运动控制算法轨迹规划
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速度的值越大，过渡长度越短。
f
h
0
0 th tf t
带抛物线过渡的线性插值（2）
d、过路径点的用抛物线过渡的线性插值 如图所示，某个关节在运动中设有n个路径点，其中三个相
邻的路径点表示为j，k和l，每两个相邻的路径点之间都以线性 函数相连，而所有的路径点附近则有抛物线过渡。（同样存在多 解）
a.基于模型和基于传感器的路径规划 基于模型的方法有：c-空间 法、自由空间法、网格法、四叉 树法、矢量场流的几何表示法等。
相应的搜索算法有A*、遗传算法
等。
B
D C
图中A区域的位置码 (Location Code:LC)为3031。 问：图中B，C，D区域的位置码 LC为?
b.全局路径规划（Global Path Planning）和局部路径规划 （Local Path Planning）
b. 过路径点的三次多项式插值 方法是：把所有路径点都看成是“起点”或“终点”，求解 逆运动学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项
式插值函数，把路径点平滑的连接起来。不同的是，这些“起点”
和“终点”的关节速度不再是零。
3
0
0 t0 t1 t2 t
同理可以求得此时的三次多项式系数：
►
运动规划通常又称运动插补。插补就是按给定曲线生成相 应逼近轨迹的方法，其实质是对给定曲线进行“数据点的 密化”。数控加工零件的刀具路径一般由直线、圆弧、椭 圆等简单曲线或B样条、NURBS等复杂曲线组成。对于由 简单曲线组成的刀具路径，可以由相应的简单插补算法进 行插补。如对于直线路径有直线插补算法，对于圆弧路径 则有缘故插补算法。而对于复杂曲线组成的刀具路径目前 一般有两种做法：第一种做法是预先将这些复杂曲线按照 给定的精度要求分成大量的直线或圆弧段，再由数控系统 对这些直线或圆弧段进行插补运算；另外一种做法是直接 讲这些复杂曲线的参数传递到数控系统中，由数控系统对 这些复杂曲线进行实时插补运算
c、用抛物线过渡的线性插值 单纯线性插值将导致在结点处关节运动速度不连续，加速度
无限大。
0
t
解决办法：在使用线性插值时，
f
把每个结点的邻域内增加一段抛
物线的“缓冲区段”，从而使整
0
0 tb tf-tb tf t
带抛物线过渡的线性插值（1）
个轨迹上的位移和速度都连续。
对于多解情况，如右图所示。加
运动控制算法
►
►
传统的交流伺服系统只能实现对速度的闭环控制，还不能 直接实现对位置的闭环控制。要实现对位置的闭环控制，必 须在伺服电机和控制系统之间构成一个位置环。这个位置环 是由数字伺服控制单元来完成的。位置环的功能是实现位置 闭环控制，输入脉冲实际上是一个差动脉冲，即由预先设定 好的脉冲给定与反馈回的实际测量脉冲的差值，即根据给定 位置和测量位置以及动态的误差，计算所要求要达到的速度 参考，并将其提供给伺服驱动单元。如图1所示为数字伺服 控制单元的运动控制算法框图： 整个数字伺服控制系统是靠实时监控和调整速度参数，即伺 服驱动单元的输入脉冲来控制伺服马达。而运动控制算法用 来计算这个速度参数。由上图，可以看出速度参数是由位置 给定、测量脉冲和反馈误差这三个参数来决定的。整个算法 是以PID(比例、积分和微分)控制为理论基础，其最大的优 点在于不需了解被控对象的数学模型，只要根据经验调整上 述增益参数，便可获得满意的结果。
（2）为了保证每个路径点上的加速度连续，由控制系统按照 此要求自动地选择路径点的速度。
（3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方
法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法 用两条三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所
要求的轨迹。其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度
算法的实现
► 根据上述运动控制算
法的分析，利用C语 言设计、编制了全闭 环运动控制的测试程 序。具体的控制流程 图如下：为了增强系 统的稳定性，位置增 量采取限幅处理，因 为位置增量过大不利 于安全操作和系统的 稳定，而输出限幅处 理是为了在位置设定 值突变时，防止计算 结果可能大于执行机 构的极限。
► 运动控制的控制对象在启动和停止阶段分别
会出现加速和减速的过度过程。这既是伺服 电机对速度指令的时域响应而产生的自然现 象，又是为了保证进给运动的平稳而经人为 顺势设计的。为了保证伺服系统运动的平稳 性，要避免冲击和振荡，做到启动时不失步、 停止时不超程，就必须对过渡过程进行专门 而有效的加速控制，使加减速过程按照所采 用的控制算法进行。
tC
tD t
路径点上速度的自动生成
如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运动轨 迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终点都规定 了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系数），则要用 一个五次多项式进行插值。
(t ) a0 a1t a2t 2 a3t 3 a4t 4 a5t 5
此时的 速度约 束条件 变为：
(0) 0 (t f ) f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位 置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的关节
速度，有以下三种方法：
（1） 根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和角速
度来确定每个路径点的关节速度 ；该方法工作量大。
机器人的轨迹规划
1 工业机器人的轨迹规划
{xk}
任务规划 器 压缩的数 据 图像分析 器 I(k,e) 摄象机
wk.baidu.com
q(t) qd(t)
轨迹规划 器 机器人控 (t ) 操作臂动 制器 力学 操作臂运 动学
x(t) 环境
F(t)
力传感器
任务规划器
１.轨迹规划的一般性问题 这里所谓的轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和 加速度。 常见的机器人作业有两种：
多项式函数来“内插”或“逼近”给定的路径，并产生一系列的
控制点。 a. 三次多项式插值 只给定机器人起始点和终 止点的关节角度。
f
0
0 tf
单个关节的不同轨迹曲线
t
为了实现平稳运动，轨迹函数至少需要四个约束条件。即 ————满足起点和终点的关节角度约束
————满足起点和终点的关节速度约束（满 足关节速度的连续性要求）
c.离线路径规划和在线路径规划 离线路径规划是基于环境先验完全信息的路径路径规划。 完整的先验信息只能适用于静态环境，这种情况下，路径是离 线规划的；在线路径规划是基于传感器信息的不确定环境的路
径规划。在这种情况下，路径必须是在线规划的。
2. 机器人的动作规划
一般来讲，移动机器人有三个自由度（X，Y，θ），机械手
解上面四个方程得：
注意：这组解只适用于关节起点、终点速度为零的运动情况。
例：设只有一个自由度的旋转关节机械手处于静止状态时， =150，要在3s内平稳运动到达终止位置： 止点的速度为零。 解： 将上式的已知条件代入以下四个方程得四个系数： =750，并且在终
因此得：
(t ) 15.0 20.0t 2 4.44t 3 (t ) 40.0t 13.32t 2 (t ) 40.0 26.64t
数控系统中用到的运动规划算法
►
►
►
逐点比较插补法：从给定的轨迹点出发，每进给一步都要与 给定轨迹上的坐标值进行比较，决定下一步的进给朝着减少 偏差的方向运动，直至到达轨迹的终点。 数字积分法（DDA法）：利用对速度分量的积分的方法来分 配脉冲，控制目标沿给定的路径平稳移动。其插补速度较快， 输出脉冲均匀，易于实现多坐标联动。 时间分割法：又叫数据采样插补法。是把加工一段直线或圆 弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间 隔（或插补周期），每经过一个单位时间间隔就进行一次插 补计算，算出在这段时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算， 边加工，直至加工结束。其插补速度更快，对于复杂多维曲 线的运动规划尤其有利。
j l k 0
多段带有抛物线过渡的线性插值轨迹
t
如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？
可以在此结点两端规定两个“伪结点”，令该结点在两伪结点的
连线上，并位于两过渡域之间的线性域上。
伪节点
原节点
0
用伪节点的插值曲线
t
2 移动机器人的轨迹规划
1. 机器人的路径规划（一般指位置规划）
运动控制系统中的算法
► 运动控制设计两个基本问题：一是运动规划；二是
控制算法，运动规划是在给定的路径端点之间插入 用于控制的中间点序列从而实现沿给定的平稳运动。 运动控制则是主要解决如何控制目标系统准确跟踪 指令轨迹的问题。即对于给定的指令轨迹，选择适 合的控制算法和参数，产生输出，控制目标实时， 准确地跟踪给定的指令轨迹。
也要连续。
g
v
0
0
t0
tv
tg t
对于方法（3）， 这里所说的启发式方法很简单，即假设用 直线段把这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径 点处改变符号，则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号， 则选择路径点两侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。
A
D
C
0
B
t0
tA tB
迹规划器从一类函数（例如n次多项式）选取参数化轨迹，对结
点进行插值，并满足约束条件。 第二种方法要求给出运动路径的解析式。
轨迹规划既可以在关节空间也可以在直角空间中进行。
2.关节轨迹的插值
关节空间法计算简单、容易。再者，不会发生机构的奇异性
问题。
轨迹规划方法一般是在机器人的初始位置和目标位置之间用
有6个自由度（3个位置自由度和3个姿态自由度）。因此，移动机
器人的动作规划不是在2个位置自由度（X，Y）构成的2维空间， 而是要搜索位置和姿态构成的3维空间。如图所示。
自主移动机器人的导航问题要解决的是： （1）“我现在何处？”； （2）“我要往何处去？”； （3）“要如何到该处去？”。
局部路径规划主要解决（1）和（3）两个问题，即机器人 定位和路径跟踪问题；方法主要有：人工势场法 、模糊逻辑算 法等 。
全局路径规划主要解决（2），即全局目标分解为局部目 标，再由局部规划实现局部目标。主要有：可视图法 、环境分 割法（自由空间法 、栅格法 ）等 ；
•点位作业（PTP=point-to-point motion） •连续路径作业（continuous-path motion），或者称为轮廓运动
（contour motion）。
操作臂最常用的轨迹规划方法有两种：
第一种是要求对于选定的轨迹结点（插值点）上的位姿、速 度和加速度给出一组显式约束（例如连续性和光滑程度等），轨
f
h
0
0 th tf t
带抛物线过渡的线性插值（2）
d、过路径点的用抛物线过渡的线性插值 如图所示，某个关节在运动中设有n个路径点，其中三个相
邻的路径点表示为j，k和l，每两个相邻的路径点之间都以线性 函数相连，而所有的路径点附近则有抛物线过渡。（同样存在多 解）
a.基于模型和基于传感器的路径规划 基于模型的方法有：c-空间 法、自由空间法、网格法、四叉 树法、矢量场流的几何表示法等。
相应的搜索算法有A*、遗传算法
等。
B
D C
图中A区域的位置码 (Location Code:LC)为3031。 问：图中B，C，D区域的位置码 LC为?
b.全局路径规划（Global Path Planning）和局部路径规划 （Local Path Planning）
b. 过路径点的三次多项式插值 方法是：把所有路径点都看成是“起点”或“终点”，求解 逆运动学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项
式插值函数，把路径点平滑的连接起来。不同的是，这些“起点”
和“终点”的关节速度不再是零。
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0 t0 t1 t2 t
同理可以求得此时的三次多项式系数：
►
运动规划通常又称运动插补。插补就是按给定曲线生成相 应逼近轨迹的方法，其实质是对给定曲线进行“数据点的 密化”。数控加工零件的刀具路径一般由直线、圆弧、椭 圆等简单曲线或B样条、NURBS等复杂曲线组成。对于由 简单曲线组成的刀具路径，可以由相应的简单插补算法进 行插补。如对于直线路径有直线插补算法，对于圆弧路径 则有缘故插补算法。而对于复杂曲线组成的刀具路径目前 一般有两种做法：第一种做法是预先将这些复杂曲线按照 给定的精度要求分成大量的直线或圆弧段，再由数控系统 对这些直线或圆弧段进行插补运算；另外一种做法是直接 讲这些复杂曲线的参数传递到数控系统中，由数控系统对 这些复杂曲线进行实时插补运算
c、用抛物线过渡的线性插值 单纯线性插值将导致在结点处关节运动速度不连续，加速度
无限大。
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解决办法：在使用线性插值时，
f
把每个结点的邻域内增加一段抛
物线的“缓冲区段”，从而使整
0
0 tb tf-tb tf t
带抛物线过渡的线性插值（1）
个轨迹上的位移和速度都连续。
对于多解情况，如右图所示。加
运动控制算法
►
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传统的交流伺服系统只能实现对速度的闭环控制，还不能 直接实现对位置的闭环控制。要实现对位置的闭环控制，必 须在伺服电机和控制系统之间构成一个位置环。这个位置环 是由数字伺服控制单元来完成的。位置环的功能是实现位置 闭环控制，输入脉冲实际上是一个差动脉冲，即由预先设定 好的脉冲给定与反馈回的实际测量脉冲的差值，即根据给定 位置和测量位置以及动态的误差，计算所要求要达到的速度 参考，并将其提供给伺服驱动单元。如图1所示为数字伺服 控制单元的运动控制算法框图： 整个数字伺服控制系统是靠实时监控和调整速度参数，即伺 服驱动单元的输入脉冲来控制伺服马达。而运动控制算法用 来计算这个速度参数。由上图，可以看出速度参数是由位置 给定、测量脉冲和反馈误差这三个参数来决定的。整个算法 是以PID(比例、积分和微分)控制为理论基础，其最大的优 点在于不需了解被控对象的数学模型，只要根据经验调整上 述增益参数，便可获得满意的结果。
（2）为了保证每个路径点上的加速度连续，由控制系统按照 此要求自动地选择路径点的速度。
（3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方
法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法 用两条三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所
要求的轨迹。其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度
算法的实现
► 根据上述运动控制算
法的分析，利用C语 言设计、编制了全闭 环运动控制的测试程 序。具体的控制流程 图如下：为了增强系 统的稳定性，位置增 量采取限幅处理，因 为位置增量过大不利 于安全操作和系统的 稳定，而输出限幅处 理是为了在位置设定 值突变时，防止计算 结果可能大于执行机 构的极限。
► 运动控制的控制对象在启动和停止阶段分别
会出现加速和减速的过度过程。这既是伺服 电机对速度指令的时域响应而产生的自然现 象，又是为了保证进给运动的平稳而经人为 顺势设计的。为了保证伺服系统运动的平稳 性，要避免冲击和振荡，做到启动时不失步、 停止时不超程，就必须对过渡过程进行专门 而有效的加速控制，使加减速过程按照所采 用的控制算法进行。
tC
tD t
路径点上速度的自动生成
如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运动轨 迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终点都规定 了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系数），则要用 一个五次多项式进行插值。
(t ) a0 a1t a2t 2 a3t 3 a4t 4 a5t 5
此时的 速度约 束条件 变为：
(0) 0 (t f ) f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位 置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的关节
速度，有以下三种方法：
（1） 根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和角速
度来确定每个路径点的关节速度 ；该方法工作量大。
机器人的轨迹规划
1 工业机器人的轨迹规划
{xk}
任务规划 器 压缩的数 据 图像分析 器 I(k,e) 摄象机
wk.baidu.com
q(t) qd(t)
轨迹规划 器 机器人控 (t ) 操作臂动 制器 力学 操作臂运 动学
x(t) 环境
F(t)
力传感器
任务规划器
１.轨迹规划的一般性问题 这里所谓的轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和 加速度。 常见的机器人作业有两种：
多项式函数来“内插”或“逼近”给定的路径，并产生一系列的
控制点。 a. 三次多项式插值 只给定机器人起始点和终 止点的关节角度。
f
0
0 tf
单个关节的不同轨迹曲线
t
为了实现平稳运动，轨迹函数至少需要四个约束条件。即 ————满足起点和终点的关节角度约束
————满足起点和终点的关节速度约束（满 足关节速度的连续性要求）
c.离线路径规划和在线路径规划 离线路径规划是基于环境先验完全信息的路径路径规划。 完整的先验信息只能适用于静态环境，这种情况下，路径是离 线规划的；在线路径规划是基于传感器信息的不确定环境的路
径规划。在这种情况下，路径必须是在线规划的。
2. 机器人的动作规划
一般来讲，移动机器人有三个自由度（X，Y，θ），机械手
解上面四个方程得：
注意：这组解只适用于关节起点、终点速度为零的运动情况。
例：设只有一个自由度的旋转关节机械手处于静止状态时， =150，要在3s内平稳运动到达终止位置： 止点的速度为零。 解： 将上式的已知条件代入以下四个方程得四个系数： =750，并且在终
因此得：
(t ) 15.0 20.0t 2 4.44t 3 (t ) 40.0t 13.32t 2 (t ) 40.0 26.64t
数控系统中用到的运动规划算法
►
►
►
逐点比较插补法：从给定的轨迹点出发，每进给一步都要与 给定轨迹上的坐标值进行比较，决定下一步的进给朝着减少 偏差的方向运动，直至到达轨迹的终点。 数字积分法（DDA法）：利用对速度分量的积分的方法来分 配脉冲，控制目标沿给定的路径平稳移动。其插补速度较快， 输出脉冲均匀，易于实现多坐标联动。 时间分割法：又叫数据采样插补法。是把加工一段直线或圆 弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间 隔（或插补周期），每经过一个单位时间间隔就进行一次插 补计算，算出在这段时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算， 边加工，直至加工结束。其插补速度更快，对于复杂多维曲 线的运动规划尤其有利。
j l k 0
多段带有抛物线过渡的线性插值轨迹
t
如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？
可以在此结点两端规定两个“伪结点”，令该结点在两伪结点的
连线上，并位于两过渡域之间的线性域上。
伪节点
原节点
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用伪节点的插值曲线
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2 移动机器人的轨迹规划
1. 机器人的路径规划（一般指位置规划）
运动控制系统中的算法
► 运动控制设计两个基本问题：一是运动规划；二是
控制算法，运动规划是在给定的路径端点之间插入 用于控制的中间点序列从而实现沿给定的平稳运动。 运动控制则是主要解决如何控制目标系统准确跟踪 指令轨迹的问题。即对于给定的指令轨迹，选择适 合的控制算法和参数，产生输出，控制目标实时， 准确地跟踪给定的指令轨迹。
也要连续。
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tg t
对于方法（3）， 这里所说的启发式方法很简单，即假设用 直线段把这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径 点处改变符号，则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号， 则选择路径点两侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。
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迹规划器从一类函数（例如n次多项式）选取参数化轨迹，对结
点进行插值，并满足约束条件。 第二种方法要求给出运动路径的解析式。
轨迹规划既可以在关节空间也可以在直角空间中进行。
2.关节轨迹的插值
关节空间法计算简单、容易。再者，不会发生机构的奇异性
问题。
轨迹规划方法一般是在机器人的初始位置和目标位置之间用
有6个自由度（3个位置自由度和3个姿态自由度）。因此，移动机
器人的动作规划不是在2个位置自由度（X，Y）构成的2维空间， 而是要搜索位置和姿态构成的3维空间。如图所示。
自主移动机器人的导航问题要解决的是： （1）“我现在何处？”； （2）“我要往何处去？”； （3）“要如何到该处去？”。
局部路径规划主要解决（1）和（3）两个问题，即机器人 定位和路径跟踪问题；方法主要有：人工势场法 、模糊逻辑算 法等 。
全局路径规划主要解决（2），即全局目标分解为局部目 标，再由局部规划实现局部目标。主要有：可视图法 、环境分 割法（自由空间法 、栅格法 ）等 ；
•点位作业（PTP=point-to-point motion） •连续路径作业（continuous-path motion），或者称为轮廓运动
（contour motion）。
操作臂最常用的轨迹规划方法有两种：
第一种是要求对于选定的轨迹结点（插值点）上的位姿、速 度和加速度给出一组显式约束（例如连续性和光滑程度等），轨