常见分式函数的研究
常见分式函数的研究
03 分式函数的运算与变换
分式函数的加减法
分式函数的加减法可以通过通分实现，将分母统一后再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，需要注意分母不能为零的情况，避免出现无意义的情况。 对于分式函数的加减法，需要注意运算的顺序，先进行乘除运算再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，可以利用等价无穷小替换简化计算过程。
分式函数的极限与连续性
分式函数的极限：研究分式函数在某点的极限值，以及极限的运算法则
分式函数的连续性：探讨分式函数在某点的连续性，以及连续性的性质和判定方法
分式函数极限与连续性的关系：分析极限与连续性之间的联系，以及在数学分析中的应 用
分式函数极限与连续性的应用：举例说明分式函数极限与连续性在解决实际问题中的应 用
分式函数极值的几 何意义
分式函数极值在实 际问题中的应用
分式函数的凹凸性及拐点问题
分式函数的凹凸性 定义
拐点及其判定条件
分式函数凹凸性的 判别方法
分式函数拐点的求 法
06 分式函数的综合题解析
分式函数的解析几何问题
涉及直线与圆的位 置关系
涉及点到直线的距 离公式
涉及直线的斜率公 式
涉及圆的半径和弦 长公式
分式函数的优化问题
分式函数的极值条件 分式函数的单调性分析 分式函数的凹凸性判断 分式函数的最值求解方法
分式函数的极值问题
分式函数的极值条件 分式函数的极值计算方法 分式函数的极值应用场景 分式函数的极值与连续性的关系
分式函数的最大值与最小值问题
分式函数的极值条 件
分式函数的最大值 与最小值的求解方 法
04 分式函数的应用
分式函数在物理中的应用
力学中速度与时间的关系
电学中电流与电压的关系
分式函数最值及函数值范围问题
分式函数最值及函数值范围问题
在数学中，分式函数是由分子和分母分别是多项式的函数。
分式函数的最值和函数值范围问题是研究该类型函数的关键内容。
本文将介绍分式函数的最值以及如何确定函数值的范围。
1. 分式函数的最值问题
1.1 分式函数的最大值
要确定分式函数的最大值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最大值点。
3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最大值。
1.2 分式函数的最小值
要确定分式函数的最小值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最小值点。
3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最小值。
2. 分式函数的函数值范围问题
要确定分式函数的函数值范围，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 分析分子和分母的符号和关系，找出函数的正负性。
3. 综合考虑定义域边界点、极值点以及正负性，确定函数值的范围。
总结
分式函数的最值和函数值范围问题是研究分式函数的关键内容。
通过分析函数的定义域、极值点、边界点以及分子分母的符号和关系，我们可以确定分式函数的最值和函数值范围。
这些分析步骤可
以帮助我们更好地理解和运用分式函数。
分式函数的性质与像
分式函数的性质与像在数学中，分式函数是指一个或多个多项式的比值所构成的函数。
具体而言，分式函数可以表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的形式。
分式函数常常在各个数学领域中被广泛应用，如代数学、微积分和数理统计等。
本文将探讨分式函数的性质以及它的像。
1. 分式函数的定义域在分式函数中，分母不能为零。
因此，为了确保分式函数的定义的合理性，我们需要找到分子和分母共同的零点，这些零点就是分式函数的定义域。
举例说明，对于分式函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2)，我们可以发现当x = 2时，分母为零，因此x = 2不属于f(x)的定义域。
2. 分式函数的奇偶性分式函数的奇偶性主要是指函数的对称性。
若分式函数f(x)满足f(-x) = f(x)或f(-x) = -f(x)，则称其为偶函数；若分式函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
大多数分式函数既不是偶函数也不是奇函数，例如f(x) = (x^3 + x)/(x - 1)不具备奇偶性。
3. 分式函数的水平渐近线水平渐近线是指存在于函数图像中，与函数的值趋近于某一个常数的直线。
一些分式函数可能具有水平渐近线，这取决于分式函数的阶数。
对于分式函数f(x) = (3x^2 + 4)/(2x - 1)，我们可以发现当x趋近于正无穷或者负无穷时，f(x)的值趋近于3/2。
因此，y = 3/2为f(x)的一个水平渐近线。
4. 分式函数的垂直渐近线垂直渐近线是指在函数图像中，函数的值趋近于正无穷或者负无穷时，对应的x值。
对于分式函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2)，当x趋近于2时，f(x)的值趋近于正无穷或者负无穷。
因此，x = 2为f(x)的一个垂直渐近线。
5. 分式函数的极限点对于分式函数，其极限点通常存在于定义域的边界上。
极限点是指函数在该点的值趋近于无穷或者某一个常数。
举例而言，分式函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2)在x = 2处存在一个极限点，即f(2) = 正无穷。
(完整版)分式函数的图像与性质
分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)axbx c y a b c d e fR dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。
※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c=-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
探索分式函数的像和性质
探索分式函数的像和性质分式函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学习中扮演着重要的角色。
本文将围绕着分式函数的像和性质展开探索，包括像的确定方法、特殊像的性质、一次和二次分式函数的性质等方面展开探讨。
一、像的确定方法分式函数通常以形如f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}的形式给出，其中P(x)和Q(x)分别为多项式函数。
我们希望确定此函数的像，即确定x的取值范围。
为了达到目的，我们首先需要对分式函数进行化简，将分式函数转化为简单的形式，然后根据简单形式确定像的范围。
例如，对于分式函数f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}，我们可以将其进行分解，即f(x) = x - 1。
那么我们可以得出结论，分式函数的像是整个实数集，即y的取值范围为(-\infty, +\infty)。
二、特殊像的性质在分式函数中，有些特殊的像具有特殊的性质，下面我们将介绍两种特殊像的性质：无解和唯一解。
1. 无解的情况对于某些分式函数，它们可能存在无解的情况。
例如，考虑分式函数f(x) = \frac{1}{x}，当x = 0时，分式函数无定义，即无解。
这是因为在分式函数中，除数不能为零，否则函数的定义域就不成立。
因此，像的范围不包括x = 0的情况。
2. 唯一解的情况对于一次分式函数，即P(x)和Q(x)的次数均为1的分式函数，它的像通常具有唯一解的特点。
例如，考虑分式函数f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}，我们可以通过解方程f(x) = y来确定像的范围。
假设y = 2，我们可以通过解方程\frac{x - 1}{x + 2} = 2来求解x的值，解得x = -3。
因此，像的范围为y = 2。
三、一次分式函数的性质一次分式函数是指分式函数中P(x)和Q(x)的次数均为1的情况。
下面我们将介绍一次分式函数的一些性质。
1. 定义域一次分式函数的定义域是除数Q(x)不为零的所有实数。
分式函数知识点总结
分式函数知识点总结分式函数的定义分式函数的一般形式如下所示：\[f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\]其中P(x)和Q(x)分别代表分子和分母的多项式函数。
值得注意的是，分母函数Q(x)不能为零，因为分式函数的定义域是所有使得分母不为零的x值的集合。
当Q(x)为零时，分式函数的值无意义。
分式函数的图像分式函数的图像通常表现为一条曲线，其性质和形态受到分子和分母的多项式函数的影响。
在进行分式函数图像的分析时，我们可以先考察分式函数的分母的零点和分子的零点，并利用它们来确定函数的极值点和渐近线。
当分母函数的零点不等于分子函数的零点时，分式函数的图像将展现出横轴方向的渐近线。
若分子函数次数小于分母函数次数，则图像会有一个水平渐近线；若分子函数次数等于分母函数次数减1，则图像会有一个斜率不为零的斜渐近线。
而当分子函数的次数大于等于分母函数的次数时，分式函数的图像将有一个斜率不为零的斜渐近线和一个水平渐近线。
根据这些渐近线，我们可以初步掌握分式函数的图像性质和形态。
另外，我们还可以通过一阶导数和二阶导数的求导分析来了解分式函数图像的凸凹性以及拐点的位置，进一步掌握其曲线的性状。
分式函数的性质分式函数有一系列独特的性质，主要体现在定义域、值域、零点及极限的方面。
1. 定义域作为一个分式函数，其定义域是所有使得分母函数值不为零的x值的集合。
当分母函数有n个零点时，分式函数的定义域将为实数集合减去这n个零点的集合，即:\[D = \{x|x∈R, Q(x) ≠ 0\}\]2. 值域分式函数的值域会受分子和分母函数的次数、系数等的影响。
通过对分式函数的分析，我们可以得到其值域所处的范围。
3. 零点分式函数的零点是指当f(x) = 0时，对应的x值。
通过求解分子函数和分母函数的交点，我们可以得到分式函数的零点的位置。
4. 极限当x趋向于某个值时，分式函数的值也可能会趋向于某个值或者无穷大。
利用极限的方法，我们可以研究分式函数在定义域内的行为，包括渐近线、极值点，以及曲线的凸凹性等特性。
分式函数的零点与渐近线
分式函数的零点与渐近线分式函数是一种特殊的函数形式，它由多项式的比值构成。
在分式函数中，我们常研究两个重要的概念，即零点和渐近线。
本文将探讨分式函数的零点以及渐近线的性质和应用。
一、分式函数的零点零点，即函数的解，是指使得函数的值为零的输入值。
对于分式函数而言，我们需要找到使得分式函数的分母为零的解，因为分母为零时，分式函数的值变为无穷大或者不存在。
举例来说，考虑分式函数f(x)= (x^2-4)/(x-2)，其中x ≠ 2。
我们可以通过分解分子并化简函数，得到f(x)的简化形式为f(x)=(x+2)。
在这个例子中，我们可以发现当x=-2时，分式函数的值为零。
因此，零点为x=-2。
除了直接求解分母为零的解，我们还可以通过因式分解或者利用分式函数图像的性质来确定其他的零点。
比如在上述的例子中，我们可以通过因式分解将分子转化为(x-2)(x+2)，进而得到零点为x=2的结论。
二、分式函数的渐近线渐近线是指在函数图像中，离某一特定直线越来越近的一组直线。
对于分式函数而言，我们主要研究两种类型的渐近线，水平渐近线和垂直渐近线。
1.水平渐近线当x趋近于无穷大或者负无穷大时，分式函数f(x)的值可能趋近于零值或者无穷大。
如果存在常数k使得f(x)在这两个极限情况下都趋近于k，那么直线y=k就是分式函数f(x)的水平渐近线。
以分式函数f(x) = (2x^2+x+1)/(x-2)为例，我们可以通过求解f(x)在x趋近于无穷大或者负无穷大时的极限来找到水平渐近线。
通过计算，我们可以得到当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于2；当x趋近于负无穷大时，f(x)趋近于2。
因此，直线y=2就是该分式函数的水平渐近线。
2.垂直渐近线当x趋近于某一特定值时，分式函数f(x)的值可能趋近于无穷大或者不存在。
如果存在常数k使得f(x)在x趋近于某一特定值时都趋近于k，那么直线x=k就是分式函数f(x)的垂直渐近线。
以分式函数f(x) = (2x^2+x+1)/(x-2)为例，我们可以通过求解f(x)在x=2时的极限来找到垂直渐近线。
常见分式函数的研究
复合分式函数
定义
形如f(x)=p(g(x))/q(h(x))的函数，其中g(x)和h(x)是一次 或多次多项式，p(u)和q(v)是多项式或分式函数。
01
性质
具有更复杂的性质和形态，可能存在多 个转折点、极值点等。
02
03
应用
在解决复杂数学问题、工程优化等领 域有应用，如电路分析、控制系统等。
03 分式函数的运算
分式函数在经济增长的研究中也有应用，例如GDP的增长率。通过将经
济增长表示为分式函数，可以方便地分析经济增长的规律和影响因素。
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角度计算
分式函数在几何学中还可以用于 计算角度，例如三角形的内角和、 两直线之间的夹角等。通过将角 度表示为分式函数，可以方便地 求解角度。
分式函数在物理学中的应用
速度与加速度
分式函数在物理学中常用于描述物体的速度和加速度，例如匀速运动和匀加速运动。通过将速度和加速度表示为分式 函数，可以方便地求解物体的运动轨迹和时间。
要点二
详细描述
代入法是求分式函数值的一种常用方法。首先，我们需要找 到分式函数的分子和分母，然后将自变量代入分子和分母中， 计算出函数值。例如，对于函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 5，当 x = 2 时，我们代入 x 的值，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 + 5 = 17。
消去法求值
常见分式函数的研究
目录
• 分式函数的基本概念 • 分式函数的分类 • 分式函数的运算 • 分式函数的求值 • 分式函数的应用
01 分式函数的基本概念
分式函数的定义
总结词
分式函数的性质与应用
分式函数的性质与应用分式函数，也称为有理函数，是由多项式函数的分子与分母组成的函数。
在数学中，分式函数具有许多独特的性质与应用。
本文将探讨分式函数的一些基本性质，并展示其在实际问题中的应用。
一、分式函数的基本性质1. 定义域和值域分式函数的定义域由分母不等于零的解构成。
对于一个简单的分式函数f(x) = 1/x，其定义域为R-{0}，即实数集去掉零。
而值域则由分式函数在定义域上的取值范围决定。
2. 垂直渐近线对于分式函数f(x) = p(x)/q(x)，当分母q(x)等于零时，f(x)的图像可能趋于无穷大或无穷小。
分子p(x)和分母q(x)的最高次幂项决定了垂直渐近线的位置。
例如，当分式函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1)时，存在垂直渐近线x = 1。
3. 斜渐近线斜渐近线是指当x的取值趋于正无穷或负无穷时，分式函数趋于一个常数L。
斜渐近线可以找到通过计算分子和分母的次数来确定。
例如，当分式函数f(x) = (2x^2 + 3x + 1)/(x + 1)时，存在斜渐近线y = 2x + 1。
4. 零点分式函数的零点是使得分子等于零的x值。
这些值可以帮助我们确定函数的图像与方程的解。
例如，当分式函数f(x) = (x^2 - 4)/(x + 2)时，存在零点x = -2和x = 2。
5. 奇偶性根据分式函数的定义，当分子和分母具有相同的奇偶性时，函数是偶函数；当分子和分母具有相反的奇偶性时，函数是奇函数。
例如，当分式函数f(x) = (x^3 - x)/(x^2 + 1)时，是奇函数。
二、分式函数的应用1. 金融学中的应用分式函数可以用来解决金融学中的一些问题，例如利息的计算。
假设我们有一个年利率为r的银行账户，每年计算一次复利。
那么，该账户的本金与时间的关系可以用分式函数来表示，f(t) = P(1 + r)^t，其中P是初始本金，t是时间。
2. 物理学中的应用分式函数可以用来描述一些物理现象，如速度、加速度和阻力。
分式型函数值域的探索
二次分式型函数 ＝
（１ｎ ≠ ０ ．２
／ ｉ —
ｉ＇ ０－ ｖ ｚ
图１
０ ∈Ｉ 的值域问题． ， ） 这样既可以让学生联系前
面所学知识， 巩固探求 的效果， 考查学 生的数学 转化能力、 知识 的迁移能力， 同时也体现 出问题 难度设置呈现“ 螺旋式上升” ．
＝＝ ＝
ａ２
ａ２
套具有逻辑先后顺序的概念组合， 让学生在一定
＿
时间内学习、 探索一套逐渐 加深、 拓展的复杂概
念体系． 比如二次分式型函数 ： ａ Ｘ＋ ｃ ＝ ｌ２ ｂ ＝ ｘ＋ ｌ ｌ
ａ …ａ ｎ ＋ Ａ ａｂ Ａ 毒 ， ２ ｂ ２ 堕 ２） （ ／ ＋ ＼
原因在于 （） 木 中的ｘ 不能是 和 ２ 或重根Ｘ ＝ １ ， ｌ
２ 这是很特殊 的情况， 时只需求 出 （） ， 此 半 式中
的 取 １ 和 ２ 或重根 １ ２ 时相应的Ｙ 去 ， （ ） 值，
掉这些 值即可． 平时遇到的二次分式型函数多
数为此类， 因而多数学生会形成思维 定势， 直接
０２ 十 Ｄ ２
ａ２ｘ
经
对勾 型函数Ｙ＝ ＋ ａ（ ａ＞０的值域 问题， ）
，
发
学生都非常熟悉， 首先考虑均值不等式有
十 Ｄ ２
现结构不太 明显， 思上述三种变换过程可以发 反 现： 的系数均为 １ ① ；② 分式 的分子 中不含 Ｘ
的项． 于是有
ｌ＝ ｙ Ｉ
Ｉ＋ Ｉ
≥２ ，
于是Ｙ≥２ ， 或Ｙ≤一 ． ２ 但是当 ∈【 ＋
１＋ ， ∞） 还能用均值不等式求值域吗？答案 时，
２１ 年第 １期 ０１ ２
数 学教 学
探究分式函数的图像
探究分式函数的图像分式函数是指一个函数的表达式可以写成分子和分母均为多项式的形式。
分式函数在数学中具有重要的应用和研究价值，掌握其图像特点对于解题和分析问题具有重要意义。
一、分式函数的定义域和值域分式函数的定义域是指满足分母不为零的实数集合。
对于分式函数f(x)，其定义域D为所有使得分母不为零的实数x的集合。
即D={x|分母≠0}。
分式函数的值域是指所有可能的函数值的集合。
通常情况下，分式函数的值域是所有实数的集合，除非函数表达式有限制条件。
二、分式函数的图像特点1. 零点和极限：对于分式函数f(x)，当分子为零时，即使分母不为零，此时函数的值为零。
我们可以找出所有使得分子为零的x值，这些x值即为分式函数的零点。
当分母为零时，无法计算函数的值。
我们需要找出所有使得分母为零的x值，这些x值即为分式函数的极限点。
2. 垂直渐近线：当分式函数的分母为零时，函数的值趋近于无穷。
此时，可以找出所有使得分母为零的x值，这些x值即为分式函数的垂直渐近线。
3. 水平渐近线：当分式函数分子和分母的次数相等时，函数的值趋近于一个常数。
此时，分式函数会有一个水平渐近线。
三、分式函数的图像绘制绘制分式函数的图像需要掌握以下步骤：1. 确定定义域和值域，排除分母为零和分子为零的情况。
2. 找出分子为零的x值，作为分式函数的零点。
3. 找出分母为零的x值，这些x值作为分式函数的垂直渐近线。
4. 判断分子和分母的次数，决定是否存在水平渐近线。
5. 选择合适的x值，计算对应的函数值，并将这些点连线得到图像。
四、实例分析以分式函数f(x) = (2x+1)/(x-1)为例进行分析。
1. 定义域和值域：由于分母x-1不能为零，所以定义域为x≠1。
分子为零时，2x+1=0，解得x=-1/2。
所以零点为x=-1/2。
分母为零时，x-1=0，解得x=1。
所以分式函数有垂直渐近线x=1。
2. 图像绘制：选择一组合适的x值，如x=-2，-1，0，1，2，计算对应的函数值。
分式函数的像和性质
分式函数的像和性质分式函数是指形式为f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}的函数，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，且Q(x)≠0。
分式函数的像是指定义域中所有满足f(x)=y的x值构成的集合，即函数的所有可能的输出值。
分式函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性和图像。
1. 分式函数的定义域：分式函数的定义域由Q(x)≠0确定，因为分母不能为零。
可以通过求解Q(x)≠0的方程来确定定义域的范围。
2. 分式函数的值域：分式函数的值域包括所有满足f(x)=y的y值，其中x是定义域中的值。
对于一些特定的分式函数，可以通过变换或者观察分子、分母的特点来确定值域的范围。
3. 分式函数的奇偶性：对于分子和分母都是偶函数或者奇函数的分式函数，其奇偶性与分子和分母相同。
如果分子是奇函数而分母是偶函数，或者分母是奇函数而分子是偶函数，则分式函数是奇函数。
4. 分式函数的单调性：对于分式函数f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}，其单调性取决于P(x)和Q(x)的符号变化。
如果P(x)和Q(x)都大于零或者都小于零，那么分式函数是单调的。
如果P(x)比Q(x)先变号，那么分式函数在这个区间上是增函数；如果P(x)和Q(x)同时变号，那么分式函数在这个区间上是减函数。
5. 分式函数的图像：分式函数的图像可以通过绘制图像或者利用分子和分母的零点、极值点、拐点等特点来分析。
- 当分式函数的分子的次数小于分母的次数时，函数的图像在水平方向上趋近于零。
- 当分式函数的分子的次数等于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在水平渐近线。
- 当分式函数的分子的次数大于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在斜渐近线。
分式函数的像和性质对于理解和分析分式函数的性质和行为具有重要意义。
通过对分式函数的像和性质进行研究，可以更好地理解分式函数的定义和特点，并且能够应用于解决实际问题和数学推理中。
分式函数的图像与性质
ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。
如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。
x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。
如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。
3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。
如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
分式函数的基本概念与性质
分式函数的基本概念与性质分式函数是指由两个多项式表达的函数，其中分母不为零。
分式函数既可以是有理函数的特例，也可以理解为多项式除法的推广形式。
在数学中，分式函数有其独特的基本概念和性质，本文将从多个角度来探讨这些内容。
一、基本概念1. 分式函数的定义：分式函数是指可以表达为两个多项式的比值形式，其中分母不为零的函数。
常见的分式函数形式包括有理分式函数和整式函数的除法。
2. 分式的形式：分式函数通常由分子和分母组成，分子和分母都是多项式。
分式函数的一般形式为f(x) = P(x) / Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别代表分子和分母的多项式。
3. 定义域：由于分式函数中不能出现使分母为零的数值，因此定义域需要排除这些值。
定义域是函数的取值范围，一般使用不等式或条件表示。
二、性质探究1. 零点与奇点：分式函数的零点是指使分式函数取零值的自变量的值。
零点可以通过求解分子为零的方程得到。
分式函数的奇点是指使分母为零的自变量的值，奇点可能导致函数不存在或无穷大。
2. 函数的平移与伸缩：分式函数的平移和伸缩可以通过对分子和分母的多项式进行操作实现。
平移是指在自变量维度上对函数整体进行横向或纵向移动，伸缩是指通过改变分式函数的系数来改变函数的幅度。
3. 函数的性态分析：通过对分式函数的分子、分母进行求导，可以得到函数的导数表达式。
通过导数的符号变化和驻点的分析，可以判断分式函数的增减性、最值和拐点等重要性质。
4. 函数的图像特征：分式函数的图像通常会具有水平、垂直渐近线等特征。
水平渐近线是指当自变量趋近于无穷时，函数趋于某个常数值或无穷大；垂直渐近线是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于无穷大或无穷小。
5. 函数的应用：分式函数在实际问题中具有广泛的应用。
比如在经济学中，利润函数、边际成本函数等都可以表达为分式函数的形式，通过对这些分式函数进行分析，可以帮助决策者在经济活动中进行决策。
综上所述，分式函数作为一个重要的数学概念，具有其独特的基本概念和性质。
(完整版)分式函数的图像与性质.docx
分式函数的图像与性质学习过程1、分式函数的概念ax 2 bx c 2x形如 yexf (a,b,c, d ,e, f R) 的函数称为分式函数。
如 ydx 2 x 2y4x 1等。
x 32、分式复合函数a[ f (x)]2bf (x) c (a, b, c, d, e, f R) 的函数称为分式复合函数。
如形如 yef ( x) fd[ f (x)]2ysin x 2， yx 1 2等。
3sin x3x 31，yx 2 1 ， xx 22 x y2x1，1 2※ 学习探究探究任务一 ：函数 yaxb(ab0) 的图像与性质x问题 1： yax b(a, b, c, d R) 的图像是怎样的？cx d例 1、画出函数 y2 x1的图像， 依据函数图像， 指出函数的单调区间、 值域、对称中心。
x1【分析】 y2x 1 2( x 1) 1 12 ，即函数 y2x 1的图像可以经由函数 y1x1 x 1x 1x1x的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到。
如下表所示：1右1 1 上 2y1yy12xx x1由此可以画出函数y2 x 1的图像，如下：x 1yyyOx O12xO1x单调减区间： ( ,1),(1,) ；值域： (,2) U (2,) ；对称中心： (1,2) 。
【反思】 yaxb(a,b, c, d R ) 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些cx d条件决定？【小结】 yaxb(a,b, c, d R) 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx d需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数 y axb(a,b,c,dR) 的图像与性质cx dd }（1）定义域： { x | x；c （2）值域： { y | ya} ；cd),(d, + ) ；（3）单调性： 单调区间为 (,cc d, ya，对称中心为点 (d , a) ；（ 4）渐近线及对称中心：渐近线为直线xccc c（ 5）奇偶性：当 a d 0 时为奇函数； （ 6）图象：如图所示yyO x O x问题 2： yaxb(ab 0) 的图像是怎样的？x例 2、根据 y1的函数图像， 绘制函数 y x1 x 与 y的图像， 并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
分式指数函数和分式对数函数的对称中心的探究
分式指数函数和分式对数函数的对称中心的探究首先，我们来了解一下分式指数函数和分式对数函数的定义。
分式对数函数可以表示为f(x)=loga(x)/b，其中a和b为常数且a>0，b≠0，且a≠1、它的自变量x位于定义域D={x，x > 0}上。
接下来，我们来探讨它们的对称中心。
对于分式指数函数f(x)=a^(b/x)来说，我们将自变量x替换为-x，可以得到f(-x)=a^(b/-x)。
然而，我们知道指数函数的对称中心是在x轴上的，因此我们将自变量x替换为-x并不会改变函数的图像。
所以，分式指数函数的对称中心是x轴上的点(x,0)。
对于分式对数函数f(x)=loga(x)/b来说，我们将自变量x替换为1/x，可以得到f(1/x)=loga(1/x)/b。
同样地，我们知道对数函数的对称中心是在y=x这条直线上的，而y=x通过(1,1)这个点。
所以，分式对数函数的对称中心是点(1,1)。
由此可见，分式指数函数的对称中心在x轴上，而分式对数函数的对称中心在y=x这条直线上。
接下来，我们将探讨分式指数函数和分式对数函数的对称性质。
对于分式指数函数f(x)=a^(b/x)来说，当自变量x取任意非零实数时，函数值f(x)总是非零的。
这意味着函数的图像不会穿过x轴，因此它在x轴上具有反射对称性。
对于分式对数函数f(x)=loga(x)/b来说，当自变量x取任意正实数时，函数值f(x)总是非负的。
这意味着函数的图像不会穿过y轴的负半轴，因此它在y轴和y=x这条直线上都具有反射对称性。
综上所述，分式指数函数的对称中心在x轴上，具有x轴的反射对称性；而分式对数函数的对称中心在y=x这条直线上，具有y轴和y=x这条直线的反射对称性。
在实际应用中，分式指数函数和分式对数函数的对称性质有着重要的意义。
通过对称中心的分析，我们可以更好地理解和解释这两种函数的性质，并能更灵活地进行函数的图像绘制等相关问题的处理。
总结起来，分式指数函数和分式对数函数是数学中常见的函数类型，它们具有一种特殊的对称性。
分式函数的图像与性质(又称作双钩函数、奈克函数、对号函数)
分式函数的图像与性质一、课前准备1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。
二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
常见分式函数的研究
常见分式函数的研究分式函数在高等数学中占有重要的地位，它是以分子式和分母式为基本构成要素的代数表达式。
分式函数可以看作是两个多项式之商，其中分母不为零。
常见的分式函数有有理函数、无理函数等。
接下来就对常见的分式函数进行研究。
有理函数是分式函数的一种特殊形式，它是分子为多项式、分母为多项式的函数。
有理函数的特点是在定义域内几乎处处有定义，并且有有限个或无穷多个极值点。
有理函数在实际生活中的应用非常广泛，比如说经济学中的供求关系、电路中的传输函数等等。
对于有理函数进行研究，我们主要关注其定义域、零点与极值点、拐点、渐近线等性质。
其中，定义域的确定往往需要考虑分母为零的情况；零点与极值点的求解可以利用导数的方法，即对有理函数进行求导；拐点的求解则需要考虑有理函数的导数的导数，即二阶导数；渐近线可以通过极限来确定。
无理函数也是分式函数的一种特殊形式，它是由无理数指数的幂函数与无理数根号的函数组成的。
无理函数的特点是在定义域内有限个点无定义，而且在无限接近这些点时，函数值无限增大或减小。
无理函数在物理学中的运动学和力学中有很多应用，比如自由落体运动、弹性力学等等。
对于无理函数的研究，需要考虑定义域的确定、零点的求解、函数值的增减情况等。
其中，定义域的确定往往需要考虑根号内的表达式不为负；零点的求解可以通过方程的化简来解得；增减情况可以通过导数来确定。
此外，还有其他一些特殊的分式函数需要进行研究。
比如，带绝对值的分式函数、带根号的分式函数等等。
这些特殊的分式函数在实际问题中也有一定的应用，比如带绝对值的分式函数在货币供求中的弹性需求、带根号的分式函数在物理学中的电流密度分布等等。
对于这些特殊的分式函数，我们需要分别研究其定义域、零点与极值点、拐点、渐近线等性质。
其中，带绝对值和带根号的分式函数的定义域的确定往往需要考虑绝对值和根号内的表达式不为负；零点与极值点的求解可以利用导数的方法，即对这些函数进行求导；拐点的求解则需要考虑函数的导数的导数，即二阶导数；渐近线可以通过极限来确定。
分式指数函数和分式对数函数的对称中心的探究
分式指数函数和分式对数函数的对称中心的探究
分式指数函数和分式对数函数是属于函数变换的一种，它们在实际应用中受到广泛的重视。
关于它们的对称中心也是许多人所关注的话题。
首先，关于分式指数函数的对称中心，其实就是它的坐标轴中心，即点(0,1)，即指数函
数图象经过该点。
与之相对而言，关于分式对数函数的对称中心，则是它的坐标轴有效值
的中心，即比例因子或原点，即点(1,0)，即对数函数图象经过该点。
其次，再来看看分式指数函数和分式对数函数的对称中心有何特性。
从结构上来看，两者
都是拉长分型函数，只是分式指数函数的坐标轴是从横轴正半轴到纵轴负半轴经过的，而
分式对数函数的坐标轴则是从横轴正半轴到纵轴正半轴经过的。
这也就是它们对称中心不
能够重合的原因。
另外，从图象上来看，分式指数函数的图象是从中轴乐观正弦函数，而
分式对数函数的图象是从中轴上下翻转的二次函数。
最后，总结一下，分式指数函数和分式对数函数的对称中心分别是(0,1)和(1,0)，而它们
的对称特性就是它们的坐标轴上经过的即是它们的对称中心，其中分式指数函数的图象经
过(0,1)，而分式对数函数的图象经过(1,0)。
综上所述，可以得出结论：分式指数函数和分式对数函数的对称中心，就是它们的坐标轴
上所经过的点，即（0,1）和（1,0），并有可视的图象对称特征。
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增间区： (
b , 0), (0, a
b) a
(2)当a,b异号即a·b<0时,
当a>0,b<0时,此时为增+增=增。只有增区间：(, 0), (0, )
当a<0,b>0时,此时为减+减=减。只有减区间：(, 0), (0, )
3、一般函数 y cx2 dx e (a c 0)的性质。
a
(6)图象的对称性：是中心对称图形,对称中心是(-
b ,
c )
。
aa
二、分子是二次且分母是一次的分式函数
1、特殊：对勾函数：f (x) x a (a 0) 的图象和性质
x (1)定义域：(, 0) U(0, )
y
(2)奇偶性：只是奇函数。
(3)图象： 双勾(对勾),有两条渐近线。 (4)图象的对称性：
ax b 解决方法：通过换元，可转化为nike函数。
过程如下：直接令分母ax+b=t,则 y t b a
代入消去x，变成关于t的nike函数。
三、分子是一次且分母是二次的分式函数
即形如：y
ax cx2
b dx
e
(a
c
0)。
解决方法：两边倒数,可转化为上一类函数。
有时也可以分子和分母同时除以分子。
四、分子且分母都是二次的分式函数
即形如：y
a1x2 a2 x2
b1x b2x
c1 c2
(a1
a2
0)。
解决方法：去分母，转化为一元二次方程的
问题来解，常常要用到判别式△。
例、求函数y= 2x2 -8x+7的值域. x2 -4x+5
解：由已知得：（y-2）x2 -4(y-2)x+5y-7=0一定有实数解。
当y-2=0时，方程不成立
当y-2 0时，
x 16( y 2)2 4( y 2)(5y 7) 0 解得，1 y 2，值域为[-1,2)
x
条 件
y ax b x
的 图 象
Nike函数y=ax+b/x的图像和性质
a 0 b 0
y
a 0 b 0
aa
aa
(3)奇偶性：非奇非偶函数。
(4)单调性：只有两个同一种单调区间：(,
b a
),
(
b a
,
).
(5)图象：
ad bc
仍是双曲线，是由反比例函数y= a2 向左(a·b>0)或向
x
右(a·b<0)平移| b | 个单位长度,再向上(a·c>0)或下(a·c>0)
a
平移 | c |个单位长度,得到的。
(5)图象： 双曲线，是以x轴和y轴为渐近线。
(6)图象的对称性：
是中心对称图形，对称中心是原点(0,0) 。
2、反比例型函数：f (x) k (k 0,b 0)的图象和性质 ax b
(1)定义域：(,
b a
)
U
Hale Waihona Puke (b a,
)
(2)值域：(,
0)
U
(0,
)
(3)奇偶性：非奇非偶函数。
(4)单调性：只有两个同一种单调区间：(, b ), ( b , ).
aa
(5)图象：
k
仍是双曲线，是由反比例函数y= k a向左(ab>0)或向右
ax x
(ab<0)平移 | b |个单位长度得到的。
a
(6)图象的对称性：是中心对称图形,对称中心是 (- b ,0) 。 a
3(处1、)理定反的义比方域例法：型：(函分数, 离：bf常)(Ux)数(ca法xxb,：db(ky)=0(,2cac)xx值0,++bc域bda：d=(0ac0),的caa图d)xa-U+象bb(c和c ,性质)
o
x
是中心对称图形，对称中心是原点(0,0) 。 (5)单调性：
增区间：(, a ), ( a, ) 减区间：( a , 0), (0, a )
(6)值域： (, f ( a )) U( f ( a ), ).
2、nike函数y
ax
b x
(ab
0)的性质。
抓住是 奇函数
(1)当a,b同号即a·b>0时,通过变形可转化为对勾函数来解
决。
b
变形：y ax b = a(x a )
x
当a>0时，增 间区 ： (,
x
b ), ( a
b a
,
)
减区 (
间：
b , 0), (0, a
b) a
当a<0时，减 间区 ：(,
b ), ( a
b a
,
)
y
a 0 b 0
y
a 0 b 0
y
o
x
o
x ox
ox
图 象 极
极大值 (
点：
b , 2 a
ab ) 极大值(
点：
b , 2 a
ab )
无
值 点
极小值点：(
b , 2 ab ) a
极小值 ( 点：
b , 2 ab ) a
递增区 间
(,
b a
]、
[
b a
,
0)、
无
[
b a
,
)
(0,
b a
]
递减区 间
( ba，0）、
(0,
b a
)
(,
b a
)、
(, 0)、
(
b a
,
)
(0, )
无
(, 0)、 (0, )
无
常见分式函数的研究
常见分式函数的研究
一、分子或分母都是关于x的一次型的分式函数
1、反比例函数：f (x) k (k 0) 的图象和性质 x
(1)定义域：(, 0) U(0, ) (2)值域： (, 0) U(0, )
(3)奇偶性：只是奇函数。
(4)单调性：K>0时,只有单调减区间：(, 0), (0, ). K<0时,只有单调增区间：(, 0), (0, ).