大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案

第6章 真空中的静电场 习题及答案

1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零

解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷

q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以

2

00

200)

1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x

2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)(2)这种平衡与三角形的边长有无关系

解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以

2

220)3

3(π4130cos π412a q q a q '=︒εε

故 q q 3

3-

=' (2)与三角形边长无关。

3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为

)

(4220R x dq

dE +=

πε

根据电荷分布的对称性知，0==z y E E

2

3220)(41 cos R x xdq

dE dE x +=

=πεθ

式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。

⎰+=

2

32

20)(4dq R x x

E x πε 232210)(24R x R x +⋅=πλπε2

32201)(2R x x

R +=ελ 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为

dq E dF x =dx R x x

R 2

322021)(2+=

ελλ

方向沿x 轴正方向。

直线段受到的电场力大小为

⎰=dF F dx R x x

R l ⎰+=

02

3220

21)(ελλ2

R O

λ1

λ2

l

x

y

z

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-

=

2/1220211

1R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。

4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆心处O 点的场强；

（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。 解：（1）在半圆环上取ϕλλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为

20π4R dq dE ε=

ϕελ

d R

0π4= ，方向沿半径向外

根据电荷分布的对称性知，0=y E

ϕϕελ

ϕd R

dE dE x sin π4sin 0=

=

R d R E x 000π2sin π4ελϕϕελπ==⎰

故 R

E E x 0π2ελ

==，方向沿x 轴正向。

（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。

解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dx L

q

dx dq =

=λ，dq 在P 点产生的场强大小为 2

02044x

dx

x dq dE πελπε==

，方向沿x 轴负方向。 故 P 点场强大小为 ⎰

⎰+=

=L

d d

P x

dx

dE E 2

04πελ ()

L d d q

+π=04ε

方向沿x 轴负方向。

6. 一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。 在半球面上取宽度为dl 的细圆环，其带电量rdl dS dq πσσ2⋅=⋅=θθπσd R sin 22

⋅=， dq 在O 点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）

2

3

220)(4r x xdq

dE +=

πε ，方向沿x 轴负方向

利用几何关系，θcos R x =，θsin R r =统一积分变量，得

23

2

20)(4r x xdq

dE +=πε θθπσθπεd R R

R sin 2cos 4123

0⋅=

L

θθθεσ

d cos sin 20

=

因为所有的细圆环在在O 点产生的场强方向均沿为x 轴负方向，所以球心处电场强度的大小为

⎰=dE E θθθεσπd cos sin 22/00⎰=0

4εσ

= 方向沿x 轴负方向。

7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ，如图所示。试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强。

解：应用补偿法和场强叠加原理求解。

若把半径为R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为σσ-='的半径为R 的带电圆盘，由场强叠加原理知，P 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。

“无限大”带电平面在P 点产生的场强大小为

12εσ

=

E ，方向沿x 轴正方向 半径为R 、电荷面密度σσ-='的圆盘在P 点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上

的场强公式）

022εσ

=

E )1(22x

R x +-，方向沿x 轴负方向

故 P 点的场强大小为

2

20212x R x

E E E +=

-=εσ

方向沿x 轴正方向。

8. (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少

解：（1）由高斯定理0

d εq

S E s

⎰=⋅ 求解。立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通

量相等，所以通过各面电通量为

6εq

e =

Φ （2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则通过边长a 2的正方形各面的电通量0

6εq e =

Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则0

24εq

e =Φ，如果它包含q 所在顶点，则0=Φe 。

9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强。 解：如图所示，电荷面密度为1σ的平面产生的场强大小为

1

2εσ=

E ，方向垂直于该平面指向外侧 电荷面密度为2σ的平面产生的场强大小为

2σ

1σ