分式型函数求值域的方法探讨

分式型函数求值域的方法探讨
在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。

一、形如d cx b
ax x f ++=
)((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。

例1：求2312)(++=x x x f （)32
-≠x 的值域。

解：231
34)
3
2(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x
∴其值域为}⎩
⎨⎧
≠
32/y y
一般性结论，d cx b ax x f ++=
)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c
d
x -≠},则值域
}⎩
⎨
⎧
≠c a y y /
例2：求2
31
2)(++=
x x x f ，()2,1∈x 的值域。

分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。

解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x
y 31
-=向左平移32，向上平移32
得出，通过图
像观察，其值域为⎪⎭
⎫ ⎝⎛85,53
小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

二、形如求x
a
x x f +
=)(（)0≠a 的值域。

分析：此类函数中，当0<a ，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0>a 时， 对函数求导，,1)(2
'
x
a x f -
=0)('
>x f 时，),(a x -∞∈⋃+∞,a ），0)('
<x f 时，
),0()0,(a a x ⋃-∈，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常
说的双勾函数，通过图像求出其值域。

当然在某些时候可以采用基本不等式来解决 其图像
例3：求)4,1((,4
2)(∈+
=x x
x x f 上的值域。

解：将函数整理成)2
(2)(x
x x f +=，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在)
2,0(单调递减，在),2(+∞上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为[)
6,24
三、用双钩函数解决形如c
bx ax n
mx x f +++=2)(（0,0≠≠a m ），n mx c bx ax x f +++=
2)(
（0,0≠≠a m ）在定义内求值域的问题。

例3：（2010重庆文数）已知0t >，则则函数241
t t y t -+=的最小值为_______.
解：41
142-+=+-=
t
t t t t y ，∴>o t 由基本不等式地2-≥y
例4:求)1(2
1
)(2
>++-=
x x x x x f 的值域。

解：令,1,1+==-t x t x 则则2)1()1()(2++++=
t t t x f =
341
4
32++=++t
t t t t
， 其中t .0>则由基本不等式得7
1)(≤
x f 例5:求)2
1
(12224)(2->+++=
x x x x x f 的值域。

解：令,12+=x t 则21-=t x ，t
t t x f 2)21(2214)(2
+-+⎪
⎭⎫
⎝⎛-==t t t 22+-=12-+t t
，其中0>t ，由基本式得122)(-≥x f
小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成)0()(>+
=a x
a
x x f 这类型的函数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题
三、形如)0,0()(2
2≠≠++++=m a c bx mx c
bx ax x f 在定义域内求值域。

例5：求1
1
222++++=x x x x y 的值域。

分析：当定义域为R 时，我们采用判别式法求此类函数的值域。

当定义域不为R 时，不应采用此法，否则有可能出错。

此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。

解：012
>++x x 恒恒成立，所以此函数的定义域为R x ∈，将函数整理成关于x 的方程，
1222++=++x x y yx yx ，,0)1()1()2(2=-+-+-y x y x y 当,02≠-y 关于x 的方程
恒有解，则)1)(2(4)1(2
----=∆y y y ,0≥即3
7
1≤≤y ，显然，2=y 也成立，所以其值域为{}3
71/≤
≤y y
以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。

不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。