第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
弹塑性力学总结
弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。
通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。
求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。
因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。
也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。
即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。
弹塑性力学课程总结
应力张量
描绘一点处的应力状态
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
过一点任意微分面上的应力矢量分量：
px
xl1
yxl2
zxl3
py xyl1 yl2 zyl3
pz
xzl1
yzl2
zl3
pi ijl j Cauchy公式
总应力 正应力
p n
exz eyz ez
（3）体积应变 x y z I1'
2020/11/7
17
基础理论篇 —— 应变状态理论
二、几何方程与应变协调方程
x
u x
，
xy
v x
u y
y
v y
，
yz
w y
v z
z
w z
，
zx
u z
w x
ij
1 2 (ui, j
u j,i )
2 x y 2
2 y x2
m ( x y z ) / 3 —— 平均应力/静水应力
偏斜应力张量 （应力偏量）
Sij
x yx
m
xy y m
xz yz
Sx
Syx
S xy Sy
S xz
S yz
zx
zy
z m Szx Szy Sz
只与剪切变形有关 仅改变形状而不改变其体积
2020/11/7
pn
lim
S 0
Pn S
应力是矢量，与点的位置、通过点的截面的方向有关
pz
pn nn ns
n pn n
n pn s
p2
2 n
py px
在直角坐标系里分解： pn pxi py j pzk
弹塑性力学(应变状态理论)讲稿
当体积不变时：
ij e ij
应变偏张量
三、应变参量及计算公式
1. 主切应变
2
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2
xy
2
sin 2
sin 2
xy
2
cos 2
1 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 3 ( 1 2 )
1 2 3
2. 八面体切应变 与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上的应变
m ax 1 3
1 8 (1 2 3 ) m 3 2 2 2 2 8 1 2 2 3 3 1
du u d x dt x x dv v d y dt y y dw w d z dt z z
d xy d yz d zx
u v dt dt y x v w dt dt z z w u dt dt x z
zx
u w z x
4. 应变张量与应变参量
一、应变张量
引入符号：
xy
yz
zx
1 1 v u xy x y 2 2 1 1 w v yz y z 2 2 1 1 u w zx 2 2 z x
v
dy B y
P
A B
u x x v y y
xy
v u x y
v v dy y
u u dy y
三维状态下的几何方程
x
y
几 何 方 程
弹塑性力学
M bh s M p
2
13
对于静定梁，当跨中截面，即出现一个
塑性铰，则该梁形成破坏机构，丧失继 续承载的能力。若为超静定梁，则需要 形成足够多的塑性铰才能使梁成为破坏 机构。
14
10-1-3 弯矩与曲率的关系
当梁的截面处于弹性状态时， E ，可得
K
在z h处 = s时，由上式得
10
塑性铰
由于跨中截面的上下两个塑性区互相沟通将使跨
中左右两边的截面产生相对转动正如普通结构铰 的作用一样跨中出现了塑性铰。 塑性铰与结构铰的比较： 相同点：允许梁产生转动。 不同点：①结构铰不能承受弯矩，而塑性铰则 能承受基本不变的弯矩；②结构铰集中于一点， 而塑性铰则有一定的长度；③结构铰可在两个 方向产生转动，而塑性铰则是单向铰，且转动 方向与弯矩作用方向相同。
10-1 梁的弹塑性弯曲
SJ1217班 结构工程专业 第一组
当荷载达到一定值时，结构中的“危险点”将
进入塑性变形阶段，此种状态称为结构的弹性 极限状态，相应的荷载称为弹性极限荷载。 随着荷载的逐渐增大，结构中进入塑性状态的 材料越来越多，即塑性区域不断扩大。 如果材料是理想塑性的（理想刚塑性和理想弹 塑性的），则结构可能发生这样的变形，即当 荷载增加到某一数值时，变形将无限制的发展 而荷载却不能继续增加。此时，我们称结构达 到了塑性极限状态，相应的荷载称为塑性极限 荷载。
Ke M s = 3 1 Ks M p
1/2
当he 0时，M s M p , K s K p , 该截面出现无约束 的塑性变形(即形成塑性铰)。
16
弯矩与曲率的关系
Ks M s 3 1 Kp M p
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性变形与极限载荷分析
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A1 A3 A , A2 2 A 。各杆 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0 例
E E ( s ) s
( s ) ( s ) (14 - 5)
E E
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
s s
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 图中所示的一次超静定结构，各杆的横截面相同并均为理想 弹塑性材料，a >b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、 杆 3 的内力分别为 FN 、FN 、FN ，可以分析得到，在外力一定 FN1 FN 2 FN 3 。 时， 当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和杆1 尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
m
(14 - 6)
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
由对 14-1 节中一次超静定桁架的分析可知，当其中一根杆 （多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷， 若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于 n 次超静定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限 状态。
结构力学 第十四章 结构塑性分析的极限荷载
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。
塑性极限分析
内杆进 入塑性
外杆仍 为弹性
外杆“回弹力” 和内杆“抵抗 力”平衡
内杆弹性阶 段已卸完
二、塑性极限分析的概念与假设
1.单调加载：荷载由零开始，按比例同时加到最后值
（避免加载路径的影响）
2.几何线性：结构局部产生塑性变形，整体变形仍足够小
3.几何不变体系与几何可变体系
屈服区小
外力基本不变时，变形 也基本不变的结构体系， 称为几何不变体系。
5. 极限荷载
三根杆均达到 屈服状态时
Fu 2 s Acos s A
1 2cos s A
§3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
T
T
一、极限扭矩
1. 弹性—理想塑性模型 2. 屈服扭矩
τ τs
γ
TS
S
WP
d 3
16
S
τs
3. 极限扭矩
T
T
τ τs
γ
可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面全部屈服。
AC AD
例：已知E、A、θ、σs，材料为弹性— B 理想塑性。求Fs、Fu
F
cos2 F
FAD 1 2cos 3 FAC 1 2cos 3
4. 屈服荷载
D
C
θθ A F
FAD A
Fs
1 2cos 3
A s
Fs 1 2cos 3 s A
Mu
s
bh 2
h 4
bh 2
h 4
s
bh2 4
At
Ms
塑性极限分析
Pu
i
i
dS 0
s l
2. 上限定理：
机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何方程和位移、 速度边界条件），外力做功为正的位移（速度）场。 [ 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上做功为正] 破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。k P
k ：机动允许载荷系数
ij :
*
* ui :
体力为零时：
ST
F i u i dS
*
ij dV
0
ij
*
V
塑性极限分析方法
1. 静力法
（1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应力（内力） 场。（建立静力允许的应力场）
（2）由静力允许的应力（内力 ）场确定所对应的载荷，且为极限载荷 的下限：Pl- = sP （3）在多个极限荷的下限解中取： Plmax-
下限解－－静力法。
l k ：上限解－－机动法。
ij
s
ij
虚功率原理： F u * dS i i
ST
ij dV
* V
ij
0
ij
0
ij
ST
l
s
P u
i
dS i
V
ij
0
ij
ij
dV
由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
ST
ij
0ij源自ij 0Pi 在真实位移速度上的功率为正
下限定理：任何一个静力允许的内力场所对应的载荷 是极限载荷的下限。
[ 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ]
结构力学 结构的塑性分析与极限荷载PPT课件
第20页/共71页
2 当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
FPu Mu' A MuD
FPu
M
' u
3 2l
Mu
9 2l
A
M ' u
A
2l /3
FPu
DC
Mu
D
l/3
FPu
l
(M u
M u )
A
3 2l
D
3 2l
3 l
9 2l
弯矩图如图，弯矩
MB=
1 2
(M
' u
Mu )
M
u
,即M
' u
解：
FPu l
Mu
FPu
Mu l
第12页/共71页
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称为
可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
确定极限荷载的方法： 静力法——利用静力平衡求极限荷载的方法。 虚功法（机动法）——沿荷载方向假设单向破坏机构，利
梁是没有轴力的，所以:
s A1 s A2 0
A1 A2 A/ 2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s (S S )
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状和 尺寸有关。
第5页/共71页
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的
(b)
Mu
ql 1.2MuB Mu ( A B )
塑性力学基础知识ppt课件
• 根据不同应力路径所进行的实验，可 以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各 个界限。这个分界面即称为屈服面， 而描述这个屈服面的数学表达式称为 屈服函数或称为屈服条件。
12
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
19
简单弹塑性力学问题 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
20
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
塑性力学的任务
• 当作用在物体上的外力取消后，物 体的变形不完全恢复，而产生一部 分永久变形时，我们称这种变形为 塑性变形，研究这种变形和作用力 之间的关系，以及在塑性变形后物 体内部应力分布规律的学科称为塑 性力学。
2
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
屈服条件的概念，
• 屈服条件又称塑性条件，它是判断 材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。.
弹塑性力学PPT课件精选全文
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例一、本文概述结构静力弹塑性分析是一种重要的工程分析方法，用于评估结构在静力作用下的弹塑性行为。
该方法结合了弹性力学、塑性力学和有限元分析技术，能够有效地预测结构在静力加载过程中的变形、应力分布以及破坏模式。
本文将对结构静力弹塑性分析的基本原理进行详细介绍，并通过计算实例来展示其在实际工程中的应用。
通过本文的阅读，读者可以深入了解结构静力弹塑性分析的基本概念、分析流程和方法，掌握其在工程实践中的应用技巧，为解决实际工程问题提供有力支持。
二、弹塑性理论基础弹塑性分析是结构力学的一个重要分支，它主要关注材料在受力过程中同时发生弹性变形和塑性变形的情况。
在弹塑性分析中，材料的应力-应变关系不再是线性的，而是呈现出非线性特性。
当材料受到的应力超过其弹性极限时，材料将发生塑性变形，这种变形在卸载后不能完全恢复，从而导致结构的永久变形。
弹塑性分析的理论基础主要包括塑性力学、塑性理论和弹塑性本构关系。
塑性力学主要研究塑性变形的产生、发展和终止的规律，它涉及到塑性流动、塑性硬化和塑性屈服等概念。
塑性理论则通过引入屈服函数、硬化法则和流动法则等，描述了材料在塑性变形过程中的应力-应变关系。
弹塑性本构关系则综合考虑了材料的弹性和塑性变形行为，建立了应力、应变和应变率之间的关系。
在结构静力弹塑性分析中，通常需要先确定材料的弹塑性本构模型，然后结合结构的边界条件和受力情况，建立结构的弹塑性平衡方程。
通过求解这个平衡方程，可以得到结构在静力作用下的弹塑性变形和应力分布。
弹塑性分析在结构工程中有着广泛的应用，特别是在评估结构的承载能力、变形性能和抗震性能等方面。
通过弹塑性分析，可以更加准确地预测结构在极端荷载作用下的响应，为结构设计和加固提供科学依据。
以上即为弹塑性理论基础的主要内容，它为我们提供了分析结构在弹塑性阶段行为的理论框架和工具。
在接下来的计算实例中，我们将具体展示如何应用这些理论和方法进行结构静力弹塑性分析。
材料力学考虑材料塑性的极限分析
则极限弯矩为
由
bh2 Mu s s 4
bh2 ss Mu 42 1.5 M s bh ss 6
可见，考虑了材料塑性，
矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大 50％。
几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。
表 1 几种常用截面的 Mu/Ms 比值
截面形状
M u / Ms
1.15-1.17
1.27
πd 3 Ts Wp s s 16
s
(a)
若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上 各点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到 s 。
s
(b)
当截面上各点处的切应力均达到 s , 整个截面进 入完全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆 将继续扭转变形，即扭杆达到极限状态。对应的极限 扭矩为：
q (a) A
l
解：先按弹性分
B
4l 9
8 ql 2 81
l 3
C b (b) ql 2 18
h
析的方法作出梁
的弯矩图 （图c） 得出最大弯矩为
8ql2 M max 81
(c)
当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩， 梁上的荷载达到极限值。 即
8qu l 2 bh2 Mu s sWs s s 81 4
塑性变形的特征:
(1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。
(2)应力超过弹性范围后,应力应变呈非线性关系, 叠加原理
s
s1
不再适用。
(3)塑性变形与加载历程有关,应 力与应变之间不再是单值关系。 (4)通常所指的塑性变形,忽 略了时间因素的影响(常温、 低应变率）。
ss
O
e p ee
e
s 's
弹塑性
1 一点的应力状态？通过一点P 的各个面上应力状况的集合。
2 一点应变状态？代表一点P 的领域内线段与线段间夹角的改变。
3 应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量J2的物理意义？单向应力状态？纯剪应力状态的应力张量？给出应力分量，计算第一，第二不变量。
应力张量ij σ代表了物体中某一确定点的3个相互垂直微面上的应力矢量。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211σσσσσσσσσσij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡m m m σσσ+ijS不变量kkJ σσσσ=++=3322111()ki ik kk ii J σσσσσσσσσσσσσσσσ--=---=211113313333322322222112112ij J σσσσσσσσσσ==3332312322211312113应力球张量ij m δσ 体积应力z y x σσσ++=Θ 平均应力()33221131σσσσ++=m 应力偏张量ij m ij ij S δσσ-=偏应力张量第二不变量J2的大小可用来判断物体所处的弹塑性状态。
单向应力状态指有两个主应力等于零。
纯剪应力张量ij σ（0=ii σ）4 应变张量？应变张量的不变量？应变球张量？体积应变？平均应变？应变偏张量？应变张量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz yyxxz xy x ij εγγγεγγγεε212121212121不变量3213322111εεεεεε++=++=I 2312232121133332222112εεεεεεεεε+++---=I ij I ε=3 体积应变z y x v V V V εεεε++=-=平均应变()z y x m εεεε++=31应变球张量ij m δε 偏张量ij kk ij ij ij ij e δεεεδε31-=-= 5 体积改变定理？形状改变定理？体积 m m K εσ3= 形状 '2ij ij G S ε= 式中 ij m ij ij S δσσ-=ij m ij ij δεεε-='6 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点？ 弹性本构方程所描述的物理关系是物体的客观规律，应与坐标系的选取无关，即本构方程本质上应具有坐标不变性。
弹塑性力学讲义
弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。
变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。
2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。
数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。
两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。
显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。
它描述了单调应力-应变过程。
为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。
记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。
理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
x
d dx
d x S S dx d S G x GS
S
d dx
s
1 3
dx
(14 - 9)
3 6T G 4 R π s 圆轴弹塑性扭转变形公式
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 1）极限扭矩 残余应力
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 1 A3 A , A2 2 A 。各杆 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0
( s ) ( s ) (14 - 3)
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料
0 s
( p 0) ( p 0) (14 - 4)
p 为塑性应变
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
即
1）极限扭矩 2）残余应力 如果卸载开始时横截面的扭矩为 T0 ，完全卸载后扭矩为零， DT ，那么 T0 T
D x
0
Ip
这样，卸载后横截面各点切应力为 T0 (0 s ) s I s p x s T0 ( s R) Ip (14 - 11)
极限弯矩和塑性铰
3.可破坏荷载：形成某一机构时的荷载。 4. 机构条件：极限状态时结构变成了机构。 5. 结构到达极限状态形成破坏机构的瞬时，还要满足平衡条件。 6. 相互关系
机构条件 极限荷载 平衡条件 可破坏荷载≥极限荷载
塑性铰与普通铰的不同之处：
①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。
②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。
③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
4.静定梁的极限状态和极限弯矩 （1）静定梁的极限状态
静定梁出现一个塑性铰，成为一个自由度的可变体系。
（2）用平衡弯矩法求静定梁的极限弯矩
M max f (P, q) M J (P, q) f 1(M J )
I bh3 /12 bh2
W
ymax b / 2
6
*塑性分析：截面中性轴上、下各点达到材料的屈服应力。
中性轴位置可由N=0推出，即
N A下 S A上 S 0
A上 A下
塑性分析的中性轴把截面面积分成上、下相等的两部分， 弹性分析的中性轴通过截面形心。
M J A上 S y上 A下 S y下 ( A上y上 A下y下) S (S上 S下) S
V ql M J 2l
V
Q ql M J qx 0 2l
x l MJ 2 ql
q
θ MJ θ 2θ
M max
( ql 2
MJ l
)( l 2
MJ ql
)
1 2
q( l 2
MJ ql
ANSYS弹性及塑性分析非常经典
目录什么是塑性 (1)路径相关性 (1)率相关性 (1)工程应力、应变与真实应力、应变 (1)什么是激活塑性 (2)塑性理论介绍 (2)屈服准则 (2)流动准则 (3)强化准则 (3)塑性选项 (5)怎样使用塑性 (6)ANSYS输入 (7)输出量 (7)程序使用中的一些基本原则 (8)加强收敛性的方法 (8)查看结果 (9)塑性分析实例（GUI方法） (9)塑性分析实例（命令流方法） (14)弹塑性分析在这一册中,我们将详细地介绍由于塑性变性引起的非线性问题--弹塑性分析,我们的介绍人为以下几个方面:•什么是塑性•塑性理论简介•ANSYS程序中所用的性选项•怎样使用塑性•塑性分析练习题什么是塑性塑性是一种在某种给定载荷下,材料产生永久变形的材料特性,对大多的工程材料来说,当其应力低于比例极限时,应力一应变关系是线性的。
另外,大多数材料在其应力低于屈服点时，表现为弹性行为，也就是说，当移走载荷时，其应变也完全消失。
由于屈服点和比例极限相差很小，因此在ANSYS程序中，假定它们相同。
在应力一应变的曲线中，低于屈服点的叫作弹性部分，超过屈服点的叫作塑性部分，也叫作应变强化部分。
塑性分析中考虑了塑性区域的材料特性。
路径相关性：即然塑性是不可恢复的，那么这种问题的就与加载历史有关，这类非线性问题叫作与路径相关的或非保守的非线性。
路径相关性是指对一种给定的边界条件，可能有多个正确的解—内部的应力，应变分布—存在，为了得到真正正确的结果，我们必须按照系统真正经历的加载过程加载。
率相关性：塑性应变的大小可能是加载速度快慢的函数，如果塑性应变的大小与时间有关，这种塑性叫作率无关性塑性，相反，与应变率有关的性叫作率相关的塑性。
大多的材料都有某种程度上的率相关性，但在大多数静力分析所经历的应变率范围，两者的应力－应变曲线差别不大，所以在一般的分析中，我们变为是与率无关的。
工程应力，应变与真实的应力、应变：塑性材料的数据一般以拉伸的应力—应变曲线形式给出。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
材料力学习题
第14章
14-1 简易吊车架，结构与尺寸如图所示。
BD 为刚性杆；两斜杆AB 、AC 的截面面积均为A ，且材料也相同。
若材料的屈服强度为s σ，试求该吊车架所能承受的极限载荷u F 。
14-2 杆件结构如图所示，杆1、杆2、杆3的横截面面积均为A ，材料均相同。
若材料拉、压时的屈
服强度均为s σ，试求极限载荷u F 。
14-3 由三根截面面积为2cm 5.1=A 的钢杆组成的结构如图所示。
已知三根杆的材料相同，GPa 210=E ，MPa 360=s σ；m 1=l ， 45=α。
试求该结构的极限载荷u F ，并画出点B 的位移与外力F 间的关系曲线。
14-4 两端固定横截面面积为A 的等截面杆AC 如图所示，在截面B 处承受轴向载荷F 作用。
若材料拉、压时的屈服强度均为s σ，试求极限载荷u F ,并绘制截面B 的轴向位移δ与载荷F 间的关系曲线。
14-5 一刚性水平杆由三根拉杆悬吊。
已知拉杆为钢杆，GPa 210=E ，MPa 240=s σ；m 5.0=l ，m 3.0=a ，2cm 2=A 。
若取安全系数0.2=n ，试按极限载荷法确定该结构的许可载荷。
14-6 两等长的圆筒套在一起如图所示（图中尺寸单位为mm ）。
内筒材料为铝镁合金，MPa 1901=s σ，GPa 681=E ；外筒为钢，MPa 2402=s σ，GPa 2002=E 。
载荷F 通过一刚性平板作用在两筒上。
若选取的安全系数0.2=n ，试按极限载荷法确定该结构的许可载荷。
14-7 变截面杆两端固定，试由极限载荷法计算F 的允许值。
已知各段杆的横截面面积分别为2001=A mm 2，1002=A mm 2，2003=A mm 2，材料的屈服强度MPa 300=s σ，安全系数0.3=n 。
14-8 实心圆轴直径60=d
mm ，空心圆轴内、外径分别为400=d mm 、800=D mm 。
若材料的剪切屈服强度MPa 160=s τ，试求两轴的极限扭矩。
14-9 推导空心圆轴扭转的极限扭矩公式。
设其内、外半径分别为r 、R ，理想弹塑性材料的剪切屈服强度为s τ。
14-10 试求空心圆截面杆的极限扭矩与屈服扭矩之比值。
设
其内、外直径分别为d 、D ，理想弹塑性材料的剪切屈服强度为s τ。
14-11 空心圆截面杆扭转。
已知，内、外直径分别为
20=d mm 、40=D mm ，理想弹塑性材料的剪切屈服强度
100=s τMPa ，切变模量80=G GPa 。
试问当扭矩为何值时，最大切应变002.0=ϕγx 。
14-12 两端固定的圆轴承受扭矩0M 作用，已知轴径40=d
mm ，剪切屈服强度MPa 100=s τ，
试求0M 的极限值u M 。