直角三角形的性质与判定

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直角三角形的性质与判定教学反思

直角三角形的性质与判定教学反思直角三角形是初中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和判定方法。

本文将从几何角度出发，详细介绍直角三角形的性质和判定方法，并对教学过程进行反思，提出一些建议和改进措施。

一、直角三角形的性质直角三角形是指一个三角形中，其中一个角是90度的三角形。

直角三角形具有以下性质：1. 斜边：直角三角形的斜边是最长的一边，它位于直角的对面。

2. 直角边：直角三角形的两条边中，与直角相邻的边称为直角边。

3. 直角：直角三角形的一个角是90度，称为直角。

4. 特殊比例关系：在直角三角形中，直角边与斜边的长度之比称为正弦，直角边与另向来角边的长度之比称为余弦，斜边与另向来角边的长度之比称为正切。

这些比例关系在三角函数中有广泛的应用。

二、直角三角形的判定方法判定一个三角形是否为直角三角形有多种方法，下面介绍两种常用的方法：1. 三边关系法：如果一个三角形的三条边中，满足勾股定理（即两直角边的平方和等于斜边的平方），则该三角形是直角三角形。

例如，对于一个三角形，如果边长分别为a、b、c，满足a² + b² = c²，则可以判定该三角形为直角三角形。

2. 角度关系法：如果一个三角形中，有一个角是90度，则该三角形是直角三角形。

例如，对于一个三角形，如果其中一个角度为90度，则可以判定该三角形为直角三角形。

三、教学反思在直角三角形的教学过程中，我发现以下几个问题：1. 教学内容安排不合理：在教学中，我发现直角三角形的性质和判定方法往往被简单地介绍和讲解，没有充分展示其应用和实际意义。

这导致学生对于直角三角形的理解程度不够深入，无法将其运用到实际问题中。

2. 缺乏足够的练习：在教学过程中，我没有赋予学生足够的练习机会，导致学生对于直角三角形的判定方法掌握不坚固。

他们在解题时容易出错或者迷失方向，无法准确判断一个三角形是否为直角三角形。

3. 缺乏启示性的教学方法：在教学中，我过于依赖传统的讲解方式，缺乏启示性的教学方法。

《直角三角形的性质和判定》教案

《直角三角形的性质和判定》教
案
直角三角形
设计理念:通过梯度问题探究让学生轻松获取知识，通过数学变换和逆向思维的训练让学生直观地接受知识。

教师的教学方法:情境法、提问法、引导法、练习法。

学生学习方法:讨论与实践。

1.直角三角形性质与判定(Ⅰ)(1)
学习目标：
1.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
2.掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.
学习重点：
“直角三角形的两个锐角互余”，“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这两性质的灵活应用.
学习难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线.
学习过程：
复习引入：
三角形内角和.
2.等腰三角形及相关概念。

18-直角三角形性质及全等判定 - 教师版

教师姓名学生姓名年级上课时间学科数学课题名称直角三角形性质及全等判定待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一1、直角三角形全等的判定（1）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简称“H.L”定理）．（2）判定两个直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．知识点二2、直角三角形的性质：（1）定理1：直角三角形的两个锐角互余；（2）定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒．Ⅱ知识精析二、直角三角形的性质（一）典例分析、学一学例2-1如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，联结PQ、DE．问题1：求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；问题2：如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明。

答案：（1）证明：联结PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴PE=12 BF．同理：PD=12 BF，∴PD=PE∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，联结PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：联结PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证：QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．例2-2如图，在等边△ABC 中，AB=4，点P 是线段AB 上任意一点（不包括端点），过P 作PE ⊥BC 于E ；过E 作EF ⊥AC 于F ；过F 作FQ ⊥AB 于Q ．问题1：设BP=x ，AQ=y ，用含x 的式子填空， EC= ， AF= ，写出求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；问题2：当AQ=1.2时，求BP 的长度；问题3：当BP 的长度等于多少时，点P 与点Q 重合？答案：问题1： EC =4-12x ，AF =2+14x ， y 与x 之间的函数关系式为y =1+18x ；（0<x <4）问题2：当AQ =1.2时，即y =1.2时，1.2=1+18x ，解得x =1.6，∴当AQ =1.2时，求BP 的长度为1.6；问题3：∵点P 与点Q 重合，∴x +y =4，∴x +1+18x =4，解得x =83， ∴当BP 的长度等于83时，点P 与点Q 重合．例2-3如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是△ABC 内的一点，且1PB =，2PC =，3PA =，求BPC ∠的度数．答案：135提示：旋转三角形APC例2-4如图在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，DA DB =，E 、F 分别在AC 和BC 上，且ED ⊥DF ．求证：222EF AE BF =+．提示：倍长FD ，将三条线段转化到一直角三角形中.FEDBACⅢ课堂测评1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点, AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F.求证：△ACE≌△CBF.证明:∵AE⊥CD∴∠AEC=90°,∴∠ACE+∠CAE=90°(直角三角形两个锐角互余)∵∠ACE+∠BCF=90°∴∠CAE=∠BCF (等角的余角相等)∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFC =90°.在△ACE与△CBF中，∠CAE=∠BCF，AEC=∠BFC，AC=BC∴△ACE≌△CBF(AAS)2.如图，已知在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE．求证：∠B＝2∠BCE．证明:联结DE.∵AD⊥BC,AE=BE,∴DE=BE,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)∴∠B=∠BDE.(等边对等角)∵CD=BE,∴CD=DE,(等量代换) ∴∠DEC=∠DCE.(等边对等角)∵∠EDB=∠DEC+∠BCE,(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.)∴∠EDB=2∠BCE.(等式性质)∵∠B=∠EDB, ∴∠B=2∠BCE. (等量代换)3.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。

11-直角三角形性质与判定

题型一：直角三角形两锐角互余【例1】在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；【例2】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高．(1)写出图中与∠B互余的角；(2)图中互余的角有几对，请你一一写出来．题型二：直角三角形斜边中线等于斜边的一半【例3】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E,F是AB边的中点．求证：EF∥AC．【例4】如图，已知∠C =90°，∠A=38°，点D是AB的中点，CF=AD，求∠E的度数．题型三：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半【例5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高．写出图中线段间存在2倍关系的等式．【例6】如图，AD ∥BC,AD =12BC,CE 垂直平分AB ，垂足为E ．求证：∠1=∠2=∠3．【巩固练习】填空题：1．在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠B =0'7413，则∠C=_____________________. 2．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，则图中相等的锐角是____________________.3．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥ AC ，∠C=30°,AB=4，则DC=___________. 4．等腰三角形顶角的平分线的长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角等于__________. 5．直角三角形斜边上的中线等于3. 5cm ，斜边上的高等于2.4cm ，则这个直角三角形的面积等于__________________2cm ．解答题：1．在△ABC 中，AB=AC=10，∠BAD=∠DAC=60°，BD=53.求：ABC S ∆．2．已知，如图在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，M 、N 分别是BD 、CE 的中点．求证：MN ⊥ CE3.已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长4.已知：等边△ABC 中， D 为BC 边上的中点，DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41=.∆中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，4．如图，在ABCEF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，求证：BF=CG。

直角三角形的判定和性质

等腰直角三角形的面积可以通过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。

直角三角形的性质与判定

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
3.互逆命题与互逆定理
观察上面三组命题,你发现了什么?
1.两直线平行,内错角相等；
3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
2.内错角相等,两直线平行；
5.一个三角形中相等的边所对的角相等；6.一个三角形中相等的角所对的边相等；
┏
归纳总结
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
1.直角三角形的性质与判定
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°，又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.
2.勾股定理与逆定理
证明欣赏
b
a
c
b
a
c
1．总统证法：
美国第20任总统：詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2+ ，
a2+2ab+b2 = c2+2ab，

直角三角形的判定和性质

直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔HL〕【典型例题讲解】例1:：如图△ ABC 中，BD ± AC , CE±AB , BD、CE 交于。

点，且BD=CE求证：OB=OC.例2:：Rt△ ABC中，/ ACB是直角, D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E,求证：CD± BE例3:△ ABC中，CD ± AB于D,过D作DE ± AC , F为BC中点，过F作FG ±DC 求证：DG=EG。

【随堂练习】1.选择：〔1〕两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，那么以下四个命题中，真命题的个数是〔〕个①这两个三角形全等；②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等；④相等的角为直角时全等A . 0 B. 1 C. 2 D . 3〔2〕在以下定理中假命题是〔〕A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形(3)如图，Rt△ ABC 中，/ B=90° , / ACB=60。

，延长BC 至V D,使CD=AC 贝U AC : BD=()A. 1: 1B. 3: 1C. 4: 1D. 2: 3(4)如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° , CD、CE,分别是斜边AB上的高与中线，CF 是Z ACB的平分线。

那么/ 1与Z 2的关系是()A. Z 1<Z 2B. Z 1 = 7 2;C. Z 1>Z2D.不能确定(5)在直角三角形ABC中，假设/ C=90° , D是BC边上的一点，且AD=2CD，那么Z ADB 的度数是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.解答：(1 ：如图AB ±BD , CD ± BD , AB=DC 求证：AD//BC.(2)如图，AC ± BC , AD ± BD , AD=BC , CE± AB , DF ± AB ,垂足分别是E、F 求证：CE=DF.【课后习题】一、填空题:〔每题5分,共20分〕1.有和一条对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边〞或用字母表示为“〞 .2.如图,△ ABC中,Z C=90° ,AM平分Z CAB,CM=20cm,那么M至ij AB的距离是cm.3.△ ABC 和^ A' B' C' , Z C=Z C' =90° ,AC=A' C', 要判定△ ABC^A A'B' C'，必须添加条件为①或②或③__________________ 或④.4.如图,B、E、F、C在同一直线上,AF ± BC于F,DE± BC于E,AB=DC,BE=CF,假设要说明AB// CD,理由如下：AFL BC于F,DE± BC于E〔〕△ ABF,A DCE是直角三角形. • BE=CFp知〕BE+=CF+律式性质〕即=〔已证〕••• Rt △ AB砂Rt △ DCE〔〕、选择题：〔每题5分,共25分〕5.两个直角三角形全等的条件是〔〕A. 一锐角对应相等；B.两锐角对应相等；C. 一条边对应相等；D.两条边对应相等6.要判定两个直角三角形全等，需要满足以下条件中的〔〕①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等.A.6个B.5 个C.4 个D.3 个7.如图，AB// EF// DC,Z ABC=90 ,AB=DC,那么图中有全等三角形〔〕A.5 对；B.4 对；C.3 对；D.2 对8.在△ ABC和^ DEF中，/ A=Z D=90°，那么以下条件中不能判定△ ABCm DEF全等的是〔〕A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD. / C=Z F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是〔〕A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题：〔共55分〕10.如图，△ ABC中，Z C=90° ,AB=2AC,M是AB 的中点，点N在BC上,MNL AB.求证:AN平分Z BAC.〔7分〕11 ：如图,AB=AE,BC=ED,Z B=Z E,AF± CD,F 为垂足,求证:CF=DF.〔8 分〕12知如图，AB=AC,Z BAC=90 ,AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BDL AE于D,CE ± AE 于E,求证:BD=DE+CE.〔8 分〕13如图，在^ ABC中，/ BAC=^ B,AB=2AC,求证：△ ABC是直角三角形?〔 8 分〕14如图，在^ ABC中，以AB AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形ABE ACF,连结EF,过点A作ADL BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.〔1〕用圆规比拟EMI^ FM的大小.〔2〕你能说明由〔1〕中所得结论的道理吗？〔8分〕直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；②推论：〔1〕在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；〔2〕在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30° .【典型例题讲解】例1:，Rt△ ABC中，Z ACB=90 , AB=8cm D 为AB 中点，DE』AC于 E, Z A=30° , 求BC, CD^ DE 的长例2:：△ ABC中，AB=AC=BC 〔△ ABC为等边三角形〕 D为BC边上的中点,D乩AC于E.求证：CE 1 AC .4例3:：如图AD// BC,且BDL CD BD=CD AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ ABC中，/ BAC=^ B, AB=2AC AE平分Z CAB 求证：AE=2CERt △ ABC 中，Z ACB=90 , Ct^ AB, CE 为 AB 边上的中线，且Z BCD=〜DCA 求证：DE=DC AB=AC AtU BC 于 D, AF=FD AE// BC 且交 BF 的延长线于 E,假设 AD=9 BC=12 求4. 在^ ABC 中，Z ACB=90 , D 是AB 边的中点，点 F 在AC 边上，DE 与CF 平行且相等。

直角三角形的性质

直角三角形的性质：1.直角三角形的两个锐角互余。

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5.直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方,又称勾股定理。

a2﹢b2=c2直角三角形的判定：1.有两个角互余的三角形是直角三角形。

2.在三角形中，如果有一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3.如果三角形的三条边长a,b,c满足关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。

角平分线的判定定理：角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。

多边形的性质：1.从n边形的一个顶点做对角线，可以做（n-3）条,这些对角线把n边形分成了（n-2）个三角形。

2.n边形的内角和等于（n-2）·180°.3.n边形的所有对角线为1／2·n(n-3)条。

4.任意多边形的外角和等于360°.平行四边形的性质：1.平行四边形的对边相等。

2.平行四边形的对角相等。

3.平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

矩形的性质：1.具有平行四边形的所有性质。

2.四个角都是直角3.对角线互相平分且相等。

矩形的判定:1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.三个角是直角的四边形是矩形。

3.对角线相等的平行四边形是矩形。

直角三角形的性质和计算方法

直角三角形的性质和计算方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，存在着一些重要的性质和计算方法。

本文将介绍直角三角形的性质以及如何计算其各边长和角度。

一、直角三角形的性质1. 直角三角形的特点：直角三角形是三角形中最特殊的一种，其中一个角度为90度，另外两个角度之和为90度。

2. 边的命名：在直角三角形中，直角的边称为斜边，直角边分别称为邻边和对边。

3. 勾股定理：直角三角形中最重要的性质是勾股定理。

勾股定理描述了直角三角形三条边长度的关系，即斜边的平方等于邻边的平方与对边的平方之和。

勾股定理的数学表达式：c² = a² + b²其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示邻边和对边的长度。

4. 斜边长度的限制：在一个直角三角形中，斜边的长度必须大于任意一条邻边或对边的长度。

5. 直角三角形的判定：有两种常用方法可以判断一个三角形是否为直角三角形。

(1) 角度判定法：若三角形中存在一个角度为90度，则该三角形为直角三角形。

(2) 边长判定法：根据勾股定理，若三角形三条边的关系满足c² =a² + b²，则该三角形为直角三角形。

二、直角三角形的计算方法1. 已知两边求第三边：当已知直角三角形的两条边长a和b时，可以通过勾股定理求得斜边c的长度。

具体计算方法：c = √(a² + b²)2. 已知斜边和一边求另一边：当已知直角三角形的一边和斜边的长度时，可以通过勾股定理求得另一边的长度。

具体计算方法：若已知斜边c和邻边a的长度，则对边b的长度为b = √(c² - a²)；若已知斜边c和对边b的长度，则邻边a的长度为 a = √(c² - b²)。

3. 已知两边求角度：当已知直角三角形的两条边长a和b时，可以通过三角函数求得一个角度的大小。

具体计算方法：若已知邻边a和对边b的长度，则斜边c的长度可以通过勾股定理计算(c = √(a² + b²))。

1.1直角三角形的性质和判定PPT课件

成立呢？
2
∠A如CD图=∠1A，。如于果是中在线图C2中D ，12过ABR，t△即ACBDC =的A直D，角所顶以点
C 作射线 CD′交 AB 于 D′，使 ∠1 = ∠A，则有 AD=CD.
(等角对等边)
图1
图2
又∵∠A +∠B = 90° ( 直角三角形两个角等于90° )
∠1 +∠2 = 90°
∴ ∠B =∠2 ∴ BD=CD (等角对等边)
∴
BD=
AD=CD
1 2
AB.
∴ D′是斜边AB的中点
即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′
与CD重合，并且有
CD
1 2
AB.
求证：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D是AB的中点，连结
CD，求证： CD 1 AB
C
2
A 提示：延长CD，使得CD=DE,
D
B
连结BE,
先证△ACD≌ △BED，然
E
后证△ACB≌ △EBC，得
AB=CE，最后说明 CD 1 AB
2
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形.
如图，已知：CD是△ABC的AB 边求上证的：中△线AB，C且是C直D角 12三AB角形.
第1章直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
说一说
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和：∠A+∠B=？

1.2.1直角三角形的性质与判定

⑶全等三角形的对应角相等。
没有逆定理
辨一辨
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理。 × （2）每个命题都有逆命题。 √ （3）假命题没有逆命题。 × （4）真命题的逆命题是真命题。 ×
总结：1、所有的命题都有逆命题，但不一定是真命题 2、不是所有定理都有逆定理
3．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠A＝40°，
假命题真命题
(4)在一个三角形中，等角对等边。
真命题
在一个三角形中，等边对等角。
真命题
(5)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的
交通工具。
真命题
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。假命题
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
定理：两直线平行，内错角相等。
请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：
A
B
1.具有等腰三角形的所有性质
2.具有直角三角形的所有性质
∠C=90°，∠A=∠B=45°
命题
条件
结论
⑴两直线平行，同位角相等两直线平行同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行同位角相等两直线平行
⑶如果a＝b，那么a2＝b2。
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
a2＝b2
a＝b
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
1.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°
的斜坡，从Ａ滑至Ｂ．已知AB=200m，你知道这
名滑雪运动员的高度下降了多少ｍ吗？ A
B
30o
DC
2.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠C=30°，
AD⊥AB,且AD=5cm,则CD,BD的长分别是多少？

直角三角形的性质与判定

直角三角形的性质与判定
直角三角形是指三角形的三个内角中，有一个角的角度为90度的三角形。

直角三角形的性质：
1. 直角三角形的三条边满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是直角三角形的两条
直角边，c是斜边。

2. 直角三角形的两个直角边分别等于斜边的两个平方根，即a = √c^2 - b^2，b = √c^2 -
a^2。

3. 直角三角形的面积等于其两个直角边的乘积除以2，即S = (a*b)/2。

4. 直角三角形的周长等于其三条边的和，即P = a + b + c。

判定直角三角形：
1. 利用勾股定理，如果三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，则该三角形为直角三角形；
2. 利用余弦定理，如果三角形的三个角的余弦值中有一个为1，则该三角形为直角三角形。

直角三角形-的性质判定(HL)

直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。

直角三角形两锐角互余。

2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。

3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ，求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。

11.2.2直角三角形的性质与判定(教案)

-实际问题：设计一些实际情境题目，如测量旗杆高度、计算斜坡长度等，引导学生将直角三角形的性质应用于解决这些问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《11.2.2直角三角形的性质与判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个三角形是否为直角三角形的情况？”（如测量窗户玻璃的斜边长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的性质与判定的奥秘。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生对于直角三角形在实际生活中的应用认识不足。因此，我将在后续的教学中，引入更多与直角三角形相关的实际案例，让学生了解到数学知识在现实世界中的广泛应用。
4.培养学生团队合作精神，通过小组讨论、交流分享，提高对直角三角形性质与判定的理解；
5.激发学生数学学习兴趣，探索直角三角形在历史、文化及现代科技领域的应用，提升数学素养。
三、教学难点与重点
《11.2.2直角三角形的性质与判定》
1.教学重点
-理解并掌握直角三角形的定义：直角三角形是一种有一个角为直角（即90°）的三角形。
五、教学反思
在完成《11.2.2直角三角形的性质与判定》这一章节的教学后，我进行了深入的反思。我发现，学生在理解直角三角形的定义和性质方面普遍较为顺利，但对勾股定理的证明和应用判定方法时，存在一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，应更加关注学生对定理证明过程的掌握，以及如何将理论知识应用于实际问题的解决。
-掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-掌握直角三角形的判定方法：通过边长关系判断一个三角形是否为直角三角形。
-应用直角三角形的性质解决实际问题，如计算斜边长度、角度等。

直角三角形的定义是什么？

直角三角形的定义是什么？
定义
有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形.
性质
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质.
直角三角形的性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半；
（4）在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°；（5）在直角三角形中,两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a^2＋b^2=c^2 (勾股定理)；（6）直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径. 判定
直角三角形的判定：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；
（2）一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；
（3）若a^2＋b^2=c^2,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形（勾股定理的逆定理）；（4）若三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；（5）两个锐角互余的三角形是直角三角形.圆的定义:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

1.2.1直角三角形的性质和判定

直角三角形的性质和判定
勾股定理逆定理
结论
直角三角形的性质定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. a2+ b2 = c2
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.
图1-15
练习
在Rt△ABC中，∠C= 90°.
（1）已知a = 25，b = 15，求c；（2）已知a = 5，c = 9，求b；（3）已知b = 5，c=15，求a.
b 2 14 ；（3） a 10 2 . 答：（1）c= 5 34 ；（2）
动脑筋
如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC 靠在墙上，使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处. 那么，梯子顶端是否往上移动0.5m 呢？
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由已知得AB=30×
40 （海里）， 20 60
在Rt△CBD中，∠BCD=30°，
∴ BD =
∴ CD =
1 2
BC =
2
1 2
×20 = 10 （海里） .
2
CB - BD =
20 - 10
2
2
D
= 10 （海里） 3 > 10 （海里） .
因CD距离不在以点C为中心，周围10 海里范围内，所以轮船不会触礁.
1.2直角三角形的性质和判定
说一说
如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？

1.2.1直角三角形的性质与判定教案

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调直角三角形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如勾股定理的逆定理，我会通过具体例题和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形相关的实际问题，如如何判断一个三角形是否为直角三角形。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和尺子测量并验证勾股定理。
3.直角三角形的判定：学习并掌握如何判断一个三角形是否为直角三角形，包括勾股定理的逆定理、直角三角形的判定定理等方法。
本节课将结合实际例题，让学生在实际操作中掌握直角三角形的性质与判定方法，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过引导学生探究直角三角形的性质与判定方法，让学生运用逻辑思维进行推理，提高其数学逻辑推理能力。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“1.2.1直角三角形的性质与判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个三角形是否为直角三角形的情况？”（如测量墙壁的角度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的性质与判定的奥秘。
在总结回顾环节，我尝试让学生们自主总结本节课的重点内容，并提出疑问。这种方法有助于巩固知识点，也便于我发现学生们在学习中的盲点。但我也发现，有些学生在总结时容易忽略一些细节问题。因此，我需要在课后加强个别辅导，帮助学生查漏补缺。
其次，在实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作过程中，表现出较强的合作意识和动手能力。但我也注意到，有些小组在解决问题时，思路不够开阔，容易陷入固定思维模式。为了提高学生们的创新思维能力，我计划在以后的教学中，多设计一些具有挑战性的问题和实验，引导学生从不同角度思考问题。