集合论与图论第二章
离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
离散数学教程（集合论与图论）离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数理逻辑集合论:（第1-4章）组合数学初步:（第5-7章）图论:（第8-11章）教师介绍⏹教师：吴永辉博士副教授⏹简历：⏹1984-1988 上海科技大学计算机系本科⏹1988-1991 复旦大学计算机系硕士⏹1991-2003 华东师范大学计算机系工作⏹1998-2001 复旦大学计算机系博士⏹2003-复旦大学计算机系工作⏹答疑E-mail: yhwu@《集合论与图论》课件制作软件⏹Microsoft PowerPoint⏹MathType Equation《集合论与图论》课程大纲⏹课程性质与目的⏹教学内容与要求⏹使用教材、参考书籍⏹命题说明和题型课程性质、目的与基本要求⏹课程性质本课程讲授计算机科学与技术的数学基础课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程之一。
本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。
⏹课程目的使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。
⏹基本要求：⏹掌握集合论、组合学和图论的基本概念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。
为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。
教学方式本课程以课堂讲授为主。
考核方式⏹平时作业；⏹集合论、组合数学和图论3次课堂练习；⏹期中，期末的两次笔试考试。
教学内容与要求----集合论⏹第一章集合的基本概念掌握：集合的基本概念，集合的运算。
了解：集合论的悖论。
掌握证明两个集合相等的基本法和公式法。
⏹第二章关系掌握：关系的性质、运算和关系的闭包，以及等价关系和偏序关系。
了解：关系在关系数据库中的应用。
掌握证明的类型。
第2章集合
N, N, 2.5∈Q, 3∈I. N,-3 N,但2.5∈Q,-3∈I.
二,集合的表示方法
列举法:按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内, 1,列举法 : 按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内, 元素 之间用逗号隔开. 之间用逗号隔开. 例如:A={2,a,b,9},B={4 例如:A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8} 描述法: 给定一个条件P(x) 当且仅当个体a P(a)成立时 P(x), 成立时, 2 , 描述法 : 给定一个条件 P(x) , 当且仅当个体 a 使 P(a) 成立时 , a∈A.其一般形式为A={a∣P(a)} a∈A.其一般形式为A={a∣P(a)}
2,集合的相等 ,
定义 两个集合间元素完全一样,则称它们相等. 两个集合间元素完全一样,则称它们相等. 能整除24}, 例如 设A={x | x∈N 且 x能整除 , ∈ 能整除 B={1, 2, 则 A=B (1){a, b, c} = {b, c, a} ) (2){a, b, c, c} = {a, b, c} ) }≠ 3, 4, 6, 8, 12, 24}
B. D.
{a} {{a}, a}
A B D
{a }∈{{a}, a}
答案: 答案:
2 设 S = {{a}, 3, 4, } , 试判断下列各式是否正 并将正确的题号填入括号内. 确,并将正确的题号填入括号内. A. B. {} S S C. D. ∈S { }∈S
答案: 答案: A B C
第六章
集 合 论 基 础
本章采用朴素集合论的方法, 本章采用朴素集合论的方法,介绍有关集合的一些 基本知识,内容显得较为直观,学起来易于接受. 基本知识,内容显得较为直观,学起来易于接受.但集 合及其相关的概念是本门课程后面各章内容的基础, 合及其相关的概念是本门课程后面各章内容的基础,读 者务必熟练的掌握. 者务必熟练的掌握. 主要内容如下: 主要内容如下: 6.1 6.3 集合的基本概念 集合恒等式 6.2 集合的运算
哈工大 集合与图论 讲义
第一篇集合论集合论是德国数学家康托（Contor）在1874年建立的，它是现代数学的基础，当今数学中的每个对象本质上都是集合。
有时我们说：“数学能嵌套在集合论中”其含义就是指数学的一些对象如数、函数、线、面等都可以用集合来定义。
换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。
例如：几何学是研究点、线、面的集合；数学分析是研究函数的集合；代数学是研究数的集合以及在此集合上有关运算的集合等。
因此，我们把集合论作为现代各种数学的基础是有道理的、合适的。
集合论也是计算机科学的重要工具。
集合论在程序设计、数据结构、形式语言、操作系统等计算机科学中，都有重要应用，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。
计算机科学领域中的大多数基本概念和理论，几乎均采用集合论的术语来描述和论证。
集合论主要有以下几个特点：第一、第一、它所研究的对象十分广泛。
例如数、图形或其它任何客体作为对象。
第二、第二、因为它研究的对象是如此广泛，为了便于研究，就必须寻找对象的共性。
而要做到这一点，就必须进行抽象。
第三、第三、在抽象化的基础上，可以用统一的方法来研究和处理集合论中的各种问题。
总之，集合论的主要特点是研究对象的广泛性，分析思考问题的抽象性和处理问题的统一性。
正是这些特点，使我们便于用它来描述和研究离散对象及其关系。
第一章集合及其运算基本要求1. 1.掌握集合、子集、全集、空集和幂集等概念。
熟悉常用的表示集合的方法以及用文氏图来表示集合的方法。
能够判定元素与集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握两个集合相等关系和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。
2. 2.熟练掌握集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。
3. 3.掌握余集与集合笛卡儿乘积的概念以及De Morgan公式。
4．掌握求解与有穷集合计数相关的实际问题。
1.1 必备知识和考试要点1.1.1基本定义集合是一个不能精确定义的数学概念。
集合论与图论
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
北大集合论与图论
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《集合论与图论》第1讲
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进度安排
课程将在4月底或5月初结束 第13周(5月18日)前考试
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《集合论与图论》第1讲
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成绩评定
书面作业占10%，3道题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
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《集合论与图论》第1讲
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章
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《集合论与图论》第1讲
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内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章
图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
办公室:
理科1#楼1708 电话: 62752366
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《集合论与图论》第1讲
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《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2003年2月
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教材
《集合论与图论》，离散数学二分册，
耿素云，北大出版社，1998年2月
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《集合论与图论》第1讲
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参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
lt@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
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《集合论与图论》第1讲
集合论与图论课件2
K3，3的子图。
平面图还存在着若干其他特征。
为了描述另外的特征，引入下面定义。
2.2 收缩图
定义3 设G=(V，E)是一个图，则
(1)若uw和wv是图G的两条边且deg(w)=2，用一条边uv代替uw和wv时，则称uw和wv被 缩减。
第十一页，共21页。
(2)若G的某些条边被缩减，产生的图称为G的缩减图，也称二度顶点内缩
第八页，共21页。
一个最大可平面图是一个可平面图，对此可平面图中不能再加入边而不破坏
可平面性。 推论2 设G=(p，q)是一个最大可平面图，则G的每个面都是三角形，而且q=3p-6。
推论3 若G=(p，q)是一个可平面连通图，而且G的每个面都是一个长为4的回路
围成的，则q=2p-4
推论4 若G=(p，q)是一个连通的平面图，p≥3，则q≤3p－6。
证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个
平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。
例９给出平面图G的对偶图G*为欧拉图的一个充分必要条件。并证明之。
第十五页，共21页。
分析：当且仅当G中每个面均由偶数条边围成，因为平面图G的每个面对应G*的每个顶， 而G*为欧拉图的充要条件是G*每个顶点的度数为偶数，围成G每个面的边数与对应的G*中
离散数学教程
二、提高 [4] Kenneth H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications. (4th, 5th Edition). 机械工业出版 社, McGraw-Hill. (中、英文版)
本书第4版是全球500多所大学的指定教材， 获得了极大的成功。中文版也已被国内大学广泛 采用为教材。第5版在前四版的基础上做了大量的 改进，使其成为更有效的教学工具。
/*集合论题集，经典习题，集合基础*/
五 定义1.4（全集）：在取定一个集合U以 后，对于U的任何子集而言，称U为全集。
定理1.2：
（1）A (2) AA (3) AU
1.2 集合的子集——证明的方法
证明：（1）A (2) AA (3) AU （1）反证法：假设结论不成立，导出矛盾 结果。 不是A的子集，导致矛盾 （2，3）基本法：由子集定义 x左x右，则左右
第十二章
生成函数与递推关系
掌握：用生成函数和递推关系解决组合计数 问题的方法，以及求解递推关系的生成函数方法。 了解：求解递推关系的特征根方法。
教学内容与要求----图论
第五章 图的基本概念
掌握：图的基本术语，路、回路和连通的基本概念， 求最短路的算法及算法正确性证明，欧拉图和哈密顿图的 基本概念、判别方法以及有关定理。
理论计算机科学经典网站
国内： 国际： /~suresh/theory/the ory-home.html
命题说明和题型
1 填空题：基本概念的理解和掌握 2 判断题：概念的掌握与应用 3 计算、证明题：概念的综合应用，数学 方法的运用
集合论 第2章 映射
§2 鸽巢原理
内容：鸽巢原理、强形式、例题 2.1 鸽巢原理 鸽巢原理：n+1只鸽子飞入n个鸽巢，则一定存在某一鸽巢，里面 至少有两只鸽子。
例1（1）一年365天，今有366个人，则其中至少有两个人生日
相同。 （2）抽屉里有10双手套，从中取11只出来，则其中至少有两只
（2）例 设 X={a,b,c},Y={1,2,3}，f:XY，f(a)=1，f(b)=2，
f(c)=2，令 A={a,b},B={c} 。于是，A∩B=,f(A∩B)=。 但是， f(A)∩f(B)={1,2}∩{2}={2}≠，因此，
f(A∩B) f(A)∩f(B) 同理，可以求其它式子也几个不等。
1.4几个重要的结论
定理1 设Ａ，Ｂ是有限集合，f:AB。则 （1）若f是满射，则 AB； （2）若f是单射，则 AB； （3）若f是双射，则 A=B。
定理2设Ａ,Ｂ是有限集合且A=B，则f:AB是单射f是满射。 说明：（1）f是单射f是满射，从而f是双射；
（2）定理中Ａ，Ｂ为有限集合是必要条件，若Ａ，Ｂ不是 有限 集合，则结论不成立。
§1 函数的一般概念 主要内容
映射的定义 特殊的映射 例题 几个重要结论
在数学分析中，函数概念是这样引入的。
设X和Y是两个数集，若依据某一法则f，使得对于Ｘ中的每 一数ｘ总有Ｙ中的唯一确定的数ｙ与之对应，则称f称为定义在 Ｘ上取值于Ｙ中的函数。Ｘ称为函数f的定义域，而值域包含在 Ｙ中。函数f给x规定的对应值y常记为f(x)。
3.2 性质 定理1 设 f:XY ，C，DY，则
(1) f 1 (C D) f 1(C ) f 1 (D) (2) f 1 (C D) f 1 (C ) f 1 (D) (3) f 1 (C \ D) f 1(C ) \ f 1(D) (4) f 1 (CD) f 1 (C )f 1 (D) (5) f 1 (C C ) ( f 1 (C ))C
(新)集合论与图论2.2
2.3 关系的运算*关系的运算有七种,分别列出如下:定义7.6: 设R是二元关系.(1)R中所有有序对的第一个元素构成的集合称为R的定义域, 记作domR.domR={x | ∃y(<x,y>∈R)}(2)R中所有有序对的第二个元素构成的集合称为R的值域,记作ranR.ranR={y | ∃x(<x,y>∈R)}.(3)R的定义域和值域的并集称为R的域,记作fldR.fldR = domR ∪ ranR .例1: R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>},则domR={1,2,4}ranR={2,3,4}fldR={1,2,3,4}定义7.7:设R为二元关系,R的逆关系,简称R的逆,记作R-1,定义为R-1={<x,y>|<y,x>∈R}.定义7.8:设F,G为二元关系,G对F的右复合,记做F G,定义为F G={<x,y>|∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)} .例2:设F={<3,3>,<6,2>}, G={<2,3>},则F-1={<3,3>,<2,6>}F G={<6,3>}G F={<2,3>}.*左复合:F G={<x,y>| t(<x,t>∈G∧<t,y>∈F)}*有些书上用左复合,但右复合比较直观,本书用右复合. 定义7.9:设R为二元关系,A是集合(1)R在A上的限制,记作R|A,定义为R|A={<x,y>|xRy∧x∈A}(2)A在R下的像,记作R[A],定义为R[A]=ran(R|A)*R|A是R的子关系,R[A]是ranR的子集.例3:设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>},则R|{1}={<1,2>,<1,3>}R|φ=φR|{2,3}={<2,2>,<2,4>,<3,2>}R[{1}]={2,3}R[φ]=φR[{3}]={2} .*关系运算的优先级:1.逆运算2.关系的其它运算3.集合运算4.先括号里后括号外5.同级运算从左到右例子: ranF-1, F G∪F H, ran(F|A).*关系运算的性质:定理7.1:设F是任意的关系,则(1)(F-1)-1= F(2)domF-1=ranF, ranF-1=domF.证明: (1)任取<x,y>,由逆的定义,有<x,y>∈(F-1)-1⇔<y,x>∈F-1⇔<x,y>∈F,所以(F-1)-1= F.(2)任取x,x∈domF-1⇔∃y(<x,y>∈F-1)⇔∃y(<y,x>∈F)⇔x∈ranF . 所以 domF-1 = ranF.同理可证ranF-1 = domF.定理7.2:设F,G,H是任意的关系,则(1)(F G) H=F (G H)(2)(F G)-1=G-1 F-1证明:(1)任取<x,y>,<x,y>∈(F G) H⇔∃t(<x,t>∈F G∧<t,y>∈H)⇔∃t(∃s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H)⇔∃t∃s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)⇔∃s(<x,s>∈F∧∃t(<s,t>∈G∧<t,y>∈H))⇔∃s(<x,s>∈F∧<s,y>∈G H)⇔<x,y>∈F (G H)所以(F G) H=F (G H).(1)的另一种证明:对任意<x,y>∈(F G) H,则存在t使得<x,t>∈F G且<t,y>∈H.又由<x,t>∈F G,有s使得<x,s> ∈F且<s,t>∈G.由<s,t>∈G和<t,y>∈H,有<s,y>∈G H, 再由<x,s>∈F,有<x,y>∈F (G H).故(F G) H⊆F (G H).对任意<x,y>∈F (G H),存在s,使得<x,s>∈F且<s,y>∈G H.再由<s,y>∈G H,存在t,使得<s,t>∈G且<t,y>∈H.由<x,s>∈F和<s,t>∈G,有<x,t>∈F G,再由<t,y>∈H,有<x,y>∈(F G) H.故(F G) H⊇F (G H).因此(F G) H=F (G H).(2)任取<x,y>,<x,y>∈(F G)-1⇔<y,x>∈F G⇔∃t(<y,t>∈F∧<t,x>∈G)⇔∃t(<t,y>∈F-1∧<x,t>∈G-1)⇔∃t(<x,t>∈G-1∧<t,y>∈F-1)⇔<x,y>∈G-1 F-1 .定理7.3:设R是A上的关系,则R I A = I A R = R .证明:任取<x,y>,<x,y>∈R I A⇔∃t(<x,t>∈R∧<t,y>∈I A)⇔∃t(<x,t>∈R∧t=y)⇒<x,y>∈R<x,y>∈R⇒<x,y>∈R∧y∈A⇒<x,y>∈R∧<y,y>∈I A⇒<x,y>∈R I A从而有R I A=R.同理可证I A R=R .定理7.4:设F,G,H为任意关系,则(1)F (G∪H)=(F G)∪(F H)(2)(G∪H) F=(G F)∪(H F)(3)F (G∩H)⊆F G∩F H(4)(G∩H) F⊆G F∩H F .证明:只证(3)式.任取<x,y>,<x,y>∈F (G∩H)⇔∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G∩H)⇔∃t(<x,t>∈F∧(<t,y>∈G∧<t,y>∈H))⇔∃t((<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧(<x,t>∈F∧<t,y>∈H)) ⇒∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈H) ⇔<x,y>∈F G∧<x,y>∈F H⇔<x,y>∈F G∩F H .定理7.5:设F为关系,A,B为集合,则(1)F|(A∪B)=F|A∪F|B(2)F[A∪B]=F[A]∪F[B](3)F|(A∩B)⊆F|A∩F|B(4)F[A∩B]⊆F[A]∩F[B]证明:只证(4).任取y,若y∈F[A∩B],则存在x,使得<x,y> ∈F且x∈A∩B,那么有x∈A且x∈B,也就存在x,使得<x,y> ∈F且x∈A,故y∈F[A];同时还有<x,y>∈F且x∈B.故y∈F[B].从而y∈F[A]∩F[B].因此F[A∩B]⊆F[A]∩F[B] .定义7.10:设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂定义为:(1)R0={<x,x>|x∈A}=I A ;(2)R n+1=R n R .*利用关系矩阵计算R n:设M为R的关系矩阵,则R n的关系矩阵为M n.即n个M的乘积,其中的加法为逻辑加法:1+1=1, 1+0=1, 0+1=1, 0+0=0.例4:设A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}关系矩阵如下.计算后可知,M4=M2.即R4=R2,从而有R2=R4=R6=…R3=R5=R7=…M=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000100001010010 R 0和I A 的关系矩阵为单位矩阵.定理7.6:设A 为n 元集,R 是A 上的关系,则存在自然数s 和t,使得R s =R t .证明:设R 为A 上的关系,对任意自然数k,R k 都是A ×A 的子集.又知|A ×A|=n 2,|P(A ×A)|=22n ,即A ×A 的不同子集仅有 22n 个,当列出R 的各次幂R 0,R 1,…,R m 时(m=22n ),必有自然数s 和t,使得R s =R t .*如上例中的R 2=R 4.定理7.7: 设R 为A 上的关系,m,n ∈N,则(1) R m R n =R m+n ;(2) (R m )n =R mn .证明:用归纳法.(1) 对任意给定的m ∈N,施归纳于n.若n=0,则有R m R 0=R m I A =R m =R m+0 .假设R m R n =R m+n .R m R n+1=R m (R n R)=(R m R n ) R=R m+n R=R m+n+1.*最后一步由定义可得.(2) 对于任意给定的m ∈N,施归纳于n.若n=0,则有(R m )0=I A =R 0=R m ×0.假设(R m)n,则有(R m)n+1=(R m)n R m=R mn R m=R mn+m=R m(n+1).所以对一切m,n∈N,有(R m)n=R mn.定理7.8:设R为A上的关系,若存在自然数s,t(s<t)使得R s=R t,则(1)对任何k∈N,有R s+k=R t+k .(2)对任何k,i∈N,有R s+kp+i=R s+i,其中p=t―s.(3)令S={R0,R1,…,R t-1},则对于任意的q∈N,有R q∈S.证明:(1)R s+k=R s R k=R t R k=R t+k .(2)对k归纳.若k=0,则有R s+0×p+i=R s+i .假设R s+kp+i=R s+i,其中p=t―s,则R s+(k+1)p+i=R s+kp+i+p=R s+kp+i R p=R s+i R p=R s+p+i=R s+t-s+i=R t+i=R s+i .(3)任取q∈N,若q<t,显然有R q∈S.若q≥t,则存在自然数k和i使得q=s+kp+i, 其中0≤i≤p-1.于是R q=R s+kp+i=R s+i,而s+i≤s+p―1=s+t―s―1=t―1.这就证明了R q∈S.作业:1.设A={0,1,2,3},R是A上的关系,且R={<0,0>,<0,3>,<2,0>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}给出R的关系矩阵和关系图.2.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}.求A∪B,A∩B,domA,domB,dom(A∪B),ranA,ranB,ran(A∩B),fld(A―B).3.设A={a,b,c,d},R1和R2为A上的关系.其中:R1={<a,a>,<a,b>,<b,d>}R2={<a,d>,<b,c>,<b,d>,<c,b>}求R1 R2, R2 R1,2R, 32R.14.证明:定理7.4的(1),(4)和定理7.5的(3).。
集合论与图论SeTheoryandGraphTheory
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• 集合论基础 • 图论基础 • 集合论与图论的联系 • 集合论与图论的应用 • 集合论与图论的未来发展
目录
PART 01
集合论基础
REPORTING
WENKU DESIGN
集合的定义与性质
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。集合具有确定性、互异性和无序性等基本 性质。
离散概率论
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的数学分支，集合论 为其提供了数学框架，用于描述概率空间和随机事件。
计算机科学中的图论应用
01
02
03
计算机网络
图论在计算机网络中用于 描述网络拓扑结构、路由 算法、最短路径算法等问 题。
操作系统
操作系统的进程管理和通 信可以通过图论进行建模 和分析，例如进程间的依 赖关系和通信路径。
集合论与图论的结合将在计算机科学中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思路 和方法。
集合论与图论的交叉研究在其他学科的应用前景广泛
集合论与图论的交叉研究将在其他学科中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思 路和方法。
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集合论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着计算机科学的飞速发展，集合论在数据结构、算法设计、离散概率论等领域的应用将更加广 泛和深入。
图论的发展趋势
图论与其他数学分支的结合将更加紧密
图论与代数、拓扑、组合数学等分支的结合将更加紧密，推动图论理论的进一步丰富和发展。
图论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着大数据和人工智能的兴起，图论在数据挖掘、机器学习、社交网络分析等领域的应用将更加广泛和深入。
图论第2章 基本概念ppt课件
2.4 道路与回路
[环] 假设上述 中 v0 = vn ，称之为一条封锁有向道 路/环。[closed chain]
[迹] 假设上述 中 ai aj (i j)，称之为一条简单有 向道路/迹。[trail]
[路] 假设上述 中 vi vj (i j) ，称之为一条有向 路/初级道路/根本道路。[path]
[证明] (反证法) 设图中有一条道路，其长度 > n 1， 那么其中至少有 n+1个顶点标号，而图中只需 n 个顶点，故其中至少有两个一样的顶点，即该道 路不会是初级道路。
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2.4 道路与回路
[可达性] G=(V, A)中，假设从 vi 到 vj 存在一条路， 那么称从 vi 到 vj 是可达的，或称 vi 可达 vj 。
[例]
➢ 寻求断定图同构的普通方法是图论的重要课题之一。
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2.3 同构
[自补图] 图 G=(V,A)，~G 是 G 的补图。假设 G 那么称图 G 是自补的〔或是自补图〕。
[例]
~G，
[讨论] 假设 n 阶无向图是自补的，那么 n = 0,1(mod 4) 。〔即以4除 n 余0或余1〕
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2.4 道路与回路
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2.1 图的概念
[子图] G=(V, A) 是 G=(V, A) 的一个子图当 且仅当: ⑴ V V ⑵ A 是 V 上的二元关系 ⑶ A A
G 是 G 的一个子图； 假设 G 是 G 的子图，那么 G 的任何子图也是 G
的子图； 平凡图是任何图的子图。〔零图无类似结论〕
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2.1 图的概念
混合图可以化为有向图求解。
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2.2 点和边的关联关系
[关联集与邻接集] 有向图 G=(V, A) , vi V 的正 关联集、负关联集、正邻接集和负邻接集分别定 义为： Inc+(vi)={ak |( vj)(vj V ak= <vi, vj> A)} Inc (vi)={ak |( vj)(vj V ak= <vj, vi> A)} Adj+(vi)={vj |vj V ( ak)(ak=<vi, vj> A)} (外邻接集) 7
集合论与图论
答疑
时间： （待定） 地点： 理科楼群#1，1625室 电话： 62765818 Email：
liu_tian@ liutian@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田北京大学计算机系 2001年2月
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册， ， 耿素云，北大出版社，1998年2月
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 ， 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
内容介绍
《离散数学》
《集合论与图论》 《代数结构与组合数学》 《数理逻辑》
内容介绍
《集合论与图论》
第一部分 集合论
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 集合 二元关系 函数 自然数 基数
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
进度安排
第1周 第2--7周 第8--17周 第8、15周 第18周 预备知识（数理逻辑） 集合论（6周） 图论（10周） 测验（2次） （机动）
成绩评定
书面作业占10%，4--5题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
作业
时间：每周日交上周作业，下周日发回 顺序：每次交一个班，1、2、3班轮流 讲解：每次作业都有课上讲解 要求：正确、完全、简洁、清楚 Correct，Complete，Concise，Clear 提示：独立完成作业，可以讨论，但要 杜绝抄袭
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2.4 映射的合成
复合函数 y=g(u),u=f(x) y=g(f(x)) 定义2.4.1 设f:XY,g:YZ, 如果xX,h(x)=g(f(x))。h:XZ称为f与g 的合成, “映射f与g的合成”h记为gf,省略中间 的“”，简记为gf 按定义，xX,我们有 gf(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
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2.1 函数的一般概念映射
定义2.1.2 设X和Y是两个非空集合，一个从 X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子 集 f： (1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得 (x,y)f; (2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
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2.1 函数的一般概念映射
1.AX, f在A上的限制
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a), f-1({b})=f-1(b)。
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2.3 映射的一般性质
定理2.3.1 设f：XY,CY,DY,则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, x A 1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 定理2.4.2 设f:XY,则fIX=IYf
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2.4 映射的合成
定理2.4.3 设f:XY,g:YZ,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。
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2.2 抽屉原理
1、366个人中必然有至少两人生日相 同(不包括闰年)； 2、抽屉里散放着10双手套，从中任意 抽取11只，其中至少有两只是成双的； 3、某次会议有n位代表参加，则至少 有两个人认识的人数是一样的； 4、任给5个整数，其中至少有3个数的 和被3除尽；
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2.2 抽屉原理
鸽巢原理：n个鸽子巢，若有n+1只鸽子 在里面，则至少有一个巢里的鸽子数不少于 2。
则m1,m2,…,mn中至少有1个数不小于r。
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2.2 抽屉原理
例2.2.3：下图中画出了3行9列共27个小方格， 将每一个方格涂上红色或者蓝色，证明：无论如何涂 色，其中必有至少两列它们的涂色方式完全相同。
解：每个方格的涂色方案有红和蓝2种，每 列有3个格子，因此每列有： 2×2×2=8种涂色方案。
现在有9列，根据鸽巢原理，必有至少两列 它们的涂色方式完全相同。
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2.2 抽屉原理
例2.2.4：能否在一个nn的棋盘的每个方 格填上1,2或3，使得棋盘上各行各列以及对角 线上的数字之和都不相等。 解：棋盘上各行各列以及对角线上的数字 之和共有2n+2个数。
从1,2或3中取n个数， 从1,2或3中取n个数，最大和值是3n,最小 和值是n,共有2n+1个数值。 答案是否定的。
5.满射 定义2.1.7 设f：XY，如果yY,xX,使 得f(x)=y,则称f为从X到Y上的映射，或称为满射。 6.双射或一一对应
定义2.1.8 设f：XY,若f既是单射又是满射, 则称f为双射,或称为一一对应。也称X与Y对等，记 为 X ~Y 。
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2.1 函数的一般概念映射
7.恒等映射 定义2.1.9 设f：XX,如果xX,f(x)=x, 则称f为X上的恒等映射。X上的恒等映射常记为 Ix或者1x。
定义2.1.3 设f:XY,AX,当把f的定 义域限制在A上时,就得到了一个 :AY,xA,(x)=f(x),被称为f在A上 的限制,并且常用fA来代替,反过来,我们 说f是在X上的扩张。
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2.1 函数的一般概念映射
2.部分映射(偏函数) 例:X={1,2,3,4},Y={a,b,c} 定义法则f为,f(1)=a,f(2)=b,f(3)=c, f是A={1,2,3}到Y的映射。 定义2.1.4 设f：AY,AX,则称f是X上的 一个部分映射。
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2.3 映射的一般性质
显然f是X到Y的满射当且仅当f(X)=Y。
如果ABX，则f(A)f(B)。
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2.3 映射的一般性质
2.原象的扩展 如果BY，则由f和B唯一确定了X的一个子集。 {xf(x)B,xX} 这个子集习惯上用f-1(B)表示。f-1(B)是X中在f 下的象落在B里的那些元素组成的。 f-1(B)叫做在f下B的原象。 利用这种方法,又得到一个2Y到2X的一个映射, 记为f-1。
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2.4 映射的合成
定理2.4.1
设f:XY,g:YZ,h:ZW,则： h(gf)=(hg)f 即映射的合成运算满足结合律。
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2.4 映射的合成
映射的合成运算满足结合律是合成运算的基本 性质。据此h(gf)和(hg)f就可简记为hgf。 设f1:A1A2, f2:A2A3,..., fn:AnAn+1。
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2.3 映射的一般性质
定理2.3.2 设f：XY,AX,BX,则: (5)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (6)f(A∩B)f(A)∩f(B); (7)f(AB)f(A)f(B)。
**
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第二章：映射
2.1 函数的一般概念—映射
2.2 抽屉原理 2.3 映射的一般性质 2.4 映射的合成 2.5 逆映射 *2.6 置换 *2.7 二元和n元运算 2.8 集合的特征函数
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2.2 抽屉原理
例2.2.5 试证6个人在一起，其中至少存在3 个人或互相认识，或互相不认识。
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推理过程如下：A以外的5个人相对于A
|Friend|≥3? Y Friend中人 互不相识？ N Friend有P，Q 二人互相认识 Y Friend有3人 互不相识。 Y Strange有3人 互相认识。 N Strange中人 互相认识？ N Strange有L,M 互不相识？ A,L,M 互不相识？ ** 25
与已知条件矛盾。
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2.2 抽屉原理
推广形式之一 设k和n都是任意的正整数，若至少有kn+1 只鸽子分配在n个鸽巢里，则至少存在一个鸽巢 中有不少于k+1只鸽子。 推论3.7 m只鸽子，n个鸽巢，则至少有一 个鸽巢里有不少于
m 1 n 1
只鸽子。
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2.2 抽屉原理
推论3.8 若取n(m-1)+1个球放进n个盒子， 则至少有1个盒子的球数不少于m个。 推论3.9 若m1,m2,…,mn是n个正整数，而且 m1 m2 ... mn r 1 n
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2.1 函数的一般概念映射
“f是X到Y的映射”这句话常记为f:XY. x在f下的象y常记为f(x)。 集合{f(x)xX}称为f的值域或象，记为Im(f)。 什么是法则? x与x在f下的象f(x)可以组成有序对，(x,f(x))。 这样的有序对的全体是XY的子集，成为法则。 例:设X={a,b,c},Y={1,2,3,4} f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3 {(a,1),(b,2),(c,3)} ={(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))}
A,P,Q 互相认识
2.3 映射的一般性质
1.映射的扩展—由元素间的对应到子集间的对应 f是一个从X到Y的映射，X中每个元素x都有Y 中唯一确定的元素y与之对应。f给x规定的对应元 素y称为x在f下的象，记作f(x)。 若AX，那么由f和A就唯一地确定了Y的一个 子集,记为f(A): f(A)={f(x)xA}。 f(A)称为A在f下的象。利用这种方法，由f 就确定了一个从2X到2Y的映射，习惯上这个映射 仍记为f。 f()=，f(X)=Imf。
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2.3 映射的一般性质
例2.3.1 设X={1,2,3,4}, Y={a,b,c,d,e}, f：XY, f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b,f(4)=c。 令A={1,2},B={b,c,d}。 求f(A),f-1(B),f-1({d}),f-1({b}) 解：f(A) ={a,b} f-1(B) ={2,3,4}。
抽屉原理：如果把n+1个物体放到n个抽 屉里，则必有一个抽屉里至少放了两个物体。
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2.2 抽屉原理
2.2.1 任取11个数，求证其中至少有两个 数它们的差是10的倍数。 证明： 一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位 数是不是0，是0就是10的倍数； 一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数， 任取11个数，其中必有两个数个位数相同， 那么这两个数的差的个位数必然是0。
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2.1 函数的一般概念映射
定理2.1.2
设A和B是有限集，A=B，则 f:AB是单射当且仅当f是满射。
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2.1 函数的一般概念映射
定义 从X到Y的所有映射之集记为YX，即： YX={ff:XY}。
性质1、设X,Y均为有穷集合,X=n,Y=m, 且n≥1,m≥1,则YX=mn 性质2、设X为有穷集合,X=n,且n≥1, 则：从X到X共有n!个双射。
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2.1 函数的一般概念映射
3.映射相等的概念 定义2.1.5 两个映射f与g称为是相等 的当且仅当f和g都是X到Y的映射，并且 xX, 总有f(x)=g(x)。
8பைடு நூலகம்
2.1 函数的一般概念映射
4.单射 定义2.1.6 设f：XY，如果x,xX,只 要xx，就有f(x)f(x),则称f为从X到Y的单射。
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2.2 抽屉原理
设X={a1,a2,...,am},Y={1,2,...,n｝ 如果把X看作m个物件之集，把Y看作n个盒子时。 则一个映射f：XY就可以看作是把m个物件放进n个 盒子里的一种放法。 若f(ai)=j,则可以看作是把物件ai放进第j个盒子里。 当m>n时,如果把全部m个物件放进n个盒子里, 必有一个盒子至少装了两个物件。 用数学的术语来讲，当m>n时,从X到Y的每个映 射都不是单射，即至少有两个元素的象相同。