[理学]第6-8章 图论2
合集下载
西安交通大学-刘国荣-离散数学 第八章 图论[2]
![西安交通大学-刘国荣-离散数学 第八章 图论[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/c7421e01844769eae009ed9a.png)
10
离散数学
[证]. (采用增边删边法及抻路法) G中有Euler路P=(v1, v2,, vk) G=G{(v1, vk)}中有Euler圈C=(v1, v2,, vk , v1) G是连通的且G中全是偶结点 (Euler定理) G是连通的且G中恰有两个奇结点v1, vk (删掉边e=(v1, vk)) 。
5
8
9
10
6 11
12
图6
13
离散数学
定理2. 设G＝(V,E)是无孤立点的有向图。那么， G是Euler图 G是(弱)连通的且G中每个结点的出度都等于进度。 [ 证 ] . 仿定理 1 的证明可证。只不过这里的 Euler 圈应是有 向圈。 定理3 设 G＝(V,E) 是无孤立点的有向图。那么， G中有Euler路 G是(弱)连通的且G中除两个结点外，其余每个结点的 出度都等于进度。而这两个结点：一个结点的进度比 出度大1(终点)，另一个结点的出度比进度大1(起点)。 [ 证 ] . 仿定理 1 推论的证明可证。只不过这里的 Euler 路应 是有向路。
离散数学
注：此序列称为De Bruijn序列。这一应用是由Good(1946)提出的。
按此序列来设计磁鼓绝 缘体及导体的位置最为合 理(如图9所示)，可以读出 全部(八个)三位二进制数： 通电 000,001,011,111, 110,101,010,100 。
c
b a
旋转方向
应用二：一笔画问题 对于一个给定的图，究竟需要多少笔才能画成？这里 只讨论连通图的一笔画问题。因为假若一个图是不连通 的，则此图的笔画问题就可以归结成对各连通支笔画的 讨论。
17
图9
离散数学
连通图的笔画是由图中奇结点的个数决定的。 本章§2定理2已经证明过：图中奇结点的个数是偶数。 所以奇结点是成对出现的，即为2k个。 (1)当k=0,1时，此连通图是一笔画的； (2) 当 k>1时，此连通图是 k 笔画的 ( 更进一步地，存在 着k 条边不重的路)。 应用三：中国邮路问题 一个邮递员，每次送信，领取邮件，由邮局出发，要 走遍他所负责的投递范围内的每一条街道，完成投递任 务后，再返回邮局。 问题是：他应该沿着怎样的路线走，使所走的总路程 最短？
离散数学
[证]. (采用增边删边法及抻路法) G中有Euler路P=(v1, v2,, vk) G=G{(v1, vk)}中有Euler圈C=(v1, v2,, vk , v1) G是连通的且G中全是偶结点 (Euler定理) G是连通的且G中恰有两个奇结点v1, vk (删掉边e=(v1, vk)) 。
5
8
9
10
6 11
12
图6
13
离散数学
定理2. 设G＝(V,E)是无孤立点的有向图。那么， G是Euler图 G是(弱)连通的且G中每个结点的出度都等于进度。 [ 证 ] . 仿定理 1 的证明可证。只不过这里的 Euler 圈应是有 向圈。 定理3 设 G＝(V,E) 是无孤立点的有向图。那么， G中有Euler路 G是(弱)连通的且G中除两个结点外，其余每个结点的 出度都等于进度。而这两个结点：一个结点的进度比 出度大1(终点)，另一个结点的出度比进度大1(起点)。 [ 证 ] . 仿定理 1 推论的证明可证。只不过这里的 Euler 路应 是有向路。
离散数学
注：此序列称为De Bruijn序列。这一应用是由Good(1946)提出的。
按此序列来设计磁鼓绝 缘体及导体的位置最为合 理(如图9所示)，可以读出 全部(八个)三位二进制数： 通电 000,001,011,111, 110,101,010,100 。
c
b a
旋转方向
应用二：一笔画问题 对于一个给定的图，究竟需要多少笔才能画成？这里 只讨论连通图的一笔画问题。因为假若一个图是不连通 的，则此图的笔画问题就可以归结成对各连通支笔画的 讨论。
17
图9
离散数学
连通图的笔画是由图中奇结点的个数决定的。 本章§2定理2已经证明过：图中奇结点的个数是偶数。 所以奇结点是成对出现的，即为2k个。 (1)当k=0,1时，此连通图是一笔画的； (2) 当 k>1时，此连通图是 k 笔画的 ( 更进一步地，存在 着k 条边不重的路)。 应用三：中国邮路问题 一个邮递员，每次送信，领取邮件，由邮局出发，要 走遍他所负责的投递范围内的每一条街道，完成投递任 务后，再返回邮局。 问题是：他应该沿着怎样的路线走，使所走的总路程 最短？
(优选)离散数学图论版
(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
离散数学教学课件-第8章 图论
解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理 设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素
第八章图论
有向图是一个有序二元组(V，A)，记为 D＝(V，A)，其中 V＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点 的集合，A＝{a1，a2，……aq}是 q 条弧的集合，并且 ai 是一个有序二元组，记为 aij=(vi,vj)≠ (vj,vi)，vi,vj∈V，并称 aij 是以 vi 为始点，vj 为终点的弧， i, j 的顺序不能颠倒，图中弧的方 向用箭头标识。
27
Dijkstra标号法原理
方法的每一步是去修改 T 标号，并且把某一个具有 T 标号的点改变 为具有 P 标号的点，从而使 D 中具有标号的顶点数为多一个.这样至多
树与最小树问题
某企业的组织机构如下所示
生产计划科
行政办公室技术科工 设艺 计组 组
供销科Βιβλιοθήκη 财务科厂长 行政科
车间铸 锻造 压车 车间 间
生产办公室
二车间 三车间 四车间
18
树的概念和性质
树的定义
定义 无圈的连通图，称为树，记作 T=(V，ET)。
树的性质
v1
v3 7 v5
24
矩阵法举例
例 8.2 下面是一个求最小树的问题。用矩阵法求解
V3
7
V6
1
4
1
2
9
V1
3
3
V4
10
V7 3
V9
7
V2
4
8
6
5
V5
2
V8
25
最短路问题
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两 点之间距离最短的一条路
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线路选择 等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以归结为求最短 路问题
27
Dijkstra标号法原理
方法的每一步是去修改 T 标号，并且把某一个具有 T 标号的点改变 为具有 P 标号的点，从而使 D 中具有标号的顶点数为多一个.这样至多
树与最小树问题
某企业的组织机构如下所示
生产计划科
行政办公室技术科工 设艺 计组 组
供销科Βιβλιοθήκη 财务科厂长 行政科
车间铸 锻造 压车 车间 间
生产办公室
二车间 三车间 四车间
18
树的概念和性质
树的定义
定义 无圈的连通图，称为树，记作 T=(V，ET)。
树的性质
v1
v3 7 v5
24
矩阵法举例
例 8.2 下面是一个求最小树的问题。用矩阵法求解
V3
7
V6
1
4
1
2
9
V1
3
3
V4
10
V7 3
V9
7
V2
4
8
6
5
V5
2
V8
25
最短路问题
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两 点之间距离最短的一条路
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线路选择 等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以归结为求最短 路问题
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
第6-8章 图论2
5.设D是有向图，当且仅当D中有一条通过每个 D 结点的通路时，D为（ ）连通的。 答案：单向 6.设有向图D=<V，E>，V={a,b,c,d}, E={<a,b><a,d><d,c><b,d><c,d>},则D是 （ ）连通的，c的可达集为()，d(c,a)=()
6.设有向图D=<V,E>，V={a,b,c,d,}， E={<a,b>,<a,d>,<d,c>,<b,d>,<c,d>}, 则D是（ ）连通的，c的可达集为（ ），d(a,b)=（） 答案：单向 ｛c,d｝ 7.图６－１的点连通度为（），边连通度为（） 答案： １ １ 8.k5的点连通度为（），边连通度为（）。 答案： ４ ４
7.若无向图中恰有2个度数为奇数的结点，则这两个结 点必连通。（ ） 答案：T 8.在有向图中，结点间的可达关系是等价关系。（ ） 答案：F 9. 若有向图中有两个奇度结点，则它们中一个可达另 一个或互相可达。（ ） 答案：F
10.若图G不连通，则 G 必连通。（ ） 答案：T 11.有向图的每个结点恰位于一个单向分图中。（ ） 答案：F 12.图6-3为无强分图（ ） 答案：F 13.若图G的边e不包含在G的某简 图6-3 单回路中，则e是G的割边。（ ） 答案：T
22.设G= <V,E>为连通的简单平面图，若|V|>=3，则 所有结点v，有deg(v)<=5.（ ） 答案：F
第7章 树 章
树是图论中最重要的概念之一，它是基尔霍夫在解决 电路理论中求解联立方程时首先提出的。它又是图论 中结构最简单，用途最广泛的一种平面图，在计算机 科学的算法分析、数据结构等方面有着广泛的应用， 本章主要介绍树的基本概念、性质和若干应用。
第8章-图论PPT文档117页
第8章பைடு நூலகம்图论
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
第八章 图论原理(缩)
图论
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学. • 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象. • 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.
图论
• 图论在语言学、逻辑学、物理学、化学、 电气工程、计算机网络、计算机科学及数 学的其他分支中有广泛应用. • 在计算机科学中，图论在形式语言、数据 结构、分布式系统、操作系统及数据库研 究中均有很重要的应用. • 本篇结构
i 1
• d次正则图：所有结点均有相同次数d的图.
8.1.4 图中结点的次数
• 例：任何图G中必有偶数个() A. 引入次数为奇数的结点 B. 引出次数为奇数的结点 C. 次数为偶数的结点 D. 次数为奇数的结点 • 解： 引入次数与引出次数均指有向图, 这里是所有图 因为图中结点次数的总和为偶数, 因此次数为奇 数的结点数目为偶数. 所以选D.
• 例8.3 R={R1,R2,R3,R4} P={P1,P2,P3,P4} 其资源分配状况是： P1占有资源R4且申请资源R1; P2占有资源R1且申请资源R2及R3; P3占有资源R2且申请资源R3; P4占有资源R3且申请资源R1及R4. • 解： 其资源分配图：
8.2.1 通路与回路
• 例8.4 用有向图刻画过程间的调用关系，来判断某过 程是否是递归的. 一个过程集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系： P1调用P2； P2调用P4； P3调用P1； P4调用P5； P5调用P2； • 某过程是递归的充分必要条件是包括此过程在内的结 点构成一个回路. • (P2,P4,P5, P2 )构成一条回路, 故过程P2,P4和P5是递归 的
8.1.5 多重图与带权图
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学. • 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象. • 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.
图论
• 图论在语言学、逻辑学、物理学、化学、 电气工程、计算机网络、计算机科学及数 学的其他分支中有广泛应用. • 在计算机科学中，图论在形式语言、数据 结构、分布式系统、操作系统及数据库研 究中均有很重要的应用. • 本篇结构
i 1
• d次正则图：所有结点均有相同次数d的图.
8.1.4 图中结点的次数
• 例：任何图G中必有偶数个() A. 引入次数为奇数的结点 B. 引出次数为奇数的结点 C. 次数为偶数的结点 D. 次数为奇数的结点 • 解： 引入次数与引出次数均指有向图, 这里是所有图 因为图中结点次数的总和为偶数, 因此次数为奇 数的结点数目为偶数. 所以选D.
• 例8.3 R={R1,R2,R3,R4} P={P1,P2,P3,P4} 其资源分配状况是： P1占有资源R4且申请资源R1; P2占有资源R1且申请资源R2及R3; P3占有资源R2且申请资源R3; P4占有资源R3且申请资源R1及R4. • 解： 其资源分配图：
8.2.1 通路与回路
• 例8.4 用有向图刻画过程间的调用关系，来判断某过 程是否是递归的. 一个过程集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系： P1调用P2； P2调用P4； P3调用P1； P4调用P5； P5调用P2； • 某过程是递归的充分必要条件是包括此过程在内的结 点构成一个回路. • (P2,P4,P5, P2 )构成一条回路, 故过程P2,P4和P5是递归 的
8.1.5 多重图与带权图
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
图论第2章 基本概念ppt课件
列 S=(a1,a2,…,an,…)，即存在一个正整数，使
对任何正整数 n，都有an+= an。S 的一个 k 阶
子式 Si 定义为k 元组 Si = (ai, ai+1,…, ai+k1)。
具有最大的周期 使得 S1, S2, … , S 各不一样的
S 序列称为 k 阶 De Bruijn 序列。
关系 A 的关系图就是图 G 的图解。 [自环] A 中的自反性图解为环形，称为自环。 [多重边] 在表达实践问题的图解中能够出现反复的
关系定义，称为多重边。
1
2.1 图的概念
[简单图]不出现自环或多重边图解外形的图称为简单 图.
未加特别声明时，只讨论简单图。 [完全图]任何两个顶点之间都有弧相连的图称为完全
为奇数，k 1。那么 G 的边可划分成 k 条简单道 路。 ➢ [证明]〔构造法〕
25
2.5 Euler 回路
[有向图的 Euler 回路] 假设有向连通图 G=(V, A) 中存 在一条有向闭迹经过 G 的一切弧，那么称该闭迹 为 G中的一条 Euler 回路，称该图为 Euler 有向图。
[定理2-6-2] 设连通有向图 G=(V, A), 那么下述命题等 价: (1) G 是一个 Euler 有向图； (2) G 的每一个顶点的入度等于出度； (3) G 的弧集能被划分成假设干有向回路。
[闭迹]简单封锁有向道路称为闭迹。[circuit] [回路/圈]封锁有向路称为回路/圈/初级回路 。[cycle]
16
2.4 道路与回路
➢ 两个顶点之间假设有道路存在那么必有路存在。 ➢ 无向图具有完全类似的定义。
17
2.4 道路与回路
[定理2-2] 无向图 G=(V, E)，u, v V 且 u v。假设 u, v 之间存在两条不同的路，那么 G 中存在一条回 路。
图论-总结PPT课件
q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图，则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图，则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图，则T至少（多）有多少个生成树？
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
第八章 图论(第1-3节)
集合。
由点和弧所构成的图，称为有向图，记为 D = ( V, A )
，式中 V 是有向图的点集合G ； A 是有向图 G 的弧集
合。
第10页
无向图
有向图
第11页
5. 无向图中顶点数、边数的表示方式
顶点数：p(G)，简记为p。
边 数：q(G)，简记为q。
6. 有向图中顶点数、弧数的表示方式
顶点数：p(D)，简记为p。
边 数：q(D)，简记为q。
第12页
二、图的引申概念
1. 端点、始点、终点 无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, v ]∈ E，称
顶点 u 和 v 是边 e 的端点，也称顶点 u 和 v 是
相邻的。 u e v
第13页
有向图 D = ( V, A ) 中，弧 a = ( u, v )∈ A，称
第42页
3. 简单链和简单路
若链
v
i1
, e i , v i , e i ,..., v i
1 2 2
k 1
, ei
k 1
,vi
k
中，边
e i , e i ,..., e i
1 2
k 1
均不相同，则称之为简单链。
注：简单链中边无相同的，但可有相同的点。
第43页
若路
v
i1
, a i , v i , a i ,..., v i
第49页
v1
a4
v5
a5
a6 a1 a3
v4
v2
a2 v3
(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)不是一个回路。
第50页
5. 初等圈和初等回路
若圈 v i1 , e i1 , v i 2 , e i 2 ,..., v i k 1 , e i k 1 , v i1
Chapter6(图论) - 离散数学(图论篇)
6.1 无向图与有向图
1.在无向图的图形中边(u,v)无方向，在有向图的 图形中弧<u,v>有方向，方向的箭头从u指向v.
2.顶点集与边集或顶点集与弧集都是有限集的图， 称为有限图，本书只讨论有限图.
3.若图的顶点集的元素个数|V|=n，则称G是n阶 图.
4.若图的边集E=或弧集A=, 此时若|V|=n, 则 称图是n阶空图; 一阶空图又称平凡图.
6.1 无向图与有向图
• 以下定理常被称为握手引理。 定理6.1.1 设G=<V,E>是一无向图,则=2|E|;
设D=<V,A>是一有向图, 则 dD(v)=2|A|. 证明: 只需对无向图给出证明v.V 图中的任何
一边在计算各顶点度数之和时均提供了 2度,|E|条边共提供了2|E|度,此数即各顶 点的度之和.
6.1 无向图与有向图
• 设G=<V,E,>是无向图，且V’与E’分别是V与E 的非空子集。以V’为顶点集，以两个端点均在 V’中的全体边为边集并保持它们的关联关系得 到的G的子图，称为G的由V’导出的导出子图， 记为G[V’]; 以E’为边集, 以与E’中边关联的顶 点的全体为顶点集，并保持它们的关联关系 得到的G的子图，称为G的由E’导出的导出子 图，记为G[E’]。
6.1 无向图与有向图
7.若一个无向图G没有环与重边，则称G是无向 简单图。同样如果一个有向图D没有有向环与 重弧，则称D是有向简单图.
8.设G=<V,E>是无向图, u,vV, 若u,v有边相连，
则 则 e相称称互ue关1,v和是联e相2。是邻相的邻; 的若;E中若边u是e1e,e的2有端公点Байду номын сангаас，端则点称uu，与
[理学]集合论与图论6
![[理学]集合论与图论6](https://img.taocdn.com/s3/m/4bdf35ae1b37f111f18583d049649b6648d7099b.png)
1={A1,A2}, 2={A2,A3}, 3={A1,A2,A3,A4,A5} ≼1=I1{<A2,A1>}, ≼2=I2, ≼3=I3{<A2,A1>,<A3,A1>,<A4,A1>,<A5,A1>,
<A5,A2>,<A5,A3>,<A5,A4>}
2009-10-12
《集合论与图论》第6讲
38
可比, 严格小于, 覆盖
对R依次求三种闭包, 共有6种不同顺序, 其中哪些顺序一合论与图论》第6讲
4
例2.10解
解: 由于 sr(R)=rs(R), tr(R)=rt(R), st(R)ts(R)
所以6种顺序至多产生两种结果: tsr(R)=trs(R)=rts(R) str(R)=srt(R)=rst(R)
x与y模n同余 (be congruent modulo n) xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ)
同余(congruence)关系
2009-10-12
《集合论与图论》第6讲
13
同余关系是等价关系
自反性
对称性
x-x=0·n
x-y=k·n y-x=(-k)·n
传递性
第6讲 等价关系与序关系
内容提要 §2.7 等价关系和划分 §2.8 序关系
2009-10-12
《集合论与图论》第6讲
1
等价关系
设A, RAA R是等价(equivalence)关系
R是自反的, 对称的, 传递的
2009-10-12
《集合论与图论》第6讲
2
例2.9
关系
自反 对称 传递 等价关系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.设D=<V,E>为有向图,V={a,b,c,d,e,f}， E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<e,f>}是（ ） A.强连通图 B.单向连通图 C.弱连通图 D连通图 答案：C 14.设|V|>1;D=<V,E>是强连通图，当且仅当（ ） A.D中至少有一条通路 B.D中至少有一条回路 C.D中有通过每个结点至少一次的通路 D.D中有通过每个结点至少一次的回路 答案：D
9. K4中含3条边的不同构生成子图有（ ）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 10. 若简单图G与其补图G同构，成称G为自补图。则 含5个不同结点不同构的无向自补图的个数（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C
11.设G=<V,E>为无向图,u,vЄV,若u,v连通,则 ( )。 A.d（u,v）>0 B.d(u,v)=0 C.d(u,v)<0 D.d(u,v)>=0 答案:D 12.任何无向图中结点间的连通关系是（ ） A.偏序关系 B.等价关系 C.相容关系 D.拟序关系 答案：B
3.含5个结点、3条边的不同构的简单图有（ ）。 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：C 4.设G为有n个结点的简单图，则有（ ）。 A. △（G）＜n B. △ （G）≤n C. △ （G）＞ n D. △ （G） ≥n 答案：A
5.设G=（m，n），且G中每个结点的度数不是k就是 k=1，则G中读k的结点的个数是（ ）。 A.n/2 B.n（n+1） C.nk D.n（k+1）-2m 6.给定下列序列，可构成无向简单图的结点读数序列 的是（ ）。 A.（1，1，2，2，3） B.（1，1，2，2，2） C.（0，1，3，3，3） D.（1，3，4，4，5） 答案：B
Warshsll算法。 4.掌握欧拉图和哈密尔顿图的概念及其判别方法，能 够利用fleury 算法求欧拉回路，了解邮路问题，能够用近邻法求哈 密尔顿回路。 5.掌握平面图、面、边界、极大平面图、同胚等概念 及有关性质，能够判定一个图是否为平面图。 6.掌握最小点覆盖、最小边覆盖、最大点独立集、最 大边独立集（匹配）、最大匹配、完美匹配、完备匹 配、可增广路径等概念，能够利用相异性条件和t条件
外的元素均不为零，则图连通或强连通。否则图不连 通或不强连通。这是判定图的连通性非常有效的方法。
4.Dijkstra算法适合于求图中某个结点到另一个 结点或其他所有结点的最短路径。而Warshall 算法适合于求图中任意两个结点之间的最短路 径。利用Dijkstra算法也可求任意两结点间的最 短路径，但计算量比Warshall算法的大。 5.我们给出的判定一个图是半哈密而顿图或哈 密尔顿图的条件，只是必要条件或充分条件， 而非充要条件，在使用时须适当选择。
6.近邻法是近似算法,用它求得的哈密尔顿回路 不一定是最小权哈密尔顿回路,一般只是权接近 最小权的一条哈密尔顿 回路,偶尔求得的也是 最小权哈密尔顿回路. 7.我们给出的判别平面图的条件都是必要条件, 而非充分条件,即满足这些条件的图未必都是平 面图.因此,不容易判定一个图是平面图.但利用 这些定理的逆否命题判定一个图不是平面图却 很有效,即不满足这些条件的图必为非平面图.
8.判别一个二部图中存在完备匹配的相异性条件和t条 件分别是充要条件和充分条件,但t条件对任一二部图能 极容易地进行检验,因而在考虑用较为复杂的相异性条 件之前,可首先用t条件判断,如果t条件不成立,再用相异 性条件判断。 9.图是点（边或面）k-可着色的，是指能用k种颜色给 图的结点（边或面）着色，但k不一定是最少的颜色数。 图是点（边或面）k-色的，是指最少要用k种颜色绘图 的结点（边或面）着色。平面图的面着色问题一般化 为对其偶图的点着色问题。Welch-Powell算法是近似 算法，它给出的结点着色的颜色数不一定是最少的， 而是较少的。
判定二部图中是否存在完备匹配，了解可增广路径求 完备匹配的方法和思想。 7.掌握结点着色、边着色、面着色等概念及有关性质， 能够用Welch—power算法确定一个使图的颜色数尽可 能少的结点着色。
§6.2.2疑难点解析 1.当图的结点有环时，应特别注意结点的度的 计数。 2.两个图同构不仅须结点之间、边之间一一对 应，结点与边的关联关系也必须保持对应，而 后者往往容易被忽视，导致同构判断的错误。 3.利用图的邻接矩阵A构造Bn=A ，若B 主对角线
§6.3基本题
§6.3.1选择题
1.设D=<V，E>为有向图，则有（ ）。 A. E ∈ V*V B.EV*V C.V*VE D.V*V=E 答案：A
2.设G=<V，E>为无环的无向图|V|=6，|E|=16，则G 是（ ）。 A.完全图 B.零图 C.简单图 D.多重图 答案：C
第六章 图论
§6.2重点难点解析 §6.2.1基本要求
1.掌握图、无向图、有向图、关联、邻接、结点度数、 一些特殊图、子图、同构、通路、回路、通路长度、 结点之间的连通性与可达性、图的连通性、点割集、 割点、边割集、割边、点连通度、边连通度等概念及 有关性质并能够判定或证明图的有关结论。 2.掌握图的 邻接矩阵和关联矩阵的概念及有关性质， 能够利用邻接矩阵计算图中各种长度的通路和回路的 数目。 3.掌握求图中某个结点到其他任一结点的最短路径的 Dijkstra算法，以及求图中任意两个结点的最短路径的
Βιβλιοθήκη 7.图G和G’的结点和边分别存在一一对应关系是G和G’ 同构的（ ）。 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 8.n个结点可构造的简单无向图（含同构图）的个数是 （ ）。 A.2n B. 2n2 C.n2 D.2n(n-1)/2 答案：D