福师《微分几何》期末复习题
微分几何练习题库及参考答案(已修改)
《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰， {}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-.4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t =212t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4()df g dt dt ⋅=⎰4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角.21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G → 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x a y ++.29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II 或．34.λ是主曲率的充要条件是0E L F MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-，其中是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=，则r (0)''为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-. 2．已知()()r t r t λ'=，λ为常数，则()r t 为（ C ）．A. ta λ；B. a λ；C. t e a λ；D. e a λ. 其中a 为常向量．3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直． 4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．. 6. 已知{}r(,),,x y x y xy =，求(1,2)dr 为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +. 7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =，s 为自然参数，αβ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. α为单位向量；B. αα⊥；C. k αβ=-；D. k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=；B. ()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅；D. ()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγ,均为单位向量；B. αβ⊥；C. βγ⊥；D. αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=.16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +. 18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -.19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3． 23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线． 三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =具有固定长度，则()()r t r t '⊥. √2. 向量函数()r r t =具有固定方向，则()()r t r t '. √3. 向量函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t '. ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=z -线是渐近线. √7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √ 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量． 解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+， {}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==， 又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯，r r r r γ'''⨯='''⨯， 所以有22666333(0,,),(,,),(,,)3αβγ==-=-. 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，①求基本向量,,αβγ； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ {}{}{}2222sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a a ba bαβγ∴=-=--=-++②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的切平面和法线方程． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程． 解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=--- {}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------， 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+，{}1,0,2x r ax =，{}0,1,2y r ay =，2214x x E r r a x =⋅=+，24x y F r r a xy =⋅=，2214y y G r r a y =⋅=+，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一、第二基本量． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k r r v v b v b v u u v u v b⨯==--，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n b =⋅=-+，0vv N r n =⋅=．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214x x E r r x =⋅=+， 4x y F r r xy =⋅=， 214y y G r r y =⋅=+，24xx L r n x =⋅=+， 0xy M r n =⋅=， 24yy N r n x =⋅=+，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y HEG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =的高斯曲率. 解 直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L =，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+．12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220zr x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂，222zt x y ∂==∂ 所以，L =0， M =，N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u--⨯===⨯- {}{}{}uu uv vv r=0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解 {1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，22214,4,14==+==-=+u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu v 2u v 2u,2v,1r r n r r 4u -⨯==⨯ uu 2L nr 4u ==uv M n r 0,== vv 2N n r 4u ==22=-Ⅱ， n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率. 解 曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1= 0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+上的椭圆点，双曲点和抛物点． 解 由23{,,},r u v u v =+ 得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v 0,02,0,00,0,06, 0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程． 解 由32(,){,,},r u v v u u v =+ 得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00, 20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-， 2()r t a '=弧长(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s =(),则主法线曲面为：r=a s v s ,β()+() 则,a =a=α',b ==-k βατγ'+a b =k,''-2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b kr=a s s =a s s k b ββτ'''()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+． 五、证明题1. 设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑴⑵证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅k =-.ταγ∴⋅⑵r=r==k ,ααβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴2. 设曲线：(s),r r = 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ证明 由伏雷内公式，得r==k αβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγ232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ33432=-k k +k k +k τττ3()=k k -k ττ3. 曲线()r r s =是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰也是一般螺线（R 是曲线的曲率半径）． 证明 1r R ds αβ=-⎰， 两边关于s 微商，得 11ds R R ds αααβ=+-1R R R αββ=+-R α=， 1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，,22(),r r a t a b ϕ''''⨯=+32()()r r r a b t ϕ'''''''=-,,，322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, k a bτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=± (θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+，则有：2cos 22t t r r r r e θ'⋅==='4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r '和r ''对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明 若r '和r ''对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=， 则 ,()()0, t r t r t '''∀⨯= 又3()r r k t r '''⨯='，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8． 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明 由题意有{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--，由()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{}cos ,sin ,0t t β=--. 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =，而0a β⋅=，故a β⊥，即主法线与z 轴垂直．9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''= 0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-， {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+(1())()0s s k λαλβ--= 由于,αβ线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=, 即 ((),(),())0r t r t r t '''=所以 ()r r t =平行于固定平面， 所以 ()r r t =是平面曲线. 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得0.............e α⋅=①，①两边求导，得 0e α⋅=，由伏雷内公式得 0k e β⋅=，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅= 又有①可知 γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，于是 ||||0,τγ== 所以0τ= ，所以曲线为平面曲线.14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±１２＝ , 21ds ds γγ±１２＝ 由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±= 进而12αα=± 15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+ 取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s β=()() ,s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-) ()v r =s β,s v s v r r n==r r vk ⨯⨯（1-）-（1- 沿曲线（v ＝0）n=γ， 所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线. 证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθ0ｎ＝两边求微商，得 0γγｎ＋ｎ＝ 由于曲线Γ是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得0τβ－ｎ＝⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k 所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+x =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=,{0,1,}y r g '=.{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''=== 因为0xy r r M r EG ⨯=⋅=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =，则{}1,0,x r y =，{}0,1,y r x =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r =，{}0,0,0yy r =，{},,1x y r r y x ⨯=--，2,,1||x yx y r r y x n r r x ⨯--==⨯+ 0xx L r n =⋅=， 2xy M r n x =⋅=+0yy N r n =⋅=， 222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++， 故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点． 25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的． 证明 设球面的参数表示为{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--，{}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cosu u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cos L Rv ==-，0M ==，N R ==-， 1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =，则{}1,0,0x r =，{}0,1,0y r =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,0xy r =，{}0,0,0yy r =， 1x x E r r =⋅=，0x y F r r =⋅=，1y y G r r =⋅=，0xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，0yy N r n =⋅=(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+，则{}2/3131,0,()x r x y -=+， {}2/3130,1,()y r x y -=+， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=， ∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =是极小曲面． 证明 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-， {}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a⨯==--， 22sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r a u -⨯==⨯+， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u=⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n a =⋅=-，0vv N r n =⋅=，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面． 29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线． 证明由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u =，{0,0,1}v r =，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-， 纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 1202k k H +==， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点； 当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线. 证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ， 曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1 因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ， 又曲线是曲率线，所以αdn dr ， 所以(k )ατγα-+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 证法2 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα 而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=， 又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。
微分几何期末复习题
5.直线的曲率k为()
Ａ.–１；Ｂ.０；Ｃ.１；Ｄ.２。
6.关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面曲 线的曲率 , 为自然参数,不正确的是()
Ａ. ；Ｂ. ， 为的旋转角 ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.设曲线在P (s)点的基本向 量是 ,则下列论述不正确的是()
Ａ. 均为单位向 量；Ｂ. ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.曲线在点的 切线与轴关 系为()
34.已知曲面的 第二类基本 量L、M、N，则曲面上渐 近曲线的微 分方程是。
35.若曲面的第 一基本形式 为 ，曲面在一点 的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这 点沿切方向 的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副 法向量是常向量。
37.曲线在点的 主法向量是 ，则曲线在P点的从切平 面方程是。
38.曲面上的曲 纹坐标网是 渐近网的充 要条件是
50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.
51．距离单位球面球心距离为d(0<d<1)的平面与球面的交线的曲率为，法曲率为。
52．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足,把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为。
53．法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率达到最大值和最小值的方向是方向.
29.曲面上一族 坐标曲线是 测地线，另一族为它 的正交轨线的坐标网是。
31.已知曲面的 第一类基本 量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直 的充要条件 是。
32.对曲面 有 ,则曲面上曲 线u=u(t),v=v(t)从 到t(t> )的弧长s=。
33.若曲面 在(0，1)点处的第二 基本形式 ，则在(0，1)点处， 。其中为曲面 的单位法向 量。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。
12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。
13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。
14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。
三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。
微分几何复习题及其答案
微分几何复习题及其答案微分几何是数学中研究曲线、曲面以及更一般流形的微分性质的分支。
以下是一些微分几何的复习题及其答案，供学习者参考。
题目 1：曲线的切线和法线给定空间曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求曲线在点\( t_0 \) 处的切线和法线。
答案 1：曲线的切线方向由速度向量 \( r'(t) \) 给出。
在点 \( t_0 \) 处，切线的方向向量是 \( r'(t_0) \)。
法线是切线的正交补空间中的一个向量，可以通过求 \( r'(t_0) \) 的向量积来得到。
题目 2：曲线的曲率已知曲线 \( r(t) = (t^2, t^3, t^4) \)，求其在 \( t = 1 \) 时的曲率。
答案 2：首先计算速度向量 \( r'(t) = (2t, 3t^2, 4t^3) \) 和加速度向量\( r''(t) = (2, 6t, 12t^2) \)。
然后计算切线方向的单位向量\( \hat{T} = \frac{r'(t)}{\|r'(t)\|} \)。
曲率 \( \kappa \) 由下式给出：\[ \kappa = \frac{\| r'(t) \times r''(t) \|}{\|r'(t)\|^3} \]在 \( t = 1 \) 时，代入具体数值计算即可得到曲率。
题目 3：曲面的第一基本形式给定曲面 \( S \) 由方程 \( F(x, y, z) = 0 \) 定义，求 \( S \) 在点 \( P \) 上的第一基本形式。
答案 3：第一基本形式由曲面的度量张量给出，其元素为 \( E \), \( F \),和 \( G \)，定义为：\[ E = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \right\rangle \]\[ F = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\rangle \]\[ G = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\rangle \]其中，\( \mathbf{r}(u, v) \) 是曲面 \( S \) 在参数 \( u \) 和\( v \) 下的参数化表示。
微分几何期末复习题答案
微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。
2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。
答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。
3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。
4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。
5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。
6. 描述Christoffel符号的作用。
答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。
7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。
8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。
9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。
10. 描述Hodge星算子的作用。
答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。
11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。
12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。
13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。
14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。
A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。
A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。
A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。
A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。
A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。
A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。
A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。
A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。
答案：曲线在点处的挠率定义为。
2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。
答案：临界点。
3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。
答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。
4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。
答案：曲线在点处的切向量为。
5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。
答案：函数在点处的方向导数为。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。
答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。
2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。
答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案一、选择题1. 曲线在某点的曲率是该点处曲线的：A. 切线斜率B. 切线方向C. 法线方向D. 切线与法线夹角的正弦值答案：D2. 曲面在某点的第一基本形式是：A. 曲面的高斯曲率B. 曲面的平均曲率C. 曲面的法向量D. 曲面在该点的切平面答案：D二、填空题1. 给定曲线 \( y = x^2 \) ，求其在点 \( x = 1 \) 处的曲率。
答案：\( \kappa = 4 \) （在 \( x = 1 \) 处）2. 曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1, 2) \) 处的高斯曲率\( K \) 是：答案：\( K = 4 \) （在点 \( (1, 1, 2) \) 处）三、简答题1. 简述微分几何中“切空间”的概念。
答案：切空间是微分几何中描述曲面或流形上某一点处所有可能的切向量的集合，它是一个线性空间，可以看作是曲面或流形在某一点的局部线性近似。
2. 解释什么是高斯映射，并说明其几何意义。
答案：高斯映射是曲面上每一点处法向量的映射，它将曲面的每一点映射到其对应的法线方向。
几何意义上，高斯映射描述了曲面在某一点处的局部弯曲程度。
四、计算题1. 给定曲线 \( \vec{r}(t) = (t, t^2, t^3) \) ，求其在 \( t =1 \) 处的曲率。
答案：首先求导得到速度向量 \( \vec{r'}(t) = (1, 2t, 3t^2) \)和加速度向量 \( \vec{r''}(t) = (0, 2, 6t) \) 。
在 \( t = 1 \) 处，速度向量为 \( (1, 2, 3) \) ，加速度向量为 \( (0, 2, 6)\) 。
曲率 \( \kappa \) 由公式 \( \kappa = \frac{||\vec{r'}\times \vec{r''}||}{||\vec{r'}||^3} \) 计算得到，代入数值得到\( \kappa = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \) 。
(完整word版)《微分几何》考试试卷与参考答案
《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。
每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。
三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦du dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为33221u v C =+或33222()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E =（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分）v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C α*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n rn r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是微分几何中的概念？A. 流形B. 向量场C. 拓扑空间D. 黎曼曲率答案：C2. 在微分几何中，一个流形的局部坐标系是：A. 一组线性无关的向量B. 一组线性无关的函数C. 一组局部坐标函数D. 一组局部坐标点答案：C3. 微分几何中，一个向量场在点p的切空间中的表示为：A. 一个点B. 一个函数C. 一个向量D. 一个切平面答案：C4. 黎曼曲率张量R^i_jkl在微分几何中表示：A. 一个流形的局部性质B. 一个流形的全局性质C. 一个向量场的局部性质D. 一个向量场的全局性质答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个n维流形上的切向量空间的维数是______。
答案：n2. 微分几何中，联络（connection）是定义在切空间上的一个______。
答案：线性映射3. 黎曼度量g_ij定义了一个流形上的______。
答案：长度和角度4. 一个流形的测地线是该流形上使得______取极值的曲线。
答案：弧长三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述流形的概念。
答案：流形是一个拓扑空间，每一点都有一个邻域，这些邻域与欧几里得空间中的开集同胚。
2. 什么是联络形式？答案：联络形式是定义在切空间上的一组线性映射，它们满足特定的性质，如与坐标无关，并且可以用于描述流形上的平行性。
3. 黎曼曲率张量在广义相对论中有什么物理意义？答案：黎曼曲率张量在广义相对论中描述了时空的曲率，它与引力场的强度和方向有关。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个二维流形上的度量张量g_ij，其中g_11 = 1, g_22 = 1, g_12 = g_21 = 0，计算该流形上的Christoffel符号。
答案：Christoffel符号为Γ^1_11 = 0, Γ^1_12 = 0, Γ^1_21 = 0, Γ^1_22 = 0, Γ^2_11 = 0, Γ^2_12 = 0, Γ^2_21 = 0, Γ^2_22 = 0。
《微分几何》考试试卷与参考答案
《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。
每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。
三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为331u v C =+或332()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E=（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分） v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n r n r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。
微分几何期末考试试题
微分几何期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是微分几何中的基本概念？A. 流形B. 向量场C. 微分形式D. 群论2. 给定一个光滑曲线 \(\gamma: [a, b] \rightarrow\mathbb{R}^3\)，其参数化形式为 \(\gamma(t)\)，该曲线的切向量是：A. \(\gamma(t)\)B. \(\frac{d\gamma}{dt}\)C. \(\gamma'(t)\)D. 以上都不是3. 曲率（Curvature）是描述曲线局部性质的一个重要概念，以下哪个是曲率的正确定义？A. 曲线在某点的切向量的变化率B. 曲线在某点的法向量的变化率C. 曲线在某点的切线的变化率D. 曲线在某点的法线的变化率4. 在微分几何中，度量张量是用来描述空间的内在度量性质。
以下哪个是度量张量的属性？A. 正定性B. 反对称性C. 线性D. 以上都是5. 黎曼曲率张量是描述黎曼流形的内在曲率性质的量，以下哪个是黎曼曲率张量的属性？A. 对称性B. 反对称性C. 张量性D. 以上都是二、简答题（每题10分，共30分）1. 描述什么是流形的切空间，并给出一个具体的例子。
2. 解释什么是联络，并简述其在微分几何中的重要性。
3. 描述什么是测地线，并解释它在广义相对论中的应用。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二维黎曼流形 \((M, g)\)，其度量张量 \(g\) 在局部坐标系 \((x^1, x^2)\) 下的分量为 \(g_{11} = 1, g_{12} = 0,g_{22} = x^1\)。
求该流形的黎曼曲率张量 \(R\)。
2. 考虑一个三维空间中的曲面 \(S\)，参数化表示为 \(\phi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, v)\)。
计算曲面 \(S\) 的第一基本形式和第二基本形式，并求出其高斯曲率和平均曲率。
微分几何期末复习题
C.其上高斯曲率为零；D.其上没有抛 物点。
55.曲面是其单 位法向量，下列第二类 基本量的计 算中，不正确的是()
A. ；B. ；C. ；D. 。
56.球面上的大 圆不可能是 球面上的()
A.测地线；B.曲率线；C.法截线；D.渐近线。
14.曲线的主法向量的正向总是指向。
15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。
16.曲线 ={t3t2t,t22t+2, 2}上的点不是正常点的是t=。
17.曲线的曲率 是。
18.曲线的挠率 是。
19.一般螺线的曲率和挠率的关系是。
20.曲率为0的曲线是,挠率为0的曲线是。
21.设有曲线 ，当时的切线 方程为。
C．一定是球面 上的曲线；D.答案A,B,C都不对.
17.圆柱螺线 在任一点的 切线与轴的 夹角 ()
A．为 ；B. ；C.与 有关；D.与 有关。
18.椭球面的参 数表示为（）
A. ；
B. ；
C. ；
D. 。
19.以下为单叶 双曲面的参 数表示的是（）
A. ；
B. ；
C. ；
D. ；
20.以下为双叶 双曲面的参 数表示的是（）
45．曲面上的曲 纹坐标网为 共轭网的充 要条件是。
38．曲面上的曲 纹坐标网为正交网的充要条件是。
46．极小曲面是指的曲面。
47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.
48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。
49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。
22.设有曲线 ，当时的切线 方程为。
微分几何练习试题库与参考答案解析(已修改)
《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限．232lim[(31)i j k]t t t →+-+= 138i j k -+2．设，，求 0 ．f ()(sin )i j t t t =+ 2g()(1)i j t t t e =++ 0lim(()())t f t g t →⋅= 3．已知 ，，，则{}42r()d =1,2,3t t -⎰，{}64r()d =2,1,2t t -⎰ {}2,1,1a ={}1,1,0b =- .4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-4．已知（为常向量），则．()r t a '= a ()r t = ta c +5．已知，（为常向量），则 ．()r t ta '= a ()r t = 212t a c + 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .()r r t = 3αβ= 11. 若在点处则为曲面的_ 正常______点.00(,)u v v 0u r r ⨯≠，00(,)u v 12． 已知，，，则．()(2)(ln )f t t j t k =++ ()(sin )(cos )g t t i t j =- 0t >40()d f g dt dt ⋅=⎰4cos 62-13．曲线在任意点的切向量为．{}3()2,,t r t t t e ={}22,3,t t e 14．曲线在点的切向量为．{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =0t ={}0,,a a 15．曲线在点的切向量为．{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =0t ={}0,,a b 16．设曲线，当时的切线方程为．2:,,t t C x e y e z t -===1t =2111-=--=-z ee y e e x 17．设曲线，当时的切线方程为.t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 0t =11-==-z y x 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________.19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__.20. 在欧拉公式中，是 方向(d) 与u －曲线的夹角.2212cos sin n k k k θθ=+θ21. 曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是 .,,I II III K H 20H K III -II +I =22．已知，其中，则．{}r(,),,u v u v u v uv =+- 2,sin u t v t ==drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+23．已知，其中，，则{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ= t =ϕ2t =θdr(,)d tϕθ=eg．{}sin cos2cos sin,sin sin2cos cos,cosa at a at aϕθϕθϕθϕθϕ---+24．设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果(,)r r u v=u vr r⨯≠:()r G r G→是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．u-v-26．平面的第一基本形式为，面积微元为．{}r(,),,0u v u v=22d du v+d d u v27．悬链面第一基本量是．{}r(,)cosh cos,cosh sin,u v u v u v u=22cosh0,coshE uFG u===，28．曲面上坐标曲线，的交角的余弦值z axy=x x=y y=29．正螺面的第一基本形式是．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=2222d()du u b v++30．双曲抛物面的第一基本形式是{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv=+-．2222222222(4)d2(4)d d(4)da b v u a b uv u v a b u v+++-++++31．正螺面的平均曲率为0 ．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=32．方向是渐近方向的充要条件是．(d)d:du v=22()020nk d Ldu Mdudv Ndv=++=或33.方向和共轭的充要条件是(d)d:du v=(δ)δ:δu v=．(,)0()0drδr Lduδu M duδv dvδu Ndvδv=+++=II或34.是主曲率的充要条件是．λ0E LF MF MG Nλλλλ--=--35.是主方向的充要条件是．(d)d:du v=22d d d d00d d d ddv dudv duE uF v L u M vE F GF uG v M u N vL M N-++==++或36. 根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则(d)(d:d)u v=．n ndn k dr k=-，其中是沿方向(d)的法曲率37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率．39．之间的关系是．,,g nk k k222g nk k k=+40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0 ．41．正交网时测地线的方程为．ddsdudsdvdsθθθ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1．已知，则为（ A ）．{}(),,t t r t e t e -=r (0)'' A. ； B. ； C. ； D. .{}1,0,1{}1,0,1-{}0,1,1{}1,0,1-2．已知，为常数，则为（ C ）．()()r t r t λ'= λ()r tA. ；B. ；C. ；D. .ta λ a λt e a λ e a λ 其中为常向量．a3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角； B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直．4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个； B ．只有一个； C ．只有两个； D ．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．.6. 已知，求为（ D ）．{}r(,),,x y x y xy = (1,2)drA. ；B. ；{}d ,d ,d 2d x y x y +{}d d ,d d ,0x y x y +-C. ； D. .{}d -d ,d +d ,0x y x y {}d ,d ,2d d x y x y +7．圆柱螺线的切线与轴（ C ）.{}cos ,sin ,r t t t =z A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角；D. 有固定夹角.4π3π8．设平面曲线，s 为自然参数，是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．:()C r r s =αβ ,A. 为单位向量； B. ； C. ； D. .α αα⊥ k αβ=- k βατγ=-+ 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率不正确的是（ D ）．:()C r r s =A. ；B. ，为的旋转角； ()()k s s α= ()()k s s ϕ= ϕ()s α C. ；D. .()k s αβ=-⋅()|()|k s rs = 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件.12．下列论述不正确的是（ D ）．A. 均为单位向量；B. ；C. ；D. .,αβγ,αβ⊥βγ⊥αβA 13．对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．C A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件； D. 充要条件.14．在点的切线与轴关系为（ D ）．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=2π=t z A. 垂直； B. 平行；C. 成的角； D. 成的角.3π4π15．椭球面的参数表示为（ C ）．2222221x y z a b c++=A. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=B. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=C. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=D. .{}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=16．曲面在点的切平面方程为（ B ）．{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-(3,5,7)M A. ； B. ；2135200x y z +-+=1834410x y z +--=C. ； D. .756180x y z +--=1853160x y z +-+=17．球面的第一基本形式为（ D ）．{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =A. ；B. ；2222(d sin d )R u u v +2222(d cosh d )R u u v +C. ； D. .2222(d sinh d )R u u v +2222(d cos d )R u u v +18．正圆柱面的第一基本形式为（ C ）．{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =A. ；B. ；C ；D. .22d d u v +22d d u v -222d d u R v +222d d u R v -19．在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 12()u v v v v =≤≤弧长为（ B ）．A ． ；B ． ；21cosh cosh v v -21sinh sinh v v -C ． ；D ． ．12cosh cosh v v -12sinh sinh v v -20．设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）． M M A ． ；B ． ；C ． ；D ． ．0E =0F =0G =0M =21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． ；B ． ；C ．；D ． 3．01223．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．； B ．C ． D ．24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数具有固定长度，则. √()r r t = ()()r t r t '⊥2. 向量函数具有固定方向，则. √()r r t = ()()r t r t 'A 3. 向量函数关于t 的旋转速度等于其微商的模. × ()r t ()r t '4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线. ×ΓΓ5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线. √ΓΓ6. 圆柱面线是渐近线. √ {cos ,sin ,},r R R z θθ=z -7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. ×12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． ×13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． ×16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程表示曲面上曲线族. ×A(,)B(,)0u v du u v dv +=18. 二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. ×22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. √0F =F 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. ×22. 球面上的圆一定是测地线. ×23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √四、计算题1．求旋轮线的一段的弧长．)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=π20≤≤t 解 旋轮线的切向量为，则在一{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =-- {}()cos ,sin r t a a t a t '=-π20≤≤t段的弧长为：．220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰2．求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量．t te z t t y t t x ===,cos ,sin 解 由题意知 ，{}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+n t h n，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+在原点，有 ，(0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==又 ，，()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r γ'''⨯='''⨯ 所以有.αβγ=== 3．圆柱螺线为，{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =①求基本向量； ②求曲率k 和挠率.,,αβγτ解 ①，，{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=- {}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯}{}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=-=--=-②由一般参数的曲率公式及挠率公式3()r r k t r '''⨯=' 2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有，.22a k a b =+22b a b+=τ4．求正螺面的切平面和法线方程．{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =解 ，，切平面方程为{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v b =-，cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u v u vb---=-sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为．cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-5．求球面上任一点处的切平面与法线方程．{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=解 ， ，{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--{}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=- 312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=---{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=--- 球面上任意点的切平面方程为∴{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即，cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=法线方程为2(cos cos,cos sin,sin)cos(cos cos,cos sin,sin), x a y a z a aϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即．cos cos cos sin sincos cos cos sin sinx a y a z aϕθϕθϕϕθϕθϕ---==6．求圆柱螺线在点处的密切平面.cos,sin,x a t y a t z t===(,0,0)a解(){sin,cos,1},r t a t a t'=-(){cos,sin,0},r t a t a t''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos10cos sin0x a y za t a t=a t a t------或即.sin)(cos)sin0t x t y az a t-+-=(7．求旋转抛物面的第一基本形式．22()z a x y=+解参数表示为，，，{}22(,),,()r x y x y a x y=+{}1,0,2xr ax={}0,1,2yr ay=，，，2214x xE r r a x=⋅=+24x yF r r a xy=⋅=2214y yG r r a y=⋅=+．2222222(d,d)(14)d8d d(14)dx y a x x a xy x y a y y∴=++++I8．求正螺面的第一基本形式．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=解，，{}cos,sin,0ur v v={}sin,cos,vr u v u v b=-，，，．1u uE r r=⋅=u vF r r=⋅=22v vG r r u b=⋅=+2222(d,d)d()du v u u b v∴=++I9．计算正螺面的第一、第二基本量．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=解，，{}cos,sin,0ur v v={}sin,cos,vr u v u v b=-，，，{}0,0,0uur={}sin,cos,0uvr v v=-{}cos,sin,0vvr u v u v=--，{}cos sin0sin,cos,sin cosu vi j kr r v v b v b v uu v u v b⨯==--，u vu vr rnr r⨯==⨯，，，1u uE r r=⋅=u vF r r=⋅=22v vG r r u b=⋅=+，，．uuL r n=⋅=uvM r n=⋅=vvN r n=⋅=10．计算抛物面的高斯曲率和平均曲率．22z x y=+解设抛物面的参数表示为，则{}22(,),,r x y x y x y=+，，，，，{}1,0,2xr x={}0,1,2yr y={}0,0,2xxr={}0,0,0xy yxr r=={}002yyr=，，i ，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y ⨯==--||x yx y r r n r r ⨯==⨯， ， ，214x x E r r x =⋅=+ 4x y F r r xy =⋅=214y y G r r y =⋅=+ ， ， ，xx L r n =⋅=0xy M r n =⋅=yy N r n =⋅=，222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++．2232222124422(441)GL FM EN x y H EG Fx y -+++=⋅=-++11. 计算正螺面的高斯曲率.{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =解 直接计算知，，，，，，1E =0F =22G u a =+0L =M =0N =．222222()LN M a K EG F u a -∴==--+12. 求曲面的渐近线.2z xy =解 ，则，，，， 2z xy =2z p y x∂==∂2z q xy y ∂==∂220z r x ∂==∂22z s y x y ∂==∂∂222z t x y ∂==∂所以，L =0， ，M =N =渐近线微分方程，20dxdy =化简得，(2)0dy ydx xdy +=020dy ydx xdy =+=或渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面上的曲率线.{}cos ,sin ,r u v u v bv =解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,b cos v,u r r n r r bsin v,b cos v,u -⨯===⨯-n d，{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r u cos v,u sin v,0-=--L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:或2222dv dudv du 10u b =00-+dubu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=++=-+和14. 求马鞍面在原点处沿任意方向的法曲率.22{,,}r u v u v =-解 ，{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v22214,4,14==+==-=+A u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰ ，u vu v r r n r r ⨯==⨯uu L n r == A uv M n r 0,== A vv N n r ==A ， .22=-Ⅱn k ==ⅡⅠ15. 求抛物面在(0,0)点的主曲率.22()z a x y =+解 曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，，所以两主曲率分别为 .NN2a k 0002a k -=-12k k 2a ==16. 求曲面在点(1,1)的主方向.22{,,}r u v u v =+解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+ (1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1=0,L M N ===代入主方向方程，得,2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M ===()()0du dv du dv +-=即在点(1,1)主方向.:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=17. 求曲面上的椭圆点，双曲点和抛物点．23(,){,,}r u v u v u v =+解 由 得 23{,,},r u v u v =+{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3 {}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v0,02,0,00,0,06,0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点.18. 求曲面上的抛物点的轨迹方程．32(,){,,}r u v v u u v =+解 由 得 32(,){,,},r u v v u u v =+{}u r =u, 0,21,{}2,v r v , =30,1 {}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00,0,L M N ===令 得u =0 或v =020LN M .-=所以抛物点的轨迹方程为 或.{}r=v ,,v 30{}0r=,u ,u219.求圆柱螺线自然参数表示.(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =解 由得 (){cos ,sin ,},r t a t a t bt = {sin ,cos ,}r a t a t b '=-，()r t '= 弧长(),s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){r s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为则主法线曲面为：a a s =(),r=a s v s ,β()+()则,a =a=α' ,b ==-k βατγ'+ a b =k,''- A 2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''A()-()()+()+21．求位于正螺面上的圆柱螺线（=cos ,sin ,x u v y u v z av ===00cos ,sin ,x u v y u v z av ===0u 常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为，螺旋线是正螺面的v -曲线，由2222d ()d u u a v =++Ι0u u =得．由正交网的坐标曲线的测地曲率得．2πθ=d 0d s θ=0220g u k u a==+五、证明题1. 设曲线：证明：(s),r r = 2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅ ⑴⑵l 证明 ⑴由伏雷内公式，得 =k =-,αβγτβ 或两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅ k =-.ταγ∴⋅ ⑵ r=r==k ,ααβ 或2()r =k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴ 2. 设曲线： 证明：(s),r r = 3()()r ,r ,r =k k -k.ττ 证明 由伏雷内公式，得r==k αβ 或2()r =k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k+k ατβττγ 232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯ A 3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ A 33432=-k k+k k +k τττ 3()=k k -k ττ 3. 曲线Γ:是一般螺线，证明也是一般螺线（R 是曲线Γ的曲率半径）．()r r s =1:r R ds αβΓ=-⎰ 证明 1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得11ds R R ds αααβ=+- 1R R R αββ=+- R α= ，由于Γ是一般螺线，所以也是一般螺线. 1αα∴A ，Γ4. 证明曲线是常数）是一般螺线．(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，, r r a ϕ''''⨯= 32()()r r r a b t ϕ'''''''=- ,,或322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r bt a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, . k a bτ∴=-5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，分别是曲线(C)在点P 的曲率、法n g k,k ,k 曲率与测地曲率，证明．222n g k =k +k 证明 测地曲率 (是主法向量与法向量()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯ (,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=±θβ 的夹角)n法曲率cos n k k n k βθ=⋅=或222k =k +k .∴6. 证明曲线的切向量与曲线的位置向量成定角．{}cos ,sin ,0t t r e t e t =证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为，该点切线的切向量为：{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，则有：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+夹角为.cos r r r r θ'⋅===' 4π由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若和对一切线性相关，则曲线是直线．r ' r ''t 证明 若和对一切线性相关，则存在不同时为0的使r ' r ''t (),()f t g t ，()()()()0f t r t g t r t '''+=则 ,()()0,t r t r t '''∀⨯=又，故有.于是该曲线是直线．3()r r k t r '''⨯='t ∀()0k t =8． 证明圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交．bt z t a y t a x ===,sin ,cos 证明 由题意有，{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--由知.()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯{}cos ,sin ,0t t β=-- 另一方面轴的方向向量为，而，故，即主法线与轴垂直．z {}0,0,1a = 0a β⋅= a β⊥z 9．证明曲线的所有法平面皆通过坐标原点．t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===证明 由题意可得，则任意点的法平面为{}()sin 2,cos 2,sin r t a t a t a t '=-将点（0,0,0）代入上述0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 方程有左边右边，)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0故结论成立．10．证明曲线为平面曲线，并求出它所在的平面方程.222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-证明 ，，{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+- {}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=- {}00,0r ,'''= (,,)0r r r ,''''''=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面0τ=， {}(0)32,0r ,'=- {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为， 12132004102x y z -=-－－－化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程，定点的向径为，则()r r s =0R 0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+ 由于线性无关，∴ (1())()0s s k λαλβ--= ,αβ 100k λλ⎧-⎨⎩ 或或∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ，()r r t =则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以 , 即((),(),())0o r t r t r t '''-= ((),(),())0r t r t r t '''=所以 平行于固定平面， 所以 是平面曲线.()r r t = ()r r t =13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量，证明曲线是直线或平面曲线.e证明 根据已知条件，得，0.............e α⋅=①①两边求导，得 ，由伏雷内公式得 ，0e α⋅= 0k e β⋅= ⅰ)，则曲线是直线；0k =ⅱ) 又有①可知 ‖0e β⋅= γ e因是常向量，所以是常向量，eγ 于是 所以 ，所以曲线为平面曲线.||||0,τγ==0τ=14. 设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，,ΓΓ证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 , γγ±１２＝21ds ds γγ±A A１２＝由伏雷内公式得 进而211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴± =12αα=±15. 证明挠曲线（）的主法线曲面是不可展曲面.0τ≠证明 设挠曲线为，则挠率，()r r s =0τ≠其主法线曲面的方程是： 取，则()()r s t s ρβ=+ (),()a r s b s β==(),()k a s b s αβατγ''===-A＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面. 16. 证明挠曲线（）的副法线曲面是不可展曲面.0τ≠证明 设挠曲线为，则挠率，()r r s =其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取，则(),()a r s b s γ== (),()a s b s αγτβ''===-A所以, ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线则曲线的主法线曲面为r r(s), ＝r r s +v s β=()(),s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-)()v r =s β ,沿曲线（v ＝0）n=γ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面沿每一条直母线只有一个切平面.{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=证明 为直纹面{cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u ,(0,(),()0ϕθϕθ'=） 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求ΓΓ证是一平面曲线.Γ证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，则θ0cos γθA 0ｎ＝两边求微商，得 0γγA AA A ｎ＋ｎ＝由于曲线是曲率线，所以，进而，由伏雷内公式得ΓαAA ｎ0γA A ｎ＝0τβ A －ｎ＝⑴时，是一平面曲线 0τ＝Γ⑵，即，，n 0β A ＝n β⊥n kcos =0k θ=又因为是曲率线，所以即是常向量，所以是平面曲线. Γ0n dn k dr =-= nΓ20．求证正螺面上的坐标曲线（即曲线族曲线族）互相垂直．u -v -证明 设正螺面的参数表示是，则{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，，{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v b =-，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k *n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s（）221in cos k θθ=222s +ksin所以＝常数.*n n12k k k k+=+22. 如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.ΓΓ证明因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有Γ,β=±n从而又因为曲线是平面曲线，所以(),κατγ=±-+n0,τ=进一步.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.nκα=±23. 证明在曲面上曲线族x=常数，y =常数构成共轭网.()()z f x f y=+证明曲面的向量表示为x=常数,y=常数是两族坐标曲线.{}(,),,()(),r x y x y f x f y=+,.{1,0,}xr f'={0,1,}yr g'={0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yyr f r r g''''===因为,所以坐标曲线构成共轭网，xyM r==即曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.24．证明马鞍面上所有点都是双曲点．z xy=证明参数表示为，则{}(,),,r x y x y xy=，，，，，{}1,0,xr y={}0,1,yr x={}0,0,0xxr={}0,0,1xyr={}0,0,0yyr=，，{},,1x yr r y x⨯=--||x yx yr rnr r⨯==⨯，，xxL r n=⋅=xyM r n=⋅=yyN r n=⋅=，222221100011LN Mx y x y∴-=⨯-=-<++++故马鞍面上所有点都是双曲点．z xy=25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即与方向无关，则称该点是曲面(d,d)(d,d)u vu vIII的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为，则{}(,)cos cos,cos sin,sinr u v R v u R v u R v=，，{}cos sin,cos cos,0ur R v u R v u=-{}sin cos,sin sin,cosvr R v u R v u R v=--，，{}cos cos,cos sin,0uur R v u R v u=--{}sin sin,sin cos,0uv vur r R v u R v u==-，{}cos cos,cos sin,sinvvr R v u R v u R v=---，，，22cosu uE r r R v=⋅=u vF r r=⋅=2v vG r r R=⋅=，，，2cosL R v==-0M==N R==-，故球面是全脐的．1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-26．证明平面是全脐的．dA证明 设平面的参数表示为，则{}(,),,0r x y x y =，，，，，{}1,0,0x r = {}0,1,0y r = {}0,0,0xx r = {}0,0,0xy r = {}0,0,0yy r = ，，，1x x E r r =⋅= 0x y F r r =⋅= 1y y G r r =⋅=，，0xx L r n =⋅= 0xyM r n =⋅= 0yy N r n =⋅= ，故平面是全脐的．(,,)0(,,)L M N E F G ∴=27．证明曲面的所有点为抛物点．3x y z +=证明 曲面的参数表示为，则{}1/3(,),,()r x y x y x y =+， ， {}2/3131,0,()x r x y -=+ {}2/3130,1,()y r x y -=+ ，， ，{}5/3230,0,()xx r x y -=-+ {}5/3290,0,()xy r x y -=-+ {}5/3290,0,()yy r x y -=-+ ， ，{}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+ ||x y x y r r n r r ⨯=⨯ ，，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅ {}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅ ，{}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=曲面的所有点为抛物点．∴3x y z +=28．求证正螺面是极小曲面．{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =证明 ，，{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v a =-，，，{}0,0,0uu r = {}sin ,cos ,0uv r v v =- {}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a ⨯==--||u vu v r r n r r ⨯==⨯，，，1u u E r r =⋅= 0u v F r r =⋅=22v v G r r a u =⋅=+，，0uu L r n =⋅= uv M r n =⋅=0vv N r n =⋅= 故正螺面是极小曲面．21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-29. 圆柱面上的纬线是测地线．{cos ,sin ,}r a u a u v =证明 由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u = ，{0,0,1}v r =，纬线是u -线，此时2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-，0θπ=或， 所以，纬线是测地线．0.g k ∴=30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 ， ， 1202k k H +== 12k k ∴=-21220K k k k ∴=⋅=-≤当时，， 极小曲面的点都是平点；0K =120k k ==∴当时，极小曲面的点都是双曲点．0K <31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线，所以 曲线又是渐近线，所以，0=g k ，0=n k ，而 所以k=0，故所给曲线是直线. 222=+n g k k k ，(2)证法1因曲线是测地线，所以沿此曲线有所以β A n ，βA dn ，又曲线是曲率线，所以αA A dn dr ，所以所以故所给曲线是平面曲线.(k )ατγα-+A ，0τ=，证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα A A 而，所以从而，γαβ=⨯ ,n γα=±⨯ ()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+= 又，所以，故所给曲线是平面曲线.γτβ=- 0τ=。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究了曲线、曲面的性质和它们之间的关系。
下面是微分几何期末试题及答案，帮助你进行复习和巩固知识。
试题一：1. 什么是曲线的切向量？2. 什么是曲线的弧长？3. 什么是曲面的法向量？4. 什么是曲面的面积？答案一：1. 曲线的切向量是曲线上每一点的切线方向所确定的向量。
2. 曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。
3. 曲面的法向量是曲面上每一点的法线方向所确定的向量。
4. 曲面的面积是曲面所包围的区域的表面积。
试题二：1. 什么是曲率？2. 利用曲率如何计算曲线的弧长？3. 什么是高斯曲率？4. 高斯-贝克曲率公式是什么？答案二：1. 曲率是描述曲线弯曲程度的一个量。
2. 利用曲率，可以通过积分计算曲线上两点之间的弧长。
3. 高斯曲率是描述曲面弯曲性质的一个量。
4. 高斯-贝克曲率公式是将曲率和高斯曲率联系起来的一个重要公式，表达了曲面的整体几何性质。
试题三：1. 什么是切平面？2. 什么是主曲率？3. 平均曲率和高斯曲率有何关系？4. 平均曲率和主曲率如何影响曲面的性质？答案三：1. 切平面是曲线或曲面上某一点的切线或切平面所确定的平面。
2. 主曲率是曲面上某一点的切平面上曲线的两个主曲率。
3. 平均曲率和高斯曲率有着密切的联系，平均曲率可以通过高斯曲率和主曲率计算得到。
4. 平均曲率和主曲率可以描述曲面在某一点的凹凸性、曲率变化和曲面形状等性质。
试题四：1. 什么是等曲率线？2. 什么是最小曲面？3. 最小曲面的性质有哪些？4. 最小曲面的例子有哪些？答案四：1. 等曲率线是曲面上曲率相等的曲线。
2. 最小曲面是曲面上平均曲率取得最小值的曲面。
3. 最小曲面的性质包括表面张力最小、能够包围最大体积和具有自相似性等。
4. 最小曲面的例子有求解平均曲率为零的旋转曲面、油膜平衡表面等。
通过以上试题及答案，我们对微分几何的基本概念、理论和性质有了初步了解。
微分几何期末试题
数信学院2000级数学与应用数学专业《微分几何》 期终考试题（A ）2003/01班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____一、 填空题（每空1分, 共20分）1. 正则曲面在其上任一点处的单位法向量z b y a x 2//2222=+=n ， 正则曲线在其上任一点处的切线方程为 ⎩⎨⎧=−−=−+11222222z y x z y x . 2. 第一基本形式为22222)(C v u dv du I +++=(其中C 为常数)的曲面与平面 (选填等距或共形)微分同胚, 该曲面的Gauss 曲率为 .3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大 值和最小值的方向是曲面的 方向.4. 距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的法曲率为 )10(<<d d ， 测地曲率为 .5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 , 坐标曲线网成为曲率线网 的充要条件是 .6. 曲面上向量的Levi-Civita 平行移动与道路无关的曲面是 曲面，曲面上测地线的切向量在Levi-Civita 平行移动意义下是平行的吗？ .7. 是否存在曲面分别以()和作为它的第一、第二基本型? 22dv du −dudv 2，简述理由 .8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空 间曲线的两个不变量是曲线的 和 .9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系 ，脐点 的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点. 极小曲面上的点是 点.二、 单项选择题（每题2分，共16分）1. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( )A . 曲面上曲线的曲率B . 曲面上曲线的测地曲率C . 曲面上测地三角形的内角和D . 曲面的高斯曲率2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 ( )A . 球面与柱面B . 柱面与平面C . 平面与伪球面D . 伪球面与可展曲面3. 下列曲面不是可展曲面的是 ( )A . r },sin ,cos {),(b au u v u v v u +=B . 曲线r },sin ,cos {)(bt t a t a t =的切线曲面C . 高斯曲率恒为0的无平点曲面D . 与平面等距等价的曲面4. 设曲线C 的曲率为,挠率为k τ,设是C 关于坐标原点的对称曲线,其曲率和 *C 挠率分别记为和，则 （ ）*k *τA . k =，*k τ= B . =-，*τk *k τ=*τC . =，k *k τ=- D . =-，*τk *k τ=-*τ5. 曲线的下列各量中,是参数变换和坐标变换的不变量的是 ( )A . 曲率B . 挠率C . 弧长D . 以上全是6. 设曲面的第一,第二基本型分别是,则曲面 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= 的两个主曲率分别是 ( )A ．G N k E L k ==21,B . NG k L E k ==21, C . v E G k k ∂∂−==ln 2121 D . u G Ek k ∂∂==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 ( )k g k n k A ．k =+ B . =+ C . D .g k n k g k k n k 222n g k k k +=222n g k k k +=8. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为 ( )A . 2/πθ=B . 0=θC . πθ=D . 不确定三、 多项选择题（每题4分，共20分）1.下面关于特殊曲面的正确的结论是( )A.可展曲面(局部地)或为柱面，或为锥面，或为切线面 （等距等价意义下）B.常曲率曲面(局部地)或为平面，或为球面，或为伪球面 （等距等价意义下）C.全脐点曲面必为球面或平面（或它们的一部分）D.极小曲面必为面积最小的曲面E. 直纹面必与平面等距等价2.下面说法正确的是( )A. 欧氏合同的两曲面必等距等价B. 等距等价的两曲面必欧氏合同C. 欧氏合同的两曲面具有相同的内蕴量和内蕴性质D. 等距等价的曲面具有相同的内蕴量和内蕴性质E. 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立3.下列关于特殊曲线的论断，正确的是( )A.若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线B.平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身C.法截线的曲率反映曲面沿法截线方向的弯曲程度D.柱面螺线的特征是曲率和挠率成定比E.曲面上若含有直线，则直线同时是测地线，渐近曲线，曲率线4.下列关于曲面的主方向和渐近方向，正确的说法是( )A. 曲面上任一点处，至少有两个主方向B. 曲面上任一点处，至多有两个渐近方向C. 除脐点处外，主方向是正交的D. 平面上任何方向既是主方向又是渐近方向F.球面上任何方向既是主方向又是渐近方向5.下列关于测地线，正确的说法是（）A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线B. 测地线具有等距不变性C. 旋转曲面的子午线一定是测地线D. 平面上测地线必是直线E. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小三、计算题（每题10分，共20分）1. 求空间正则参数曲线 r )(t ={}的曲率和挠率. t t t 2cos ,sin ,cos 332. 设单位球面的参数方程为r }sin ,sin cos ,cos {cos ),(u v u v u v u =.是球面上由两条纬线Σ0 ,4/==u u π和两条经线2/ ,0π==v v 所围成的区域。
微分几何复习题
《微分几何》复习题一、填空题1.设曲线的切向量为,则∙α=（ ）.2.曲线⎭⎬⎫⎩⎨⎧=3,2,32t t t r 在原点的曲率为（ ）. 3.空间曲线在一点的近似曲线在法平面上的投影是（ ）..4.曲面为平面的充要条件为( ).5.曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的( ).6.在不可展的直纹曲面上的每一点都是（ ）.7.曲面)}()(,,{y g x f y x +=(y x ,是曲纹坐标)的坐标网是（ ）.二、单项选择题1. 曲线},sinh ,{cosh t t t =在点（1,0,0）向量为 【 】 A }1,1,0{21=γ B }1,1,0{21-=γ C }1,1,0{21-=γ D }1,1,0{21-=γ2．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是 【 】.A 0),,(='''r r rB 0),,(='''''r r rC 0),,(=''''''r r rD 0),,(='''''r r r3.单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于 【 】A |)(|t rB |)(|t rC |)(|t rD |)(|t r '4. 曲面1=xyz 在点)1,1,1(的切平面方程为 【 】A 05=-++z y xB 05=+++z y xC 03=-++z y xD 03=+++z y x5. 曲面S 的第二基本形式为II=dudv ua a 222+- ，则曲面S 上的曲线：0=+v u 的共轭曲线族为 【 】A C v =BC u = C C v u +-=D C v u +=6. 曲面非脐点处的两个主方向之间夹角为 【 】A 0B 4πC 3πD 2π 7 .在曲面上下列量中不是等距变换不变量的是 【 】A 曲线的曲率B 曲线的弧长C 两曲线的交角D 曲面域的面积8.下列曲面中高斯曲面不恒为零的是 【 】A 柱面B 极小曲面C 锥面D 曲线的切线曲面三、计算题1. 求圆柱螺线}4,sin 3,cos 3{t t t =在0=t 处的密切平面，法平面和从切平面方程.2. 求曲线},,{32t t t =在原点的挠率.3. 求圆环面 }sin ,sin )cos (,cos )cos {(φθφθφa a b a b ++=上的抛物点的轨迹方程)20,20,0(πθπφ≤≤≤≤>>a b ..4.求曲面axy z =在原点的主曲率，高斯曲率，平均曲率.5.设一个曲面的第一基本形式为22222)(dv a u du ds ++=，求它上面两条曲线0=+v u 与0=-v u 的交角.四、证明题1.如果曲线)(:s r r =Γ为一般螺线，,为Γ的切向量和主法向量，R 为Γ的曲率半径，证明曲线ds R r ⎰-=Γ**:是一般螺线.2.证明球面上的在任意点沿任意方向的法曲率为常数..《微分几何》参考答案一、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
微分几何练习题库及答案
《微积分几何》复习题 本科（一）第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =36 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=04．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为21131--=-=+z y x 5．计算232lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)tt t e =++g i j ，求0lim(()())t t t →⋅=f g 0．7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2t u =，t v sin =，则d d t=r(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ，2t =θ，则d (,)d tϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知42()d (1,2,3)t t =-⎰r ，64()d (2,1,2)t t =-⎰r ，求4622()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 212t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4d()d d t t ⋅=⎰f g 4cos 62-． 第二章13．曲线3()(2,,)tt t t e =r 在任意点的切向量为2(2,3,)tt e14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b16．设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x 17．设有曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章18．设(,)u v =r r 为曲面的参数表示，如果u v ⨯≠r r 0，则称参数曲面是正则的；如果:()G G →r r 是一一的，则称参数曲面是简单的．19．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．(坐标网;易;3分钟) 20．平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +，面积元为d d u v21．悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 的第一类基本量是2cosh E u =,0F =,2cosh G u = 22．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =223．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 24．双曲抛物面(,)((),(),2)u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++25．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为0．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)d :d u v =2227．两个方向(d)d :d u v=和(δ)δ:δu v=共轭的充要条件是(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++=28．函数λ是主曲率的充要条件是0E LF MF MG Nλλλλ--=--29．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是d d d d 0d d d d E u F vL u M vF uG v M u N v++=++30．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则d d n κ=-n r ，其中n κ是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面或悬链面 第四章32．高斯方程是k ij ij kij kL =Γ+∑r rn ，,1,2i j =，魏因加尔吞方程为,kj i ik i j kL g =-∑n r ，,1,2i j =33．ijg 用ij g 表示为221212111()det()ijij g g g g g g -⎛⎫=⎪-⎝⎭． 34．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲线()C *的曲率35．,,g n κκκ之间的关系是222g n κκκ=+．36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0．37．测地线的方程为22,d d d 0,1,2d d d k i jk ij i ju u u k s s s +Γ==∑ 38．高斯-波涅公式为1d d ()2kgii GGK s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰39．如果G ∂是由测地线组成，则高斯-波涅公式为1d ()2kii GK σπαπ=+-=∑⎰⎰．二、单选题第一章40．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（ C ）．（内积；易；2分钟） A 2 B 1- C 0 D 141．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟） A ⎩⎨⎧==1y z x B 1321+==-z yxC 11+==+z y xD ⎩⎨⎧==1z yx42．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟） A 2 B 1- C 1 D 2-43.已知()(,,)ttt e t e -=r ，则(0)''r 为（ A ）．（导数；易；2分钟） Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)44．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（ C ）．（导数；易；2分钟） Ａt λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa上述a 为常向量．45.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（ D ）．（微分；较易；2分钟）Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章46．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟) Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角4π Ｄ 有固定夹角3π 47．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C ）． Ａ α为单位向量 Ｂ ⊥αα Ｃ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 48．直线的曲率为（ B ）．（曲率；易；2分钟） Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２49．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（ D ）．（伏雷内公式；较易；2分钟） Ａ()()s s κ=α Ｂ ()()s s κϕ=，ϕ为()s α的旋转角Ｃ ()s κ=-⋅αβ Ｄ ()|()|s s κ=r50．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ D ）．（曲率；易；2分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 51．下列论述不正确的是（ D ）．（基本向量；易；2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ52．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件53．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 54．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． Ａ 垂直 Ｂ 平行 Ｃ 成3π的角 Ｄ 成4π的角 第三章55．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（C ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ=B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ=C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=56．以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数表示的是（D ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =57．以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数表示的是（A ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =58．以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数表示的是（B ）．（参数表示；易；2分钟）A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u v u v =B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v =C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =59．以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数表示的是（C ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a u b u u =B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-D (,,)(,,)x y z au bv u v =-60．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（B ）．（切平面方程；易；2分钟）A 2135200x y z +-+=B 1834410x y z +--=C 756180x y z +--=D 1853160x y z +-+=61．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（D ）．（第一基本形式；中；2分钟）A 2222(d sin d )R u u v + B 2222(d cosh d )R u u v +C 2222(d sinh d )R u u v +D 2222(d cos d )R u u v +62．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（ C ）．（第一基本形式；中；2分钟）A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v -63．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（B ）．（弧长；中；2分钟）A 21cosh cosh v v -B 21sinh sinh v v -C 12cosh cosh v v -D 12sinh sinh v v -64．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A 0E =B 0F =C 0G =D 0M = 65．以下正确的是（ D ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A d (d )=n rB d (d )u =n rC d (d )u v =n r D d (d )=-n r66．以下正确的是（ C ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r B (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r C (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r67．以下正确的是（A ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r rC (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r68．高斯曲率为常数的的曲面叫（C ）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面 第四章 B 69．,___________ijji i jgg =∑．（第一基本形式；易；2分钟）A 1B 2C 0D -1 B 70．______j kjl jgδ=∑．（第一基本形式；易；2分钟）A kj gB kl gC ki gD ij gA 71．________kij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟）A 1()2jl ij kl il j i l i g g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑B 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑ C1()2jl ij kl il j i l i g g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D 1()2jl ij kl il j il i g g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ A 72．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．A 0B 1C 2D 3B 73．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）BCA 74．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线B 平面曲线C 抛物线D 圆柱螺线B 75．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于πB 小于πC 大于πD 不能确定三、多选题第一章76.若()((),(),()),1,2,3i i i i t x t y t z t i ==r 为向量函数，则下列论述正确的是（ AD ）．（导数；易；4分钟）Ａ 1111()((),(),())t x t y t z t ''''=r Ｂ 1111111111()((),(),())((),(),())((),(),())t x t y t z t x t y t z t x t y t z t ''''=++r Ｃ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''''=r r r r r r Ｄ 123((),(),())t t t 'r r r 123123123((),(),())((),(),())((),(),())t t t t t t t t t '''=++r r r r r r r r r Ｅ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''=r r r r r r77．m,n 为常向量，()t r 为向量函数，则下述正确的是（ ABC ）．（积分的性质；中；4分钟）Ａ()d ()d bbaat t t t ⋅=⋅⎰⎰m r m r Ｂ ()d ()d bbaat t t t ⨯=⨯⎰⎰m r m rＣ(,,())d ()()d b b aat t t t =⨯⎰⎰m n r m n r Ｄ (,,())d ()()d b baat t t t =⋅⎰⎰m n r m n rＥ(,,())d ()()d bbaat t t t =⨯⨯⎰⎰m n r m n r第二章78．下列曲线中为正则曲线的有（ACDE ）。
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(单选题)1.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项
正确答案: C
(单选题)2.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项
正确答案: B
(单选题)3.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项
正确答案: C
(单选题)4.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项
正确答案: D
(单选题)5.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项
正确答案: D
(单选题)6.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: D
(单选题)7.（）
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: C
(单选题)8.（）
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: C
(单选题)9.（）
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: D
(单选题)10.（）
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: A
(单选题)11.高斯曲率为零的曲面称为（）A: 极小曲面
B: 球面
C: 常高斯曲率曲面
D: 平面
正确答案: A
(单选题)12.对于空间曲线C，挠率为零是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件
B: 必要不充分条件
C: 既不充分又不必要条件
D: 充要条件
正确答案: B
(单选题)13.对于曲线，曲率恒等于0是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件
B: 必要不充分条件
C: 既不充分又不必要条件
D: 充要条件
正确答案: D
(单选题)14.球面上的大圆不可能是球面上的（）
A: 测地线
B: 曲率线
C: 法截线
D: 渐近线
正确答案: D
(单选题)15.曲线在每一点的主方向（）
A: 至少两个
B: 只有一个
C: 只有两个
D: 可能没有
正确答案: A
(单选题)16.曲线C是一般螺线，以下命题不正确的是（）A: 切线与固定方向成固定角
B: 副法线与固定方向成固定角
C: 主法线与固定方向垂直
D: 副法线与固定方向垂直
正确答案: D
(单选题)17.题面见图片：
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项。