不等式知识点详解

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │

§06. 不 等 式 知识要点

1. 不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.

（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质

（1）a b b a <⇔>（对称性）

（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）

（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）

（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.

（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）

（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）

(9)0,0a b a b c d c d

>><<⇒

>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b

>>⇒

<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若

（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么

.2

a b +≤（当仅当a=b 时取等号）

极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：

○

1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

,3

a b c a b c R +++∈(4)若、、则

a=b=c 时取等号） 0,2b a

ab a b

>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）

2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或

（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式

（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么

211

2

a b

a b

+≤+（当仅当

a=b

时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22

a b a b ab ++==）

),,,(332

222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：2212

22

21)...(1

...n n a a a n

a a a +++≥+++ 注：例如：2

2

2

2

2

()()()ac bd a b c d +≤++.

常用不等式的放缩法：①21111111

(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n

-==-≥++--p p

1)n =

=≥p

p

（2）柯西不等式： 时取等号

当且仅当（则

若n

n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====++++

++

+≤++++∈∈ΛΛ

ΛΛΛΛ33

2211223

2

22122

3

22

21

2

332211321321)

)(();,,,,,,,,

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有

12121212()()

()()(

)(

).22

22

x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或

则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；

②一元二次不等式ax 2

+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()()0()

()

0()()0;0()0

()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1

()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭

⎪>⎩

定义域

○2

⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0

)(0)()]

([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪

⎨⎧<≥≥⇔<2

)]

([)(0

)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式

()()()()()(1)()();

(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b

>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>

（5）对数不等式：转化为代数不等式

()0

()0log ()log ()(1)()0;

log ()log ()(01)()0

()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪

⎪

>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩

⎩

（6）含绝对值不等式

○

1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ⎩

⎨⎧>-<>≤⇔>⎩

⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为

注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124

(1)2(1)(1)()22327

x x x x x -=

⋅--≤=

②2222

2

32(1)(1)124(1)()223279

x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤

类似于2

2

sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x

+=+≥与同号，故取等