容斥原理(二)含答案-
奥数四年级--容斥问题(二)
练 1.有30名运动员，其中18人会三级跳，16人 习 会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高均不
会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有 多少名？
14名
练 2、操场上的学生排成10路纵队做操，毎路 习 纵队人数同样多，小明站在第四纵队，从排
头数他是第13个，从后往前数他是第8人。 操场上有多少人在做操？
200人
练 3、一个年级有120人爱好数学，100人爱好 习 语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱
好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人 既爱好美术又爱好数学，有18人三门学科都 爱好。请问:这个年级中数学、语文、美术 三门学科中至少爱好一门学科的学生有多少 人？
238人
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语 习 三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
球、蓝球的学生人数分别为10人，10人，6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3人， 既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有 红球的有4人。已知全队每人手中都至少有 一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都 有的多少人？
3人
练 6、某班50名同学全部参加数学、语文、美 习 术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29
17人
18人
15人
求全班人数。
这道题目条件比较复杂，可以根据 题意画出示意图，以便形象直观地 显示他们之间的关系。 全班人数=至少有一个项目达到优 秀的人数+三个项目上都没有达到 优秀的人数
篮球15人 6人 短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人 游泳 18人
6人
经 典 题 型
运用容斥定理 至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达 到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到 优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+ 游泳、篮球达到优秀人数+篮球、短跑达到 优秀人数）+短跑、游泳、篮球都达到优秀 的人数
(完整版)容斥原理例题
学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1 有333个。
能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。
容斥原理(二)
才子教育小学奥数系列容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
（人）答：只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。
问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。
才子教育小学奥数系列方法一：（人）方法二：（人）答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
（人）答：只参加跑和投掷两项的有3人。
例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
才子教育小学奥数系列三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：整理后得：由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
小学奥数：容斥原理之重叠问题(二).专项练习
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标 知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。
5.3 容斥原理(二)
五年级秋季拓展版
5.3 容斥原理 （二）
容斥原理一：
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数
=A类元素个数＋B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。
A
B
C
A或B的个数=A＋B－C
准备题1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班 至少有一门得满分的同学有多少人？
128＋145＋136－75－56－82＋13 =209（个）
答：六年级一共有209个学生。
例2：某校六(1)班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队， 其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有 34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人， 排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人?
红色 白色 黑色 红、白色 红、黑色 白、黑色 红白黑三色
95 102 89
34
42
54
21
求活动现场的观众有多少？
喜欢3种颜色的人：95＋102＋89－34－42－54＋21 =177(人) 现场的观众：177＋35=212(人)
答：活动现场的观众有212人。
例5：在1到100的自然数中： （1）是3的倍数或是5的倍数的数共有多少个？
数学得满分 15人
4人
语文得满分 12人
语数都得满分
15＋12－4=23(人)
答：这个班至少有一门得满分的同学有23人。
准备题2：有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘 米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪 断，绳子共被剪成多少段？
3厘米作记号 60段
4厘米作记号 45段
容斥原理
容斥原理（二）效能训练：姓名：1、13．65扩大（）倍是1365；6.8缩小（）倍是0.0682、把7.4343434343……用简便方法写出来是（），保留两位小数是（）。
3、把7.1687保留整数约是（），精确到千分位约是（）.4、4.09×0.05的积有（）小数，5.2×4.76的积有（）位小数。
5、根据13×28=364，很快地写出下面各式的积。
1.3×2.8= 0.13×0.28= 13×2.8=0.013×28= 0.13×2.8= 1.3×0.028=6、在（）里填上>、<或=163×0.8（）16336×2.8（）367、判断题（正确的打√，错误的打×）①、0.03与0.04的积是0.12。
（）②、一个数的1.65倍一定大于这个数。
（）③、53.78保留一位小数是53.8。
（）④、一个数乘小数，积一定小于这个数。
（）8、选择（把正确答案的序号填入括号里）①、一个小数的小数点右移动2位，再向左移动3位，这个小数（）。
A、扩大了10倍B、缩小10倍C、扩大100倍D、缩小1000倍②、下面各式得数小于0.85的是（）。
A、0.85×1.01B、0.85×0.99C、 0.85×19、直接写出得数。
0.6×0.83×0.9 2.5×0.4 3.6×0.412.5×8 50×0.04 80×0.3 1.1×910、脱式计算（能简算的要用简算）12.5×0.4×2.5×89.5×101 4.2×7.8+2.2×4.211、列式计算：1、 25乘4.8减5，差是多少？2、比4.7的1.5倍多3.05的数是多少？典型例题1、在参加数学竞赛的46人中，做第一题的有32人，做对第二题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？开心一练：全班46名同学，仅会乒乓球的有28人，即会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？典型例题2、一个单位有70个职工，其中有的职工会打网球，有的会打乒乓球，有的两样都会，现在知道会打网球的48人，会打网球又会打乒乓球的有24人，问会打乒乓球的有多少人？典型例题3、一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？（1）两道题全对的有人。
第二章容斥原理习题及解答
A3 A5 A7 A3 A5 A3 A5 A7
500 35
3
500 5
7
33
4
29
第二章容斥原理习题
3、A、B、C三种材料用作产品I、II、 III的原料，但要求I禁止用B、C作原料， II不能用B作原料， III不允许用A作原料， 问有多少种安排方案？（假定每种材料 只做一种产品的原料）
|
A1
A2
A3
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10
3 10
1
（10+3）=66-13=53
即为所求
第二章容斥原理习题
7、n个单位各派两名代表去出席一会议。 2n位代表围一圆桌坐下。试问： （a）各单位代表并排坐着的方案是多少？ （b）各单位的两人互不相邻的方案数又 是多少？
参考答案
[解] （a）方案数为(n-1)!2n （b）设第i单位代表相邻的方案数为Ai
5、求从O(0,0)点到(8,4)点的路径数，已 知(2,1)到(4,1)的线段， (3,1)到(3,2)的线 段被封锁。
参考答案
[解]设S为O(0,0)点到(8,4)点的所有路径
的集合。则
|
S
|
8
4
4
495
（8，4）
（0，0）
参考答案
[解(续)] 令
A1 表示S中经过线段(2,1)-(3,1)的路径
参考答案
[解(续)]
s4
10
3
2
3! 3!
30 3！ 2！
420
s5 12 3！1！ 72
s6 1 3！ 0！ 6
s7 0
s8 0
故
| A12 A23 L A89 |
为所求 1680 3360 2940 1440 420 72 6 174
六年级上册奥数试题-第5讲：容斥原理_全国通用(含答案)
第5讲容斥原理知识网络我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。
解答此类问题的主要依据是容斥原理。
容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b-ab容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B 对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc重点·难点容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。
我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。
如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。
学法指导解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。
因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。
经典例题[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？思路剖析分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分数在1001个分数中考虑问题。
由于1001=7×11×13，所心1~1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应排除掉。
因此，首先应考虑1~1001中，有多少个7、11或13的倍数。
解答因为1001=7×11×13，所以在1~1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11年公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11、13的公倍数有1个（即1001）。
容斥原理初步(二)
【例5改编】 (★★★★) 校运动会共设有足球、长跑和跳远三个项目。学校规定每个同学 至少参加其中的一项，并且至多参加两项。已知该校有220名同学， 有80人参加了足球项目，120人参加了长跑项目，且已知有60人只 参加了跳远项目 那么同时参加了足球和长跑项目的有_____人。 参加了跳远项目。那么同时参加了足球和长跑项目的有 人 【例6】 (★★★) 在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整 除的数有多少个？ 【例7】 (★★★★) 2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为l，2，…， 的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为 下；再将编号为3的倍数的 2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉 灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完 1 后亮着的灯数为多少盏？
【例2】 (★★★) 在网校40名老师中，每个人都爱喝橙汁、桃汁、苹果汁中的一种或几 名老师中 每个人都爱喝橙汁 桃汁 苹果汁中的一种或几 种。其中有10人爱喝橙汁，15人不爱喝橙汁却爱喝桃汁。请问：只爱 喝苹果汁的有几 喝苹果汁的有几人？
【例3】 (★★★) 网校老师组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加 轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30 人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比 赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加 的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？
容斥原理（二）
【例1】 (★★★) 在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既 喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。那么只喜欢唱歌的有多少人？ 【例2改编】 （★★★） 在网校老师40名中，每个人都喜欢周华健、周星驰、周杰伦中的一人 或几人。其中有22人喜欢周华健，13人不喜欢周华健却喜欢周星驰。 请问：只喜欢周杰伦的有几人？
小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《容斥原理(2)》练习题（含答案）一、填空题1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为 人.2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了 个病人.3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住 (平方厘米).4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有 个.5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有 人.6.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm 2)并知A 、B 两圆重叠的面积是20(cm 2),A 、C 两圆重叠的面积为45(cm 2),B 、C 两圆重叠面积为31(cm 2),三个圆共同重叠的面积为15(cm 2),求盖住桌子的总面积是平方厘米.7.在一次考试中,某班数学得100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有 人.全班45人中两科都不得100分的有 人.8.在1,2,3,…,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有 个.9.小于1000的自然数中,是完全平方数而不是完全立方数的数有 个.10.某校有学生960人,其中有510人订阅“作文报”,有330人订阅“数学报”,有120人订阅“科学爱好者”,全校学生中有270人订阅两种报刊,有58人三种报刊都订,那么这学校中没有订阅任何报刊的有 人.2 AB C二、解答题11.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.求(1)只得短跑奖的人数;(2)得二项奖的总人数;(3)一项奖均未得的人数.12.64人订A 、B 、C 三种杂志.订A 种杂志的28人,订B 种杂志的有41人,订C 种杂志的有20人, 订A 、B 两种杂志的有10人,订B 、C 两种杂志的有12人,订A 、C 两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?13.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.14.夏日的一天,有十个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可,有5个人要咖啡,有5个人要果汁,有3个人既要可可又要果汁,有一个人既要可可、咖啡又要了果汁.求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要.———————————————答 案——————————————————————1. 127从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人) 从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人).2. 224从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人).3. 10.75把两个正方形面积加起来得22+32=13,但其中多算了一块阴影部分的面积,这部分面积为 1.52=2.25(平方厘米),故两个正方形盖住的总面积是22+32-1.52=13-2.25=10.75(cm 2)4. 15内科 150人 外科92人18 人不超过30的3的倍数有10330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),不超过30的4的倍数有7430=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(个);不超过30的3⨯4=12的倍数有24330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),因此不超过30的正整数中是3的倍数,或是4的倍数的数共有10+7-2=15(个).5. 41如图所示,易知总人数为(15+12-7)+21=41(人).6. 219由容斥原理知,盖住桌面的总面积为100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).7. 23;22至少一科得100分的有17+13-7=23(人),两科都不得100分的有45-23=22(人).8. 333在1~1000的自然数中,2的倍数有50021000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),3的倍数有33331000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),2⨯3=6的倍数共有166321000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯(个),故是2或是3的倍数共有500+333-166=667(个),从而既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有1000-667=333(个).9. 28小于1000的自然数中,是完全平方数的有12、22、…,312共31个.其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方数,故符合条件的数有31-3=28(个)10. 121由容斥原理知,或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数为510+330+120-270+58=748(人)故三种报刊都没有订的人数为960-748=212(人).11. (1)如图,用矩形表示参赛的70个学生,而用三个圆表示分别在跑、 跳、投中得奖的人.数学 语文 7 17 13设x 为只得短跑奖的人数,y 为只在短跑和弹跳两项得奖的人数,z 为只在弹跑与投掷两项得奖的人数,u 为只在投掷和短跑两项得奖的人数.则有u =12-5=7(人),z =36-15-12=9(人),y =29-5-7=8(人),x =31-12-8=11(人).即只得短跑奖的有11人.(2)得二次奖的人数为y +z +u =8+9+7=24(人).(3)因至少得一次奖的人数为x +y +z +u +5+7+15=62(人),故一项奖均未得的人数为70-62=8(人).12. 设三种杂志均订的人数为x ,则有28+41+20-10-12-12+x =64,解得x =9,即三种杂志都订的有9人.13. 在1~1994中,能被5整除的个数为39851994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6整除的个数为33261994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被7整除的个数为28471994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6=30整除的个数为66301994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯7=35整除的数为56351994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被6⨯7=42整除的个数为47421994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡;能被5⨯6⨯7=210整除的个数为92101994=⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).14. 要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.AB C x。
小学奥数教程：容斥原理之重叠问题（二）全国通用（含答案）
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标例题精讲 知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。
二集合容斥原理
二集合容斥原理
二集合容斥原理是一种常用的计数方法，它适用于解决多个集合之间的计数问题。
该原理的核心思想是通过组合多个集合之间的交、并关系，计算出目标集合中元素的个数。
具体来说，如果有两个集合A和B，它们的交集为C，则A和B 的并集中的元素数量可以用以下公式计算：
|A∪B|=|A|+|B|-|C|
其中，|A|表示集合A中元素的个数，|B|表示集合B中元素的个数，|C|表示集合A和B的交集中元素的个数。
对于三个及以上的集合，可以通过类似的方法计算出它们的交、并关系，从而得到目标集合中元素的个数。
需要注意的是，在计算多个集合的交、并关系时，需要注意集合之间的重叠部分，否则可能会出现重复计数的情况。
总之，二集合容斥原理是一种非常实用的计数方法，它可以帮助我们更加高效地解决多个集合之间的计数问题。
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小学数学奥林匹克竞赛容斥原理(二)(含答案)
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
答：只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。
问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。
答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
答：只参加跑和投掷两项的有3人。
例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
7.容斥原理及其应用(二)
例如：
R( R( R(
)=1+ x； )= xR( )+ R( )= x+ (1+ x)=1+2x；
)= x R( ) + R( ) = x(1 + x )+1 + x =1+ 2x +x2
如果 C由相互分离的C1，C2组成，即C1的任一 格子所在的行和列中都没有C2的格子。则有： R(C) = R(C1) R(C2) (2) 利用（1）和（2），可以把一个比较复 杂的棋盘逐步分解成相对比较简单的棋盘， 从而得到其棋盘多项式。
这样的排列对应于有 禁区的布子。如右图 有影线的格子表示禁 区。
定理2 设 ri 为 有i个棋子布入禁区的方案数，i =1,2,3,···,n。有禁区的布子方案数（即禁区内不布子 的方案数）为 r0 n! －r1(n－1)! ＋ r2(n－2)!－···＋(－1)nrn ＝∑(－1)k rk ( n－k)! 证 用容斥原理，此处略。
x x x x x
如图所示的布局对应 于排列41352。
可以把棋盘的形状推广到任意形状：
Байду номын сангаас
布子规定称为无对攻规则，棋子相当于 象棋中的车。令r k（C）表示k个棋子布到棋盘C 上的方案数。如：
r1(
)=1， r1(
)=2， r1(
)=2，
r2(
)=0， r2(
)=1。
为了形象化起见，（ ）中的图象便是棋盘 的形状。 定义 设C为一棋盘，称R(C)= ∑ rk(C) xk为C的棋 盘多项式。规定 r0(C)=1，包括C=Ф时。 设Ci是棋盘C的某一指定格子所在的行与列都去掉 后所得的棋盘；Ce是仅去掉该格子后的棋盘。 在上面定义下，显然有 rk(C)=rk－1(Ci)＋rk(Ce)，
第二讲容斥原理
第二讲容斥原理[教学目标]:1.让学生了解容斥问题的一些情况，掌握叠加的思考方法和基本的解题思路。
2.让学生在学习中学会把不同的情况进行比较，从而找出解题的突破口。
3.重点掌握图解法。
教学过程与方法：1.通过图解法帮助解题，初步感受数形结合的数学方法。
2.感受包容、互斥的数学思想。
1．在老师的引导下，通过画图分析题意。
在和别人的讨论交流中，找到解题方法。
2.学会与他人合作交流，初步形成评价与反思的意识。
教学重点与难点：了解容斥问题的一些情况，掌握叠加的思考方法和基本的解题思路。
学会把不同的情况进行比较，从而找出解题的突破口。
课堂引入：（问题引入）：同学们你们喜欢思考趣味题吗？下面老师给你们说个很有趣的题目，听的同时也要动脑筋哦。
有两对父子上山打猎，每人各打一只野兔，可是放到一起来数一数：一只，两只三只。
再数一遍，还是一只，两只，三只。
他们共打了三只兔子。
咋回事？老师觉得很奇怪，两对父子，应该一共是4只才对，怎么共打了三只呢？引入课堂关键点：有些时候我们不能把两个计数部分简单的相加，要注意有重复的现象，一定要把重复的部分排除。
引入容斥问题概念：在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算的一种计数方法，这种计数的方法称为容斥原理：课堂教学内容：皮皮是个爱学习的孩子，最近班上的老师学习上抓的很紧，作业很多，而且经常有考试，这不刚进行完一次测验，班上考试情况怎样呢？我们一起去看看：教材例1：皮皮班所有同学语、数成绩至少有一门满分。
已知有25人数学得满分，有22人语文得满分，并且有4人语、数都得满分，那么这个班有多少人？引导学生学生读题，找出题中的已知条件。
教学过程：作图让学生分析图意解析答案：25+22－4=43(人)答：这个班有43人。
大胆尝试（教材上李1练习题）：.学校文艺组有拉手风琴、弹电子琴班，文艺组的成员每人至少会演奏其中一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？过程：学生练习引导学生发现规律和答题方法技巧：提升题：某班有48人，班主任问:“做完语文作业的请举手？”有37人举手。
容斥原理计算第二类斯特林数
容斥原理计算第二类斯特林数
使用容斥原理计算第二类斯特林数的方法如下：
1. 首先，我们需要知道第二类斯特林数S(n, k)表示将n个元素分成k个非空子集的方式数。
2. 使用递推关系式计算基础情况：当k=0时，S(n, 0) = 0；当n=0且k>0时，S(0, k) = 0；当n=k=0时，S(0, 0) = 1。
这些是基本的边界条件。
3. 对于其他情况，可以使用以下递推关系式计算第二类斯特林数：
S(n, k) = k * S(n-1, k) + S(n-1, k-1)
其中，S(n-1, k)表示在n-1个元素中构建k个非空子集的方式数，而k * S(n-1, k)表示在n-1个元素中构建k个非空子集，并将第n个元素放入其中的方式数。
最后，S(n-1, k-1)表示在n-1个元素中构建k-1个非空子集的方式数，并将第n个元素作为单独的一个子集。
4. 使用递推关系式不断计算S(n, k)直到得到所需的结果。
需要注意的是，当n和k较大时，使用递推关系式计算第二类斯特林数的效率可能较低。
在这种情况下，可以考虑使用更高级的算法或近似方法来计算斯特林数。
1。
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容斥原理（二）
【例题分析】
例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？
例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的
++---⨯=（人）
方法二：664311210
答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？
30人参
的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参
7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？
满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有1
2
的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家
他们住的一套房子共有多少平方米？
3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
【试题答案】
1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12
的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
9623961
2
961696231
2
116⨯
+⨯-=⨯+-=()()()
人或人
答：两种刊物都订的有16人。
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家
他们住的一套房子共有多少平方米？
38441284582014128458+---=++++=()
()
平方米或平方米
答：这套房子共有58平方米。
3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
4514420182276839-=++---=()
()
人人
44395-=()人
4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 设三年连续三好生人数为x 人 全班人数=⨯---++10354320x ……
全班人数=+38x
x 最大是3，最小是0
所以这个班最多有()38341+=名同学，最少有()380+=38名同学。