线性代数方程组的解法

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线性方程组的几种求解方法

甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。

关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。

现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步：先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1）将某行同乘或同除一个非零实数（2）将某行加入到另一行（3）将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。

计算方法(3)第三章线性代数方程组的解法

“回代”解得

xn

bn ann

xk

1 akk
[bk

n
akj x j ]
j k 1

其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1

xi

b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i

2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )：交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)

07线性代数方程组的解法

总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k

n(n1)
k1
2
回代总计算量 n(n1) 2
总乘除法共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同

解 (1)
方

程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1

a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)

11 1
12 2
1n n
1

b x 22 2
b2nxn g 2

称消元过程。逐次计算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称回代过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1

0
1
L m 0 2
32
1

0 mn2 0

m a a
(2) (2)

i2
i2
22
i 3,4, ,n

线性代数方程组的解法

说明：线性方程组的初等变换是可逆的。即，方程组（1）经初等变换化为一个新方程组，那么新方程组也可以经过初等变换还原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与它经过若干此初等变换之后得到的新方程组是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化为梯矩阵呢？定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)，矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0

线性代数方程组的解法

上一页下一页 3
(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解.
经典迭代法有： Jacobi 迭代法、Gauss Seidel 迭代法、逐次超松弛（SOR）迭代法等；
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5.1.1 向量空间及相关概念和记号
1 向量的范数
设是n维实向量空间Rn上的范数，最常用的向量
a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 ,
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 ,
a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4 .
上一页下一页 26
若 a11 0 ，则以第 i(i 2, 3,4) 个方程减去
证明我们只证按行严格对角占优的情形，这时有
n
aij | aii |, i 1, 2,L , n
j 1 ji
假设 Ax 0有非零解x (x1, x2,L , xn ),
则存在下标1 i n，使得 xi
max 1 jn
xj
0,
考虑 Ax 0的第i 行 ai1x1 ai2x2 L ain xn 0
j 1 ji
且至少有一 i 个使不等式严格成立，则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。若 i 1, 2,L , n 严格不等式均成立，则称 A 为按行严格对角占优矩阵. 类似地，可以给出矩阵 A 为按列（严格）对角
占优矩阵的定义.
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定理 5.8 若 A为严格对角占优矩阵，则 A非奇异.
此时 A ( AT A) 2
若 A Rnn 为对称阵， A ( A) 2 （因为 ( AT A) ( A2 ) ）
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线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量

线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量线性方程组是数学中的重要概念，它描述了线性关系的一种形式。

解决线性方程组可以帮助我们理解和解决各种实际问题，并且在数学和工程等领域有着广泛的应用。

而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的重要内容，它们与线性方程组之间有着密切的联系。

本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵的特征值与特征向量的相关知识。

一、线性方程组的解法1.1. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。

它通过消元操作将线性方程组化为最简形式，从而求出方程组的解。

具体步骤如下：步骤一：写出线性方程组的增广矩阵。

步骤二：利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形式。

步骤三：从最后一个非零行开始，利用回代法求解方程组的解。

1.2. 矩阵的逆另一种解决线性方程组的方法是使用矩阵的逆。

如果矩阵A可逆，那么我们可以通过左乘矩阵A的逆来求解线性方程组Ax=b，即x=A^(-1)b。

1.3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法。

它利用矩阵的行列式来求解方程组的解。

具体步骤如下：步骤一：计算系数矩阵A的行列式D。

步骤二：计算替换掉系数矩阵A的第i列为常数向量b后的行列式D_i。

步骤三：方程组的解为x_i=D_i/D。

二、矩阵的特征值与特征向量2.1. 特征值与特征向量的定义给定n阶矩阵A，如果存在非零向量x使得Ax=λx，其中λ为常数，那么向量x称为矩阵A的特征向量，常数λ称为矩阵A的特征值。

2.2. 特征值与特征向量的计算要计算矩阵A的特征值与特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤一：求解矩阵A-λI的零空间，其中I为单位矩阵。

步骤二：将零空间中的向量标准化，得到单位特征向量。

步骤三：通过将特征向量代入矩阵A-λI的定义式，计算对应的特征值。

2.3. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在矩阵理论中有着广泛的应用。

例如，它们可以用于矩阵的对角化，从而简化矩阵的计算；它们还可以用于解决微分方程和差分方程等应用问题。

线性代数方程组的直接解法赖志柱

第二章线性代数方程组的直接解法教学目标：1.了解线性代数方程组的结构、基本理论以及相关解法的发展历程；2.掌握高斯消去法的原理和计算步骤，理解顺序消去法能够实现的条件，并在此基础上理解矩阵的三角分解（即LU分解），能应用高斯消去法熟练计算简单的线性代数方程组；3.在理解高斯消去法的缺点的基础上，掌握有换行步骤的高斯消去法，从而理解和掌握选主元素的高斯消去法，尤其是列主元素消去法的理论和计算步骤，并能灵活的应用于实际中。

教学重点：1. 高斯消去法的原理和计算步骤；2. 顺序消去法能够实现的条件；3. 矩阵的三角分解（即LU分解）；4. 列主元素消去法的理论和计算步骤。

教学难点：1. 高斯消去法的原理和计算步骤；2. 矩阵的三角分解（即LU分解）；3. 列主元素消去法的理论和计算步骤。

教学方法：教具：引言在自然科学和工程技术中，许多问题的解决常常归结为线性方程组的求解，有的问题的数学模型中虽不直接表现为线性方程组，但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组。

例如，电学中的网络问题、船体数学放样中建立三次样条函数问题、最小二乘法用于求解实验数据的曲线拟合问题、求解非线性方程组问题、用差分法或有限元法求解常微分方程边值问题及偏微分方程的定解问题，都要导致求解一个或若干个线性方程组的问题。

目前，计算机上解线性方程组的数值方法尽管很多，但归纳起来，大致可以分为两大类：一类是直接法（也称精确解法）；另一类是迭代法。

例如线性代数中的Cramer法则就是一种直接法，但其对高阶方程组计算量太大，不是一种实用的算法。

实用的直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消元法，其它算法都是它的变形和应用。

在数值计算历史上，直接法和迭代法交替生辉。

一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。

一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。

对于中、低阶（200n ）以及高阶带形的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。

线性代数-线性方程组的解

1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0

解线性方程组的解法_图文

第三章
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组）同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将例1的求解过程写成矩阵形式：

第三章-线性方程组的解

线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d

线性代数解方程组的方法

线性代数解方程组的方法
解线性方程组的方法：第一种消元法；第二种克拉姆法则；第三种逆矩阵法；第四种增光矩阵法；第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令；目前这5中教为适用，适合一切齐次或者非齐次线性方程组。

第一种消元法,此法最为简单，直接消掉只剩最后一个未知数，再回代求余下的未知数，但只适用于未知数个数等于方程的个数，且有解的情况；
第二种克拉姆法则，如果行列式不等于零，则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式就是解；
第三种逆矩阵法，同样要求系数矩阵可逆，直接建立AX=b与线性方程组的关系，X=A^-1.*b就是解；
第四种增光矩阵法，利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换，化为简约形式,确定自由变量,（各行中第一个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量）,对自由变量进行赋值,求出其它未知数，然后写成基础解析的形式。

第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令。

中考重点线性方程组的解法

中考重点线性方程组的解法线性方程组是中学数学中的重要内容，也是中考数学考试的重点内容之一。

解线性方程组需要灵活运用数学知识和方法，下面将介绍一些中考常见的线性方程组的解法。

一、消元法消元法是解线性方程组最常用的方法之一，它通过消去未知数的系数，将方程组化简为更简单的形式。

例1：求解线性方程组2x + 3y = 83x - 2y = -1解：通过消元法，可以将方程组化简为：2x + 3y = 8 --（1）3x - 2y = -1 --（2）由方程（1）可以得到 x 的表达式：x = (8 - 3y)/2将 x 的表达式代入方程（2）中，可以得到 y 的表达式：3(8 - 3y)/2 - 2y = -1解方程得到：y = 2将 y 的值代入 x 的表达式，可以得到 x 的值：x = (8 - 3(2))/2 = 1所以，该线性方程组的解为：x = 1，y = 2。

二、代入法代入法是解线性方程组常用的方法之一，它通过先解出一个方程，然后将其代入另一个方程，从而求得未知数的值。

例2：求解线性方程组2x - y = 33x + 4y = 10解：首先，可以从第一个方程中解出 x 的值：2x - y = 3解得：x = (3 + y)/2将 x 的值代入第二个方程中：3(3 + y)/2 + 4y = 10解方程得到：y = 1将 y 的值代入第一个方程中，可以得到 x 的值：2x - 1 = 3解得：x = 2所以，该线性方程组的解为：x = 2，y = 1。

三、图解法图解法是解线性方程组直观易懂的方法之一，它通过将方程组表示在笛卡尔坐标系中的直线上，找出方程组共同交点的坐标来求解。

例3：求解线性方程组3x - 2y = 8x + y = 3解：将方程组表示在坐标系中，得到两条直线，如下图所示：[图片]由图可知，两条直线在点 (2, 1) 处交于一点，所以该线性方程组的解为：x = 2，y = 1。

四、增广矩阵法增广矩阵法是解线性方程组常用的线性代数方法之一，在中考中也有可能出现。

线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。

线性代数方程组的解法

线性方程组的几种求解方法

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计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法

07线性代数方程组的解法

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线性代数方程组的直接解法赖志柱

线性代数-线性方程组的解

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第三章-线性方程组的解

线性代数解方程组的方法

中考重点线性方程组的解法

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