项都参加的有15人，四（1）班有多少人？【答案】53【例9】五年级（1）班每人都至少参加一个兴趣小组，参加语文兴趣小组的有45人，参加数学兴趣小组的有37人，有20人两个小组都参加．这个班共有多少人？【答案】62【例10】一次竞赛有2题，答对第一题的有186人，答对第二题的有143人，全错的有21人，全对的51人，问参加竞赛的共有多少人？【答案】299【例11】新东方在“五一劳动节”即将发行新版积分卡．如果旧版积分卡上共出现300位老师，新版积分卡上共出现400位老师，其中有150位老师在新旧两版积分卡中都出现了，那么，在新旧两版积分卡上共出现了多少位老师？【答案】550【例12】六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？【答案】6【例13】空军突击队共有25名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵中擅长射击的有20人，擅长武术的有12人，则两项均擅长的士兵有多少人？【答案】7【例14】某天的放学路上，甲和乙交流起各自玩过的电子游戏，他们回想起了20个不同的游戏，其中甲玩过8个，乙玩过16个，那么他们都玩过的游戏有几个？【答案】4【例15】三（2）班第一小组共有8人，在一次语文和数学测验中，他们均至少有一门得了95分以上，其中语文得95分以上的有5人，数学得95分以上的有7人，语文和数学均得95分以上的有多少人？【答案】4【例16】一次考试，语文得100分的有5人，数学得100分的8人，老师发现这次考试得100分的只有10人，那么，得双100分的有多少人？【答案】3【例17】某校五年一班有40人，其中有28人参加了数学小组，30人参加了外语小组，有6人两个小组都没有参加，两个小组都参加的有多少人？【答案】24【例18】六（3）班同学有23人参加了舞蹈和击剑兴趣小组，其中参加舞蹈兴趣小组的有17人，参加击剑兴趣小组的有20人，两个兴趣小组都参加的有多少人？【答案】14【例19】五（1）班40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本．采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有多少人？【答案】7【例20】学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？【答案】5【例21】全班50人做2道数学题，其中第一道做对的有40人，第二道做对的有30人，两道都做错的有5人，则两道都做对的有多少人？【答案】25【例22】六（1）班有45名同学，17人参加了象棋兴趣小组，22人参加了围棋兴趣小组，13人两个小组都没有参加，两个小组都参加的有多少人，多少人只参加了象棋兴趣小组？【答案】7；10【例23】一个班有48个人，班主任在班会上问：“谁完成了语文作业？请举手！”有37人举手，又问：“谁完成了数学作业？请举手!”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没有完成？”没有人举手，求这个班语文、数学作业都完成的人数。

容斥原理练习题解析版

容斥原理练习题【练习 1】47 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分 95 分以上的 14 人，数学得分 95 分以上的 21 人，两门都不在 95 分以上的有 22 人．问：两门都在 95 分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这47 名学生， A 圆表示语文得分95 分以上的人数，B 圆表示数学得95 分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95 分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95 分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95 分以上的人数与两门都不在95 分以上的人数之和，则至少一门在95 分以上的人数为： 47 - 22 = 25 (人)．根据包含排除法，两门都在95 分以上的人数为：14 + 21 - 25 = 10 (人)．【练习 2】某班有 42 人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【解析】由于全班42 人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42 人．根据包含排除法， 42 =（26 + 17 + 19）-（9 + 4 + 既爱打篮球又爱打排球的人数）+ 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为： 49 - 42 = 7 (人)．95分以上的数学95分以上的 B不在两门95分以上的语文95分以上的 A 两门都【练习 3】四(二)班有48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30 人，写完数学作业的有20 人，语文数学都没写完的有6 人．（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？【解析】（1）由题意，有48 - 6 = 42 (人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：30 + 20 - 42 = 8 (人)．（2）只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30 - 8 = 22 (人)【练习 4】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34 人，手中有黄旗的共有26 人，手中有蓝旗的共有18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6 人．而手中只有红、黄两种小旗的有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有3 人，那么这个班共有多少人？【解析】如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34+ 26 +18）-（9+ 4 + 3）- 6 ⨯ 2 = 50 (人)．A BC。

第二章容斥原理习题及解答

所以
A3 A5 A7 A3 A5 A3 A5 A7
500 35
3
500 5
7
33
4
29
第二章容斥原理习题
3、A、B、C三种材料用作产品I、II、 III的原料，但要求I禁止用B、C作原料， II不能用B作原料， III不允许用A作原料，问有多少种安排方案？（假定每种材料只做一种产品的原料）
|
A1
A2
A3
|
10
3 10
1
（10+3）=66-13=53
即为所求
第二章容斥原理习题
7、n个单位各派两名代表去出席一会议。 2n位代表围一圆桌坐下。试问：（a）各单位代表并排坐着的方案是多少？（b）各单位的两人互不相邻的方案数又是多少？
参考答案
[解] （a）方案数为(n-1)!2n （b）设第i单位代表相邻的方案数为Ai
5、求从O(0,0)点到(8,4)点的路径数，已知(2,1)到(4,1)的线段， (3,1)到(3,2)的线段被封锁。
参考答案
[解]设S为O(0,0)点到(8,4)点的所有路径
的集合。则
|
S
|
8
4
4
495
（8，4）
（0，0）
参考答案
[解(续)] 令
A1 表示S中经过线段(2,1)-(3,1)的路径
参考答案
[解(续)]
s4
10
3
2
3! 3!
30 3！ 2！
420
s5 12 3！1！ 72
s6 1 3！ 0！ 6
s7 0
s8 0
故
| A12 A23 L A89 |
为所求 1680 3360 2940 1440 420 72 6 174

奥数容斥原理(例题+详解)

容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。

例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。

分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。

∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。

∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。

∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。

由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。

答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。

例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。

解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。

∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。

小学数学题型归纳：容斥原理练习题(附答案)_

小学数学题型归纳：容斥原理练习题（附答案）_
学习方法网小编为各位同学整理了小学数学题型归纳，是我们平时学习中的一大难点，希望能对各位同学有所帮助。

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小学数学题型归纳：容斥原理练习题（附答案）
【题目】
某大学的一间学生宿舍里居住着8名大学生，已知其中有6人会游泳，有5人会滑冰，有4人会打乒乓球.该宿舍内这两种运动都会的最多能有人。

【答案】
6+5+4=15，152=71，所以最多能有7人会两种。

今天就和大家就分享到这，祝各位同学学习愉快！。

组合数学第二章《容斥原理》习题

第二章容斥原理习题
1，求出110000
之间不能被4，5，和6 整除的整数个数。

2，求出110000
之间不能被4，6，7，10整除的整数个数。

3，求出110000
之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数个数。

4，求出1250
之间能被2，3，5，7中任一个整除的整数个数。

5，求出1500
之间，有多少个不能被7整除，但能被3和5整除的整数个数。

6，某校足球队有38人，篮球队有15人，棒球队20人。

3个队队员总数为58人，且其中只有3人同时参加3个队，试求同时参加两队的队员有多少人？
7，确定多重集{4,3,4,5}
= 的12－组合数。

S a b c d
8，面包店出售巧克力的、肉桂的与素的面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力的、6个肉桂的和3个素的面包圈。

如果一个盒子装12个面包圈，那么在这一特定时刻可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
9，确定{1,2,3,4,5,6,7,8}
S=的没有偶数在它的自然位置上的排列数。

10，确定{1,2,,8}
的恰有4个整数在它们的自然位置上的排列数。

11，确定{1,2,,9}
的至少有一个奇数在它们的自然位置上的排列数。

12，求多重集{3,4,2}
= 的排列数，其中同一种字母的全体不得连续出现（例如，
S a b c
abbbbcaac是不允许的，abbbcaacb而是允许的）。

(完整版)容斥原理例题

学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。

例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。

请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。

请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。

解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2。

答：三项都报名的有2人。

说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。

例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。

解答：能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1 有333个。

能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。

第六节容斥原理参考答案

一.练习故本练习所以志愿练习练习练习练习60-练习所以财政练习则有人。

二.练习阴影∩A 练习A+250-练习集合两种三.两个元素的习1.【解析本题正确答习2.【解析以有10+17-愿者的有17习3.【解析习4.【解析习5.【解析习 6.【解析-12=29+34-习7.【解析解法如下以既不是会政局共有17习8.【解析有88-15=73用集合图三个元素的习1. 影面积为A A +A∩B∩C 习2.2B+3T=40+3-48=2人。

习3.合问题。

63种考试参加画图法的公式析】考查容斥答案为D。

析】本题属-20=7人既7-7=10人。

析】集合问题析】设两种乐析】由题意可析】可看成-x，解得x=析】集合问题下：会计处也不是71+41=212析】本题答案3人是既有形求解如下的公式A∩B∩C，C，290=6436+30=106所以选B.3+89+47-46的”不包括第六斥原理|A∪于集合问题既是奥运会志所以选择题，489+60乐器都会的可知俱乐部成集合问题=15，所以选题。

是宣传处的人，故应选案为D。

有有手机又有电下：？=76-所以根据公4+180+1606,B+3T=286-24×2+15括“准备选六节容斥B|=|A|+|B 题。

由题干志愿者也是择C 选项。

06-x=750，的人为x，则部一共有69。

设既穿黑选C。

的人共有（2选D。

有手机的88电脑的人。

-73=3。

公式A∪B -24-70-36+26+24=785=120。

故本选择三种考试斥原理B|-|A∩B|=可知，有5是全运会志愿得到 x=34则62-4+x＝9+58+12-30黑上衣又穿206+177-41人中有15故有电脑没∪C = A+B 6+X，得出8,A+B+T=2本题选A。

试参加的人=27+108-（450-30=20人愿者，所以45。

＝56+11，解0＝109（人穿黑裤子的有）÷2=171人只有手机没手机的人B+C - A∩B X=16，选28+20=48,注：在这里人数”。

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学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一我已初步研究了的容斥原理，今天我研究复的容斥。

例 1五年一班有45 名同学，每人都极名参加暑假体育班，其中足球班的有 25 人，球班的有20 人，游泳班的有30 人，足球、球都者有10 人，足球、游泳都者有10 人，足球、球都者有12 人。

：三都的有多少人？分析：由于比复，我把它化成下. 要算阴影部分的面，我A∩ B A 与 B 公共部分的面，B∩C B 与 C 公共部分的面，A∩ C 表示 A 与 C的公共部分的面，x 阴影部分的面形盖住的面：A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+X。

同学注意：阴影部分的面先加了 3 次，然后又被减了 3 次，最后又加了 1 次。

解答：三都的有x 人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2 。

答：三都名的有 2 人。

明：在“ A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+X”式中， A，B， C， A∩ B， B∩ C，A∩ C， x 和量8 个数中，只要知道了7 个数，就可通列方程求出第8 个数。

例 2从1至10001000 个自然数中，不能被3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、 5、 7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被 3 整除的自然数的个数 +能被 5 整除的自然数的个数+能被 7 整除的自然数的个数－（既能被 3 整除又能被5整除的自然数的个数+既能被 3 整除又能被7 整除的自然数的个数+既能被 5 整除又能被7整除的自然数的个数）+能同被3、5、7 整除的自然数的个数=能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数的个数。

解答：能被 3 整除的自然数有多少个？1000÷3=333⋯⋯ 1有333个。

能被 5 整除的自然数有多少个？1000÷5=200有200个。

容斥原理习题加答案精编版

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）A 27人B、25 人C、19 人D 10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- AH B得AH B=25,所以答案为Bo2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25%是白色的，75%是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 15B、25C、35D 40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为An B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- AH B,得：AH B=3S3.某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人？( )A.120B.144C.177D.192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数辛集合数之和-两两集合数之和十三集合公共数十三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15= 199— { (x+z+y) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和,也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数辛集合数之和-两两集合数之和十三集合公共数十三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0,解方程得到：x=14052=x+12+4+g14+12+4+Y 得至ij Y=22人。

六年级下册奥数试题容斥原理(一) 全国通用(含答案)-精编

第9讲容斥原理（一）森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。

”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。

最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。

”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。

”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

例如：请看下图，在长为30厘米，宽为20厘米的长方形铁板上钻了一个半径为5厘米的圆孔，请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？这个图形是一个不规则图形，如果我们直接计算很难，由上图容易看出阴影面积加圆面积恰好等于长方形面积，而长方形面积与圆的面积都很好计算，因而有：阴影面积=20×30-5×5×π=600-25π（平方厘米）。

由此我们得到排除法：两个分量之和等于总量，当计算一个分量时，可用总量减去另一个分量。

即若A＋B=C，则A=C-B。

请看下面的例题。

例1 一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。

已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？分析：两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。

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