著名的15个平面几何定理

1、欧拉（Euler）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半

证明：利用向量，简单明了

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。

∵向量OH=向量OA+向量AH

=向量OA+2向量OD (1)

=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD

=向量OA+向量OB+向量OC；

而向量OG=向量OA+向量AG

=向量OA+1/3（向量AB+向量AC） (2)

=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]

=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.

∴向量OG=1/3向量OH，

∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。

2、九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

证明：如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。

连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。

显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。

又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。

综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。

接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。

位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V 的半径是⊙O的一半。

这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。

3、费尔马点：

已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

证明：如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF，

连接CD、BF、AE交于点O，试证：O是费马点。

证明：在△ACD、△ABF中，

AD=AB,∠DAC=∠BAF,AC=AF

∴△ACD≌△ABF(SAS)

∴∠ADC=∠ABF

∴A、B、O、D四点共圆。

∴∠AOB=120°。

同理可得，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°。

过点A、B、C作OA、OB、OC的垂线交于三点R、S、T，易知△RST是正三角形。

在△ABC内作异于O一点G，作RS、ST、RT的垂线GX、GY、GZ，连接GA、GB、GC。

易用面积法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。

∵点到线之间，垂线段最短，

∴OA+OB+OC=GX+GY+GZ

∴点O是费马点。

4、塞瓦（Ceva）定理：

在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则；其逆亦真

证明：

同理

以上三式相乘，得

5、密格尔（Miquel）点：

若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

证明：我们可以反过来思考这个问题，设M是△ABC外接圆上任意一点，D、E、F分别是AB、BC、CA直线上的点，如果使得D、B、M、E四点共圆，C、F、M、E四点共圆，A、F、M、D四点共圆，那么D、E、F

三点必然共线。证明起来也很简单。只需要证明∠DEB=∠CEF即可。

∵A、B、M、C四点共圆

∴∠DBM =∠FCM

∵A、F、M、D四点共圆

∴∠BDM =∠CFM

即△MBD∽△MCF，∠BMD =∠CMF；

∵D、B、M、E四点共圆

∴∠DEB=∠BMD

∵C、F、M、E四点共圆

∴∠CEF =∠CMF

∴∠DEB=∠CEF，即D、E、F三点共线。

6、葛尔刚（Gergonne）点:

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

证明：∵AF=AE,BF=BD,DC=DE（切线长定理）

∴(AF/BF)×(BD/CD)×(CE/AE)=1

∴AD、BE、CF三线共点（赛瓦定理的逆定理）

7、西摩松（Simson）线：

已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

证明：已知：ΔABC外接圆上有一点P，过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、Z，

求证：X、Y、Z三点共线。

证明：

如图，连接PB、PC

∵∠AYP=∠BXP=90°

∴A、Y、P、X四点共圆，∠AYX=∠APX

同理C、Z、Y、P四点也共圆

∴∠ZYC=∠CPZ

在ΔAXP和ΔCZP中

∠BXP=90°=∠CZP，∠PAX=∠PCZ

∴∠APX=∠ZPC，∠AYX=∠ZYC

∵∠AYX+∠XYC=180°

∴∠ZYC+∠XYC=180°

∴X、Y、Z三点在同一条直线上