函数综合检测(二)(含答案)
北师大版数学九年级下册第二章二次函数综合探究——最值问题及存在性问题课时对应练习(Word版含答案)
第13课时二次函数综合探究——最值问题及存在性问题1．已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n,直线y2＝kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式．2．如图,已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1,0）、B（3,0）、C（0,3）．（1）试求出抛物线的解析式；（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q,使得△QAC的周长最小,试求出△QAC 的周长的最小值,并求出点Q的坐标；（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发,在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y 轴的正方向运动,试问,经过几秒后,△P AC是等腰三角形？3．如图,抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣x+b交于A,C两点,与x轴交于点A,B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C）,过点P作PN⊥AB交AC与点M,垂足为N,连接AP,CP．设点P的横坐标为m．（1）求b的值；（2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围；（3）求△P AC的面积S关于m的函数解析式,并求使得△APC面积最大时,点P的坐标；（4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标．4．已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α,0）,B（β,0）,且1α+1β=−2,（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小？若存在,请画出图形（保留作图痕迹）,并求出周长的最小值；若不存在,请说明理由．（3）若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标．5．如图,抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2,0）,D两点,与y轴交于点C,对称轴x＝3交x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是x轴上方抛物线上一动点,过点M作MN⊥x轴于点N,交直线BC于点E．设点M的横坐标为m,用含m的代数式表示线段ME的长,并求出线段ME长的最大值．（3）若点P在y轴的正半轴上,连接P A,过点P作P A垂线,交抛物线的对称轴于点Q．是否存在点P,使以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等？若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．6．（2019•广州）已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现,随着m 的变化,抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ,抛物线G 与函数H 的图象交于点P ,结合图象,求点P 的纵坐标的取值范围．7．已知抛物线y ＝mx 2+（1﹣2m ）x +1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B（1）求m 的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ,并求出点P 的坐标；（3）当14＜m ≤8时,由（2）求出的点P 和点A ,B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有,求出该最值及相对应的m 值．8．已知O 为坐标原点,抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A （x 1,0）,B （x 2,0）,与y 轴交于点C ,且O ,C 两点间的距离为3,x 1•x 2＜0,|x 1|+|x 2|＝4,点A ,C 在直线y 2＝﹣3x +t 上．（1）求点C 的坐标；（2）当y 1随着x 的增大而增大时,求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位,记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ,直线y 2向下平移n 个单位,当平移后的直线与P 有公共点时,求2n 2﹣5n 的最小值．【参考答案】1．（1）∵抛物线y 1＝﹣x 2+mx +n ,直线y 2＝kx +b ,y 1的对称轴与y 2交于点A （﹣1,5）,点A 与y 1的顶点B 的距离是4．∴B （﹣1,1）或（﹣1,9）,∴−m 2×(−1)=−1,4×(−1)n−m 24×(−1)=1或9, 解得m ＝﹣2,n ＝0或8,∴y 1的解析式为y 1＝﹣x 2﹣2x 或y 1＝﹣x 2﹣2x +8；（2）①当y 1的解析式为y 1＝﹣x 2﹣2x 时,抛物线与x 轴交点是（0,0）和（﹣2,0）, ∵y 1的对称轴与y 2交于点A （﹣1,5）,∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点（﹣2,0）,把（﹣1,5）,（﹣2,0）代入得{−k +b =5−2k +b =0, 解得{k =5b =10, ∴y 2＝5x +10．②当y 1＝﹣x 2﹣2x +8时,解﹣x 2﹣2x +8＝0得x ＝﹣4或2,∵y 2随着x 的增大而增大,且过点A （﹣1,5）,∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点（﹣4,0）,把（﹣1,5）,（﹣4,0）代入得{−k +b =5−4k +b =0, 解得{k =53b =203； ∴y 2=53x +203．2．（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （1,0）、B （3,0）、C （0,3）,∴把此三点代入得{a +b +c =09a +3b +c =0c =3,解得{a =1b =−4c =3,故抛物线的解析式为,y ＝x 2﹣4x +3；（2）点A 关于对称轴的对称点即为点B ,连接B 、C ,交x ＝2于点Q ,可得直线BC：y＝﹣x+3,与对称轴交点Q（2,1）,BC=3√2,可得△QAC周长为√10+3√2．（3）设t秒后△P AC是等腰三角形,因为P在对称轴上,所以P点坐标为（2,t﹣1）于是①当P A＝CA时；根据勾股定理得：（2﹣1）2+（t﹣1）2＝12+32；解得t＝4秒或t＝﹣2秒（负值舍去）．②PC＝P A时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝（2﹣1）2+（t﹣1）2；解得t＝3秒；③CP＝CA时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝12+32；解得t＝（4+√6）秒或t＝（4−√6）秒所以经过4秒,或3秒,或4+√6秒,或4−√6秒时,△P AC是等腰三角形．3．（1）令x2﹣2x﹣3＝0,解得：x1＝﹣1,x2＝3,即A＝（﹣1,0）,B（3,0）,把A（﹣1,0）代入y＝﹣x+b,得b＝﹣1,则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）把x＝m代入抛物线解析式得：y＝m2﹣2m﹣3,把x＝m代入直线解析式得：y＝﹣m﹣1,∴NP＝﹣（m2﹣2m﹣3）,MN＝﹣（﹣m﹣1）,∴MP＝NP﹣NM＝﹣（m2﹣2m﹣3）+（﹣m﹣1）＝﹣m2+m+2,m 的取值范围是﹣1＜m ＜2；（3）过点作CE ⊥AB 于点E ,则S △APC ＝S △AMP +S △CMP =12MP •AN +12MP •NE =12MP •AE =−32m 2+32m +3, ∵﹣1＜0,开口向下,∴当m =−b 2a =12时,S △APC 面积最大,此时P （12,−154）；（4）分三种情况：①当P 为抛物线顶点时,此时MC ＝PC ,△CMP 为等腰三角形,P 点坐标为P 1（1,﹣4）；②当P 为C 关于抛物线对称轴对称的点时,此时MP ＝MC 时,△CMP 为等腰三角形,∵点C （2,﹣3）,对称轴为：x ＝1,∴点P 坐标为P 2（0,﹣3）；③当P 为MC 的垂直平分线上点时,此时PM ＝PC ,△CMP 为等腰三角形,P 3（√2−1,2﹣4√2）．4．（1）由题意可得：α,β是方程﹣mx 2+4x +2m ＝0的两根,由根与系数的关系可得, α+β=4m ,αβ＝﹣2,∵1α+1β=−2,∴α+βαβ=−2,即4m −2=−2,解得：m＝1,故抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6,∴抛物线的对称轴l为x＝2,顶点D的坐标为：（2,6）,又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0,2）,点E与点C关于l对称,∴E点坐标为：（4,2）,作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,则D′的坐标为；（﹣2,6）,E′坐标为：（4,﹣2）,连接D′E′,交x轴于M,交y轴于N,此时,四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE,如图1所示：延长E′E,′D交于一点F,在Rt△D′E′F中,D′F＝6,E′F＝8,则D′E′=√D′F2+E′F2=√62+82=10,设对称轴l与CE交于点G,在Rt△DGE中,DG＝4,EG＝2,∴DE=√DG2+EG2=√42+22=2√5,∴四边形DNME的周长最小值为：10+2√5；（3）如图2,P为抛物线上的点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,则△PHQ≌△DGE,∴PH＝DG＝4,∴|y|＝4,∴当y＝4时,﹣x2+4x+2＝4,解得：x1＝2+√2,x2＝2−√2,当y＝﹣4时,﹣x2+4x+2＝﹣4,解得：x3＝2+√10,x4＝2−√10,无法得出以DE为对角线的平行四边形,故P点的坐标为；（2−√2,4）,（2+√2,4）,（2−√10,﹣4）,（2+√10,﹣4）．5．（1）由题意得,点D 的坐标为（8,0）,把点A 、D 的坐标代入y ＝ax 2+bx +4{4a −2b +4=064a +8b +4=0, 解{a =−14b =32． 故抛物线解析式为y =−14x 2+32x +4．（2）由题意,点C ,点B 坐标分别为（0,4）,（3,0）,则直线CB 解析式y =−43x +4,点M 坐标为（m ,−14m 2+32m +4）,点E 坐标为（m ,−43m +4）,①当﹣2＜m ≤0时,ME =−43m +4﹣（−14m 2+32m +4）=14m 2−176m , m ＝﹣2时,ME =203,由二次函数性质可知,ME ＜203；②当0＜m ＜8时,ME =−14m 2+32m +4﹣（−43m +4）=14m 2−176m =−14（m −173）2+28936 当m =173时,ME 取得最大值,最大值为28936． 综上所述,当﹣2＜m ≤0时,ME =14m 2−176m ,当0＜m ＜8时,ME =−14m 2+176m ．当m =173时,ME 取得最大值,最大值为28936． （3）存在,∵P A ⊥PQ ,BQ ⊥x 轴∴∠APQ ＝∠ABQ ＝90°,∴△APQ 和△ABQ 中．点P 和点B 是对应点,∵以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△BAQ 全等,只有两种情况：设点P （0,c ）,Q （3,n ）（c ＞0）,∴AB ＝5,BQ ＝n ,P A =√4+c 2,PQ =√9+(c −n)2,①△P AQ ≌△BAQ ,∴P A ＝BA ,PQ ＝BQ ,∴√4+c 2=5,√9+(c −n)2=n ,∴c =√21或c =−√21（舍）,∴P （0,√21）,②△PQA ≌△BAQ ,∴P A ＝BQ ,PQ ＝AB ,∴√4+c 2=n ,√9+(c −n)2=5,∴c 1=32,n 1=−52或c 2=−32,n 2=52（舍）故点P 坐标为P 1（0,√21）,P 2（0,32）． 6．（1）∵y ＝mx 2﹣2mx ﹣3＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3,抛物线有最低点 ∴二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值为﹣m ﹣3（2）∵抛物线G ：y ＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3∴平移后的抛物线G 1：y ＝m （x ﹣1﹣m ）2﹣m ﹣3∴抛物线G 1顶点坐标为（m +1,﹣m ﹣3）∴x ＝m +1,y ＝﹣m ﹣3∴x +y ＝m +1﹣m ﹣3＝﹣2即x +y ＝﹣2,变形得y ＝﹣x ﹣2∵m ＞0,m ＝x ﹣1∴x ﹣1＞0∴x ＞1∴y 与x 的函数关系式为y ＝﹣x ﹣2（x ＞1）（3）法一：如图,函数H ：y ＝﹣x ﹣2（x ＞1）图象为射线x ＝1时,y ＝﹣1﹣2＝﹣3；x ＝2时,y ＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H 的图象恒过点B （2,﹣4）∵抛物线G ：y ＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3x ＝1时,y ＝﹣m ﹣3；x ＝2时,y ＝m ﹣m ﹣3＝﹣3∴抛物线G 恒过点A （2,﹣3）由图象可知,若抛物线与函数H 的图象有交点P ,则y B ＜y P ＜y A ∴点P 纵坐标的取值范围为﹣4＜y P ＜﹣3法二：{y =−x −2y =mx 2−2mx −3整理的：m （x 2﹣2x ）＝1﹣x∵x ＞1,且x ＝2时,方程为0＝﹣1不成立∴x ≠2,即x 2﹣2x ＝x （x ﹣2）≠0∴m =1−x x(x−2)＞0∵x ＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣37．（1）解：当m＝0时,函数为一次函数,不符合题意,舍去；当m≠0时,∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B,∴△＝（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）2＞0,∴1﹣4m≠0,∴m≠1 4,∴m的取值范围为m≠0且m≠1 4；（2）证明：∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m,∴y＝m（x2﹣2x﹣3）+x+1,抛物线过定点说明在这一点y与m无关,显然当x2﹣2x﹣3＝0时,y与m无关,解得：x＝3或x＝﹣1,当x＝3时,y＝4,定点坐标为（3,4）；当x＝﹣1时,y＝0,定点坐标为（﹣1,0）,∵P不在坐标轴上,∴P（3,4）；（3）解：|AB|＝|x A﹣x B|=√b2−4ac|a|=√(1−2m)2−4m(1−3m)|m|=√1−4m+4m2−4m+12m2m2=√(1−4m)2m2=|1−4mm|＝|1m−4|,∵14＜m ≤8, ∴18≤1m ＜4, ∴−318≤1m−4＜0, ∴0＜|1m−4|≤318, ∴|AB |最大时,|1m−4|=318, 解得：m ＝8,或m =863（舍去）,∴当m ＝8时,|AB |有最大值318,此时△ABP 的面积最大,没有最小值,则面积最大为：12|AB |y P =12×318×4=314． 8．（1）令x ＝0,则y ＝c ,故C （0,c ）,∵OC 的距离为3,∴|c |＝3,即c ＝±3,∴C （0,3）或（0,﹣3）；（2）∵x 1x 2＜0,∴x 1,x 2异号,①若C （0,3）,即c ＝3,把C （0,3）代入y 2＝﹣3x +t ,则0+t ＝3,即t ＝3, ∴y 2＝﹣3x +3,把A （x 1,0）代入y 2＝﹣3x +3,则﹣3x 1+3＝0, 即x 1＝1,∴A （1,0）,∵x 1,x 2异号,x 1＝1＞0,∴x 2＜0,∵|x 1|+|x 2|＝4,∴1﹣x 2＝4,解得：x 2＝﹣3,则B （﹣3,0）,代入y 1＝ax 2+bx +3得,{a +b +3=09a −3b +3=0, 解得：{a =−1b =−2,∴y 1＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4,则当x ≤﹣1时,y 随x 增大而增大．②若C （0,﹣3）,即c ＝﹣3,把C （0,﹣3）代入y 2＝﹣3x +t ,则0+t ＝﹣3,即t ＝﹣3, ∴y 2＝﹣3x ﹣3,把A （x 1,0）,代入y 2＝﹣3x ﹣3,则﹣3x 1﹣3＝0,即x 1＝﹣1,∴A （﹣1,0）,∵x 1,x 2异号,x 1＝﹣1＜0,∴x 2＞0∵|x 1|+|x 2|＝4,∴1+x 2＝4,解得：x 2＝3,则B （3,0）,代入y 1＝ax 2+bx ﹣3得,{a −b −3=09a +3b −3=0, 解得：{a =1b =−2, ∴y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4,则当x ≥1时,y 随x 增大而增大,综上所述,若c ＝3,当y 随x 增大而增大时,x ≤﹣1； 若c ＝﹣3,当y 随x 增大而增大时,x ≥1；（3）①若c ＝3,则y 1＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4,y 2＝﹣3x +3, y 1向左平移n 个单位后,则解析式为：y 3＝﹣（x +1+n ）2+4, 则当x ≤﹣1﹣n 时,y 随x 增大而增大,y 2向下平移n 个单位后,则解析式为：y 4＝﹣3x +3﹣n , 要使平移后直线与P 有公共点,则当x ＝﹣1﹣n ,y 3≥y 4, 即﹣（﹣1﹣n +1+n ）2+4≥﹣3（﹣1﹣n ）+3﹣n , 解得：n ≤﹣1,∵n ＞0,∴n ≤﹣1不符合条件,应舍去；②若c ＝﹣3,则y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4,y 2＝﹣3x ﹣3, y 1向左平移n 个单位后,则解析式为：y 3＝（x ﹣1+n ）2﹣4, 则当x ≥1﹣n 时,y 随x 增大而增大,y 2向下平移n 个单位后,则解析式为：y 4＝﹣3x ﹣3﹣n , 要使平移后直线与P 有公共点,则当x ＝1﹣n ,y 3≤y 4,即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n,解得：n≥1,综上所述：n≥1,2n2﹣5n＝2（n−54）2−258,∴当n=54时,2n2﹣5n的最小值为：−258．。
人教版数学九年级上册 求二次函数解析式专项综合全练(二)含答案
2019年人教版数学九年级上册 专项综合全练（二）求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1．（2018福建龙岩上杭月考）已知二次函数的图象经过点(0，3)、（-3，0）、（2，-5）． (1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P （-2，3）是否在这个二次函数的图象上．2．（2017上海闵行一模）已知：在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=ax ²+bx+c 经过点A(3，0)，B （2，-3），C(0，-3)． (1)求抛物线的表达式；(2)设点D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为-2，求△AOD 的面积． 3．（2019广东广州越秀月考）已知抛物线y= ax ²+bx+c 过点 A(-1,1)，B （4,-6），C(0,2). (1)求此抛物线的函数解析式；(2)该抛物线的对称轴是__________，顶点坐标是____； (3)选取适当的数据，并在直角坐标系内描点画出该抛物线． 类型二利用“顶点式”求二次函数解析式4．（2019四川广安月考）某抛物线的对称轴为直线x=3，y 的最大值为-5，且与的图象开口大小相同，则这条抛物线的解析式为( )A.y=（x+3）²+5B ．y=(x-3)²-5C.y=（x+3）²+52x 21=y 21-21-21D ．y=(x-3)2²-55．已知二次函数y= ax ²+bx +c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该函数的表达式；(2)当y<5时，x 的取值范围是________．6．已知某二次函数图象的顶点坐标为（2，-2），且经过点(3，1)，求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与，，轴的交点坐标． 类型三利用“交点式”求二次函数解析式7．（2019安徽合肥包河月考）已知二次函数图象经过A （-5，0），B(3，0)，C （-1，16）三点，求该抛物线的解析式．8．如图22-5-1，抛物线y=ax ²+bx+c 经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，求抛物线的解析式．图22-5-19．已知二次函数y= ax ²+bx+c 的图象过点A(1，0)，B （-3，0），C （0，-3）． (1)求此二次函数的解析式：(2)在抛物线上存在一点P ，使△ABP 的面积为6，求点P 的坐标．（写出详细的解题过程）21图22-5-2类型四利用“平移规律”求二次函数解析式10.如图22-5-3．将函数y=(x-2) ²+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)、B （4，n ）平移后的对应点分别为A ‘、B ’．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是( )图22-5-3A ．y=(x-2) ²-2 B.y=(x-2) ²+7 C ．y=(x-2)²-5 D ．y=(x-2)² +411.将抛物线y=3（x-4）²+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是______________.12．如图22-5-4，抛物线y=x ²沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x 上的M 处，则平移后抛物线的解析式为_______________．21212121212图22-5-413.如图22-5-5，△OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为(3，4)且OB= BA.(1)求经过A，B，0三点的抛物线的解析式：(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A’，B’，若四边形ABB’A’为菱形，求平移后的抛物线的解析式．图22-5-514.如图22-5-6所示，直线L经过点A(4，0)和B(O，4)两点，它与二次函数y= ax²的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4．(1)求点P的坐标：(2)求二次函数的解析式：(3)能否将抛物线y=ax²上下平移，使平移后的抛物线经过点A?如果能，请求出平移后抛物线的解析式：如果不能，请说明理由，图22-5-6答案求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1．解析 (1)设此二次函数的解析式为y=ax ²+bx+c ，将(0，3)、（-3，0）、（2，-5）代入y=ax2 +bx+c ，得解得∴此二次函数的解析式是y=-x ²-2x+3． (2)当x=-2时，y=-（-2）²-2x （-2）+3 =3， ∴点P( -2，3)在这个二次函数的图象上．2．解析(1)把A(3，0)，B （2，-3），C （0，-3）代入y=ax ²+ bx+得解得∴该抛物线的解析式为y=x ²-2x-3.(2)把x=-2代入抛物线的解析式得y=5， 即D （-2，5）， ∵A(3，0)，∴OA=3，∴． 3．解析(1)抛物线的解析式为y=ax ²+bx+c ，将点A （-1，1），B （4，-6），C(0，2)分别代入，得解得2155321S AOD =⨯⨯=∆则此抛物线的解析式为．(2)对称轴为直线；∵．∴抛物线的顶点坐标为．(3)其函数图象如下，类型二利用“顶点式”求二次函数解析式 4. B解析；因为抛物线的对称轴为x=3,y 的最大值为-5，所以设抛物线解析式为y=a(x-3)²-5，因为所求抛物线与的图象开口大小相同，而y 有最大值，所以，所以这条抛物线的解析式为．故选B ．5．解析(1)由题表易得二次函数y=ax ²+bx+c 的图象的顶点坐标为(2，1)， 设函数的表达式为y=a （x-2）²+1． 由题意得函数的图象经过点(0，5)， 所以5=a ·（-2）²+1．所以a=1．所以该函数的表达式为y=（x-2）2+1（或y=x ²-4x+5）． (2)由题表所给数据可知二次函数图象的对称轴为x=2． ∴(0，5)和(4，5)均在该函数图象上． 又a=1>0．221y x -=221a x =5)3(21y 2---=x∴当y<5时，对应的x 的取值范围为0<x<4． 故答案为0<x<4．6．解析根据题意，可设二次函数的解析式为y=a （x-2）²-2(a ≠0)， 把(3，1)代入y=a （x-2）²-2，得a(3-2)²-2=1，解得a=3，所以二次函数的解析式为y=3（x-2）²-2(或y=3x ²-12x+10). 当x=0时，y= 3x4-2= 10，所以该函数图象与y 轴的交点坐标为(0，10)． 类型三利用“交点式”求二次函数解析式 7．解析 ∵A （-5，0），B(3，0)， ∴设抛物线解析式为y=a （x-3）（x+5），把C （-1，16）代入得a ·（-1-3）×（- 1+5）=16， 解得a= -1,∴抛物线的解析式为y=-（x-3）(x+5)，即y= -X ²-2x+15．8．解析根据题意，可设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-4）(n ≠0)，把c(0，3)代入得a ．（-1）×（-4）=3，解得a=，所以抛物线的解析式为y=（x-1）（x-4），即y=x ²-+3．9．解析(1)根据题意，可设抛物线的解析式为y=a （x-1）(x+3)(a ≠0)， 把C （0，-3）代入得a ·（-1）x3= -3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x-1）·（x+3）=x ²+2x-3． (2)∵A(1,0),B( -3,0)．∴AB=4. 设P(m ，n)，∵△ABP 的面积为6．∴AB ·ln l =6，即×4xlnl =6,解得n=±3．当n=3时，m ²+2m-3=3．434343x4152121解得m= - 1+或-1-， ∴P(-1+，3)或P(-1-，3)． 当n= -3时，m ²+2m-3= -3, 解得m=0或m=-2, ∴P(0，-3)或P( -2，-3)．故P （-1+，3）或P （-1-，3）或P(0，-3)或P （-2，-3）． 类型四利用“平移规律”求二次函数解析式 10. D解析：如图，连接AB 、A'B'，则，由平移可知AA ’= BB ’，AA ’∥BB ’， ∴四边形ABB' A ’是平行四边形， 分别延长A ’ A 、B ’ B 交x 轴于点M 、N. ∵A(1，m)、B （4，n ）， ∴MN=4-1=3． ∵,∴9= 3AA ’，解得AA ’=3,即原函数图象沿y 轴向上平移了3个单位，∴新图象的函数表达式为y=(x-2) ²+4．11．答案y=3（x-5）²-177777721解析抛物线y=3（x-4）²+2的顶点坐标为(4，2)，将其向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度所得点的坐标为（5，-1），所以平移后抛物线的解析式为y=3（x-5）²-1． 12.答案y=（x-1）²+1解析 抛物线y=x ²沿直线y=x 向上平移个单位后，顶点在直线y=x 上的M 处．∴M(1，1)，则平移后抛物线的解析式为y=( x-1)²+1． 13．解析(1) ∵B 点坐标为(3，4)且OB= BA ， ∴A(6，0)．设所求抛物线的解析式为y=ax （x-6）， 将(3，4)代入，可得4=a ．3x( 3-6)= -9a ，∴，∴．(2)∵ B(3，4)，A(6，0)， ∴．∵四边形ABB' A ’为菱形， ∴BB'= BA=5．①若抛物线沿x 轴向右平移，则B ’(8，4)，∴平移后抛物线的解析式为y=（-8）²+4；②若抛物线沿x 轴向左平移，则B ’（-2，4），∴平移后抛物线的解析式为y=(x+2)²+4．14．解析(1)设直线l 的解析式为y=kx+b(k ≠0)， ∵直线l 过A(4，0)和B(0，4)两点，∴∴294a -=x x x x 3894)6(94y 2+-=--=94-94-∴y=-x+4 设,∵△AOP 的面积为4．∴∴，∴2= -+4， 解得=2．∴点P 的坐标为(2，2)．(2)把点P(2，2)代入y=ax ²，得2=ax2²，解得，故二次函数的解析式为．(3)能．设将抛物线上下平移后的解析式为+m,把点A(4，0)代入，得0=×4²+m ，解得m= -8．故将抛物线y= ax ²向下平移8个单位长度时，平移后的抛物线经过点A ．平移后抛物线的解析式为-8．21a =221y x =221y x =221y x =21221y x=。
人教版九年级上数学册《第22章二次函数》综合检测试卷含答案
人教版九年级上册数学综合检测含答案第22章 二次函数（时间：120分钟 总分120分）一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项。
）1．下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( A )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．A ．3B ．4C ．5D ．62．若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( B ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或33．将抛物线y ＝3x 2平移得到抛物线y ＝3(x －4)2－1 的步骤是( D ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位4．抛物线y ＝12x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( D )A ．(1,2)，x ＝1B ．(1－，2)，x ＝－1C ．(－4，－5)，x ＝－4D ．(4，－5)，x ＝45.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图 ，则下列结论：第5题图①a ，b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a ＋b ＝0；④当y ＝－2时，x 的值只能为0，其中正确的个数是( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看成是抛物线．如图 所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1 m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m,2.5 m 处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m ，则学生丁的身高为( B )第6题图A ．1.5 mB ．1.625 mC ．1.66 mD ．1.67 m二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3(m 为常数). (1)当m ____≠2______时，该函数为二次函数； (2)当m _____＝2_____时，该函数为一次函数．8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1,10)和(2,7)，且3a ＋2b ＝0，则该抛物线的解析式为___y ＝2x 2－3x ＋5_____．9．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为k <－74且k ≠0 .10．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝___4___元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．11．若函数y=mx 2+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m 的值是 1或0 . 12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点是（2，－2）；③在x 轴上截得的线段的长是2； ④与y 轴的交点是（0，3）．其中正确的有__①③④_____(填序号).三、解答题 （本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标． 解：(1)把(－2，－8)代入y ＝ax 2，得－8＝a (－2)2.解得a ＝－2，故函数解析式为y ＝－2x 2.(2)∵－4≠－2(－1)2，∴点B (－1，－4)不在抛物线上． (3)由－6＝－2x 2，得x 2＝3，x ＝±3.∴纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)与(－3，－6)．14．如图 ，A (－1,0)，B (2，－3)两点都在一次函数y 1＝－x ＋m 与二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上．(1)求m 的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．第14题图解：(1)由于点A (－1,0)在一次函数y 1＝－x ＋m 的图象上，得－(－1)＋m ＝0，即m ＝－1；已知点A (－1,0)，点B (2，－3)在二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.∴二次函数的解析式为y 2＝x 2－2x －3.(2)由两个函数的图象知：当y 1＞y 2时，－1＜x ＜2.15．已知抛物线y ＝x 2－2x －8.(1)试说明抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出交点坐标；(2)若该抛物线与x 轴两个交点分别为A ，B (A 在B 的左边)，且它的顶点为P ，求S △ABP的值．解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＝4＋32＝36>0， ∴抛物线与x 轴一定有两个交点．当y ＝0，即x 2－2x －8＝0时，解得x 1＝－2，x 2＝4. 故交点坐标为(－2,0)，(4,0)． (2)由(1)，可知：|AB |＝6.y ＝x 2－2x －8＝x 2－2x ＋1－1－8＝(x －1)2－9.∴点P 坐标为(1，－9)．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则|PC |＝9.∴S △ABP ＝12|AB |·|PC |＝12×6×9＝27.16．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．解：(1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米．(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC .∴这次表演成功．17．如图，抛物线y ＝ax 2－5x ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C (5,4)． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．第17题图解：(1)a ＝1，P ⎝⎛⎭⎫52，－94. (2)答案不唯一，满足题意即可．如向上平移104个单位长度后，再向左平移3个单位长度等．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图,二次函数y=ax 2-4x+c 的图象过原点,与x 轴交于点A(-4,0).(1)求此二次函数的解析式.(2)在抛物线上存在点P,满足S △AOP =8,请直接写出点P 的坐标.解：(1)依题意,得⎩⎨⎧=+=016160a c解得⎩⎨⎧=-=01c a∴二次函数的解析式为y=-x 2-4x. (2)令P(m,n), 则S △AOP =12 AO ·|n|=12×4|n|=8,解得n=±4, 又∵点P(m,n)在抛物线 y=-x 2-4x 上,∴-m 2-4m=±4,分别解得m 1=-2,m 2=-2+2 2 和m 3=-2-2 2 ,∴P 1(-2,4),P 2(-2+2 2 ,-4),P 3(-2-2 2 ,-4).19．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象C 经过(－5,0)，⎝⎛⎭⎫0，52，(1,6)三点，直线l 的解析式为y ＝2x －3.(1)求抛物线C 的解析式；(2)判断抛物线C 与直线l 有无交点；(3)若与直线l 平行的直线y ＝2x ＋m 与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标．解：(1)把(－5,0)，⎝⎛⎭⎫0，52，(1,6)分别代入抛物线，解得a ＝12，b ＝3，c ＝52，∴y ＝12x 2＋3x ＋52.(2)令12x 2＋3x ＋52＝2x －3，整理后，得12x 2＋x ＋112＝0，∵Δ<0，∴抛物线与直线无交点．(3)令12x 2＋3x ＋52＝2x ＋m ，整理后，得12x 2＋x ＋52－m ＝0.由Δ＝12－4×12×⎝⎛⎭⎫52－m ＝0，解得m ＝2，求得点P 的坐标为(－1,0)．20．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y (单位：个)与销售单价x (单位：元/个)之间的对应关系如图 所示：(1)试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w (单位：元)与销售单价x (单位：元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．图解：(1)y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ， ∵图象过点(10,300)，(12,240)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10k ＋b ＝300，12k ＋b ＝240.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－30，b ＝600. ∴y ＝－30x ＋600.当x ＝14时，y ＝180；当x ＝16时，y ＝120.即点(14,180)，(16,120)均在函数y ＝－30x ＋600图象上． ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝－30x ＋60.(2)w ＝(x －6)(－30x ＋600)＝－30x 2＋780x －3600.即w 与x 之间的函数关系式为w ＝－30x 2＋780x －3600. (3)由题意，得6(－30x ＋600)≤900，解得x ≥15.x ＝－30x 2＋780x －3600图象对称轴为x ＝－7802×(－30)＝13.∵a ＝－30<0.∴抛物线开口向下．当x ≥15时，w 随x 增大而减小． ∴当x ＝15时，w 最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21． 如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？解：(1)A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，3) (2)y ＝－3(x －2)2＋3(3)设抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋k ，代入D (0，3)，可得k ＝53，平移后的抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋53，∴平移了53－3＝43个单位22.某公司700万元购买甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产品的生产加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元,生产乙种产品每件还需成本费20元.经市场调研发现:甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理,设甲种产品的销售单价为x(元),年销售量为y(万件).当35≤x ≤50时,y 与x 之间的函数关系式为y=20-0.2x;当50≤x ≤70时,y 与x 之间的函数关系如图所示.乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间,且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元. (1)当50≤x ≤70时,求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数解析式.(2)若该公司第一年的年销售利润(年销售利润=年销售收入-生产成本)为W(万元),那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少?(3)第二年公司可重新对产品进行定价,在(2)的条件下,并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x ≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利(总盈利=两年的年销售利润之和-成本)不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围.解：(1)设当50≤x ≤70时,y 与x 的函数关系式为y=kx+b.把(50,10),(70,8)代入得⎩⎨⎧=+=+8701050b k b k 解得⎩⎨⎧=-=151.0b k ∴当50≤x ≤70时,y 与x 的函数解析式为y=-0.1x+15.[来源:Z*xx*] (2)①依题意知:25≤90- x ≤45,即45≤x ≤65.当45≤x ≤50时,W=(x-30)(20-0.2x)+10(90-x-20)=-0.2x 2+16x+100=-0.2(x-40)2+420.由函数的性质知,当x=45时,W 最大值为415. 当50≤x ≤65时,W=(x-30)(-0.1x+15)+10(90-x-20)=-0.1x 2+8x+250=-0.1(x-40)2+410.由函数的性质知,当x=50时,W 最大值为400.综上所述,当x=45时,即甲、乙两种产品的销售单价均定在45元时,可使第一年的年销售利润最大,最大年销售利润是415万元. (3)30≤m ≤40.(由题意,令W=-0.1x 2+8x+250+415-700≥85,整理,得x 2-80x+120≤0, 解得20≤x ≤60.∵50≤x ≤65,根据函数的性质分析,50≤x ≤60. 即50≤90-m ≤60.故30≤m ≤40.)六、（本大题共1小题，共12分）23．如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第23题图解：(1)∵OC ＝3OB ，B (1,0)，∴C (0，－3)．把点B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋3ax ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＋c ＝0，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，c ＝－3.∴y ＝34x 2＋94x －3.(2)如图D86.过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M ，N . S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝152＋12×DM ×(AN ＋ON ) ＝152＋2DM ， ∵A (－4,0)，C (0，－3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入，求得y ＝－34x －3.令D ⎝⎛⎭⎫x ，34x 2＋94x －3，M ⎝⎛⎭⎫x ，－34x －3， DM ＝－34x －3－⎝⎛⎭⎫34x 2＋94x －3 ＝－34(x ＋2)2＋3，当x ＝－2时，DM 有最大值3.此时四边形ABCD 面积有最大值为272.图D86 图D87(3)如图D87，讨论：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形．∵C (0，－3)，令34x 2＋94x －3＝－3，∴x ＝0或x ＝－3.∴P 1(－3，－3)． ②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴可令P (x,3)，由34x 2＋94x －3＝3，得x 2＋3x －8＝0.解得x ＝－3＋412或x ＝－3－412.此时存在点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3和P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－412，3.综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－412，3.。
北师大版数学九年级下册第二章 二次函数综合素质评价(含答案)
第二章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P30随堂练习T1改编】下列函数是二次函数的是()A．y＝3x2＋9 B．y＝2x－3 C．y＝2x2＋1x－2 D．y＝4x22．【教材P58复习题T2(3)改编】抛物线y＝(x＋1)2－1的顶点坐标是() A．(1，－1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(－1，1)3．【2022·兰州】已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是()A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞24．已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是()A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜35．【2021·西藏】把函数y＝(x－1)2＋2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的表达式为()A．y＝x2－8x＋22 B．y＝x2－8x＋14 C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2 6．【2022·绍兴】已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是()A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 7．【教材P45习题T1变式】【2021·赤峰】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：以下结论正确的是()A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下B．当x＜3时，y随x的增大而增大C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜28．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是()9．【2021·毕节】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与x轴的一个交点为(－1，0)，对称轴为直线x＝1.下列结论错误的是()A．abc>0 B．b2>4acC．4a＋2b＋c>0 D．2a＋b＝010．【教材P47习题T2变式】如图，疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5 m的墙，中间用塑料膜隔开分成两个区域．已知整个隔离区塑料膜总长为12 m，隔离区出入口的大小忽略不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为隔离区的最大面积为12 m2；小亮认为隔离区的面积可能为9 m2.则()A．小明正确，小亮错误B．小明错误，小亮正确C．两人均正确D．两人均错误二、填空题(每题3分，共24分)11．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y(万件)与x之间的函数表达式为________________．12．若抛物线y＝x2＋(a－2)x＋c的顶点在y轴上，则a的值是________．13．已知点A(4，y1)，B(1，y2)，C(－3，y3)在函数y＝－3(x－2)2＋m(m为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________(由小到大排列)．14．【教材P43习题T1改编】已知二次函数图象的顶点坐标是(2，－1)，形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，则这个二次函数的表达式是________________．15．【教材P53习题T2变式】【2021·成都】在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y ＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．17．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．18．【2022·衡水泰华中学月考】抗击疫情，我们每个人都要做到讲卫生，勤洗手，科学消毒．如图是一瓶消毒洗手液的示意图，当手按住顶部A下压时，洗手液瞬间从喷口B流出，路线呈抛物线且该路线所在的抛物线经过C，E两点．瓶子轴截面的上部分由弧CE和弧FD组成，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，CG＝8 cm，GH＝10 cm，点E到台面GH的距离为14 cm，点B到台面的距离为20 cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2 cm 时刚好接到洗手液，此时手心距台面的高度为________cm.三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)19．【教材P43习题T1变式】已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．20．【教材P53习题T2改编】【2022·青岛】已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．21．【教材P52随堂练习变式】周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，爸爸将小球从地面击出，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的几组值后，发现h与t满足的函数表达式是h＝20t－5t2.(1)当小球的飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度．(2)小球的飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m?22．【中考·北京】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c?(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．23．【2021·大连】某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：千克)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50≤x≤80.(1)求y关于x的函数表达式．(2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？24．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式．(2)在直线BC上是否存在点Q，使得△QAB与△OBC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1．A 2．B 3．B 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B 点拨：设隔离区靠墙的长度为x m (0<x ≤5)，隔离区的面积为S m 2.由题意得S ＝12－x 3×x ＝－13x 2＋4x ， ∴此函数图象的对称轴为直线x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝6. ∵0<x ≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，S 有最大值，S 最大＝－13×52＋4×5＝－253＋20＝353. ∵9<353<12， ∴小明错误．令S ＝9，得9＝－13x 2＋4x ， 解得x 1＝9(舍去)，x 2＝3. ∴当x ＝3时，S ＝9. ∴隔离区的面积可能为9 m 2. ∴小亮正确．二、11．y ＝20＋20(x ＋1)＋20(x ＋1)2 12．2 13．y 3<y 1<y 2 14．y ＝－2(x －2)2－1 15．1 16．－1<x <3 17．36 18．17三、19．解：∵当x ＝2时，y 有最大值－2，∴设所求的二次函数的表达式为y ＝a (x －2)2－2(a ≠0)． ∵二次函数的图象经过点(0，－4)， ∴－4＝a (0－2)2－2， 解得a ＝－12. ∴y ＝－12(x －2)2－2.20．解：(1)将点P (2，4)的坐标代入y ＝x 2＋mx ＋m 2－3，得4＝4＋2m ＋m 2－3，解得m 1＝1，m 2＝－3. 又∵m ＞0，∴m ＝1.(2)二次函数y ＝x 2＋mx ＋m 2－3的图象与x 轴有2个交点．理由如下： ∵m ＝1， ∴y ＝x 2＋x －2.当y ＝0时，Δ＝b 2－4ac ＝12＋8＝9＞0，∴二次函数y ＝x 2＋mx ＋m 2－3的图象与x 轴有2个交点． 21．解：(1)∵－5<0，∴h 有最大值．当t ＝－202×（－5）＝2时，此时h 取得最大值，最大值为20，∴当小球的飞行时间是2 s 时达到最大高度，最大高度是20 m. (2)令h ＝15，则20t －5t 2＝15， 解得t 1＝1，t 2＝3.∴当1≤t ≤3时，飞行高度不低于15 m. 22．解：(1)∵y 1＝y 2＝c ，∴x 1＝0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴M ，N 关于直线x ＝1对称． ∴x 2＝2，∴x 1＝0，x 2＝2时，y 1＝y 2＝c . (2)①当x 1≥t 时，恒成立． ②当x 1<x 2≤t 时，恒不成立． ③当x 1<t <x 2时，∵抛物线的对称轴为直线x ＝t ， 对于x 1＋x 2＞3，都有y 1＜y 2， ∴x 2－t ＞t －x 1. ∴t ＜x 1＋x 22. ∴t ≤32. 23．解：(1)设y ＝kx ＋b (50≤x ≤80)．将点(50，100)，(80，40)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，80k ＋b ＝40，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝200.∴y 关于x 的函数表达式为y ＝－2x ＋200(50≤x ≤80)． (2)设电商每天获得的利润是w 元．由题意得w ＝(x －40)(－2x ＋200)＝－2x 2＋280x －8 000＝－2(x －70)2＋1 800. ∵－2<0，且函数图象的对称轴是直线x ＝70，50≤x ≤80， ∴当x ＝70时，w 取得最大值，最大值为1 800.答：该电商将售价定为每千克70元才能使每天获得的利润最大，最大利润是 1 800元．24．解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)存在．①如图①，当∠QAB ＝90°时，易得△QAB ∽△COB . ∵A (－1，0)， ∴点Q 的横坐标为－1. ∵B (3，0)，C (0，3)，∴可求得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. 当x ＝－1时，y ＝4， ∴Q (－1，4)．②如图②，当∠AQB ＝90°时，易得△QAB ∽△OCB . ∴QA OC ＝QB OB .∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3.∴QA＝QB.∴Q是线段AB的垂直平分线与直线BC的交点．∵A(－1，0)，B(3，0)，∴点Q的横坐标为1.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴Q(1，2)．综上，在直线BC上存在点Q，使得△QAB与△OBC相似，点Q的坐标为(－1，4)或(1，2)．。
二次函数单元综合测试卷(含答案)
二次函数综合测试卷一、填空：(30分)1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．2．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2上．3．已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=8，则k的值为__________．4．如果y与x2成正比例，并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________．5．抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________．6．如果抛物线y=-23x2+（m+2）x+27m的对称轴为直线x=32，则m的值为_________．7．把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．8．二次函数y=a x2+bx+c中的a、b、c满足条件________时，•它的图象经过坐标系中的四个象限．9．开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A、B两点，与y•轴交于点C．•若∠ACB=90°，则a的值为________．10．如图，二次函数y=x2-ax+a-5的图象交x轴于点A和B，交y轴于点C，当线段AB•的长度最短时，点C的坐标为________．二、选择题：(20分)11．在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（）12．在同一直角坐标系内，函数y=ax2+bx与y=bx（b≠0）的图象大致为（）13．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y=3x（x>0），y=-x2+3（x>0），其中y随x•的增大而减小的函数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个14．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x-m）2-m的顶点所在的直线为（）A．x轴 B．y轴 C．y=x D．y=-x15．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x+m）2-m2的顶点所在的曲线为（）A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2（x>0） D．y=-x2（x>0）16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于x轴对称，则a、b、c•的值分别是（） A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，317．已知抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为（）A．y=x2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x2-4x+318．从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别是AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E应选在（）A．边AD的中点外 B．边AD的13处 C．边AD的14处 D．边AD的15处19．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，x n，如果用x作为这条路线长度的近似值，当x=p时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-x n）2最小，则p的值为（）A．1n（x1+x2+…+x n） B．1n（x1-x2-…-x n）C．1nn+（x1+x2+…+x n） D．1nn+（x1+x2+…+x n）20．已知函数y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当x=p时，函数y取得最大值，则p•的值为（）A．4 B．8 C．10 D．16三、解答题：(90分)1．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t•截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y．（1）写出以自变量为t的函数y的解析式；（2）画出（1）中函数y的图象．2．如图，AB是半径为R的圆的直径，C为直径AB上的一点，•过点C•剪下两个正方形ADCE和BFCG，它们的对角线分别是AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小，•点C应选在何处？3．已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和B•关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如不存在，请说明理由．4．如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2．（1）求n的值；（2）求此抛物线的解析式；（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF•为直径的圆恰好与x轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，•那么这个月这户居民只交10元用电费．如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．（1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试用x的代数式表示超过部分应交的电费（元）；（2）下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据，•求出电厂规定的这个标准x度．月份用电量（度）交电费总数（元）2月 80 253月 45 106．如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A•点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，使△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-124x2+6的公共点的个数，•在图②的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-124x2+6始终有公共点，请在图①中作出这样的公共点．附加题：(10分)当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+3m-2． ① 得y=（x-m ）2+3m-2 ②抛物线的顶点坐标为（m ，3m-2），即32x my m =⎧⎨=-⎩ 当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，•因而y 值也随x 值的变化而变化．将③代入④，得y=3x-2 ⑤可见不论m 取任何实数抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=3x-2，即抛物线①的顶点总在直线y=3x-2上．在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________；由③、④到⑤所用的数学方法是________．请解答:求出抛物线y=x 2-4mx+4m 2-2m•的顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式．答案:一、填空： 1．y=-16x 2+56x-1 （52，124）2．13±63 3．14．y=-29x 2和y=34x 25．x=2 （2，7） 6．0 7．1 18．a 、c 异号，b 为任何实数 9．-10．（0，-3）（设A （x 1，0），B （x 2，0）．（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=a 2-4a+20=（a-2）2+16．当a=2时，•线段AB 的长度最短为4，此时y=x 2-2x-3，点C 的坐标为（0，-3） 二、选择题：11．D 12．D 13．A 14．D 15．B 16．A 17．A 18．A 19．A 20．A 三、解答题：1．（1）y=223(01)23(2)3(2)2t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪--+≤≤⎪⎩（2）如第1题图.2．设AC 长为x ，BC 长为2R-x ，S 正方形ADCE =12x 2，S 正方形BFCG =12（2R-x ）2． 两个正方形面积之和为y=12x 2+12（2R-x ）2=x 2-2Rx+2R 2=（x-R ）2+R 2， 当x=R 时，两个正方形面积之和有最小值R 2，此时点C 应选在AB•的中点处，即圆心．3．过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y=2x 2-3x+5，其对称轴为直线x=34． 因D 和B 关于直线x=34对称，所以D 点坐标为（12，4）． 与抛物线只有一个公共点D 的直线有两条：（1）平行于y 轴，即直线x=12． （2）不平行于y 轴，设直线为y=kx+b ，因为过D 点，所以4=12k+b ． 即k=8-2b ，（8-2b ）x+b=2x 2-3x+5．2x 2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b ）=0，解得b=92，k=-1．所以y=-x+92．符合条件的直线为y=-x+92和x=12． 4．（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则OA=-x 1，OB=x 2．因为AB 是直径，OC ⊥AB ，所以CO 2=OA·OB ，•即n 2=-x 1x 2． 又x 1x 2=n ，所以n 2=-n ，n=-1，n=0（舍去）． （2）11x +21x =1212x x x x +=-2，又x 1+x 2=m ，x 1x 2=-1，1m -=-2，m=2， 所求的抛物线的解析式为y=x 2-2x-1．（3）由（2）得抛物线的对称轴为x=1．设满足条件的圆的半径为│a │， 则点F•的坐标为（1+│a │，a ），点F 在抛物线上，a=（1+│a │）2-2（1+│a │）-1，即a 2-a-2=0，a 1=2，a 2=-1， 所求的圆的半径为1或2，故存在以EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切． 5．（1）100x（90-x ）元 （2）表格中的数据告诉我们，这户居民2月份用电超标，3•月份用电不超标， 可见45≤x<80，列出方程10+100x（80-x ）=25，即x 2-80x+150=0，解得x 1=30，x 2=50． 因45≤x<80，所以x=30，电厂规定的标准是30度．6．（1）解：根据题意，可知D （6，6），E （10，2），直线DE 的函数关系式为y=-x+12． （2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF ，∠BDE=∠GDE ．∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，•∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°，∠COD=∠BDE ．又∠COD=∠DBE=90°，△COD ≌△BDE ．CE COBE BD=． 根据题意，可知BE=6-b ，BD=10-a ，6610a b a =--，b+16a 2-53a+6=16（a-5）2+116． 当a=5时，b 最小值=116．（3）猜想：直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 证明:由（1）可知，DE 所在直线为y=-124x+12． 代入抛物线y=-x 2+6，消去y ，得-124x 2+6=-x+12．化简，得x 2-24x+144=0，△=0． 直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 作法一：延长OF 交DE 于点H ，作法二：在DB 上取点M ，使DM=CD ，过M 作MH ⊥BC ，交DE 于点H ． 附加题：配方法; 消元法; y=-4x.。
人教版九年级上册数学 二次函数 综合训练题(含答案)
人教版九年级上册数学二次函数综合训练题一．选择题（共10小题）1．如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C三点，下列判断中：①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．22．如图，点M是抛物线y=ax2（x＞0）上的任意一点，MA⊥x轴于点A，MB⊥y轴于点B，连接AB，交抛物线于点P，则的值是（）B．C．D．A．3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④ C．①②③D．①②③④4．已知二次函数y=x2﹣2ax+6，当﹣2≤x≤2时，y≥a，则实数a的取值范围是（）A．B．﹣2≤a≤2 C．D．0≤a≤25．下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.36．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）A．15 B．18 C．21 D．247．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+B．1﹣C．﹣1 D．1﹣或1+9．二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）A．B．C．D．10．二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（1，4）二．填空题（共6小题）11．已知函数y=，其图象如图中的实线部分，图象上两个最高点分别是A，B，连接AB，则图中曲四边形ABCO（阴影部分）的面积是．12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y=﹣x2﹣5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x的顶点为A，与x轴分别交于O、B两点，过顶点A分别作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连接BD，交AC于点E，则△ADE与△BCE的面积和为．14 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣3）2+2（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线y=﹣x2﹣2于点B，则A、B两点间的距离为．16.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=﹣x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为．三．解答题（共10小题）17．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．18．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．19．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．20．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．21．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3（1）求它的顶点坐标和对称轴；（2）求它与x轴的交点；（3）画出这个二次函数图象的草图．22．如图，二次函数y=ax2﹣2ax+3（a≠0）的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中AB=4，连接BC．（1）求二次函数的对称轴和函数表达式；（2）若点M是线段BC上的动点，设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，求线段MN的最大值；（3）当0≤x≤t时，则3≤y≤4，直接写出t的取值范围．23．如图1为抛物线桥洞，已知底面宽AB=16m，与拱顶M的距离4m．（1）在图2中，建立适当的坐标系，求抛物线的解析式；（2）若水深1米，求水面CD的宽度（结果用根号表示）24．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形DEFG的边长均为8cm，EF与AC在同一条直线上，开始时点A与点F重合，让△ABC向左移动，运动速度为1cm/s，最后点A与点E重合．（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与△ABC的运动时间x（s）之间的关系式；（2）当点A向左运动2.5s时，重叠部分的面积是多少？25．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，点C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．26．如图，抛物线y=（x+1）2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A、C两点的坐标；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，求此时点P的坐标及最小周长；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当四边形AMCO的面积最大时，求出四边形AMCO的最大面积及此时点M的坐标．答案一、选择1.C．2．A．3．C．4．C5．C．6．B．7．B．8．A9．A．10．A．二．填空题11．2．12．20．13．4．14．15．15．7．16．8．三．解答题17．解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．18．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），∴0=﹣9+3m+3，∴m=2（2）由，得，，∴D（，﹣），∵S△ABP=4S△ABD，∴AB×|y P|=4×AB×，∴|y P|=9，y P=±9，当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解，当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+，x2=1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．19．解：（1）将A（﹣2，0）、O（0，0）代入解析式y=﹣x2+bx+c，得c=0，﹣4﹣2b+c=0，解得c=0，b=﹣2，所以二次函数解析式：y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，所以，顶点B坐标（﹣1，1）；（2）∵AO=2，S△AOP=1，∴P点的纵坐标为：±1，∴﹣x2﹣2x=±1，当﹣x2﹣2x=1，解得：x1=x2=﹣1，当﹣x2﹣2x=﹣1时，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，∴点P的坐标为（﹣1，1）或（﹣1+，﹣1））或（﹣1﹣，﹣1）．20．解：（1）∵OM=ON=4，∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4），设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2，把N（0，4）代入得16a=4，解得a=，所以抛物线的解析式为y=（x﹣4）2=x2﹣2x+4；（2）∵点A的横坐标为t，∴DM=t﹣4，∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8，把x=t代入y=x2﹣2x+4得y=t2﹣2t+4，∴AD=t2﹣2t+4，∴l=2（AD+CD）=2（t2﹣2t+4+2t﹣8）=t2﹣8（t＞4）．21．解：（1）y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4），对称轴x=﹣1；（2）令y=0，得﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，故与x轴的交点坐标：（1，0），（﹣3，0）（3）画出函数的图象如图：22．解：（1）∵二次函数解析式为y=ax2﹣2ax+3，∴对称轴x=1，∵AB=4，∴A（﹣1，0），B（3，0），把（﹣1，0）代入二次函数的解析式得到a=﹣1，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，设M（m，﹣m+3），则N（m，﹣m2+2m+3），∴NM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴m=时，MN有最大值，最大值为．（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标（1，4），∵y=3时3=﹣x2+2x+3，解得x=0或2，∴0≤x≤t时，则3≤y≤4，∴结合图象可知，1≤t≤2．23．解：（1）建立如图所示的坐标系，设这条抛物线的解析式为y=ax2+4（a≠0）．由已知抛物线经过点B（8，0），可得0=a×82+4，有a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．（2）当y=1时，1=﹣x2+4，解得：x=±4，4﹣（﹣4）=8，∴水面CD的宽为8m．24．解（1）重叠部分的面积y与线段AF的长度x之间的函数关系式为y=x2．（2）当点A向左移动2cm，即x=2cm，当x=25时，y=×2.52=3.125（cm2）．所以当点A向左移动2.5cm时，重叠部分的面积是3.125cm2．25．解：（1）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．（2）①将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b=2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3．∵将x=0代入得y=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC=3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB=1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC=4S△BOC，∴OC•|a|=OC•OB，即×3×|a|=4××3×1，解得a=±4．当a=4时，点P的坐标为（4，21）；当a=﹣4时，点P的坐标为（﹣4，5）．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．②如图所示：设AC的解析式为y=kx﹣3，将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3=0，解得k=﹣1，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3）．∴QD=﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x=﹣（x2+3x+﹣）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值，QD的最大值=．26．解：（1）令x=0，得y=﹣3，∴点C坐标（0，﹣3）．令y=0则（x+1）2﹣4=0，解得x=﹣3或1，∴点A坐标（﹣3，0），B（1，0），∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）．（2）如图1中，连接AC交对称轴于P，∵PB=PA，∴PB+PC=PB+PA，∴此时PB+PC最短，△PBC的周长最短，设直线AC解析式为y=kx+b则解得，∴直线AC解析式为y=﹣x﹣3，∵对称轴x=﹣1，∴点P坐标（﹣1，﹣2），在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，OA=OC=3，∴AC=3，∵BC===，∴△PBC周长的最小值为3+．（3）如图2中，设M（m，m2+2m﹣3），连接OM．∵S四边形AMCO=S△AOM+S△MOC=×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）=﹣m2﹣m+=﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴m=﹣时，四边形AMCO面积最大，最大值为，此时点M（﹣，﹣）．。
二次函数综合测评卷(含答案)
二次函数综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是( ).A.x 2+2y 2=2B.x =y 2C.3x 2－2y =1D.21x +2y －3=0 2.对于二次函数y =(x －1)2+3的图象，下列说法正确的是( ). A.开口向下 B.对称轴是直线x =－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x 轴有两个交点（第3题）3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD )花园，这个矩形花园的最大面积是( ).A.16m 2B.12m 2C.18m 2D.以上都不对 4.如果抛物线y =mx 2+(m －3)x －m +2经过原点，那么m 的值等于( ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x =1是抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴，那么有( ). A.abc ＞0 B.b ＜a +c C.a +b +c ＜0 D.c ＜2b(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是( ).A.有最小值0，有最大值3B.有最小值－1，有最大值0C.有最小值－1，有最大值3D.有最小值－1，无最大值7.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为点P (－2，2)，与y 轴交于点A (0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为( ). A.343 B.241C.32D.3 8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB =8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC =1m ，则门高OE 为( ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m 9.已知二次函数y =x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1+n ，m )两点，则m ，n 满足的关系为( ). A.m =21n B.m =41n C.m =21n 2 D.m =41n 2 10.已知二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为( ). A.25 B.2 C. 23 D. 21二、填空题(每题4分，共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y =3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 (只要写出一个)．12.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P (5，0)在抛物线上，则9a －3b +c 的值为 .（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)13.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A ，B (m +2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是 .14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 ．15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w (元)与降价x (元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为 ． 16.已知抛物线y =a (x －1)（x +a2）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是 ． 三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－25）． (1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y =4x －21x 2的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y =21x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标．(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．19.(8分)若直线y =x +3与二次函数y =－x 2+2x +3的图象交于A ，B 两点，(1)求A ，B 两点的坐标． (2)求△OAB 的面积．(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x (km )，乘坐地铁的时间y 1(min )是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：1(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=21x 2－11x +78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.21.（10分）已知二次函数y =ax 2+bx +21(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1)当a =21时，求点A 的坐标. (2)过点A 的直线y =x +k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥－1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.22.(12分)设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数)．(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．(3)对任意负实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．23.(12分)如图1所示，点P (m ，n )是抛物线y =41x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ． 【特例探究】(1)当m =0时，OP = ，PH = ；当m =4时，OP =，PH = ． 【猜想验证】(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】(3)如图2所示，图1中的抛物线y =41x 2－1变成y =x 2－4x +3，直线l 变成y =m (m ＜－1).已知抛物线y =x 2－4x +3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y =m (m ＜－1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离．①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程. ②求m 的值及点N 的坐标．(第23题)二次函数综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是(C ).A.x 2+2y 2=2B.x =y 2C.3x 2－2y =1D.21x+2y －3=0 2.对于二次函数y =(x －1)2+3的图象，下列说法正确的是(C ). A.开口向下 B.对称轴是直线x =－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x 轴有两个交点（第3题）3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD )花园，这个矩形花园的最大面积是(C ).A.16m 2B.12m 2C.18m 2D.以上都不对 4.如果抛物线y =mx 2+(m －3)x －m +2经过原点，那么m 的值等于(C ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x =1是抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴，那么有(D ). A.abc ＞0 B.b ＜a +c C.a +b +c ＜0 D.c ＜2b(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是(C ).A.有最小值0，有最大值3B.有最小值－1，有最大值0C.有最小值－1，有最大值3D.有最小值－1，无最大值7.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为点P (－2，2)，与y 轴交于点A (0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为(A ). A.343 B.241C.32D.3 8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB =8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC =1m ，则门高OE 为(B ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m 9.已知二次函数y =x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1+n ，m )两点，则m ，n 满足的关系为(D ). A.m =21n B.m =41n C.m =21n 2 D.m =41n 2 10.已知二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为(D ). A.25 B.2 C. 23 D. 21（第10题答图）【解析】二次函数y =－(x －1)2+5的大致图象如答图所示：①当m ≤0≤x ≤n ＜1时，当x =m 时y 取最小值，即2m =－(m －1)2+5，解得m =－2或m =2(舍去).当x =n 时y 取最大值，即2n =－(n －1)2+5，解得n =2或n =－2(均不合题意，舍去).②当m ≤0≤x ≤1≤n 时，当x =m 时y 取最小值，由①知m =－2.当x =1时y 取最大值，即2n =－(1－1)2+5，解得n =25，或x =n 时y 取最小值，x =1时y 取最大值，2m =－(n －1)2+5，n =25，∴m =811.∵m ＜0，∴此种情形不合题意.∴m +n =－2+25=21.故选D. 二、填空题(每题4分，共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y =3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 y =3（x +2）2+3 (只要写出一个)．12.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P (5，0)在抛物线上，则9a －3b +c 的值为 0 .（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)13.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A ，B (m +2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是 (－2,0) .14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 y =－34x 2+38x +1 ． 15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w (元)与降价x (元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为 y =60+x ． 16.已知抛物线y =a (x －1)（x +a2）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是 2或34或251 ．三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－25）． (1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？ 【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y =a （x －2）2－3，把(1,－ 25)代入,得－25=a －3，即a =21. ∴抛物线的函数表达式为y =21x 2－2x －1.图略. (2)∵抛物线对称轴为直线x =2,且a >0,∴当x ≥2时，y 随x 的增大而增大；当x ≤2时，y 随x 的增大而减小.18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y =4x －21x 2的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y =21x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标．(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．【答案】(1)∵y =4x －21x 2=－21（x －4）2+8，∴网球抛出的最高点的坐标为（4，8）. (2)由题意得4x －21x 2=21x ,解得x =0或x =7.当x =7时，y =21×7=27.∴网球在斜坡的落点A的垂直高度为27.19.(8分)若直线y =x +3与二次函数y =－x 2+2x +3的图象交于A ，B 两点， (1)求A ，B 两点的坐标． (2)求△OAB 的面积．(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？【答案】(1)由题意得⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y ，解得⎩⎨⎧==30y x 或⎩⎨⎧==41y x .∴A ，B 两点的坐标分别为（0，3），（1，4）.(2)∵A ，B 两点的坐标是（0，3），（1，4），∴OA =3，OA 边上的高线长是1.∴S △OAB =21×3×1=23. (3)当x ＜0或x ＞1时，一次函数的值大于二次函数的值.20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x (km )，乘坐地铁的时间y 1(min )是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：(1)求y 1关于x 的函数表达式.(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=21x 2－11x +78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.【答案】(1)设y 1=kx +b ，将(8，18)，(9，20)代入，得⎩⎨⎧=+=+209188b k b k ,解得⎩⎨⎧==22b k .∴y 1关于x的函数表达式为y 1=2x +2.(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y .则y =y 1+y 2=2x +2+21x 2－11x +78=21x 2－9x +80.∴当x =9时，y 有最小值，y min =2149802142⨯-⨯⨯=39.5.∴李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5min . 21.（10分）已知二次函数y =ax 2+bx +21(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1)当a =21时，求点A 的坐标. (2)过点A 的直线y =x +k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥－1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.【答案】(1)∵二次函数y =ax 2+bx +21 (a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴Δ=b 2－4a ×21=b 2－2a =0.∵a =21，∴b 2=1.∵b ＜0，∴b =－1.∴二次函数的表达式为y =21x 2－x +21.当y =0时，21x 2－x +21=0，解得x 1=x 2=1，∴A (1，0). (2)∵b 2=2a ，∴a =21b 2，∴y =21b 2x 2+bx +21=21 (bx +1)2.当y =0时，x =－b 1，∴A （－b 1，0）.将点A （－b 1,0）代入y =x +k ，得k =b 1.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=b x y bx x b y 1212122消去y 得21b 2x 2+(b －1)x +21－b 1=0，解得x 1=－b 1，x 2=22b b -.∵点A 的横坐标为－b 1，∴点B 的横坐标m =22bb -.∴m =22b b -=2（21b －b 21）=2（b 1－41）2－81.∵2＞0，∴当b 1＜41时，m 随b 1的增大而减小.∵－1≤b ＜0，∴b 1≤－1.∴m ≥2×（－1－41）2－81=3，即m ≥3. 22.(12分)设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数)．(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．(3)对任意负实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．【答案】(1)如：y =x +1,y =x 2+3x +1，图略.(2)不论k 取何值，函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象必过定点(0,1),(－2,－1)，且与x 轴至少有1个交点.证明如下：由y =kx 2+(2k +1)x +1，得k (x 2+2x )+(x －y +1)=0.当x 2+2x =0,x －y +1=0，即x =0,y =1，或x =－2,y =－1时，上式对任意实数k 都成立，∴函数的图象必过定点(0,1),(－2,－1).∵当k =0时，函数y =x +1的图象与x 轴有一个交点；当k ≠0时，Δ=(2k +1)2－4k =4k 2+1>0，函数图象与x 轴有两个交点,∴函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象与x 轴至少有1个交点.(3)只要写出的m ≤－1就可以.∵k <0，∴函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象在对称轴直线x =－k k 212+的左侧，y 随x 的增大而增大.由题意得m ≤－k k 212+.∵当k <0时，k k 212+=－1－k 21>－1.∴m ≤－1.23.(12分)如图1所示，点P (m ，n )是抛物线y =41x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ．【特例探究】(1)当m =0时，OP = 1 ，PH = 1 ；当m =4时，OP = 5 ，PH = 5 ．【猜想验证】(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】(3)如图2所示，图1中的抛物线y =41x 2－1变成y =x 2－4x +3，直线l 变成y =m (m ＜－1).已知抛物线y =x 2－4x +3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y =m (m ＜－1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离．①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程.②求m 的值及点N 的坐标．(第23题)【答案】 (1)1，1，5，5.(2)猜想：OP =PH .证明：设PH 交x 轴于点Q ∵P 在y =41x 2－1上，∴P （m ，41m 2－1），PQ =∣41m 2－1∣，OQ =|m |.∵△OPQ 是直角三角形，∴OP =22OQ PQ +=222141m m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22141⎪⎭⎫ ⎝⎛+m =14m 2+1.∵PH =yp －（－2）=（41m 2－1）－（－2）=41m 2+1，∴OP =PH . (3)①∵M （2，－1），∴CM =MN =－m －1.GN =CG －CM －MN =－m －2（－m －1）=2+m .②点B 的坐标是（3，0），BG =1，GN =2+m .由勾股定理得BN =22GN BG +=()2221m ++.∵对于抛物线上每一点都有：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离，∴1+（2+m ）2=（－m ）2,解得m =－45. ∵GN =2+m =2－45=43，∴N （2，－43）.。
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P 抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题（答案）一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（m，﹣m2﹣3）；（2）抛物线顶点到x轴的最小距离为4；（3）直线AB过定点（0，﹣）．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）①k1k2＝﹣4；②证明见解答过程．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】（1）解析式为：y＝x2﹣2x；（2）E1（0，0），E2（6，6）；（3）证明见解答过程．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）；（3）定值1．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）D（4，5）；（3）m、n之间的数量关系为n+3m＝2．理由间接性．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）①F′G＝为定值；②PH•QH的最大值为：．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3或；（3）见解析．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【答案】（1）3a+c＝1；（2）①4；②见解答．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为：（，）；（3）m＝．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（﹣1，0），，；（3）P（6，0）．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为（﹣1，4）；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 ．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．【答案】（1）①（﹣1，4）；②﹣2≤m≤﹣1；（2）①证明见解析过程；②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析过程．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．【答案】（1）E（m，﹣m2﹣m﹣1）；（2）①m＝3﹣1；②6﹣6．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；（2）2；（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①△BCD面积的最大值为；②D（，﹣）．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）；（3）存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是或．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）．。
高一数学必修一第二章基本初等函数综合素能检测及答案
第二章基本初等函数综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是( )A ．[2，＋∞)B ．(1,2]C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ [答案] B[解析] log 12(x －1)≥0，∴0<x －1≤1，∴1<x ≤2.故选B.2．(·浙江文，2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1 C ．1 D ．3 [答案] B[解析] 由题意知，f (α)＝log 2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2，∴α＝1.3．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝{y |y ＝(12)x ，x >1}，则A ∩B ＝( )A ．{y |0<y <12} B ．{y |0<y <1}C ．{y |12<y <1} D ．∅[答案] A[解析] A ＝{y |y >0}，B ＝{y |0<y <12}∴A ∩B ＝{y |0<y <12}，故选A.4．(·重庆理，5)函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 [答案] D[解析] ∵f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )∴f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．5．(·辽宁文，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 [答案] A[解析] ∵2a ＝5b ＝m ∴a ＝log 2m b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10 选A.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2) x ≤0log 12x x >0，则f (－8)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] A[解析] f (－8)＝f (－6)＝f (－4)＝f (－2)＝f (0)＝f (2)＝log 122＝－1，选A.7．若定义域为区间(－2，－1)的函数f (x )＝log (2a －3)(x ＋2)，满足f (x )<0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫32，2 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫1，32 [答案] B[解析] ∵－2<x <－1，∴0<x ＋2<1， 又f (x )＝log (2a －3)(x ＋2)<0， ∴2a －3>1，∴a >2.8．已知f (x )是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( )A ．(110，1)B ．(0，110)∪(1，＋∞)C ．(110，10) D ．(0,1)∪(10，＋∞)[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数， ∴f (lg x )>f (1)化为f (|lg x |)>f (1)，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴|lg x |<1，∴－1<lg x <1，∴110<x <10，选C.9．幂函数y ＝x m 2－3m －4(m ∈Z )的图象如下图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或3[答案] D[解析] ∵y ＝x m 2－3m －4在第一象限为减函数 ∴m 2－3m －4<0即－1<m <4 又m ∈Z ∴m 的可能值为0,1,2,3. 代入函数解析式知都满足，∴选D.10．(09·北京理)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lg x 的图像上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [答案] C[解析] y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1需将y ＝lg x 图像先向左平移3个单位得y ＝lg(x ＋13)的图象，再向下平移1个单位得y ＝lg(x ＋3)－1的图象，故选C.11．已知log 12b <log 12a <log 12c ，则( ) A ．2b >2a >2c B ．2a >2b >2c C ．2c >2b >2aD ．2c >2a >2b[答案] A[解析] ∵由log 12b <log 12a <log 12c ，∴b >a >c ， 又y ＝2x 为增函数，∴2b >2a >2c .故选A.12．若0<a <1，则下列各式中正确的是( )A ．log a (1－a )>0B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 [答案] A[解析] 当0<a <1时，log a x 单调减，∵0<1－a <1，∴log a (1－a )>log a 1＝0.故选A.[点评] ①y ＝a x 单调减，0<1－a <1，∴a 1－a <a 0＝1. y ＝x 2在(0,1)上为增函数．当1－a >a ，即a <12时，(1－a )2>a 2；当1－a ＝a ，即a ＝12时，(1－a )2＝a 2；当1－a <a ，即12<a <1时，(1－a )2<a 2.②由于所给不等式在a ∈(0,1)上成立，故取a ＝12时有log a (1－a )＝log 1212＝1>0，a 1－a＝⎝⎛⎭⎫1212＝22<1，(1－a )2－a 2＝⎝⎛⎭⎫122－⎝⎛⎭⎫122＝0， ∴(1－a )2＝a 2，排除B 、C 、D ，故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,3]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．[答案] 22或62.[解析] 当a >1时，y ＝a x 在[1,3]上递增， 故a 3－a ＝a 2，∴a ＝62；当0<a <1时，y ＝a x 在[1,3]上单调递减，故a －a 3＝a 2，∴a ＝22，∴a ＝22或62.[点评] 指数函数的最值问题一般都是用单调性解决．14．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域是________． [答案] [2，4][解析] ∵y ＝f (2x )的定义域是[－1,1]，∴12≤2x ≤2，∴y ＝f (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，2，由12≤log 2x ≤2得，2≤x ≤4. 15．函数y ＝lg(4＋3x －x 2)的单调增区间为________．[答案] (－1，32][解析] 函数y ＝lg(4＋3x －x 2)的增区间即为函数y ＝4＋3x －x 2的增区间且4＋3x －x 2>0，因此所求区间为(－1，32]．16．已知：a ＝x m，b ＝x m2，c ＝x 1m ，0<x <1,0<m <1，则a ，b ，c 的大小顺序(从小到大)依次是__________．[答案] c ，a ，b[解析] 将a ＝x m ，b ＝x m2，c ＝x 1m 看作指数函数y ＝x P (0<x <1为常数，P 为变量)， 在P 1＝m ，P 2＝m 2，P 3＝1m时的三个值，∵0<x <1，∴y ＝x P 关于变量P 是减函数，∵0<m <1，∴m 2<m <1m ，∴x m2>x m >x 1m ；∴c <a <b .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在同一坐标系中，画出函数f (x )＝log 2(－x )和g (x )＝x ＋1的图象．当f (x )<g (x )时，求x 的取值范围．[解析] f (x )与g (x )的图象如图所示；显然当x ＝－1时，f (x )＝g (x )，由图可见，使f (x )<g (x )时，x 的取值范围是－1<x <0.18．(本题满分12分)把下列各数按从小到大顺序排列起来． ⎝⎛⎭⎫340，⎝⎛⎭⎫2334，⎝⎛⎭⎫－323，⎝⎛⎭⎫32－45，⎝⎛⎭⎫－433， log 2332，log 143，log 34，log 35，log 142.[分析] 先区分正负，正的找出大于1的，小于1的，再比较．[解析] 首先⎝⎛⎭⎫340＝1；⎝⎛⎭⎫2334、⎝⎛⎭⎫32－45∈(0,1)；log 35、log 34都大于1；log 2332＝－1；⎝⎛⎭⎫－323，⎝⎛⎭⎫－433都小于－1，log 142＝－12，－1<log 143<0. (1)⎝⎛⎭⎫32－45＝⎝⎛⎭⎫2345，∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 为减函数，34<45，∴⎝⎛⎭⎫2334>⎝⎛⎭⎫2345＝⎝⎛⎭⎫32－45；(2)∵y ＝x 3为增函数，－32<－43<－1，∴⎝⎛⎭⎫－323<⎝⎛⎭⎫－433<－1； (3)y ＝log 14x 为减函数，∴－12＝log 142>log 143>log 144＝－1；(4)y ＝log 3x 为增函数，∴log 35>log 34>log 33＝1.综上可知，⎝⎛⎭⎫－323<⎝⎛⎭⎫－433<log 143<log 142<⎝⎛⎭⎫32－45<⎝⎛⎭⎫2334<⎝⎛⎭⎫340<log 34<log 35. 19．(本题满分12分)已知f (x ) 是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝a x (a >1)，若不等式f (x )≤4的解集为[－2,2]，求a 的值．[解析] 当x <0时，－x >0，f (－x )＝a －x ， ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝a －x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x ≥0⎝⎛⎭⎫1a x x <0，∴a >1，∴f (x )≤4化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，a x ≤4，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0⎝⎛⎭⎫1a x ≤4，∴0≤x ≤log a 4或－log a 4≤x <0，由条件知log a 4＝2，∴a ＝2.20．(本题满分12分)在已给出的坐标系中，绘出同时符合下列条件的一个函数f (x )的图象．(1)f (x )的定义域为[－2,2]；(2)f (x )是奇函数； (3)f (x )在(0,2]上递减；(4)f (x )是既有最大值，也有最小值； (5)f (1)＝0.[解析] ∵f (x )是奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，∵f (x )的定义域为[－2，2]，∴f (0)＝0，由f (x )在(0,2]上递减知f (x )在[－2,0)上递减， 由f (1)＝0知f (－1)＝－f (1)＝0，符合一个条件的一个函数的图象如图．[点评] 符合上述条件的函数不只一个，只要画出符合条件的一个即可，再结合学过的一次、二次、幂、指、对函数可知，最简单的为一次函数．下图都是符合要求的．21．(本题满分12分)设a >0，f (x )＝e xa ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．[解析] (1)依题意，对一切x ∈R 有f (－x )＝f (x )成立，即e x a ＋a e x ＝1aex ＋ae x ，∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0，对一切x ∈R 成立，由此得到a －1a＝0，∴a 2＝1，又a >0，∴a ＝1.(2)设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ex 1－ex 2＋1ex 1－1ex 2＝(ex 2－ex 1)<0∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．22．(本题满分14分)某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与成正比，其关系如图1，B 产品的利润与的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与单位：万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)[解析] (1)设各x 万元时，A 产品利润为f (x )万元，B 产品利润为g (x )万元，由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (1)＝14，∴k 1＝14，又g (4)＝52，∴k 2＝54，从而：f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元；设企业利润为y 万元．y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4＋5410－x (0≤x ≤10)，令10－x ＝t ，则0≤t ≤10，∴y ＝10－t 24＋54t ＝－14(t －52)2＋6516(0≤t ≤10)，当t ＝52时，y max ＝6516≈4，此时x ＝10－254＝3.75.∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元．。
初二数学函数综合题含答案
初二数学函数综合题含答案一、单选题1．函数32x y x +=-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x >- B ．3x ≥-且2x ≠ C ．2x ≠ D ．3x >-且2x ≠2．点()4,5P 关于y 轴对称点的坐标是（ ）A ．()5,4B ．()4,5--C ．()4,5-D ．()4,5- 3．在直角坐标系的x 轴的负半轴上，则点P 坐标为（ ）A ．()4,0-B ．()0,4C ．()0,3-D ．()1,04．抛物线()2243y x =-+顶点坐标是（ ） A ．()4,3B ．()4,3-C ．()4,3-D ．()3,45．将抛物线23y x =先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线（ ） A ．()2311y x =-+ B ．()2311y x =++C ．()2311y x =--D ．()2311y x =+-6．如果点()3a a +，到x 轴距离等于4，那么a 的值为（ ） A ．4B ．7-C ．1D ．7-或17．如图，边长均为1个单位的正方形组成的方格纸内有一张笑脸图案，已知左眼的坐标是（-2，1），那么右眼的坐标是（ ）A ．（2，-1）B ．（1，-1）C ．（0，1）D ．（-1，0）8．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润y （元）与降价金额x （元）之间的关系是2260800y x x =-++，则获利最多为（） A ．15元B ．400元C ．80元D ．1250元9．抛物线22y x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若点5(),A m ，(),2B n 在一次函数2y x b =+的图象上，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n <C ．m n ≥D ．m n ≤11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b ．则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M ＜NB ．M ＝NC ．M ＞ND ．无法确定12．如图，△ABC 中，点B ，C 是x 轴上的点，且A （3，2），以原点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′，且△ABC 与A ′B ′C ′的相似比是1：2，则点A ′的坐标是（ ）A ．（﹣6，﹣4）B ．（﹣1.5，﹣1）C ．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1）D ．（6，4）或（﹣6，﹣4）13．将一次函数23y x =-的图象沿y 轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ） A ．2y x =B ．26y x =-C ．53y x =-D ．3y x =--14．下列各曲线中，不表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．点()2,21P a a --在第四象限，且到y 轴的距离为3，则a 的值为（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．2二、填空题16．一次函数y =kx +b （k ，b 为常数且k ≠0）的图象如图所示，且经过点(-2，0)，则关于x 的不等式kx +b ＞0的解集为___________17．一次函数表达式为y ＝﹣3x +2，该函数图象在平面直角坐标系中不经过第 _____象限． 18．抛物线()21212y x =--+与y 轴的交点坐标是______． 19．抛物线221y x x =-+与x 轴的交点坐标是______．20．已知22(1)1y x =-+，当1≥x 时，y 随x 的增大而__________（填“增大”或“减小”或“不变”）．三、解答题21．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于1,0A ，()2,3C -两点，与y 轴交于点N ．(1)求抛物线的函数关系式； (2)求直线AC 的函数关系式；(3)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点．求APC △面积的最大值．22．商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利30元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售出2件．(1)求每件衬衫降价多少元，商场每天利润可达750元；(2)求每件衬衫降价多少元该商场每天利润最大，并求出最大利润．23．如图，已知二次函数y ＝ax 2（a ≠0）与一次函数y ＝kx ﹣2的图象相交于A （﹣1，﹣1），B 两点．(1)求a ，k 的值； (2)求点B 的坐标； (3)求S △AOB ．24．已知抛物线y ＝12x 2﹣x ﹣32与x 轴交于点A ，点B （点A 在点B 左侧）． (1)求点A ，点B 的坐标；(2)用配方法求该抛物线的顶点C 的坐标，判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使以点O 、点C 、点P 为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知，如图，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()1,10C，且经过点()0,6（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．y时x的取值范围．（3）求ABC的面积，写出>0【参考答案】一、单选题1．B2．D3．A4．A5．A6．D7．C8．D9．A10．A11．A12．D13．A14．D15．A二、填空题16．x＜-217．三18．（0，-1）1,019．()20．增大三、解答题21．(1)y ＝−x 2−2x ＋3 (2)y ＝−x ＋1 (3)278【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法确定直线解析式；（3）根据（2）的结论，设Q （x ，−x ＋1），则P （x ，−x 2−2x ＋3），过点P 作PQ x ⊥轴，交AC 于点Q ，根据三角形面积公式求解即可． (1)解：由抛物线y ＝−x 2＋bx ＋c 过点A （1，0），C （−2，3），得10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩， 解得23b c =-⎧⎨=⎩，故抛物线为y ＝−x 2−2x ＋3； (2)设直线为y ＝kx ＋n 过点A （1，0），C （−2，3），则23k n k n +=⎧⎨-+=⎩， 解得11k n =-⎧⎨=⎩，故直线AC 为y ＝−x ＋1； (3)如图，过点P 作PQ x ⊥轴，交AC 于点Q ，∵直线AC 为y ＝−x ＋1；设Q （x ，−x ＋1），则P （x ，−x 2−2x ＋3）， ∴PQ ＝（−x 2−2x ＋3）−（−x ＋1）＝−x 2−x ＋2，∴S △APC ＝12()22C A x x x x --+⨯-⨯＝12()223x x ⨯--+⨯＝23127228x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴△APC 面积的最大值为278【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．22．(1)每件衬衫应降价15元，商场平均每天要盈利750元； (2)每件衬衫降价10元该商场每天利润最大，最大利润为800元． 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价x 元，则每件盈利(30)x -元，每天可以售出(202)x +件，所以此时商场平均每天要盈利(30)(202)x x -+元，根据商场平均每天要盈利750=元，为等量关系列出方程求解即可；（2）根据利润=每件利润⨯销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值． (1)解：设每件衬衫应降价x 元，则每件盈利(30)x -元，每天可以售出(202)x +件， 由题意，得(30)(202)750x x -+=， 即：220750x x -+=， 解，得15=x ，215x =，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x 的值应为15， ∴每件衬衫应降价15元，商场平均每天要盈利750元；(2)解：设该商场每天利润为w 元，由题意，得22(30)(202)2406002(10)800w x x x x x =-+=-++=--+，20-<，∴当10x =时，w 有最大值，最大值为800，∴每件衬衫降价10元该商场每天利润最大，最大利润为800元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 23．(1)a ＝﹣1，k ＝﹣1 (2)（2，﹣4） (3)3 【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）解析式联立，解方程组即可求得B 的坐标；（3）设直线y ＝﹣x ﹣2与y 轴的交点为G ，则G （0，﹣2），利用S △AOB ＝S △AOG +S △BOG 求得△AOB 的面积． (1)解：∵y ＝ax 2过点A （﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝a ×1，解得a ＝﹣1，∵一次函数y ＝kx ﹣2的图象相过点A （﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝﹣k ﹣2，解得k ＝﹣1； (2)解22y x y x =-+⎧⎨=-⎩ 得11x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=-⎩，∴B 的坐标为（2，﹣4）； (3)设直线y ＝﹣x ﹣2与y 轴的交点为G ，则G （0，﹣2），∴S △AOB ＝S △AOG +S △BOG ＝1212⨯⨯+1222⨯⨯＝3．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合问题，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数交点问题，求三角形面积，数形结合是解题的关键． 24．(1)A （-1，0），B （3，0）(2)点C 的坐标为（1，-2），ABC 为等腰直角三角形，理由见解析 (3)点P 的坐标为（1，2），52)，(1,52)-或3(1,)4-【解析】 【分析】（1）把0y =代入到21322y x x =--得，213022x x --=，解得13x =，21x =-，又因为点A 在点B 的左侧，即可得；（2）21322y x x =--配方得21(1)22y x =--，即可得点C 的坐标为（1，-2），根据点A ，B ，C 的坐标得4AB =，AC ，BC =AC =BC ，又因为2224+=，所以222AC BC AB +=，即可得90ACB ∠=︒，从而得出ACB △是等腰直角三角形；（3）当点P 与点C 关于x 轴对称时，OC =OP ，OCP △为等腰三角形，即可得点P 的坐标（1，2），当CO CP =时，CP =，即可得点P 的坐标为2)或(1,2)，当OP CP =时，点P 在OC 的垂直平分线上，设点(1,)P a ，点P 交x 轴于点D ，在Rt ODP 中，根据勾股定理得，222(2)1a a +=+，解得34a =-，即可得点P 的坐标为3(1,)4-，综上，即可得． (1)解：把0y =代入到21322y x x =--得， 213022x x --= 2230x x --=(3)(1)0x x -+=解得13x =，21x =-， ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）． (2) 解：21322y x x =-- =21(3)2x x -- =21(1)22x x -+- =21(1)22x --∴点C 的坐标为（1，-2），ABC 为等腰直角三角形，理由如下：∵A （-1，0），B （3，0），C （1，-2）， ∴3(1)4AB =--=，ACBC∴AC =BC ，∵2224+=， ∴222AC BC AB +=， ∴90ACB ∠=︒，∴ACB △是等腰直角三角形．(3)解：当点P 与点C 关于x 轴对称时，OC =OP ，OCP △为等腰三角形， ∴点P 的坐标为（1，2）；当CO CP =时，22(10)(20)5CP =-+-=， ∴点P 的坐标为(1,52)-或(1,52)--；当OP CP =时，点P 在OC 的垂直平分线上，设点(1,)P a ， 如图所示，点P 交x 轴于点D ，在Rt ODP 中，根据勾股定理得，222(2)1a a +=+，22441a a a ++=+34a =-∴点P 的坐标为3(1,)4-；综上，点P 的坐标为（1，2），52)，(1,52)或3(1,)4-．【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质．25．（1）256y x x =-++；（2）顶点坐标是549,24⎛⎫⎪⎝⎭，对称轴是52x =；（3）ABC ∆的面积为21，>0y 时，x 的取值范围是-1<<6x ． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案； （2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；（3）首先求出抛物线与x 轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案． 【详解】（1）∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()0,6C 、()1,10，∴6110c b c =⎧⎨-++=⎩， 解这个方程组，得56b c =⎧⎨=⎩， ∴该二次函数的解析式是256y x x =-++；（2）225495624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标是549,24⎛⎫ ⎪⎝⎭； 对称轴是52x =； （3）∵二次函数256y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴2560x x -++=，解这个方程得：11x =-，26x =，即二次函数256y x x =-++与x 轴的两个交点的坐标为()1,0A -，()6,0B ．∴ABC ∆的面积()116162122ABC S AB OC =⨯=⨯--⨯=． 由图像可得，当-1<<6x 时，>0y ，故>0y 时，x 的取值范围是-1<<6x ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．。
鞍山市必修一第二单元《函数》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．()(),13,-∞+∞2．以下说法正确的有（ ） （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知函数223,()11,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，对于任意两个不相等的实数1x ，2x R ∈，都有不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．[]0,3C ．[]3,4D ．[]2,44．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值D ．点()2,8在()f x 的图象上5．定义,min(,),a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，例如：min(1,2)2--=-，min(2,2)2=，若2()f x x =，2()46g x x x =--+，则()min((),())F x f x g x =的最大值为（ ）A ．1B ．8C ．9D ．106．函数()21xf x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞9．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)1y x x =--的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃10．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[-1，+∞)B ．(-∞，-1]∪[3，+∞)C ．[-1，3]D ．(-∞，3]11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．)1,4⎡+∞⎢⎣ B ．)1,2⎡+∞⎢⎣ C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦12．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036D ．4038二、填空题13．已知函数()31f x ax bx =-+，若()25f =，则()2f -=______．14．关于函数21()11x f x x -=+-的性质描述，正确的是_________.①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.15．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________.16．已知函数()(12)3,1ln ,1a x a x f x x x -+<⎧⎨⎩＝的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．17．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式y =__________；18．若关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，则实数a 的取值范围是______.19．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．20．设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =-，若函数()y g x =在区间[0,)+∞上是严格增函数，则不等式2(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.三、解答题21．已知函数()2112f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠. （1）设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；（2）设0m n <<且0a > 时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值； （3）若1≥x 时不等式()22a f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()()12f x x x =+-. （1）作出函数()f x 的图象.（2）判断直线y a =与()()12f x x x =+-的交点的个数； （3）已知方程()1221x x m +-=-有三个实数解.求m 的取值范围. 23．已知函数()243f x x x =-+.（1）若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上是单调的，求t 的取值范围；（2）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在22y x m =+-的图象上方，求实数m 的取值范围.24．已知函数()y f u =的定义域为A ，值域为B .如果存在函数()u g x =，使得函数[]()y f g x =的值域仍为B ，则称()u g x =是函数()y f u =的一个“等值域变换”.（1）若函数2()1y f u u ==+，1()u g x x x==+(x >0)，请判断()u g x =是不是函数()y f u =的一个“等值域变换”？并说明理由；（2）已知单调函数()y f u =的定义域为{}12A u u =≤≤，若221()1x ax u g x x x ++==++是函数函数()y f u =的一个“等值域变换”，求实数a 的取值范围.25．（1）已知函数()f x =，求()f x 的定义域； （2）已知函数1()2f x x x=-+，依据函数单调性的定义证明()f x 在(0,)+∞上单调递减，并求该函数在[1,3]上的值域.26．已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，当1x >时，()0f x >，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求()1f 的值，并证明()f x 在定义域上是增函数； （2）若112f ⎛⎫=-⎪⎝⎭的值，解不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解出x 的范围 【详解】解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题 2．B解析：B 【分析】根据A B 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.3．C解析：C 【分析】根据题意，可得()f x 在R 上为单调递增函数，若x a ≥时为增函数，则3a ≥，若x a <时为增函数，则0a >，比较x=a 处两函数值的大小，即可求得答案， 【详解】因为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在R 上为单调递增函数， 当x a ≥时，2()23f x x x =--的图象如图所示：因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以3a ≥， 当x a <时，()11f x ax =-为增函数，所以0a >， 且在x=a 处222311a a a --≥-，解得4a ≤，综上34a ≤≤， 故选：C. 【点睛】解题的关键是熟悉分段函数单调性的求法，根据单调性，先分析分段点两侧单调性，再比较分段点处函数值的大小即可，考查推理分析，化简计算的能力，属中档题.4．A解析：A 【分析】可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得212434428b a ac baa b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得20434428a b c ac b a a b c -+=⎧⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得012428a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，不合乎题意； ④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，可得2012434a b c b a ac b a⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得343294a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，不合乎题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.5．C解析：C 【分析】根据定义确定()F x 的解析式及单调性后可得最大值． 【详解】由2246x x x <--+得2230x x +-<，31x -<<，所以()22,3146,31x x F x x x x x ⎧-<<=⎨--+≤-≥⎩或，所以()F x 在(,3)-∞-和(0,1)上都是增函数，在(3,0)-和(1,)+∞上都是减函数，(3)9F -=，(1)1F =，所以max ()9F x =． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．解题关键是根据新函数定义确定新函数的解析式，单调性．结合单调性易得最值．6．C解析：C 【分析】由1x >时，()0f x <，排除B 、D ；由函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，排除A ，即可求解. 【详解】由题意，函数()21xf x x =-有意义，满足210x -≠，解得1x ≠±， 又由当1x >时，()0f x <，排除B ，D ； 当01x <<时，()21xf x x=-， 设1201x x ，则2112212122222121(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----， 因为2221122110,10,10,0x x x x x x ->->+>->，所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，所以A 不符合，C 符合. 故选：C. 【点睛】知式选图问题的解答方法：从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； 从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的周期性，判断函数的循环往复；从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象.7．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求． 【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．8．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]0,4x ∈， 则函数0(2)1y x x =+--满足0141020x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得13x <≤且2x ≠， 所以函数0(2)1y x x =+--的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e --⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．11．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得， 当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.二、填空题13．【分析】根据题意令从而得到得到为奇函数整理得到将代入求得的值【详解】设则即为奇函数故即即【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题解题方法如下：（1）构造奇函数；（2）利用奇函数的性质得到进 解析：3-【分析】根据题意，令()()31g x f x ax bx =-=-，从而得到()()3g x ax bx g x -=-+=-，得到()g x 为奇函数，整理得到()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦，将()25f =代入求得()2f -的值.【详解】设()()31g x f x ax bx =-=-，则()()3g x ax bx g x -=-+=-，即()g x 为奇函数，故()()22g g -=-，即()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦， 即()()222523f f -=-+=-+=-. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下： （1）构造奇函数()()31g x f x ax bx =-=-；（2）利用奇函数的性质得到()()22g g -=-，进而求得()()222f f -=-+，得到结果.14．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单解析：①②④ 【分析】求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】函数()f x =21011x x ⎧-⎪⎨+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒， 当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()f x ==，则()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.15．【分析】根据指数函数和一次函数的性质得出关于的不等式组即可求解【详解】由题意函数是上的单调递增函数可得解得即实数取值范围故答案为：【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性将题设条解析：8[,6)3【分析】根据指数函数和一次函数的性质，得出关于a 的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 可得13021322a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-+⎪⎩，解得863a ≤<，即实数a 取值范围8[,6)3.故答案为：8[,6)3. 【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性，将题设条件转化为函数的不等式（组），即可求出参数的值或范围； 若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的.16．【分析】先求出当时函数的值域根据函数的值域为R 可以确定函数在时的单调性以及左侧函数的值域的区间的右端点的值与右侧函数的值域的区间的左端点的值的大小关系这样可求出实数a 的取值范围是【详解】由题意知的值解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】先求出当1x 时，函数的值域，根据函数的值域为R ，可以确定函数在1x <时的单调性，以及左侧函数的值域的区间的右端点的值与右侧函数的值域的区间的左端点的值的大小关系，这样可求出实数a 的取值范围是 【详解】由题意知() 1y ln x x ≥＝的值域为[0，＋∞)，故要使()f x 的值域为R ，则必有23(1)y a x a ＝-+为增函数，且1230a a ≥-+，所以120a -＞且1a ≥-，解得112a ≤－＜，实数a 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了已知分段函数的值域求参问题，考查了逻辑推理能力、数形结合能力.17．【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得；当时设函数为当时时解得所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题解析：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可. 【详解】当01x ≤<时，设函数为y kx =，当1x =时2y =，解得2k =； 当13x ≤≤时，设函数为y ax b =+， 当1x =时3y =，3x =时0y =，解得32a =-，92b =.所以2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. 故答案为：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【点睛】本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题.18．【分析】由题意可知关于的不等式在上有解作出函数和函数的图象考虑直线与函数的图象相切以及直线过点数形结合可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解即关于的不等式在上有解作出两函数图象当由与相切时解析：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意可知关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出函数2y x a =-和函数222y x =-的图象，考虑直线2y x a =-与函数222y x =-的图象相切，以及直线()2y x a =--过点()0,2，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，即关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出两函数2y x a =-，222y x =-图象，当由2y x a =-与222y x =-相切时，则2222x a x -=-，即22220x x a +--=，()4828200a a ∆=++=+=，解得52a =-.由()2y x a =--过点()0,2得2a =.由图可知5142a -<<，因此，522a -<<，即实数a 的取值范围为5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用含绝对值的不等式在区间上有解求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．【分析】采用换元法令分别在和两种情况下求得的范围进而继续通过讨论和来求得结果【详解】令则①若则解得：不满足舍去；②若则解得：即若则解得：；若则解得：综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】思路点睛：解析：15,48⎛⎫⎪⎝⎭【分析】采用换元法，令()0f x t =，分别在t A ∈和t B ∈两种情况下求得t 的范围，进而继续通过讨论0x A ∈和0x B ∈来求得结果. 【详解】令()0f x t =，则()f t A ∈. ①若t A ∈，则()12f t t =+，11022t ∴≤+<，解得：102t -≤<，不满足t A ∈，舍去；②若t B ∈，则()()21f t t =-，()10212t ∴≤-<，解得：314t <≤，即()0314f x <≤， 若0x A ∈，则()0012f x x =+，031142x ∴<+≤，解得：01142x <≤，011,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭； 若0x B ∈，则()()0021f x x =-，()032114x ∴<-≤，解得：01528x ≤<，015,28x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.综上所述：0x 的取值范围为15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,48⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：求解复合函数()()f g x 类型的不等式或方程类问题时，通常采用换元法，令()g x t =，通过求解不等式或方程得到t 满足的条件，进一步继续求解x 所满足的条件. 20．【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为偶函数且在区间上是严格增函数则解可 解析：(,2)(0,)-∞-+∞【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得|1|1x +>，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，2()()g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数， ()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，又由()g x 为偶函数且在区间[0,)+∞上是严格增函数，则|1|1x +>， 解可得：2x <-或0x >， 即x 的取值范围为：(,2)(0,)-∞-+∞；故答案为：(,2)(0,)-∞-+∞．【点睛】关键点睛：解题关键在于，把题目通过转化化归思想，转化为：()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，进而分析，难度属于中档题三、解答题21．（1）单调递增，理由见解析；（2；（3）312a -≤≤且0a ≠.【分析】（1）根据函数单调性的定义先设120<m x x n ≤<≤，然后化简判断()()12f x f x -的正负，即可判断单调性；（2）由函数单调性可得,m n 是方程()222210a x a a x -++=的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出a 的范围，进而求出n m -的最大值； （3）不等式等价于211222x a a x x x-≤+≤+对1≥x 恒成立，求出1()2h x x x =+最小值和1()2g x x x=-的最大值即可解出. 【详解】 （1）设120<m x x n ≤<≤， 则()()1212222121211x x f x f x a x a x a x x --=-+=， 120<m x x n ≤<≤，12120,0x x x x ∴>-<，()()12f x f x ∴<，故()f x 在[],m n 上单调递增；（2）由（1）可得0m n <<时，()f x 在[],m n 上单调递增，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，则,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根， 即()222210a x a a x -++=有两个不相等的正数根，则()2222122122Δ2402010a a a a a x x a x x a ⎧=+->⎪⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得12a >，n m ∴-=== 1,2a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，32a ∴=时，n m -（3）221()2a f x a a x=+-，则不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立， 即21222x a a x x -≤+-≤，即211222x a a x x x-≤+≤+对1≥x 恒成立， 令1()2h x x x=+，则()h x 在[1,)+∞单调递增，min ()(1)3h x h ∴==，令1()2g x x x=-，则()g x 在[1,)+∞单调递减，max ()(1)1g x g ∴==-， 222321a a a a ⎧+≤∴⎨+≥-⎩，解得312a -≤≤且0a ≠.【点睛】关键点睛：由函数单调性得出,m n 是方程()222210a x a a x -++=的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出a 的范围是解决第二问的关键，第三问不等式的恒成立问题需要分离参数求最值.22．（1）图象见解析；（2）答案见详解；（3）5182m -<<. 【分析】（1）先去绝对值，化简函数成分段函数形式()()()()()12,112,1x x x f x x x x ⎧+-≥-⎪=⎨-+-<-⎪⎩，把握关键点分段画出函数图象即可；（2）结合（1）中图象，数形结合即得结果； （3）由额（2）中结果即得92104m -<-<，即求得参数范围. 【详解】解：（1）函数()()12f x x x =+-，去绝对值可得()()()()()12,112,1x x x f x x x x ⎧+-≥-⎪=⎨-+-<-⎪⎩，即1x ≥-时，()f x 是开口向上、对称轴为12x =、零点为-1和2的抛物线的一部分；1x <-时，()f x 是开口向下、对称轴为12x =、零点为-1和2的抛物线的一部分，作图如下：（2）由（1）中图象，数形结合知， 当0a >或94a <-时，直线y a =与()()12f x x x =+-有1个交点；当0a =或94a =-时，直线y a =与()()12f x x x =+-有2个交点； 当904a -<<时，直线y a =与()()12f x x x =+-有3个交点； （3）方程()1221x x m +-=-有三个实数解，即21y m =-与()()12f x x x =+-有三个交点，由（2）可知92104m -<-<，即5182m -<<， 所以m 的取值范围为5182m -<<. 【点睛】本题解题关键在于去绝对值写出分段函数，根据二次函数关键点（零点、对称轴、顶点）正确作图，再数形结合，依次突破.23．（1）(][),01,-∞⋃+∞；（2）【分析】（1）分函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递增和单调递减两种情况讨论，可得出关于实数t 的不等式，由此可解得实数t 的取值范围；（2）由题意可得出24322x x x m -+>+-对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用参变量分离法可得出265m x x <-+，利用二次函数求出函数()265g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）二次函数()243f x x x =-+的图象开口向上，对称轴为直线2x =. ①若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递增，则12t +≥，解得1t ≥；②若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递减，则22t +≤，解得0t ≤.综上所述，实数t 的取值范围是(][),01,-∞⋃+∞；（2）由题意可得出24322x x x m -+>+-对任意的[]1,1x ∈-恒成立，则265m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，令()()226534g x x x x =-+=--，则函数()g x 在区间[]1,1-上单调递减， 所以，()()min 10g x g ==，0m ∴<.因此，实数m 的取值范围是(),0-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.24．（1）不是；证明见详解.（2）∅【分析】（1）求出2()1y f u u ==+的值域以及[]()y f g x =的值域，根据题中定义即可判断. （2）根据题意可得221()1x ax g x x x ++=++的值域与u 的取值范围相同，转化为()2211x ax u x x ++=++，从而可得0∆≥，再由12u ≤≤，利用韦达定理即可求解.【详解】（1）1()u g x x x ==+(x >0) 不是函数()y f u =的一个“等值域变换”， 证明如下：2()11y f u u ==+≥，()f u ∴的值域为[)1,+∞，又[]22211()13y f g x x x x x ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，2212x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， []221()35y f g x x x +∴==+≥， 即[]()y f g x =的值域为[)5,+∞，两函数的值域不同， ∴1()u g x x x ==+(x >0) 不是函数()y f u =的一个“等值域变换”. （2）()y f u =在定义域[]1,2上为单调函数，∴()y f u =在两端点处取得最值，又221()1x ax u g x x x ++==++是函数函数()y f u =的一个“等值域变换”， ∴[]()y f g x =与()y f u =值域相同，()12g x ∴≤≤，即()g x 的值域与u 的取值范围相同，由2211x ax u x x ++=++得()2211x ax u x x ++=++， ()()2110u x a u x u ∴-+-+-=有根，()()22410a u u ∴∆=---≥，即()2232840u a u a +-+-≤，又12u ≤≤，1,2∴是方程()2232840u a u a +-+-=的两个根， 228121324123a a a a a -⎧+=-⎧⎪=-⎪⎪∴⇒⇒∈∅⎨⎨-⎪⎪∈∅⨯=⎩⎪⎩， 所以实数a 的取值范围是∅.【点睛】方法点睛：本题考查了函数的值域求法，常见方法如下：（1）利用函数的单调性求值域.（2）对于分式型的值域利用分离常数法.（3）换元法.（4）数形结合法.（5）判别式法.25．（1）(,1)(1,5]-∞；（2）单调性证明见解析，值域为17[,1]3--. 【分析】（1）利用偶次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求得函数的定义域；（2）依据减函数的定义，利用取值、作差、判断符号的过程，证得函数的单调减，在区间端点取得最大最小值，得到函数在[1,3]上的值域.【详解】 （1）由5010x x -≥⎧⎨-≠⎩.得5x ≤且1x ≠，故()f x 的定义域为()(]115∞－，，∪； （2）设120x x <<，则()2112121221121212111()2()2()()(2)x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=--+-=--+=-+， 因为120x x <<，所以和211210,0x x x x ->>. 所以21121()(2)0x x x x -+>，从而()12()0f x f x ->， 故()f x 在()0,∞+上单调递减，因为()f x 在[1,3]上单调递减，且()11f -＝，()1733f -＝， 所以该函数在[1,3]上的值域为17[,1]3-- . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：（1）利用分式和偶次根式有意义的条件，列出不等式组，求得结果，得到函数的定义域； （2）利用函数在某个区间上单调减的定义，证得函数在给定区间上是减函数，求得函数在区间端点处取得最值，得到函数的值域.26．（1）()10f =，证明见解析；（2）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）令1y =，可得(1)0f =，利用增函数的定义可证()f x 在()0,∞+上是增函数； （2）利用赋值法求出(4)2f =，将不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥⎪⎝⎭化为1(4)x f f x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，根据()f x 的单调性可解得结果.【详解】（1）令1y =，则()()()1f x f x f =-，得(1)0f =，任取210x x >>，则211x x >，210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 故()f x 在()0,∞+上是增函数；（2）在()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，令1x =，2y =，则1()(1)(2)2f f f =-， 即10(2)f -=-得()21f =， 再令2x =，4y =，则2()(2)(4)4f f f =-，即11(4)f -=-，得()42f =，∵0x >，∴11(1)(4)2x f x f f f x x +⎛⎫⎛⎫++=≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()f x 在()0,∞+上递增得14x x +≥且0x >，得103x <≤. 所以不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥⎪⎝⎭的解集为1(0,]3. 【点睛】 关键点点睛：在()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，通过赋值法求出(4)2f =是解题关键.。
初二数学函数综合题含答案
初二数学函数综合题含答案一、单选题1．下列函数中不是反比例函数的是（ ） A ．3y x=B ．13y x -=C ．1xy =D ．3xy =-2．将抛物线y ＝（x ﹣1）2+2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A ．y ＝（x ﹣4）2+6B ．y ＝（x ﹣4）2﹣2C ．y ＝（x +2）2﹣2D ．y ＝（x +2）2+63．已知正比例函数2y x =-，点()2,A m 、()3,B n 都在该函数图象上，则m n -的值是（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．24．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（1，﹣1）D ．（1，1） 5．直线22y x =-+的图象与x 轴的交点坐标是（ ） A ．(1,0)B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(0,2)-6．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．()23x y -=B ．3y x=C ．21y x =D ．11y x =+ 7．一次函数y kx b =+的图象与直线23y x =+平行，且与y 轴的交点为(0,2)，则一次函数的表达式为（ ） A ．23y x =+ B ．22y x =+ C ．23y x =-+ D ．22y x =-+ 8．已知一次函数y ＝kx ＋3的图像与x 轴交于点A （3，0），则k 的值为（ ） A ．1B ．3C ．－1D ．－39．抛物线()213y x =+-的对称轴是（ ） A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线3x =-D ．直线3x =10．己知点A （﹣6，y 1）和B （﹣2，y 2）都在直线13y x b =-+上，则y 1，y 2满足（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1＝y 2D ．大小不确定11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++<经过点()1,0-，对称轴为直线1x =．若0y <，则x 的取值范围是（ ）A ．1x <B ．1x <-C ．11x -<<D ．1x <-或3x >12．反比例函数8y x=图象上有三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 3＜y 2＜y 1 13．已知点M (-2， a )在第三象限，那么点N (a ， 2 )在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．通过平移y =−2(x −1)2+3的图象，可得到y =−2x 2的图象，下列平移方法正确的是（ ）A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位15．将抛物线y =2（x +1）2+1向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝2x 2﹣1 B ．y ＝2（x +2）2﹣1 C ．y ＝2（x +2）2+1D ．y ＝2（x ﹣1）2﹣1二、填空题16．如图所示为两个一次函数的图象，则关于x ，y 的方程1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为________．17．将直线23y x =-向下平移4个单位后，所得直线的表达式是______． 18．如果点A （﹣1，3）、B （5，n ）在同一个正比例函数的图像上，那么n ＝___．19．已知直线y ＝ax ﹣1与直线y =2x +1平行，则直线y ＝ax ﹣1不经过第 ___象限．20．如果二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,0-，对称轴为1x =，那么一元二次方程20ax bx c ++=的解为______．三、解答题21．如图，已知抛物线()212y x m x =-+-+的对称轴为12x =，请你解答下列问题：(1)m = ，抛物线与x 轴的交点为 ． (2)x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？ (3)x 取什么值时，0y >． 22．（1）先化简，再求值：22231()111x x x x --÷+-+，其中3x =． （2）已知二次函数图象的顶点为()2,1，还过()3,2-，求该抛物线的解析式． 23．抛物线的图象与x 轴交于A ，B 两点，利用图象解答下列问题：(1)点A ，B 的坐标分别是A ______，B ______； (2)若函数值y ＞0，则x 的取值范围是______； (3)函数值y 的最小值是______；24．已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1经过点A (1，2)、B (﹣3，2)两点． (1)求该抛物线的解析式．(2)当﹣2≤x ≤2时，请直接写出y 的取值范围．25．已知，如图，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，且经过点()1,10（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．（3）求ABC 的面积，写出>0y 时x 的取值范围．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．D 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．B 14．C 15．B 二、填空题16．24x y =⎧⎨=⎩##4{2y x == 17．27y x =- 18．15-19．二20．-1或3＃＃3或-1三、解答题21．(1)m ＝2 （2，0）（－1，0） (2)x ＞12 (3)－1＜x ＜2 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程得到−12(1)m -⨯-=12，解方程得到m 的值，从而得到y ＝−x 2＋x ＋2，然后解方程−x 2＋x ＋2＝0得抛物线与x 轴的交点； （2）根据二次函数的性质求解；（3）结合函数图象，写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可． (1)抛物线的对称轴为直线x ＝−12(1)m -⨯-=12， ∴m ＝2，抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +2， 当y ＝0时，﹣x 2+x +2＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝2，∴抛物线与x 轴的交点为（﹣1，0），（2，0）； 故答案为：2，（﹣1，0），（2，0）； (2)由函数图象可知，当x ＞12时，y 的值随x 的增大而减小； (3)由函数图象可知，－1＜x ＜2时0y >． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 22．（1）11x -，12；（2）23(2)1=--+y x 【解析】 【分析】（1）先根据分式的混合运算法则化简，然后代入求值即可；（2）根据题意设出二次函数的顶点式，然后将点()3,2-代入求解即可． 【详解】 解：（1）22231()111x x x x --÷+-+ 223(1)(1)1(1)(1)x x x x x x -=⋅+-⋅+++-2321x x -=-- 22231x x x --+=- 11x =-． 当3x =时，原式12=； （2）设抛物线为2(2)1y a x =-+， 代入()3,2-得12a +=-， 解得3a =-，∴这个函数的解析式为：23(2)1=--+y x ． 【点睛】主要考查了分式化简求值，用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23．(1)(﹣2，0)，(2，0) (2)<2x -或>2x (3)﹣4 【解析】 【分析】（1）根据图象可得到A 点坐标，然后由二次函数对称轴为y 轴可求出B 点坐标； （2）根据图象可得函数值y ＞0为x 轴上方的图象，然后根据A ，B 两点的横坐标求解即可；（3）根据图象可得抛物线的最低点坐标为(0，﹣4)，进而可求出函数值y 的最小值是﹣4． (1)由图象可得，A 点坐标为(﹣2，0)， ∵抛物线的对称轴为y 轴， ∴点A 和点B 关于y 轴对称， ∴点B 的坐标为(2，0)， 故答案为：(﹣2，0)，(2，0)． (2)由图象可得，当函数值y ＞0时，表示的是x 轴上方的图象， ∵A 点坐标为(﹣2，0)，点B 的坐标为(2，0)， ∴x 的取值范围是<2x -或>2x ． 故答案为：<2x -或>2x ． (3)由图象可得，抛物线的最低点坐标为(0，﹣4)，∴函数值y 的最小值是﹣4． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，对称性以及最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 24．(1)y ＝x 2+2x ﹣1 (2)﹣2≤y ≤7 【解析】 【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣1得到关于a 、b 的方程组，再解方程组可确定抛物线解析式；（2）利用配方法得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），利用二次函数的性质，x ＝﹣1时，y 的值最小，而x ＝2时y ＝7，从而得到y 的取值范围． (1)将A （1，2）、B （﹣3，2）代入y ＝ax 2+bx ﹣1，得129312a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣1； (2)∵y ＝x 2+2x ﹣1＝（x +1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 当x ＝2时，y ＝（2+1）2﹣2＝7，所以当﹣2≤x ≤2时，y 的取值范围为﹣2≤y ≤7． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质． 25．（1）256y x x =-++；（2）顶点坐标是549,24⎛⎫⎪⎝⎭，对称轴是52x =；（3）ABC ∆的面积为21，>0y 时，x 的取值范围是-1<<6x ． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案； （2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；（3）首先求出抛物线与x 轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案． 【详解】（1）∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()0,6C 、()1,10，∴6110c b c =⎧⎨-++=⎩， 解这个方程组，得56b c =⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式是256y x x =-++；（2）225495624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是549,24⎛⎫⎪⎝⎭；对称轴是52x =； （3）∵二次函数256y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴2560x x -++=，解这个方程得：11x =-，26x =，即二次函数256y x x =-++与x 轴的两个交点的坐标为()1,0A -，()6,0B ． ∴ABC ∆的面积()116162122ABCSAB OC =⨯=⨯--⨯=． 由图像可得，当-1<<6x 时，>0y ，故>0y 时，x 的取值范围是-1<<6x ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：回顾一次函数、反比例函数和二次函数，概括总结我们学习函数的框架．
问题2：坐标系下处理问题的原则是什么？
问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？
问题4：数形结合是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段．____________________________等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将___________转化为__________解决．
函数综合检测（二）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题
2.已知，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取中的最小值，则y的最大值为( )
A.2
B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：数形结合思想
3.甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（米）与其距地面的高度h（米）之间的函数关系式为．如图，
已知球网AB与原点之间的水平距离为5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为米．设
乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数的应用
4.数形结合是数学中常用的思想方法，运用这一思想方法确定函数与的交点的横坐标的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：数形结合思想
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴
交于点B，点C在直线AB上，且，反比例函数的图象经过点C，则所有可能的k值为( )
A. B. C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题
6.如图，已知抛物线的顶点为P，A是第一象限内该抛物线上一点，过点A作x 轴的平行线，交抛物线于点B，交y轴于点F，分别过点B，A作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，
连接PA，PD，PD交AB于点E，则△PAD与△PEA相似吗？( )
A.始终不相似
B.始终相似
C.只有AB=AD时才相似
D.无法确定
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质
7.如图，抛物线平移后经过坐标原点O和点A（6，0），平移后的抛物线的顶点为
B，对称轴与抛物线相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线所围成的阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数综合题
8.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点．若半径为的圆内切于△ABC，则k的值为( )
A.2
B.-2
C.1
D.-1
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：反比例函数综合题
9.如图，正方形ABCD的顶点B，C均在x轴的正半轴上，反比例函数
在第一象限的图象经过点A（m，2）和CD边上的点，过点E的直线l交x轴于点
F，交y轴于
点G（0，-2），则点F的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：反比例函数综合题
10.如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点
在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的边长为( )
A.2012
B.2013
C.
D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数综合题。