点的运动轨迹

点的运动轨迹

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

“动点路径”是一个比较抽象的问题，但在高中解析几何中的学习是非常有用的，也是非常重要的。在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变的关系。

常用的基本轨迹：

1、如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是______．

变式1、（2010桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD 上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是______．

变式2、如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是这两个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是______．

2、如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向

下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是_____．

母题：若3x t +=，5y t -=，则y 与x 之间的关系是 _________ ．

3、如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t ≥0）．

（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB= _________ ，PD= _________ ．

（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．

变式1：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝2．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ．

（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标；

（2）请直接写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长.

变式2：如图，边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ，过点P 作PD ⊥OB 于点D ．

（1）填空：PD 的长为 用含t 的代数式表示）；（2）求点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；

（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？求t 的值．若不能，说理由；

（4）填空：在点P 从O 向A 运动的过程中，点C 运动路线的长为 .

4、在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB= ，AP=1。将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）．

(1)当点E 与点B 重合时,点F 恰好与点C 重合(如图2),则PC 的长为 ;

(2)将直角尺从图2中的位置开始,绕点P 顺时针旋转,当点E 和点A 重合时停止.在这个过程中,从开始到停止,线段EF 的中点所经过的路径(线段)长为 。

x y O A B D C

P x y O A B

变式、如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终

点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，

设从出发起运动了x秒．

（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；

（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

（3）记PQ的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．

5、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的

中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是。

．

变式、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．

问题思考：

如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．

（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．

问题拓展：

（2）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．

（3）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．