732多边形的内角和

学一学 C
P
图1
D
图2 B
C
B
图3
C
B
如图1，在四边形内任取一点P,
连接PA、PB、PC、PD将四边
形变成有一个公共顶点的四个
三角形，四边形内角和等于
A
180°×4 － 360°= 360°
A
P
D A
P
D
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和
n边形内角和等于（n－2）× 180°
1、（抢答） 8边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
2.如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是 十 边形。 解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）·180 = 1440
(n - 2) = 8
n = 10
∴这是十边形。
3.已知一个多边形每个内角都等于 108° ，求 这个多边形的边数？
C
= 360°－ 180°
D
=180° 这就是说： 如果四边形一组对角互补，那么另一组对
角也互补．
如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么 这两个角的关系是 _相__等_或__者__互_补_
1. 十二边形的内角和是（ 1800o ）.
2. 一个多边形当边数增加 1时，它的内角和增加
（180o）.
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5
答：这个多边形是五边形。
例1 ：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对 角有什么关系？
解：如图，四边形 ABCD中，
B
∠A+ ∠C =180°
因为 所以
∠∠AB+＋∠B∠+D∠C=+3∠6D0=°(4－=－（326)∠0×A°＋18∠0C°A）
=n个平角-n边形内角和
2 = n×180 °－(n－2) × 180°
=360 °
C
结论：n边形的外角和等于 360°.
1A n
F 45
E 3D
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角 是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是 ?n ? 2??180o
n
每个外角的度数是 360o n
(1)若十二边形的每个内角都相等,那么每个内角 是_1_5_0___度.
n边形内角和 =(n－2) ·180°
A
G
F
E B
D C
多边形 三边形
一个顶点 边数 出发的对
角线条数
3
0
四边形 4
1
五边形 5
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六边形 6
3
…
…
…
图形
分成三角形 的个数
1 2 3
4
…
…
计算规律 1 ×180° 2 ×180° 3 ×180° 4 ×180°
…
n边形 n
n－3
n－2
(n－2) ·180°
等于180° ×3－ 180° = 360°
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公共 顶点的四个三角形，四边形内角和等 于180 ° ×3－ 180 ° = 360 °
四边形内角和为 360°
探究1 A E
B
D C 五边形内角和＝ 3×180°＝540°
把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？ A
C 3
结论：五边形的外角和等于 360°.
E 4 D
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取
一个外角，这些外角的和叫做六边形的外 角和．六边形的外角和等于多少？
A6 B1
2
C
3
D4
F
5
E
n 边形外角和是多少度?
探究 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角 的和叫做 n边形的外角和．
n边形外角和
B
2. n边形的对角线一共有＿＿＿＿2 __ 条.
想一想
A B
C
D 问题3：在探究四边形的内角和 时，有的同学不是用量角器度量、 计算得到，而是 按照如图所示，
利用辅助线将四边形分割成两个 三角形的方法，利用三角形内角 和等于180°，得到四边形内角 和等于360°。你能说明它的合 理性吗？并且启发你能否借助辅 助线找到不同的分割方法呢？
3. 一个多边形的内角和是 720o，则此多边形共有
（ 六）个内角.
4. 如果一个多边形的内角和是 1440°，那么这
是（ 十 ）边形.
【例】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和 等于多少？
1A
1.任意一个外角和它相邻的内角 B
有什么关系？
6
5
2 2.五个外角加上它们们分别相邻
(2)已知多边形的每个内角都是135度,则这个多边 形是_八__边__形__.
(3)如果某个多边形的内角和等于它的外角和,那 么这个多边形的边数是四_边__形_____.
（1）一个多边形的内角和为 4320°，则它的边数为 ______
（2）五边形的内角和为 _____，它的对角线共有 _____条 （3）一个多边形的每一个外角都等于 30°，则这个多边
形为____ 边形 （4）一个多边形的每一个内角都等于 135°，则这个多
边形为 _____ 边形 （5）如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形
的内角和增加 ________, 外角和增加 _______.
今天的收获
本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？ 你还有哪些疑问？
1、n边形的内角和等于（n－2）×180°.
想一想
问题1：你还记得三角形内角和是多少度吗？
（三角形内角和 180°）
问题2 ：你知道长方形和正方形的内角和是多少吗？
（都是360°） 其他四边形的内角和是多少？
温故知新
1. 从n边形的一个顶点可以引＿（＿n-＿3＿）＿条对角线， 将n边形分成了（__n__-2__）__ 个三角形.
n (n ? 3)
E B
D
C
F 180° × 4 – 180° = 540°
A
E O B
D C
180°× 5 – 360°= 540°
学一学
四边形的内角和 （4－2）×180°= 360 °
五边形的内角和 （5－2）×180°= 540 ° 六边形的内角和 （6－2）×180°=720 ° 七边形的内角 （7－2）×180°= 900 °
2、n边形的外角和等于360°.
3、利用类比归纳、转化的学习方法，可以 把多边形问题转化为三角形问题来解决; 外角 问题转化为内角来解决.
E
的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角 C
和、外角和有什么关系？
3
4
D
【例 2】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和 等于多少？
五边形外角和
1A
=5个平角 －五边形内角和 B
6
5
=5×180°－(5－2) × 180°2
=360 °