二次根式(中考精选题)

期末复习(一) 二次根式

各个击破

命题点1 二次根式有意义的条件

【例1】 要使式子x ＋3

x －1

＋(x －2)0有意义，则x 的取值范围为____________． 【思路点拨】 从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义． 【方法归纳】

所给代数式的形式

x 的取值范围

整式 全体实数.

分式 使分母不为零的一切实数．注意不能随意约分，同时要区分“且”

和“或”的含义. 偶次根式 被开方式为非负数.

0次幂或负整数指数幂

底数不为零.

复合形式

列不等式组，兼顾所有式子同时有意义.

1．(潍坊中考)若代数式x ＋1

（x －3）2

有意义，则实数x 的取值范围是( )

A ．x ≥－1

B ．x ≥－1且x ≠3

C ．x ＞－1

D ．x ＞－1且x ≠3 2．若式子x ＋4有意义，则x 的取值范围是__________． 命题点2 二次根式的非负性

【例2】 (自贡中考)若a －1＋b 2－4b ＋4＝0，则ab 的值等于( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

【方法归纳】 这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解，通常利用的非负数有：(1)||x ≥0；(2)x 2≥0；(3)x ≥0.

3．(泰州中考)实数a ，b 满足a ＋1＋4a 2＋4ab ＋b 2＝0，则b a 的值为( ) A ．2 B.12 C ．－2 D ．－1

2

命题点3 二次根式的运算

【例3】 (大连中考)计算：3(1－3)＋12＋(13

)－

1.

【思路点拨】 先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可．

【方法归纳】 二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律． 4．(泰州中考)计算：1

2

12－(3

1

3

＋2)． 命题点4 与二次根式有关的化简求值

【例4】 (青海中考)先化简，再求值：y 2－x 2x 2－xy

÷(x ＋2xy ＋y 2x )·(1x ＋1

y )，其中x ＝2＋3，y ＝2－ 3.

【思路点拨】 运用分式的运算法则先化简原式，然后将x 和y 的值代入化简后的式子求值即可．

【方法归纳】 将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算．

5．(成都中考)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.

命题点5 与二次根式有关的规律探究

【例5】(黄石中考)观察下列等式：

第1个等式：a1＝

1

1＋2

＝2－1；

第2个等式a2＝

1

2＋3

＝3－2；

第3个等式：a3＝

1

3＋2

＝2－3；

第4个等式：a4＝

1

2＋5

＝5－2.

按上述规律，回答以下问题：

(1)请写出第n个等式：a n＝____________；

(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝____________．

【思路点拨】(1)观察上面四个式子可得第n个等式；(2)根据所得的规律可得a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2－1＋3－2＋2－3＋5－2＋…＋n＋1－n.

【方法归纳】规律的探究都遵循从特殊到一般的思维过程，在探究过程中要认真分析等式左右两边“变的量”与“不变的量”．

6．(菏泽中考)下面是一个按某种规律排列的数阵：

1 2第1

行

2

6第2

行

2 2

3 2 3 第3行

4 3 2 2

5 第4行

………………………

根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第n－2个数是____________(用含n的代数式表示)．整合集训

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列二次根式是最简二次根式的为()

A．23a B.8x2 C.y3 D.b 4

2．下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式为()

A. 6

B.32

C.18

D.75 3．(宁夏中考)下列计算正确的是()

A.a＋b＝ab B．(－a2)2＝－a4

C．(a－2)2＝a2－4 D.a÷b＝a

b(a≥0，b＞0)

4．化简3－3(1－3)的结果是()

A．3 B．－3 C. 3 D．－ 3

5．设m＝32，n＝23，则m，n的大小关系为()

A．m＞n B．m＝n

C．m＜n D．不能确定

6．已知x＋y＝3＋22，x－y＝3－22，则x2－y2的值为()

A．4 2 B．6 C．1 D．3－2 2

7．如果最简二次根式3a－8与17－2a可以合并，那么使4a－2x有意义的x的取值范围是() A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10

8．甲、乙两人计算a ＋1－2a ＋a 2的值，当a ＝5时得到不同的答案，甲的解答是a ＋1－2a ＋a 2＝a ＋（1－a ）2＝a ＋1－a ＝1；乙的解答是a ＋1－2a ＋a 2＝a ＋（a －1）2＝a ＋a －1＝2a －1＝9.下列判断正确的是( ) A ．甲、乙都对 B ．甲、乙都错 C ．甲对，乙错 D ．甲错，乙对 9．若a 3＋3a 2＝－a a ＋3，则a 的取值范围是( ) A ．－3≤a ≤0 B ．a ≤0 C ．a ＜0 D ．a ≥－3

10．已知一个等腰三角形的两条边长a ，b 满足|a －23|＋b －52＝0，则这个三角形的周长为( ) A ．43＋5 2 B ．23＋5 2

C ．23＋10 2

D ．43＋52或23＋10 2 二、填空题(每小题3分，共18分)

11．(常德中考)使代数式2x －6有意义的x 的取值范围是____________．

12．(金华中考)能够说明“x 2＝x 不成立”的x 的值是____________(写出一个即可)． 13．(南京中考)比较大小：5－3____________

5－2

2

.(填“＞”“＜”或“＝”) 14．若m ，n 都是无理数，且m ＋n ＝2，则m ，n 的值可以是m ＝____________，n ＝____________．(填一组即可) 15．在实数范围内分解因式：4m 2－7＝____________． 16．当x ≤0时，化简|1－x|－x 2的结果是__________． 三、解答题(共52分) 17．(8分)计算： (1)75×

63÷12

； (2)a(a ＋2)－a 2b ÷ b.

18．(10分)先化简，再求值：2(a ＋3)(a －3)－a(a －6)＋6，其中a ＝2－1.

19．(10分)(雅安中考)先化简，再求值：x 2＋y 2－2xy x －y ÷(x y －y

x )，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.

20．(12分)若实数a ，b ，c 满足|a －2|＋b －2＝c －3＋3－c.

(1)求a ，b ，c ；

(2)若满足上式的a ，b 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．

21．(12分)在如图8×10方格内取A ，B ，C ，D 四个格点，使AB ＝BC ＝2CD ＝4.P 是线段BC 上的动点，连接AP ，DP.

(1)设BP ＝a ，CP ＝b ，用含字母a ，b 的代数式分别表示线段AP ，DP 的长；

(2)设k ＝AP ＋DP ，k 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．