《直角三角形的性质和判定》课件
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湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形》优课件
第一章 直角三角形复习
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
1.1直角三角形的性质和判定课件(1)
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
图1-2
九龙中学 结论
由此得到：
直角三角形的判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
要点精析: 判定定理的条件是 （ 两个角互余
）。
九龙中学
学以致用：
1、在△ABC中∠A=20°, ∠B=70°,则∠A+∠B= ∠C=__ 90° ，△ABC是
B
D
C
又∵ ∠A +∠B=90° ， DCA+ DCB 90 ， ∴ B DCB. ∴ CD = BD. 故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
图1-4
∴ 点D 是斜边上的中点，即 CD 是斜边 AB 的中线.
1 从而 CD与CD 重合，且 CD AB. 2
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和 定理，可得∠A +∠B=90°.
图1-1
首页
九龙中学
结论
由此得到：
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余.
要点精析: 性质的结论是根据 （ 三角形的内角和定理
）。
性质的条件是 （ 直角三角形
）。
九龙中学
学以致用：
1、在Rt△ABC中 , ∠C=90°, ∠A=40° ,
九龙中学
当堂训练
5.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于 H点，E为AC的中点，EH=2. 那么△AHC是直角三 角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
解 ∵ AB∥CD
∴∠BAC+∠DCA=180° ∵AH平分∠BAC，CH平分∠ACD 1 ACH 1 DCA ∴ CAH 2 BAC ， 2
图1-2
九龙中学 结论
由此得到：
直角三角形的判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
要点精析: 判定定理的条件是 （ 两个角互余
）。
九龙中学
学以致用：
1、在△ABC中∠A=20°, ∠B=70°,则∠A+∠B= ∠C=__ 90° ，△ABC是
B
D
C
又∵ ∠A +∠B=90° ， DCA+ DCB 90 ， ∴ B DCB. ∴ CD = BD. 故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
图1-4
∴ 点D 是斜边上的中点，即 CD 是斜边 AB 的中线.
1 从而 CD与CD 重合，且 CD AB. 2
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和 定理，可得∠A +∠B=90°.
图1-1
首页
九龙中学
结论
由此得到：
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余.
要点精析: 性质的结论是根据 （ 三角形的内角和定理
）。
性质的条件是 （ 直角三角形
）。
九龙中学
学以致用：
1、在Rt△ABC中 , ∠C=90°, ∠A=40° ,
九龙中学
当堂训练
5.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于 H点，E为AC的中点，EH=2. 那么△AHC是直角三 角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
解 ∵ AB∥CD
∴∠BAC+∠DCA=180° ∵AH平分∠BAC，CH平分∠ACD 1 ACH 1 DCA ∴ CAH 2 BAC ， 2
03880_八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
16
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a
。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
13
实例分析与解题技巧
2024/1/26
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
14
04
直角三角形中特殊角度计算
2024/1/26
15
30°-60°-90°三角形性质
等。
HL全等条件只适用于直角三角 形，不能用于其他类型的三角形
。
8
SAS与ASA在直角三角形中应用
要点一
SAS（Side-Angle-Side）全等 条件在直角…
如果两个直角三角形的两条边和它们之间的夹角对应相等 ，那么这两个直角三角形全等。
要点二
ASA（Angle-Side-Angle）全 等条件在直…
拓展到解三角形
学习如何使用已知信息（如角度或边长）来解三角形，包括使用正 弦定理、余弦定理等。
实际应用与问题解决
尝试将直角三角形的性质应用于实际问题解决中，如测量、建筑和 物理等领域。
26
THANKS
感谢观看
2024/1/26
27
2 3
测量距离
在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a
。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
13
实例分析与解题技巧
2024/1/26
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
14
04
直角三角形中特殊角度计算
2024/1/26
15
30°-60°-90°三角形性质
等。
HL全等条件只适用于直角三角 形，不能用于其他类型的三角形
。
8
SAS与ASA在直角三角形中应用
要点一
SAS（Side-Angle-Side）全等 条件在直角…
如果两个直角三角形的两条边和它们之间的夹角对应相等 ，那么这两个直角三角形全等。
要点二
ASA（Angle-Side-Angle）全 等条件在直…
拓展到解三角形
学习如何使用已知信息（如角度或边长）来解三角形，包括使用正 弦定理、余弦定理等。
实际应用与问题解决
尝试将直角三角形的性质应用于实际问题解决中，如测量、建筑和 物理等领域。
26
THANKS
感谢观看
2024/1/26
27
2 3
测量距离
在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
八年级下册数学直角三角形的性质和判定课件
图1-3
线段CD 比线段AB短.
1 我测量后发现CD = AB. 2
图1-3
1 如图1-3， 如果中线CD = AB，则有∠DCA = ∠A . 2 由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作 射线 CD交AB于D，使 ∠ DCA = ∠A ， 则 CD = AD .
1.直角三角形的判定定理和性质定理；
2.应用定理进行推理论证解决有关问题.
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课后作业
见《学练优》本课“课后巩固提升”
1 AB. 2
图1-4
结论
由此得到：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 AB . 线，且 CD 1 2 求证：△ABC是直角三角形.
图1-5
证明：因为 CD 1 AB= BD= AD ， 2 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B .
3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB， AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的 度数是（ B ）. A.150° B.130° C.120° D.100° 解 因为BE，CD是ABC的高， 所以∠BDP=90°，∠BEA=90°. 又∠A=50° ， 所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 90° + 40°= 130°. 故应选择B.
1 是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = AB 成立呢？ 2
图1-3
图1-4
又∵ ∠A +∠B=90° ， DCA+ DCB 90 ，
∴ B DCB.
故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
1.1直角三角形的性质和判定PPT课件
成立呢？
2
∠A如CD图=∠1A，。如于果是中在线图C2中D ，12过ABR，t△即ACBDC =的A直D，角所顶以点
C 作射线 CD′交 AB 于 D′，使 ∠1 = ∠A，则有 AD=CD.
(等角对等边)
图1
图2
又∵∠A +∠B = 90° ( 直角三角形两个角等于90° )
∠1 +∠2 = 90°
∴ ∠B =∠2 ∴ BD=CD (等角对等边)
∴
BD=
AD=CD
1 2
AB.
∴ D′是斜边AB的中点
即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′
与CD重合，并且有
CD
1 2
AB.
求证：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D是AB的中点，连结
CD，求证： CD 1 AB
C
2
A 提示：延长CD，使得CD=DE,
D
B
连结BE,
先证△ACD≌ △BED，然
E
后证△ACB≌ △EBC，得
AB=CE，最后说明 CD 1 AB
2
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 求证：这个三角形是直角三角形.
如图，已知：CD是△ABC的AB 边 求上证的：中△线AB，C且是C直D角 12三AB角形.
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
说一说
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和：∠A+∠B=？
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 课件 2024-2025学年湘教版八年级数学下册
AB,垂足为点D,若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?
【思维切入】ED⊥AB→∠ADE=90°,直角三角形的性质→
∠1+∠A=90°,∠1=∠2→∠2+∠A=90°→△ABC是直角三角形.
【自主解答】△ABC是直角三角形,理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1=∠2,
∴∠A+∠2=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.
(1)求∠BAE的度数;
(2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,
证明:△ADF是直角三角形.
【解析】略
重点3
利用直角三角形的性质求线段之间的关系
【典例3】如图所示,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB上的中线,G是CE的
1
则AD与BC的数量关系是BC=2AD或AD= BC.
2
直角三角形的这个性质与等腰三角形的“三线合一”常结合在一起考查组成综合
性题目.
【触类旁通】
如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD
于点M,连接AM.
1
(1)求证:EF= AC;
2
(2)若EF⊥AC,求证:AM+DM=CB.
中点,AB=2CD,求证:DG⊥CE.
【自主解答】略
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,
75°
∠BAE=15°,则∠CDE的大小为________.
5+2思维赋能
【模型溯源】
【思维切入】ED⊥AB→∠ADE=90°,直角三角形的性质→
∠1+∠A=90°,∠1=∠2→∠2+∠A=90°→△ABC是直角三角形.
【自主解答】△ABC是直角三角形,理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1=∠2,
∴∠A+∠2=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.
(1)求∠BAE的度数;
(2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,
证明:△ADF是直角三角形.
【解析】略
重点3
利用直角三角形的性质求线段之间的关系
【典例3】如图所示,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB上的中线,G是CE的
1
则AD与BC的数量关系是BC=2AD或AD= BC.
2
直角三角形的这个性质与等腰三角形的“三线合一”常结合在一起考查组成综合
性题目.
【触类旁通】
如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD
于点M,连接AM.
1
(1)求证:EF= AC;
2
(2)若EF⊥AC,求证:AM+DM=CB.
中点,AB=2CD,求证:DG⊥CE.
【自主解答】略
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,
75°
∠BAE=15°,则∠CDE的大小为________.
5+2思维赋能
【模型溯源】
直角三角形的性质和判定ppt 人教版
教学楼2栋 教学楼3栋
5 巩固提高，尝试反馈
直角三角形的性质和判 定
1、满足条件∠A= ∠B= ∠C的三角形是（B） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形 45 2、在△ABC中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=BC，则∠B= _°
3、如图△ABC，∠BAC=90°，E为AC中点，D是BC上 一点，且DE= AC，∠EDC=30°，求 ∠BAD的度数。 30 °
教学楼2栋 教学楼3栋
2 合作交流，解读探究
直角三角形的性质和判 定
A
提出问题： （1）什么2）已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，你能求 出∠B吗？ A
C
B
2 合作交流，解读探究
直角三角形的性质和判 定
A
已知：△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形。 证明：由三角形的内角和性质， ∠A+∠B+∠C=180°，因为 ∠A+∠B=90°，所以 ∠C=90°, 于是△ABC是直角三角形。
2
2 合作交流，解读探究
直角三角形的性质和判 定
练一练 1、如图，Rt△ABC中，D为斜边AB的中点， 6 若∠A=60°，AC=3cm，则AB= cm 。 2、如图，△ABC中，D为边AB的中点，CD=8cm， AB=16cm，且∠B=40°。则∠A=50 度.
A
60°
A
D
D
B
C
第①题图
C
第②题图
直角三角形的性质2：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
本节课你有哪些收获？
直角三角形的判定1：
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形的判定2：
5 巩固提高，尝试反馈
直角三角形的性质和判 定
1、满足条件∠A= ∠B= ∠C的三角形是（B） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形 45 2、在△ABC中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=BC，则∠B= _°
3、如图△ABC，∠BAC=90°，E为AC中点，D是BC上 一点，且DE= AC，∠EDC=30°，求 ∠BAD的度数。 30 °
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2 合作交流，解读探究
直角三角形的性质和判 定
A
提出问题： （1）什么2）已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，你能求 出∠B吗？ A
C
B
2 合作交流，解读探究
直角三角形的性质和判 定
A
已知：△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形。 证明：由三角形的内角和性质， ∠A+∠B+∠C=180°，因为 ∠A+∠B=90°，所以 ∠C=90°, 于是△ABC是直角三角形。
2
2 合作交流，解读探究
直角三角形的性质和判 定
练一练 1、如图，Rt△ABC中，D为斜边AB的中点， 6 若∠A=60°，AC=3cm，则AB= cm 。 2、如图，△ABC中，D为边AB的中点，CD=8cm， AB=16cm，且∠B=40°。则∠A=50 度.
A
60°
A
D
D
B
C
第①题图
C
第②题图
直角三角形的性质2：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
本节课你有哪些收获？
直角三角形的判定1：
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形的判定2：
沪科版数学八上13.直角三角形的性质与判定课件(共15张)
B
C
直角三角形的性质（推论1）：直角三角形的两锐角互余．
A
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵
∠C =90°，
∴
∠A +∠B =90°．
B
C
直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可
以写成Rt△ ABC．
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与
例3
如图，在△ 中， 是 边上的高， 是 上一点，
交 于点，且∠ ＝ ∠.
求证：△ 是直角三角形.
分析：要证△是直角三角形，只要证明∠ +
∠ ＝ 90°即可.
证明：∵ 是 边上的高，
∴ ∠ + ∠ ＝ 90° .
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
3.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，
与∠1互余的角有（ C ）
A．∠B
B．∠A
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
4.在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角
的度数分别为
分析：要证△ 是直角三角形，可证明∠ + ∠ ＝ 90° . 在
△ 中，已知∠ ＝ 90°，∠＝∠，易证△是直角三角
形.
Hale Waihona Puke 证明：∵ ∠ ＝ 90°，∴ ∠+ ∠ ＝ 90° .
∵ ∠ ＝∠，∴ ∠ + ∠ ＝ 90°，
∴ △ 是直角三角形.
2. 直角三角形有什么性质呢？
A
直
角
人教版(部编)八年级数学上册-直角三角形的性质和判定
总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
基本图形
AB o
A
B
o D
C
D
∠A=∠D
C
∠A=∠C
二 有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
直角三角形的性质和判定PPT精选课件
Nhomakorabea2
九龙中学
复习引入
1.直角三角形的定义 有一个是直角的三角形叫直角三角形 2.三角形内角和的性质 三角形内角和等于180°
3.三角形中线的定义 三角形顶点与对边中点的连线段
这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质
3
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九龙中学
合作探究
如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等
于多少呢？
线段CD 比线段AB短.
我测量后发现CD
=
1 2
AB.
图1-3
11
九龙中学
问题：是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = 1 AB成立呢？
1
2
分析：如图1-3， 如果中线CD = 2 AB，则有∠DCA = ∠A
方法：由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点
C作射线 CDˊ交AB于Dˊ,使∠DˊCA=∠A
要点精析:
性质的前提条件是 （ 一条边上的中线等于这条边上的一半
性质的结论的是 （ 这个三角形是直角三角形
• （二）、过程与方法：通过对几何问题的“操作--探究--讨论--交流--讲评”的学习过程， 提高分析问题和解决问题的能力。
• （三）、情感态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参 与数学思维与交流活动。
• 教学重点难点:
• 重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
• 难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 • 教法学法：观察、比较、合作、交流、探索
则∠B=—5—0° 则∠B=—6—0°
3、在△ABC中 , ∠C=90°, ∠A—∠B=20°，则∠A= 55° ，
∠B= 35° 。
九龙中学
复习引入
1.直角三角形的定义 有一个是直角的三角形叫直角三角形 2.三角形内角和的性质 三角形内角和等于180°
3.三角形中线的定义 三角形顶点与对边中点的连线段
这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质
3
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九龙中学
合作探究
如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等
于多少呢？
线段CD 比线段AB短.
我测量后发现CD
=
1 2
AB.
图1-3
11
九龙中学
问题：是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = 1 AB成立呢？
1
2
分析：如图1-3， 如果中线CD = 2 AB，则有∠DCA = ∠A
方法：由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点
C作射线 CDˊ交AB于Dˊ,使∠DˊCA=∠A
要点精析:
性质的前提条件是 （ 一条边上的中线等于这条边上的一半
性质的结论的是 （ 这个三角形是直角三角形
• （二）、过程与方法：通过对几何问题的“操作--探究--讨论--交流--讲评”的学习过程， 提高分析问题和解决问题的能力。
• （三）、情感态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参 与数学思维与交流活动。
• 教学重点难点:
• 重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
• 难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 • 教法学法：观察、比较、合作、交流、探索
则∠B=—5—0° 则∠B=—6—0°
3、在△ABC中 , ∠C=90°, ∠A—∠B=20°，则∠A= 55° ，
∠B= 35° 。
八年级数学下册直角三角形的性质和判定ppt课件
方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面
积S1、S2、S3之间有什么关系呢？
S3
4 B 3 C A
S2
S1
3
S3
4 B 3
A
S2
C
S1
由图可知，S1=32，S2=42， 为了求S3，我们可以先算 出红色区域内大正方形 的面积，再减去4个小三 角形的面积，得S3=52. ∵32+42=52， ∴S1+S2=S3.
c
A
b
a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长
相等.设斜边长为c.
B
a
C
5
步骤2：再剪出1个边长为c的正方形，如下图所示.
c
6
步骤3：把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图所示的 图形.
由于△DHK≌△EIH，
∴∠2=∠4. 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠4=90°. 又∠KHI=90°， ∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D，H，E在一 条直线上. D
B
D
C
10
练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）已知a=25，b=15，求c； （2）已知a=5，c=9，求b； （3）已知b=5，c=15，求a.
答案：（1）5 34 ；
（2）2 14 ；
（ 3） 10 2 .
11
思考
如图，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙 上，使梯脚C离墙角B的距离为1.5m，准 备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后发现 高度不够，于是将梯脚往墙角移近0.5m， 即移动到C'处.那么，梯子顶端是否往上移 动0.5m呢？
12
如图，是由实物图抽象出来的示意图.在Rt△ABC中，计 算出AB；在Rt△A'BC'中，计算出A'B，则可得出梯子往 上移动的距离为（A'B-AB）m. 在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 由勾股定理得， AB 42 1.52
北师大版数学八年级下册第1课时直角三角形的性质与判定课件(共21张)
1 直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
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总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形. 应用格式： 在△ABC 中， ∵ ∴ ∠A +∠B =90°，
B △ABC 是直角三角形．
A
C
典例精析
例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角 三 角形吗？为什么？ 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形.
A 1 E C 2 B D
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是 直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
当堂练习
1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到 一个三角形，则图中 90∠ °1+∠2的度数是________.
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
老大的度数为90°，老二若是比老大的
B
A
C
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△” 表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
典例精析
例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A 与∠D有什么关系？ 方法一（利用平行的判定和性质）： A ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D.
5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 D （ ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
CD⊥AB，与∠ C1互余的角有（
A．∠B C．∠BCD和∠A B．∠A
）
D．∠BCD
B o D
图
C
（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由. 解：∠A=∠C.理由如下：
A o C
与图有哪 些共同点与 不同点？
B D
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C.
图
例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD、BC相交于点E.
∠BFC又有什么关系？为什么？ 解：∵CD⊥AB于点D， BE⊥AC于点E ∴∠BEA=∠BDF=90° ， ∴∠ABE+∠A=90°， ∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°
总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本
图形吗？
基本图形
A B o D
A o C
有两个角互余的三角 形是直角三角形
第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的性质和判定
人教版·八年 级上册
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）
2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
（难点）
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中, ∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. A
C
E
D
B
【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，
BE⊥AC于E，CD，BE相交于点F，∠A与
度数大，那么老二的度数要大于90°，而
三角形的内角和为180°，相互矛盾，因
而是不可能的.
在这个家里，我 是永远的老大.
讲授新课
一 直角三角形的两个锐角互余
问题引导
问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度 数之和为多少度?
30°+60°=90°
45°+45°=90°
问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两
第1题图
第2题图
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 52 ° 若∠BOD=38°，则 ∠ A=________.
直角三角形 ____ 3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°， 则另一个锐角的度数是（ B A．40° B．50° ） C．60° D．70°
7.如图，在直角三角形ABC中,∠ACB=90°，
D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
求证：△ACD是直角三角形． 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵直角三角形.
课堂小结
性 质 直角三角 形的性质 与 判 定 判 定
直角三角形的两个锐角互余
锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定 理，得∠A +∠B+∠C=90°,即 ∠A +∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
总结归纳
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵ ∴ ∠C =90°， ∠A +∠B =90°．
B D
C
∠A=∠D
∠A=∠C
二 有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.