(分段函数)经典典例
微专题20 分段函数问题(解析版)
微专题20 分段函数问题【题型归纳目录】 题型一：函数三要素的应用 题型二：函数性质与零点的应用 题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用 【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1．已知函数223,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩，若f （a ）()2f a f --（1），则a 的取值范围是( )A ．[0，8]B ．[8，)+∞C ．(-∞，8]D ．[8-，8]【解析】解：f （1）4=，f ∴（a ）()8f a --，当0a =时，满足条件；0a >时，223[()2]6a a a a +--+-，整理得：8a ， (0a ∴∈，8]0a <时，222[()3]8a a a a ----，整理得：8a ， (,0)a ∴∈-∞综上可得：(a ∈-∞，8] 故选：C ．例2．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1][1，)+∞ B ．[0，1] C ．[1-，0] D ．[1-，1]【解析】解：22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩， ()f x ∴为偶函数，()f a f -+（a ）2f （1）， 2f ∴（a ）2f （1）， f ∴（a ）f （1），当0x 时，函数()f x 为增函数， ||1a ∴，11a ∴-，故选：D ．例3．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(-∞2]D ．(2)+∞【解析】解：()y f x =的图象如图所示，(f f （a ）)2，f ∴（a ）2-，由函数图象可知2a ．故选：C ．变式1．当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值时，(x = ) A 6B ．26C 66 D ．266【解析】解：当1x 时，2()0f x x =； 当1x >时，66()626266f x x x x x=+--=， 当且仅当6x x=，即6x 时等号成立． 2660<，∴函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值为266， 对应的x 6． 故选：A ．变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集( )A ．{|21}x x-B ．{|12}x x +C ．{|12}x x <+D ．{|12}x x >【解析】解：当10x +<即1x <-时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 (1)[(1)1]1x x x ++-++即21x -此时1x <-当10x +即1x -时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 2210x x +-解得1221x --此时121x--总之，不等式的解集为{|21}x x -故选：A ．变式3．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．【解析】解：根据题意，23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则(1)(1)g f f -=-=-（1）(13)2=--=， 则((1))f g f -=（2）431=-=-， 故答案为：1．变式4．若函数3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，则f （9）= ，[g f （3）]= ，1[()]9f f = ．【解析】解：3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，f ∴（9）3log 92==，[g f （3）3](log 3)g g ==（1）211==， 311[()](log )(2)99f f f f f ==-=（1）3log 10==．故答案为：2；1；0变式5．已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 ． 【解析】解：由题意22&,1(1)(1)2&,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x < 当0x 时，221x x +，解得2121x-，故得021x-综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(21]-∞- 故答案为(-∞21]．变式6．设2,||1(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是 ．【解析】解：在坐标系中作出函数()21111x x x f x x x ⎧-=⎨-<<⎩或的图象，观察图象可知，当纵坐标在[0，)+∞上时，横坐标在(-∞，1][0-，)+∞上变化， ()f x 的值域是(1,)-+∞，而(())f g x 的值域是[0，)+∞， ()g x 是二次函数()g x ∴的值域是[0，)+∞．故答案为：[0，)+∞． 题型二：函数性质与零点的应用例4．已知函数7(13)10,7(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．11(,)32B ．1(3，6]11C ．12[,)23D ．16(,]211【解析】解：若()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数， 则满足77011307(13)101a a a a a -<<⎧⎪-<⎨⎪-+=⎩，即0113611a a a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩，即16311a <，故选：B ．例5．已知函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是() A ．15(,)38B ．15(,]38C ．1(,1)3D ．16(,]311【解析】解：函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩，()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足13001681a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⎩，解得1538a <，故选：B ．例6．函数21,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩在R 上单调，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞ B ．(1，2] C ．(,2)-∞ D ．(,0)-∞【解析】解：()f x 在R 上单调； ①若()f x 在R 上单调递增，则： 200101(1)a a a a e >⎧⎪>⎨⎪+-⎩； 12a ∴<；②若()f x 在R 上单调递减，则： 01a a <⎧⎨>⎩； a ∴∈∅；a ∴的取值范围为(1，2]．故选：B ．变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩，则()y f x x =-的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：当0x 时，()(1)f x f x =-，()f x ∴在0x 的图象相当于在[1-，0)的图象重复出现是周期函数， [1x ∈-，0)时，22()21(1)2f x x x x =--+=-++对称轴为1x =-，顶点坐标为(1,2)-． 画出函数()y f x =与y x =的图象如图：则()y f x x =-的零点有2个． 故选：B ．变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x x ⎧-<⎪=-<⎨⎪>⎩，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f（a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为 ． 【解析】解：作出()f x 的图象如图： 当9x >时，由()40f x x ==，得16x =， 若a ，b ，c 互不相等，不妨设a b c <<， 因为f （a ）f =（b ）f =（c ），所以由图象可知039a b <<<<，916c <<， 由f （a ）f =（b ），得331log log 1a b -=-， 即33log log 2a b +=，即3log ()2ab =， 则9ab =，所以9abc c =， 因为916c <<， 所以819144c <<， 即81144abc <<，所以abc 的取值范围是(81,144)． 故答案为：(81,144)．变式9．已知函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f=（c ），则abc 的取值范围为 ．【解析】解：作出函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩的图象如图，不妨设a b c <<，则3423c <<+由f （a ）f =（b ），得33|log ||log |a b =，即33log log a b -=， 3log ()0ab ∴=，则1ab =，abc ∴的取值范围为(3,423)+．故答案为：(3,423)+．变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式． 【解析】解：当0x >时，0x -<， 0x <时，2()f x x x =+，22()()()f x x x x x ∴-=-+-=-， 又()f x 为奇函数，22()()()f x f x x x x x ∴=--=--=-+，∴当0x >时，2()f x x x =-+，又(0)0f =符合上式，综上得，22,0(),0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩．变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，若()h t h >（2），求实数t 的取值范围．【解析】解：函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，当4x >时，()42h x x =-递减，且()4h x <-，当04x <时，2()4x h x =-递减，且()[4h x ∈-，0)，且0x >，()h x 连续，且为减函数， ()h t h >（2），可得(||)h t h >（2）， 即为||2t <，且0t ≠， 解得22t -<<，且0t ≠，则t 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)． 题型三：分段函数的复合例7．设函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，则正实数m 的最小值是( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】解：由已知条件知：2220ma m a +>，∴若0x ，则()0x f x e =>，(())0x f f x lne x ∴==，∴这种情况不存在，若01x <，则()0f x lnx =，(())1lnx f f x e x ∴==，1x >时，()0f x lnx =>，(())()f f x ln lnx R =∈，∴只有(())1f f x >，即2221ma m a +>时，对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，(1,)a ∈+∞，221m m ∴+，即2210m m +-，0m >，∴解得12m， ∴正实数m 的最小值是12． 故选：A ．例8．已知函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实数(k ∈ ) A ．1(2，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(1,1)-【解析】解：对于函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，当1x 时，()f x 单调递减且1()1f x -<； 当1x <时，()f x 单调递增且0()1f x <<； 故实数k 一定在区间(0,1)之间， 若2()()g x k g x -=；则可化为22()21g x x x k=-=+； 显然有两个不同的根，若()12g x k -=，则22()21log g x x x k =-=+； 故△2444log 0k =++>； 即14k >； 综上所述，实数1(,1)4k ∈；故选：B ．例9．已知函数1|(1)|,1()21,1x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：设()f x t =，可得 3()2()04f t t -+=，分别作出()y f x =和322y x =+的图象， 可得它们有两个交点，即方程3()2()04f t t -+=有两根，一根为10t =，另一个根为2(1,2)t ∈， 由()0f x =，可得2x =； 由2()f x t =，可得x 有3个解，综上可得方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为4．故选：B ．变式12．（多选题）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正确的是( )A ．在(1,0)-内一定有零点B ．在(0,1)内一定有零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【解析】解：令[()]10f f x +=得，[()]1f f x =-，令()t f x =，则()1f t =-， ①当0k >时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，20t <，由1()f x t =可知，此时有两个解，由2()f x t =可知，此时有两个解，共4个解，即[()]1y f f x =+有4个零点； ②当0k <时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，由1()f x t =可知，此时有1个解，共1个解，即[()]1y f f x =+有1个零点； 综上，选项BCD 正确． 故选：BCD ．变式13．（多选题）设函数||,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0B ．13C ．12D ．1【解析】解：函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根， 当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+， 由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数， 由()0f x '>得20x +>，即20x -<<，此时()f x 为增函数， 即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-， 作出()f x 的图象如图： 要使()f x b =有三个根， 则01b <， 故选：BCD ．变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解 【解析】解：因为该函数为奇函数， 所以，222,(2)2322,(20)()0,(0)22,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----<⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎪>⎪-⎩，该函数图象如下：对于A ；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A 正确； 对于B ；当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对于C ；直线1y =，与函数图象交于(1,1)，5(2，1，)，故当()f x 的最小值为1时，[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ；3()2f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-，或317m =-，故D 错误； 对于E ；当2k =-时，函数()f x 与2y kx =+没有交点．故E 错误． 故选：AC ．变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是( )A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若2x <-，则2x ->，则2()()23f x f x x -==---，则2()23f x x =+，2x <-． 若20x -<，则02x <-，则2()22()f x x x f x -=++=-， 即2()22f x x x =---，20x -<， 当0x =，则(0)0f =． 作出函数()f x 的图象如图：对于A ，联立222y kxy x x =⎧⎨=-+⎩，得2(2)20x k x -++=， △22(2)844k k k =+-=+-，存在1k <，使得△0>，∴存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，故A 正确；对于B ，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，则12()()f x f x >不成立，故B 不正确； 对于C ，当52x =时，52()152232f ==⨯-，则当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ，函数()f x 是奇函数，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， ∴函数3()2f x =的根与()f x m =根关于原点对称， 则32m =-，但0x >时，方程3()2f x =有3个根， 设分别为1x ，2x ，3x ，且12302x x x <<<<， 则有23232x =-，得136x =，即3136x =， 122x x +=，则三个根之和为1325266+=， 若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， 则()f x m =的根为256-，此时25263()2561682()36m f =-==-=-⨯-+，故D 错误， 故选：AC ．变式16．已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩其中0k ．①若2k =，则()f x 的最小值为 ；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是 ． 【解析】解：①若2k =，则22,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，作函数()f x 的图象如下图所示，显然，当0x =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为(0)1f =-． ②令()m f x =，显然()0f m =有唯一解1m =，由题意，()1f x =有两个不同的零点，由图观察可知，1k <， 又0k ，则实数k 的取值范围为01k <． 故答案为：1-；[0，1)． 题型四：特殊分段函数的表示与应用例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()}()a ab b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是( )A 35- B 35+ C 15+D 15-【解析】解：当2|1|x x +，即21x x +或21x x +-， 15152x-+时， (){|1|f x max x ∴=+，2}|1|1x x x =+=+，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --==， 当15x -<(){|1|f x max x =+，22}x x =，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --=， 当15x +2()f x x =，函数()f x 单调递增，1535()(min f x f ++== 综上所述：35()min f x -= 故选：A ．例11．已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的是( )A ．(())()sgn g x sgn x =B ．(())()sgn gx sgn x =-C ．(())(())sgn g x sgn f x =D ．(())(())sgn g x sgn f x =-【解析】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，11()()()()()33kx x g x f kx f x ∴=-=-，其中1k >，11(())[()()]33kx x sgn g x sgn ∴=-，当0x >时，kx x >，11()()033kx x -<，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=-，()1sgn x =；当0x =时，0kx x ==，11()()033kx x -=，(())0sgn g x =，()0sgn x =；当0x <时，kx x <，11()()033kx x ->，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=，()1sgn x =-．(())()sgn g x sgn x ∴=-．故选：B ．例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是()A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立 B ．()()()A B A Bf x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立 C ．()()()A B ABf x f x f x =，对于任意的x U ∈成立D ．若UA B =，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立【解析】解：对于A ，因为A B ⊆，若x A ∈，则x B ∈， 因为1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 1,()0,B U x Bf x x B∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 中的元素， 但UB 中不可能有A 中的元素，所以()()A B f x f x ，即对于任意的x U ∈，都有()()A B f x f x 成立， 故选项A 正确； 对于B ，因为1,()0,()ABU x A Bf x x A B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩， 当某个元素x 在A 中且在B 中， 由于它在AB 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()1B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠+，故选项B 错误； 对于C ，1,1,0,()0,()()ABU U U x A B x A Bf x A B x A B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩，1,1,1,()()0,0,0,()()A B U U U U x A x B x A Bf x f x x A x B x A B ⎧∈∈∈⎧⎧⎪⋅=⋅=⎨⎨⎨∈∈∈⎪⎩⎩⎩，故选项C 正确；对于D ，因为1,()0,U U A x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 所以()1()B A f x f x =-， 即()()1A B f x f x +=， 故选项D 正确． 故选：B ．变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示集合A 在全集U 中的补集，已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是( ) A ．若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()U C A A f x f x =-C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =【解析】解：由题意，可得对于A ，因为A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，1,()0,A U x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1,()0,B U x Bf x x C B ∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 的元素，但UB 中不可能有A 的元素()()A B f x f x ∴，即对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x 故A 正确； 对于B ，因为1,0,U U C A x C Af x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合()A f x 的表达式，可得1()U C A A f f x =-，故B 正确； 对于C ，1,1,()0,()0,()()A BU U U x A B x A Bf x x C A B x C A C B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩1,1,()()0,0,A B U U x Ax Bf x f x x C Ax C B ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩， 故C 正确； 对于D ，1,()0,()ABU x A B f x x C AB ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当某个元素x 在A 中但不在B 中，由于它在A B 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()0B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠由此可得D 不正确． 故选：D ．变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a bmax a b b a b ⎧=⎨<⎩，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是 ．【解析】解：由题意得， ()(|1|f x max x =+，|2|)x - 11,212,2x x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，故当12x =时，()f x 有最小值13()22f =， 故答案为：32． 变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是32，则实数m 的值是 ．【解析】解：函数(){|1|f x max x =+，||}x m - |1|,|1|||||,|1|||x x x m x m x x m ++-⎧=⎨-+<-⎩， 由()f x 的解析式可得，11()()22m m f x f x --+=-， 即有()f x 的对称轴为12m x -=， 则113()||222m m f -+==， 解得2m =或4-， 故答案为：2或4-．变式20．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 【解析】解：画出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩和函数1()x g x k+=的图象， 若直线1(0)ky x k =+>与函数()y f x = 的图象恰有两个不同的交点， 结合图象可得：1PA PC k k k<， 112(1)3PA k ==--，111(1)2PC k ==--，故11132k <，求得23k <， 故答案为：23k <．【过关测试】 一、单选题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,14,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t的最大值为（ ） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】B【解析】当1x ≤-时，2()2f x x t =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x tx =+也为增函数，所以0124t t t >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503t <≤.故t 的最大值为53， 故选：B.2．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1ln 21,1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的不等式()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()()2,11,4--⋃-B ．()()1,22,4-C ．[)1,2-D ．[)0,4【答案】D【解析】当1x <时，()e e x f x =-在(),1-∞上单调递增且()()e e 10xf x f =-<=；当1x ≥时，()()ln 21f x x =-在[)1,+∞上单调递增且()()()ln 2110f x x f =-≥=； 所以()f x 在R 上单调递增，又由()()21f ax f ax <+，则有21ax ax <+，由题，可知210ax ax -+>的解集为R ，当0a =时，20010x x ⋅-⋅+>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩， 解不等式组，得04a <<；综上可得，当[)0,4a ∈时，210ax ax -+>的解集为R . 故选：D.3．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()0,3B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减， ∴3<0>011221+1a a a a a -≤-≥-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得233a ≤<， 即a 的取值范围是2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：C.4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，画出函数2123313,,4322y x y x y x x =-+=+=-+的图象，根据{}max ,a b 的定义，可得()f x 的图象（实线部分），由()f x 的图象可知，当=1x 时，()f x 最小，且最小值()12f =， 故选：D5．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,3 B ．()0,3 C ．(]0,3 D ．[)0,3【答案】A【解析】当0x >时，由基本不等式可得()114246f x x a x a a x x=+++≥⋅+=+， 当且仅当=1x 时，等号成立；当0x ≤时，由于()()0f x f ≥，则0a ≥，由题意可得()()2min 06f x f a a ==≤+，即260a a --≤，解得23a -≤≤，故03a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]0,3. 故选：A.6．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（ ）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭【答案】C【解析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（ ）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【解析】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩， 解得2x =-. 故选：A ．8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()24()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．15[-- B ．15-+ C ．1515[---+ D ．15[-+ 【答案】B【解析】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，因为2yx 在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，所以()f x x x =在R 上单调递增，因为)24(2)4(2x x x x x x f f ===，且()24()f x t f x +≤，所以()2(2)f x t f x +≤，所以22x t x +≤，即()222110x x t x t -+=-+-≤在[,1]x t t ∈+恒成立，所以()()22201210t t t t t t ⎧-+≤⎪⎨+-++≤⎪⎩即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪⎩，解得150t -+≤≤， 所以实数t 的取值范围是15-+， 故选：B9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（ ） A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （ ）A ．最大值为1B ．无最大值C ．最小值为1-D ．无最小值【答案】AD【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数22y x =-，y x =的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数()f x 的图象. 由22x x -=，解得12x =-，21x =，所以()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪->⎩，∴当1x =时，()f x 取得最大值，且()max 1f x =，由图象可知()f x 无最小值， 故选：AD.11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（ ）A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求， 当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<， 所以不等式①的解为13x ≤≤；由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >， 所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或，令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12， 令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74.故选：AD.12．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m ≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（ ）A ．()338f =B ．()3f x 的值域为[]3,12C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-D ．()31f x +的图像关于原点对称【答案】ABC【解析】由22113x x -++≥， 解得：24x -≤≤，故23211,24()3,42x x x f x x x ⎧-++-≤≤=⎨><-⎩或，A ．23(3)323118f =-+⨯+=，本选项符合题意；B ．当24x -≤≤时，2321112x x ≤-++≤； 当42x x -或><时，3()3f x =， 故值域为[3,12]，本选项符合题意；C ．当24x -≤≤时，23()211f x x x =-++，图像开口向下，对称轴为1x =， 故3()f x 在[]2,1-上单调递增，本选项符合题意；D ．2312,33(1)3,33x x y f x x x ⎧-+-≤≤=+=⎨><-⎩或，故函数3(1)y f x =+为偶函数，本选项不符合题意．故选：ABC ．13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）A ．()1f x x x -=为“不动点”函数B ．()253f x x x -=+的不动点为2±C ．()221,1=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩为“不动点”函数D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1f x x x -= 【答案】ABC【解析】对于A ，令()f x =x ，得1x x x -=，解得2x =22f =⎝⎭（有一个满足足矣），所以()1f x x x-=为“不动点”函数，故A 说法正确；对于B ，令()f x =x 253x x x -+=253x +=，即259x +=，解得2x =±，即()22f =和()22f -=-，所以()253f x x x -=+的不动点为2±，故B 说法正确；对于C ，当1x ≤时，()221f x x -=，令()f x =x ，得221x x -=，解得12x =-或=1x ；当1x >时，()2f x x -=，令()f x =x ，得2x x -=，即2x x -=±，解得=1x （舍去）； 综上：1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和()11f =，所以()f x 为“不动点”函数，故C 说法正确；对于D ，不妨设该不动点为t ，则()f t t =，则由()()()22f f x x x f x x x --+=+得()()()22f f t t t f t t t --+=+，即()22++f t t t t t t --=，整理得()2222f t t t t --+=+，所以22t t -+也是()f x 的不动点，故22t t t -+=，解得=0t 或1t =-，即0,1都是()f x 的不动点，与题设矛盾，故D 说法错误. 故选：ABC 三、填空题14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】)1,2⎡⎣【解析】由已知，函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义为在R 上的增函数， 则(2)y a x =-为单调递增函数，a y x =为单调递增函数，且(2)11a a -⨯≤，所以20021a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得12a ≤<，所以a 的取值范围是：)1,2⎡⎣. 故答案为：)1,2⎡⎣.15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=__________. 【答案】1-【解析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，求．当0x <时，则0x ->，所以222()2()()f x x ax f x bx x bx x -=-=-=-+=--， 所以2b =-，1a =，即2,1b a =-= 故1a b +=-． 故答案为：1-．16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130113a a a a a a ≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得2152a ≤≤，所以实数a的取值范围是21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()22f x x x =-，()1g x x =+，令()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.513- 【解析】令221x x x -≥+，解得313x +≥313x -≤ 则()()(){}23133132,max ,313313x x x x M x f x g x x x ⎧+--≥⎪⎪==⎨-+⎪+<<⎪⎩，当313x +≥313x -≤()min 313513M x M --==⎝⎭， 313313x -+<<513- 513- 513- 四、解答题18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；【解析】（1）函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩． 11115222f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）因为()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩且()2f a =，所以3+5=20a a ≤⎧⎨⎩，解得1a =-；或+5=20<<1a a ⎧⎨⎩，解得3a =-（舍去）； 或2+8=2>1a a -⎧⎨⎩，解得=3a .综上：1a =-或=3a ．19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；（2）已知函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩①求()2f ，()()1f f -②若()3f a =，求a 的值【解析】（1）设()=+,0f x kx b k ≠，则：()+1=++f x kx b k ，()1=+f x kx b k --，故()()3++2+=2+17kx b k kx b k x --，即++5=2+17kx b k x ，故=2k ，=7b .所以()27f x x =+（2）函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，①()2=2?2=4f ，()()()()1=1+2=1=3f f f f --．②当1a ≤时，()=+2=3f a a ，解得=1a ，成立；当12a <<时，()2==3f a a ，解得3a =3a =-；当2a ≥时，()=2=3f a a ，解得3=2a （舍去）． 故a 31． 20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =+++，()22122g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩. (1)若1a =，求()M x 的最小值；(2)若()M x 的最小值小于52，求a 的取值范围． 【解析】（1）由题意可得，当()()f x g x ≥时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+≥ ⎪⎝⎭，当()()f x g x <时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+< ⎪⎝⎭， 所以()()(),2,,2.f x x a M x g x x a ⎧≥-⎪=⎨<-⎪⎩当1a =时，()2213,2,211, 2.2x x x M x x x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩作出()M x 的图象，如图1： 由图可知()M x 的最小值为()512f -=．（2）()222212,2,212,2,2x x a a x a M x x x a a x a ⎧+++≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩且()f x ，()g x 图象的对称轴分别为直线=1x -，1x =．①如图2，当21a -≤-，即12a ≥时，()M x 在(),1-∞-上随x 的增大而减小，在()1,-+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x f a a =-=+-，由215222a a +-<，解得31a -<<，故112a ≤<．②如图3，当121a -<-≤，即1122a -<≤时，()M x 在(),2a -∞-上随x 的增大而减小，在()2,a -+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 23M x f a a =-=，则2532a <，解得3030a <<1122a -<≤．③如图4，当21a ->，即12a <-时，()M x 在(),1-∞上随x 的增大而减小，在()1,+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x g a a ==--，由215222a a --<，解得13a -<<，故112a -<<-． 综上，a 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41xx f x =+．(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．【解析】（1）∵当(1,0)x ∈-时，(0,1)x ， ∴22()()4141x xx x f x f x --=--=-=-++． 由题意，知(0)0f =，又()()11f f -=-，()()()1121f f f -=-+=， ∴()()110f f -==，∴()()()2,1,0412,0,1410,1,0,1xx xx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪=-⎪⎪⎩，（2）当[21,21]x k k ∈-+时，2[1,1]x k -∈-， ∴()()()22222,21,2412()(2),2,21410,21,2,21x kx k x kx k x k k f x f x k x k k k Z x k k k ----⎧-∈-⎪+⎪⎪=-=∈+∈⎨+⎪=-+⎪⎪⎩（3）设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， ∵2211221212122(22)(21)()()4141(41)(4)x x x x x x x x x x f x f x ++---=-=+++，且21220x x ->，12210x x +->， ∴12()()f x f x >，即()f x 在区间()0,1上单调递减．。
高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时 分段函数》课件
题型一 分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC， 垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x， ＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)． 综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算； 当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．
高中函数复习之绝对值函数与分段函数.doc
专题四：绝对值函数与分段函数一.与绝对值函数有关的基本知识1. V型函数2.与绝对值有关的函数变换除左右对称到左y = f(x) >y=\f(x)\二.分段函数(绝对值函数除绝对值)x, x > 0y=\^\=\ n［一x, x v 0分段函数分段处理三.典例分析例1・“。
=2”是“函数f(x) = \x-a\在区间［2,+呵上为增函数”的_________ (填充分，必要，充要). 分析： AEl 亠斗v=lzl \\//—d| 在［2,+oo丿上为增则6/ <2 --------------- '/ 7 ------------------ ►故填充分非必要y 二2” 平移> y 二2—2 绝曲变换〉y=| 2X-2|故选B例3.已知函数/(%) = —— -1的定义域是［a,b\ (a,b 为整数)，值域是［0,1］,则满足条件的整数数对(a,b) 1刎+2 个.•共有.分析:例4.已知/(兀) xx-a -2(1)若a>0,求/(兀)的单调区间；(2)若当xe ［0,1］时，恒有/(%) < 0 ,求实数a 的取值范围.1) v ("一处一2) + (』+血一2) = _2,故两段上图像关于2y = -2,对称，且两抛物线对称轴相同。
当。
>0时 对称轴在尢轴正半轴，当兀二。
时，两支函数值都为-2, 故可画出函数图像，由图知单调区间为.•增(YO,号)， (。
,+8),减区间为(号,a)2)y = -x 2+ ax - 2,顶点最大值为:-竽- 2,恒小于零， 故第二支函数在任意情况下都小于零，因此要使 /(%) < 0在xw ［0,1］上恒成立,只需要第一支函数中/(0) < 0, /⑴ <0,既得.•[-2<0 \d 〉一 1 \l-a-2<0练习:-COS 7TX X>0已知/(%)= A. — 2 /(x+l) + l x<0B. 1 则的值等于 J JC. 2—2,0丿由题意和图像知•(-2,0)，( -2,1/ (—2,2), ( -1,2),(0,2)满足要求(-Y -1 <x<02 若函数/(x) = 4 一 ,则/(log4 3)=( )4V, 0<x<l1 4A. -B.-C.3D.43 33函数f(x) = l2~X~K (X-0),若方程f(x) = x + a恰有两个不等的实根，则G的取值范围为[/(x-1),(兀>0)A. (—,0]B. [0,1)C. (-oo,l)D. [0,+oo)4设函数/(x) = J r+/?X + GX-°,若/(-4) = /(0),/(-2) = -2，则关于兀的方程/(x) = x的解的个数为[2,x>0 A.4 B.2 Cl D.35.已知函数/(兀)二J"(X V °)’满足对任意旺工兀2,都有/(舛)一/(兀2)<0[(a一3)x + 4a(x > 0) 兀]-x2成立，则a的取值范围是______________6知函数f(x)= 2X -1 ,a<b<c，且f(a) > f(c) > f(b),则下列结论中,必成立的是A. 6z<0,/?<0,c<0B. 6z<0,/?>0,c>0C. T a < 2rD. 2"+2"v2 7设函数= f\x）在（-g,+°°）内有定义，对于给定的正数K,定义函数/(x), /(x) < K. K, f(x) > K.取函数/（兀）=2咽。
人教版高中数学必修1《分段函数》PPT课件
()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－ －1x， ，xx≥ ＜11， ， 当 x＝1 时，f(1)＝0，可排除 A、C. 又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
3．函数 y＝x－2，2，x＞x＜0，0 的定义域为__________，值域为____________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(02]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34. (2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1 符合题意；
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
题型二 分段函数的图象 【学透用活】
[典例 2] (1)已知 f(x)的图象如图所示，求 f(x)的解析式． (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示函数 f(x)； ②画出函数 f(x)的图象； ③写出函数 f(x)的值域．
x＋2，x＜0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2}
3．作出函数 f(x)＝－ x2－x－x－1，2，x≤－－1＜1，x≤2， x－2，x＞2
的图象．
解：画出一次函数 y＝－x－1 的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次 函数 y＝x2－x－2 的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数 y＝x－2 的图 象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．
分段函数的单调性问题
【规避策略】
1.弄清分段函数的单调性的特点
对于分段函数的单调性,一要保证各段上同增(减),二要保证上、下段 间端点值间的大小关系. 2.熟练掌握分段函数单调性的图象解法 画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进行直观判断.
【自我矫正】选B.
由题意f(x)在R上单调递增,
a 1， 则有 4 a 0， 2 a (4 ) 2 a， 2
分段函数的单调性问题
【典例】(2015·金华模拟)f(x)=
增函数,则实数a的取值范围是 A.(1,+∞) B.[4,8) (
a x , x 1, 是R上的单调递 a (4 )x 2, x 1 2
) D.(1,8)
C.(知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的 大小而导致实数a的范围扩大.
解得4≤a<8.
高考数学热点问题专题练习——分段函数的性质与应用知识归纳及典型例题分析
分段函数的性质与应用一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
典型例题例1：已知函数2211()1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则实数a =_____思路：从里向外一层层求值，()00212f =+= ()()()0242f f f a ∴==+ 所以4242a a a +=⇒= 答案：2a =例2：设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 思路：由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。
九年级中考 专题01 动点与分段函数解析式题型讲义(教师版)
动点与分段函数解析式一、典例解析例1.【2020·辽宁本溪】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A. 【解析】解：当点P 在AD 上运动时，0≤x ≤2时，y=PE ·CE=2x ·（2x ）=2x －12x 2， 当点P 在DC 上运动时，2<x ≤4时，S= PE ·4-x ）（4-x ）=12（x -4）2，结合函数解析式判断选项A 符合要求. 故答案为：A.例2. 【2020·山东淄博】如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）A．12B．24C．36D．48【答案】D.【解析】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC=√BC2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故答案为：D．例3. 【2020·辽阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，CD⊥AB于点D．点P从点A 出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P 运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故答案为：A．例4. 【2020·上海】小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行15 分钟时，到学校还需步行 米.【答案】350.【解析】解：由题意知：线段AB 的解析式为：S=70t+400（8≤t≤20）当t=15时，S=1450，还需要步行1800-1450=350米.故答案为：350.例5. 【2020·重庆A 卷】A ，B 两地相距240 km ，甲货车从A 地以40km/h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止，两车之间的路程y （km ）与甲货车出发时间x （h ）之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示.其中点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40，，则点E 的坐标是 ．【答案】（4,160）.【解析】解： 由题意知，乙车的速度为：240÷2.4-40=60 km/h ，乙车从B 到A 需要的时间为：240÷60= 4 h ，当乙车到达A 地时，甲车行驶的路程为：40×4=160 km ，点E 坐标为（4,160）故答案为（4,160）.例6.【2020·北京】有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B.【解析】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：h＝0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故答案为：B．二、刻意练习1.【2020·湖北恩施州】甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/hC．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h【答案】D.【解析】解：由图象知：A．甲车的平均速度为30010−5=60km/h，故A选项不合题意；B．乙车的平均速度为3009−6=100km/h，故B选项不合题意；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故答案为：D ．2.【2020·湖北武汉】一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min 到第24min 内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．32B ．34C ．36D ．38【答案】C. 【解析】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L /min ），出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L /min ），第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L ），a ＝24+45÷3.75＝36．故答案为：C ．3.【2020·江苏连云港】快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④快车先到达目的地． 其中正确的是A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】B.【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：，()y km ()x h 0.5h 20/km h 340a =()3602180(/)km h ÷=相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，故①结论错误；慢车的速度为：，则快车的速度为，所以快车速度比慢车速度多；故②结论正确；，所以图中，故③结论正确；，，所以慢车先到达目的地，故④结论错误．所以正确的是②③．故答案为：B ．4.【2020·重庆B 】周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚 分钟到达B 地．【答案】12.【解析】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x 米/分．则有：7500﹣20x ＝2500，解得x ＝250，25分钟后甲的速度为250×85=400（米/分）．由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），∴29400−25800300=12（分钟）．故答案为：12．0.5h 1.6h 88km 88(3.6 2.5)80(/)km h ÷-=100/km h 20/km h 88180(5 3.6)340()km +⨯-=340a =(360280)80 2.5()h -⨯÷=5 2.5 2.5()h -=5.【2020·浙江台州】如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（m/s）与运动时间t（s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（m）与运动时间t 之间的函数图象大致是（）图1 图2A B C D【答案】C.【解析】解：由图2知，小球的是先匀加速再匀减速运动，选项C符合题意.6.【2020·贵州铜仁】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：由题意，当0≤x ≤4时，y =12×AD ×AB =12×3×4＝6，当4＜x ＜7时，y =12×PD ×AD =12×（7﹣x ）×4＝14﹣2x ．故答案为：D ．7.【2020·安徽】如图，△ABC 和△DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将△ABC 沿着直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动. 在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）【答案】A.【解析】解：当0≤x ≤2时，重叠部分为边长为x 的等边三角形，y=2 当2<x ≤4时，重叠部分为边长为（4-x ）的等边三角形，y=)24x - 故答案为：A.8.【2020·甘肃金昌】如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4√2B．4C．3√3D．2√2【答案】A.【解析】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2√5，∴x2+（2x）2＝（2√5）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4√2，故答案为：A．9.【2020·黑龙江大兴安岭】李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：因为登山过程可知：先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．故答案为：B．10.【2020·湖北黄冈】2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：根据题意：时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故答案为：D．11.【2020·湖北随州】小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；②停留一段时间时，离家的距离不变，③乘车返回时，离家的距离减小至零，纵观各选项，只有B选项符合．故答案为：B．12.【2020·湖北孝感】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：①当点P在AB上运动时，y=12AH×PH=12×AP sin A×AP cos A=12×x2×√34=√38x2，图象为二次函数；②当点P在BC上运动时，如下图，由①知，BH′＝AB sin A＝4×12=2，同理AH′＝2√3，则y=12×AH×PH=12（2√3+x﹣4）×2＝2√3−4+x，为一次函数；③当点P在CD上运动时，同理可得：y=12×（2√3+6）×（4+6+2﹣x）＝（3+√3）（12﹣x），为一次函数；故答案为：D．13.【2020·湖南衡阳】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么四边形ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【答案】B.【解析】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，AE ＝6﹣4＝2，DE ＝7﹣6＝1，BE ＝2，∴AB ＝2+1＝3，∵直线BE 平行直线y ＝x ，∴BM ＝EM =√2， ∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM ＝3×√2=3√2．故答案为：B ．14.【2020·内蒙古通辽】如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 ．【答案】7.【解析】解：将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ，则四边形ABA ′C 为菱形，菱形的对角线交于点O ，由图②知，当点P 与点B 重合时，y ＝P A +PE ＝AB +BE ＝AB +12AB ＝3√3，解得：AB ＝2√3，即：菱形的边长为2√3，则该菱形的高为√32AB ＝3， 点A 关于BC 的对称点为点A ′，连接A ′E 交BC 于点P ，此时y 最小，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，则∠BAA ′＝60°，故AA ′B 为等边三角形，∵E 是AB 的中点，故A ′E ⊥AB ，而AB ∥A ′C ，故∠P A ′C 为直角，A ′C ＝AB ＝2√3，则PC =A′C cos∠BCA′=√3√32=4， 此时b ＝PC ，a ＝A ′E ＝3（菱形的高），则a +b ＝3+4＝7．故答案为7．15.【2020·青海】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B. 【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误；用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化． 故答案为：B ．16.【2020·四川攀枝花】甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）()s km ()t hA ．两人出发1小时后相遇B ．赵明阳跑步的速度为C ．王浩月到达目的地时两人相距D ．王浩月比赵明阳提前到目的地 【答案】C.【解析】解：由图象可知，两人出发1小时后相遇，故答案为项A 正确；赵明阳跑步的速度为，故答案为项B 正确； 王皓月的速度为：，王皓月从开始到到达目的地用的时间为：，故王浩月到达目的地时两人相距，故答案为项C 错误； 王浩月比赵明阳提前到目的地，故答案为项D 正确； 故答案为：C ．8/km h 10km 1.5h 2438(/)km h ÷=241816(/)km h ÷-=2416 1.5()h ÷=8 1.512()km ⨯=3 1.5 1.5h -=。
2020版新教材高中数学第三章函数3.1.1.4分段函数课件新人教B版必修1
2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是 ________.
【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，
所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得
f(x)=
x 1，1 x 0， x，0 x 1.
答案：f(x)=
x 1，x [1，0)， x，x [0，1]
类型三 分段函数的综合问题
角度1 范围问题
【典例】已知f(x)=
1, x 0, 1, x 0,
则不等式x+(x+2)·f(x+2)
≤5的解集是世纪金榜导学号( )
A.[-2，1] C.[2, 3]
2
B.(-∞，-2] D. ( , 3 ]
2
【思维·引】 分x+2≥0，x+2&[-4，2] D.(-4，2]
【解析】选B.因为f(x)≥-1，
x 0,
所以
1 2
x
1
1,
或
x 0, (x 1)2
1,
所以-4≤x≤0或0<x≤2，即-4≤x≤2.
2.若f(x)=
x 7, x [1,1], 2x 6, x [1, 2],
1 4
(x－2)2－1，x
0.
x 1，－1 x 0，
答案：f(x)=
1 4
(x－2)2－1，x
0
【内化·悟】 已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？ 提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定 义域.
【类题·通】 1.分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
22.3(10)---利润问题-分段函数
22.3（10）---利润问题-分段函数一．【知识要点】1.分段求最值，进行比较。
2.销售利润=（售价-成本价）×销售量．3.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】1.九(13)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?22018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？3.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件． （1）如图，设第x （0＜x ≤20）个生产周期设备售价z 万元/件，z 与x 之间的关系用图中的函数图象表示．求z 关于x 的函数解析式（写出x 的范围）． （2）设第x 个生产周期生产并销售的设备为y 件，y 与x 满足关系式y ＝5x +40（0＜x ≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）4.为喜迎佳节，某食品公司推出一种新年礼盒，每盒成本为20元．在元旦节前30天进行销售后发现，该礼盒在这30天内的日销售量p （盒）与时间x （天）的关系如下表：在这30天内，前20天每天的销售价格1y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为11254y x =+（1≤x ≤20，且x 为整数），后10天每天的销售价格2y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为21402y x =-+（21≤x ≤30，且x 为整数）． （1）直接写出日销售量p （盒）与时间x （天）之间的关系式；（2）请求出这30天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）元旦放假期间，该公司采取降价促销策略．元旦节当天，销售价格（元/盒）比第30天的销售价格降低a%，而日销售量就比第30天提高了4a%，日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元，求a 的值．三．【题库】【A】1.数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程，若前49天销售获得的最大日利润为5408元，求出m的值时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x【B】1.我县云蒙湖被临沂市人民政府定位“饮用水水源地”，为净化水源，某水产养殖企业在净化水源的同时，为谋求养殖利润最大化，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y＝﹣x+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．“五•一”之前，月份出售这种品每千克的利润最大．【C】1.（本题满分11分）绵阳经开区“万达广场”开业在即，开发商准备对一楼的40个商铺出租，小王和开发商约定：小王租赁的每个商铺每个月的租金y（元/个.月）与租赁的商铺数量x（个）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点C ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）已知开发商每个月对每个商铺的投入成本共280元，那么当小王租赁的商铺数量为多少时，开发商在这次租赁中，每个月所获的利润w 最大？最大利润是多少？【D 】1.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商销售单价q （元/件）与x 满足：当1≤x ＜25时q=x+60；当25≤x ≤50时． （1）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系． （2）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式． （3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？2.某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
函数的表示法2：分段函数
分段函数Q 情景引入ing jing yin ru某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A 为1，J 为11，Q 为12，K 为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？分段函数所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．[知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．预习自测1．函数y ＝|x |的图象是( B )[解析] 因为y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，所以B 选项正确．2．y ＝f (x )的图象如图所示，则函数的定义域是( D )A ．[－5,6)B ．[－5,0]∪[2,6]C ．[－5,0)∪[2,6)D ．[－5,0]∪[2,6)[解析] 根据分段函数定义域的确定原则：将每一段上函数的自变量的范围取并集，即：[－5,0]∪[2,6)．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( B )A ．1B ．0C ．－1D ．π[解析] 由题设，g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，3，x ＝0，2x ＋3，x ＜0，求f (f (12))的值.[解析] f (12)＝12×2－3＝－2，f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f (f (12))＝f (－2)＝－1.命题方向1 ⇨分段函数的求值问题 典例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (－4)，f (3)，f [f (－2)]； (2)若f (a )＝10，求a 的值.[思路分析] 分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值． [解析] (1)f (－4)＝－4＋2＝－2， f (3)＝2×3＝6，f (－2)＝－2＋2＝0， f [f (－2)]＝f (0)＝02＝0.(2)当a ≤－1时，a ＋2＝10，可得a ＝8，不符合题意； 当－1<a <2时，a 2＝10，可得a ＝±10，不符合题意； 当a ≥2时，2a ＝10，可得a ＝5，符合题意； 综上可知，a ＝5.『规律方法』 求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 当出现f [f (x 0)]的形式时，应从内到外依次求值． 〔跟踪练习1〕已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >10，f [f (x ＋5)]，x ≤10，则f (5)的值是( A )A ．24B ．21C ．18D ．16[解析] f (5)＝f [f (10)]，f (10)＝f [f (15)]＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24. 命题方向2 ⇨分段函数与不等式的应用 典例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，若f (a )<－3，则a 的取值范是__(－∞，－3)__.[思路分析]解不等式f (a )<－3需先求f (a )的值―→讨论a 落在分段函数的哪一段上―→解得a 的取值范围[解析] 当a ≤－2时，f (a )＝a <－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2<a <4时，f (a )＝a ＋1<－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a <－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)．『规律方法』 解决分段函数与不等式的问题，应分段利用函数解析式求得自变量的取值范围，最后再将每段中求得的范围取并集，即可得到所求自变量的取值集合．〔跟踪练习2〕已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <0，1，x ≥0，则不等式xf (x －1)≤1的解集为( A )A ．[－1,1]B ．[－1,2]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)[解析] 当x －1<0，即x <1时，f (x －1)＝－1， ∴xf (x －1)＝－x ≤1，∴x ≥－1， ∴－1≤x <1.当x －1≥0，即x ≥1时， f (x －1)＝1，∴xf (x －1)＝x ≤1， 又∵x ≥1，∴x ＝1.综上可知，－1≤x ≤1，故选A ． 命题方向3 ⇨分段函数的图象及应用 典例3 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．[解析] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．『规律方法』 1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式．(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．〔跟踪练习3〕已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <1，x 2－2x ，x ≥1.(1)画出函数的图象； (2)若f (x )＝1，求x 的值． [解析] (1)函数图象如图所示．(2)由f (x )＝1和函数图象综合判断可知，当x ∈(－∞，1)时，得f (x )＝－2x ＋1＝1，解得x ＝0；当x ∈[1，＋∞)时，得f (x )＝x 2－2x ＝1，解得x ＝1＋2或x ＝1－2(舍去)． 综上可知x 的值为0或1＋2 分段函数概念的理解错误.典例4 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≥0)x (x <0)的定义域.[错解] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2－1，x <0时，f (x )＝x ， ∴当x ≥0时，f (x )的定义域为[0，＋∞)， 当x <0时，f (x )的定义域为(－∞，0)．[错因分析] 错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≤0)x (x <0)是两个函数．[正解] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋∞)，∴函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．典例5 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )； (2)画出y ＝f (x )的图象；(3)若△APB 的面积不小于2，求x 的取值范围． [思路分析] (1)点P 位置不同△ABP 的形状一样吗？ (2)注意该函数的定义域．[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤4)8 (4<x ≤8)2(12－x ) (8<x ≤12).(2)y ＝f (x )的图象如图所示．(3)即f (x )≥2，当0≤x ≤4时，2x ≥2，∴x ≥1，当8<x ≤12时，2(12－x )≥2， ∴x ≤11，∴x 的取值范围是1≤x ≤11.[点评] (3)可以作直线y ＝2与函数y ＝f (x )的图象交于点A (1,2)，B (11,2)，要使y ≥2，应有1≤x ≤11.『规律方法』 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言． (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．1．已知函数已知f (1)＝0，且对任意n ∈N *，都有f (n ＋1)＝f (n )＋3，则f (3)＝( C ) A ．0 B ．3 C ．6D ．9[解析] f (3)＝f (2)＋3＝f (1)＋6＝6.2．在下列的四个图象中，是函数f (x )＝x|x |的图象的是( C )3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(x ≤－1)x 2，(－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为( D )A ．1B ．1或 3C ．32D ． 34．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1(x ≥0)|x |(x <0)，且f (x 0)＝3，则实数x 0＝__－3或1__.[解析] 当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3， ∴x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝|x 0|＝3， ∴x 0＝±3， 又∵x 0<0， ∴x 0＝－3.一、选择题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≥0)1(x <0)，则f [f (－1)]＝( A )A ．3B ．1C ．0D ．－1[解析] ∵x <0时，f (x )＝1， ∴f (－1)＝1，∴f [f (－1)]＝f (1)， 又∵x ≥0时，f (x )＝x ＋2， ∴f (1)＝1＋2＝3.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)x 2＋x －2(x >1)，则f [1f (2)]的值为( A )A ．1516B ．－2716C ．89D ．18[解析] ∵x >1时，f (x )＝x 2＋x －2， ∴f (2)＝22＋2－2＝4， ∴1f (2)＝14∴f [1f (2)]＝f (14)，又∵x ≤1时，f (x )＝1－x 2， ∴f (14)＝1－(14)2＝1－116＝1516，故选A ．3．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km 价为1.8元(不足1 km 按1 km 计价)，则乘坐出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为下列图中的( B )[解析] 由已知得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(0<x ≤3)5＋[x －3]×1.8(x >3).故选B ．4．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x >0)0(x ＝0)－1(x <0)，则( D )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析] 当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ；当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ；当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x ，故选D ．5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，x ，x ＜0，φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x 2，x ＜0，则当x ＜0时，f [φ(x )]( B )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2[解析] x ＜0时，φ(x )＝－x 2＜0，∴f (φ(x ))＝－x 2.6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是( D )[解析] ∵纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，∴当t ＝0时，纵坐标表示家到学校的距离，不能为零，故排除A ，C ；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，∴刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D ．二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，x ∉[－1，1]，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是__{2}∪[－1,1]__.[解析] 设f (x )＝t ，∴f (t )＝2，当t ∈[－1,1]时，满足f (t )＝2，此时－1≤f (x )≤1，无解，当t ＝2时，满足f (t )＝2，此时f (x )＝2即－1≤x ≤1或x ＝2.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__{x |x ≤1}__.[解析] 当x ≥0时，f (x )＝1，由xf (x )＋x ≤2，知x ≤1，∴0≤x ≤1； 当x ＜0时，f (x )＝0，∴x ＜0. 综上，不等式的解集为{x |x ≤1}． 三、解答题9．若方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根，求m 的取值范围.[解析] 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.作其图象，如图所示由图可知1<m <5.10．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左向右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左侧部分的面积y 关于x 的函数解析式.[解析] 如图所示，过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝22cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. 当点F 在BG 上时，即x ∈(0,2]时，y ＝12x 2；当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时， y ＝12×2×2＋2(x －2)＝2x －2； 当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈(0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].。
八年级一次函数分段函数经典讲解
认清分段函数,解决收费问题定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y 与自变量X之间存在k1x+b1 x≤a1y =k2x+b2a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1, k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值围的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个围的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某围不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值围，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60则有4010060200k bk b=+⎧⎨=+⎩,解之得1520kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x=+..（3）把x=280代入关系式1205y x=+,得128020765y∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x 的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2(2) 当该用户该月用21吨水时,三、电费中分段函数例3 ()今年以来，大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15综上可得0.65(0100)0.815(100)x x y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥ (2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
5份 专题 分段函数
针对江苏近几年高考 小小专题 分段函数问题江苏近几年高考对分段函数问题的考察（填空题）1.（13年江苏）T 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 (﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 本题考查：更多的是考察奇偶函数图像，数形结合知识2.（12年江苏）T 10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 -10 本题考查：分段函数、周期函数的性质及求值问题。
3.（11年江苏）T 11．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 34-本题考查：分段函数的求值，参数的讨论问题。
4.（10年江苏T5）设函数f(x)=x(e x+ae -x) （x ∈R ），是偶函数，则实数a=______ ___5.（10年江苏）T11。
已知函数⎩⎨⎧<≥+=01012x ,x ,x )x (f ,则满足不等式)x (f )x (f 212>-的x 的范围是________()12,1-- 本题考查：分段函数不等式问题。
6.（09年）没有考察。
故分段函数有关问题是近几年江苏高考填空题的热点。
应设置在9、10、11、12题。
分段函数 课时1一、教学目标：解决分段函数的图像（单调性）、值域、奇偶性、性质问题。
二、典例解析问题1、分段函数图像例1、 画出下列函数图像并求单调区间及值域、最值。
()3212++-=x x y （2）223(0)23(01)5(15)x x y x x x x x +⎧⎪=++<⎨⎪--<⎩，，， ≤≤ ≤练习：求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域总结：分段函数值域的求解方法：问题2、分段函数的奇偶性例2、判断函数22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧->⎪=⎨+⎪⎩，≤的奇偶性．回顾：判断分段函数的奇偶性，应遵循“分段判断，合并作答”的原则．练习：1.已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x) = x (5－x)+1. 当x<0时，f(x)=2. 已知f(x)为奇函数（x R ∈），当x>0时，f(x) = x (5－x)+1.则f(x)=问题3、分段函数性质应用例3. (11年浙江) 设函数f(x)=2x x a -+为偶函数，则实数a=_______ __练习：1.（10年江苏T5）设函数f(x)=x(e x +ae -x) （x ∈R ），是偶函数，则实数a=______ ___2.函数f(x)=log (x a 是奇函数，则a=分段函数 课时2一、教学目标：分段函数求值、方程、不等式、单调性应用问题。
第二课时 分段函数
题型二 分段函数的图象 【学透用活】
[典例 2] (1)已知 f(x)的图象如图所示，求 f(x)的解析式． (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示函数 f(x)； ②画出函数 f(x)的图象； ③写出函数 f(x)的值域．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)分段函数由几个函数构成．
()
(2)分段函数有多个定义域．
()
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线．
()
(4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．
()
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．f(x)＝|x－1|的图象是
()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－ －1x， ，xx≥ ＜11， ， 当 x＝1 时，f(1)＝0，可排除 A、C. 又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
3．作出函数 f(x)＝－ x2－x－x－1，2，x≤－－1＜1，x≤2， x－2，x＞2
的图象．
解：画出一次函数 y＝－x－1 的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次 函数 y＝x2－x－2 的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数 y＝x－2 的图 象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．
当 x0>2 时，f(x0)＝45x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10. 答案：－ 6或 10
3．已知函数 f(x)＝xx2＋－64，x＋x＜6，0，x≥0， 则不等式 f(x)＞f(1)的解集是________． 解析：作出函数 f(x)的图象如图所示，令 f(x)＝f(1)， 得 x＝－3,1,3，所以当 f(x)＞f(1)时，必有 x∈(－3,1) ∪(3，＋∞)．
2019-2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2.2分段函数
第2课时 分段函数1．会用解析法及图象法表示分段函数．2．给出分段函数，能研究有关性质．3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝Error!其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：①5千米以内，票价2元；②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？(3)x与y之间有何特点？[答案] (1)有函数关系(2)y＝Error!(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝Error!是分段函数．( )(3)分段函数的图象不一定是连续的．( )(4)y ＝|x －1|与y ＝Error!是同一函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√题型一分段函数求值【典例1】 已知函数f (x )＝Error!(1)求f (f (f (－2)))的值；(2)若f (a )＝，求a .32[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值．[解] (1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋＝.1232(2)当a >1时，f (a )＝1＋＝，∴a ＝2>1；1a 32当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝，32∴a ＝±∈[－1,1]；22当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝，32∴a ＝－>－1(舍去)．34综上，a ＝2或a ＝±.22(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．[针对训练]1．设函数f (x )＝Error!则f [f (3)]＝( )A. B ．3 C. D.1523139[解析] ∵f (3)＝<1，23∴f [f (3)]＝2＋1＝.(23)139[答案] D2．已知函数f (x )＝Error!若f (x )＝－3，则x ＝________.[解析] 若x ≤1，由x ＋1＝－3得x ＝－4.若x >1，由1－x 2＝－3得x 2＝4，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．综上可得，所求x 的值为－4或2.[答案] －4或2题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：①y ＝Error! ②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式；②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式．[解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝Error!，其图象如图2所示．(2)①y ＝Error!②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．[针对训练]3.已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．[解] 由于f(x)的图象由两条线段组成，因此可设f(x)＝Error!将点(－1,0)，(0,1)代入f(x)＝ax＋b，点(1，－1)代入f(x)＝cx可得f(x)＝Error!由图象可得f(x)的值域为(－1,1).题型三分段函数的综合问题【典例3】 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．[思路导引] 去掉绝对值符号，化简f(x)，再分段求解．[解] 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1<x≤3，则x－3≤0，x＋1>0，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x>3，则x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.∴f(x)＝Error!(1)－1<x≤3时，－4≤－2x＋2<4.∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f(x)>0，即Error!①或Error!②或Error!③解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈∅.所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)．(3)f(x)的图象如图：由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．[变式] 若a∈R，试探究方程f(x)＝a解的个数．[解] 由例3(3)知y＝f(x)的图象，作出直线y＝a，可以看出：当a＝±4时，y＝a 与y＝f(x)有无数个交点；当－4<a<4时，y＝a与y＝f(x)有且仅有一个交点；当a<－4或a>4时，y＝a与y＝f(x)没有交点．综上可知：当a＝±4时，方程f(x)＝a有无数个解．当－4<a<4时，方程f(x)＝a有一个解．当a<－4或a>4时，方程f(x)＝a无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．[针对训练]4．已知f (x )＝Error!(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥，求x 的取值范围；14(3)求f (x )的值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ＝，结合此函数图象可知，使f (x )≥的x 的取值范围是(±12)1414∪.(－∞，－12][12，＋∞)(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1].题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝的一部分，请根据图k x 中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式，再分段研究．[解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点A (2,20)，D (0,10)代入，得Error!，解得Error!，∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)．∵双曲线y ＝经过B (12,20)，k x ∴20＝，解得k ＝240，k 12∴BC 段的解析式为y ＝(12≤x ≤24)．240x 综上所述，y 与x 的函数解析式为：y ＝Error!.(2)当x ＝18时，y ＝＝，由于<15，24018403403∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长．(3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1，当12≤x ≤24时，解＝15，得x ＝16.240x 由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．[针对训练]5．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．[解] (1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为＝3(小时)．15050(2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时＝2.5(小时)．15060综上可得，该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系式为s ＝Error!函数图象如图所示．课堂归纳小结1．分段函数(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样．(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．2．与分段函数有关的实际问题要理解题意，合理引进变量，确定自变量分段的“段点”，注意在自变量分段的端点处要不重不漏.1．已知f (x )＝Error!则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100.[答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )＝Error!分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝Error!的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝|x －1|(0≤x ≤2)32B ．y ＝－|x －1|(0≤x ≤2)3232C ．y ＝－|x －1|(0≤x ≤2)32D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点代入，排除D 项．(1，32)[答案] B5．设函数f (x )＝Error!若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±或a ＝0，故a ＝.22[答案] 2课后作业(十八)复习巩固一、选择题1．已知f (x )＝Error!则f (－2)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．2或4[解析] f (－2)＝－(－2)＝2，选A.[答案] A2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )[解析] f (x )＝|x －1|＝Error!选B.[答案] B3．已知函数y ＝Error!使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52[解析] 当x ≤0时，令x 2＋1＝5，解得x ＝－2；当x >0时，令－2x ＝5，得x ＝－，不合题意，舍去．52[答案] A4.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f 等于( )[f (13)]A ．－ B.1313C ．－ D.2323[解析] 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝Error!∴f ＝－1＝－，(13)1323∴f ＝f ＝－＋1＝.[f (13)](－23)2313[答案] B5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米[解析] 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝Error!由y ＝16m ，可知x >10，令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.[答案] A二、填空题6．已知函数f (x )＝Error!，则不等式xf (x －1)≤1的解集为________．[解析] 原不等式转化为Error!或Error!解得－1≤x ≤1.[答案] [－1,1]7．函数f (x )＝Error!的值域是________．[解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤1；当1<x ≤2时，0≤f (x )<1.所以0≤f (0)≤1，即f (x )的值域为[0,1]．[答案] [0,1]8．已知f (x )＝Error!则f (－5)的值等于________．[解析] f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2.[答案] 2三、解答题9．已知函数f (x )＝Error!(1)求f 的值；[f (12)](2)若f (x )＝，求x 的值．13[解] (1)因为f ＝－2＝－，(12)|12－1|32所以f ＝f ＝＝.[f (12)](－32)11＋(－32)2413(2)f (x )＝，若|x |≤1，则|x －1|－2＝，1313得x ＝或x ＝－.10343因为|x |≤1，所以x 的值不存在；若|x |>1，则＝，得x ＝±，符合|x |>1.11＋x 2132所以若f (x )＝，x 的值为±.13210．已知函数f (x )＝1＋(－2<x ≤2)．|x |－x2(1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域．[解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋＝1，x －x2当－2<x <0时，f (x )＝1＋＝1－x .－x －x2所以f (x )＝Error!(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．综合运用11．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝Error!则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析] 由已知得，x sgn x＝Error!而|x|＝Error!所以|x|＝x sgn x，故选D.[答案] D12.如图，抛物线y1＝ax2与直线y2＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2,4)，B(1,1)．记f(x)为max{y1，y2}，则f(x)的解析式为( )[解析] 由y1＝ax2过点B(1,1)得a＝1，∴y＝x2.由y2＝bx＋c过点A(－2,4)，B(1,1)，有Error!解得Error!∴y2＝－x＋2，结合图象可得．f (x )＝Error!，选A.[答案] A13．已知f (x )＝Error!则f ＋f 等于( )(－43)(43)A ．－2 B ．4 C ．2 D ．－4[解析] ∵f (x )＝Error!∴f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝×2＝，f ＝2×＝，(－43)(－43＋1)(－13)(－13＋1)(23)2343(43)4383∴f ＋f ＝＋＝4.(－43)(43)4383[答案] B 14．设函数f (x )＝Error!若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当a ≥0时，f (a )＝a －1>1，12解得a >4，符合a ≥0；当a <0时，f (a )＝>1，无解．1a [答案] (4，＋∞)15．若定义运算a ⊙b ＝Error!则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．[解析] 由题意得f (x )＝Error!画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．[答案] (－∞，1]16．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f (x )(单位：元)表示为行程x (0<x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16 km ，他准备先乘一辆出租车行驶8 km 后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)[解] (1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：f(x)＝Error!＝Error!(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．。
分段函数(新版教材)
分段函数基础知识1．分段函数的定义__一个函数__，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，__有不同的对应方式__，则称其为分段函数．思考：根据实数绝对值的含义将函数y ＝|x ＋1|中的绝对值号去掉，变形后的函数是什么函数？2．几个特殊的函数 (1)高斯取整函数．y ＝[x ]，定义域为R ，值域为Z . (2)狄利克雷函数．D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∉Q ，定义域为R ，值域为{0,1}，(3)常数函数y ＝c ，c 为常数，定义域为R ，值域为{c }，图像为垂直于y 轴的直线．基础自测1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)π (x ≤0)，则f [f (－3)]＝( D )A ．－2B ．πC ．π－3D ．π＋1解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 (x >0)π (x ≤0)，∴f (－3)＝π，∴f [f (－3)]＝f (π)＝π＋1.2．下表表示函数y ＝f (x )，则f (11)＝( C )A ．2 C ．4D ．5解析：∵10≤x <15时，y ＝4，∴y ＝f (11)＝4.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ＜0，x －4，x ＞0，则f [f (－3)]的值为__－3__.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ＜0，x －4，x ＞0，所以f (－3)＝－3＋4＝1， f [f (－3)]＝f (1)＝1－4＝－3.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x ＞2，若f (x 0)＝8，则x 0＝__4或－6__.解析：由题意，得(1)当x 0≤2时，有x 20＋2＝8，解之得x 0＝±6，而6＞2不符合，所以x 0＝－ 6.(2)当x 0＞2，有2x 0＝8，解之得x 0＝4. 综上所述，得x 0＝4或－ 6.5．如图为一个分段函数的图像，则该函数的定义域为__[－1,2]__，值域为__[－1,1)__.解析：由图像可知，第一段图形对应的自变量取值范围为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段图形对应的自变量取值范围为[0,2]，值域为[－1,0]，因此该分段函数的定义域为[－1,0)∪[0,2]，即[－1,2]，值域为[－1,0]∪[0,1)，即[－1,1)．关键能力·攻重难类型 分段函数求值(范围)问题 ┃┃典例剖析__■典例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |＞1.(1)求f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)若f (a )＝13，求a 的值．思路探究：对于分段函数求值应先看清自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解． 解析：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， 所以f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝11＋⎝⎛⎭⎫322＝413.(2)f (a )＝13，若|a |≤1，则|a －1|－2＝13，得a ＝103或a ＝－43.因为|a |≤1，所以a 的值不存在； 若|a |＞1，则11＋a 2＝13，得a ＝±2，符合|a |＞1. 所以若f (a )＝13，a 的值为± 2.归纳提升：分段函数问题的常见解法(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． ┃┃对点训练__■1．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，若f (a )＜－3，3x ，x ≥4，则a 的取值范围是__(－∞，－3)__.解析：(1)f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－f (1)＝－2，当a ＞0时，2a ＝－2，∴a ＝－1，舍去， 当a ≤0时，a ＋1＝－2，∴a ＝－3.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 故a 的取值范围是(－∞，－3)． 类型 求分段函数的解析式 ┃┃典例剖析__■典例2 根据下图所示的函数f (x )的图像，写出函数的解析式．思路探究：图中给出的图像其实是一个分段函数的图像，对各段对应的函数解析式分别求解． 解析：当－3≤x＜－1时，函数f (x )的图像是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)的坐标代入，解得a ＝－32，b ＝－72，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x ＜1时，同理，可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)的坐标代入，解得c ＝32，d ＝－12，可得f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时，f (x )＝1. 综上所述，f (x )＝⎩⎨⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.归纳提升：由图像求函数解析式的方法已知函数的图像求解析式y ＝f (x )，如果自变量x 在不同的区间上变化时，函数f (x )的解析式不同，那么应分段求解，此时根据图像，结合已学过的基本函数图像，选择相应的解析式，用待定系数法求解．如果函数解析式为分段函数，要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重不漏． ┃┃对点训练__■2．如图，已知函数y ＝f (x )的图像是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的，求此函数的解析式．解析：设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，x ≤1.∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2，x ≤1. 同理，当x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2，x ≥3.设抛物线的一部分对应的二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋2,1＜x ＜3，a ＜0. ∵点(1,1)在抛物线上， ∴a ＋2＝1，解得a ＝－1.∴当1＜x ＜3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2,1＜x ＜3. 综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤1，－x 2＋4x －2，1＜x ＜3，x －2，x ≥3.类型 分段函数在实际问题中的应用 ┃┃典例剖析__■典例3 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，沿着折线BCDA ，由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求：(1)y 与x 之间的函数关系式； (2)画出y ＝f (x )的图像．解析：(1)当点P 在BC 上，即0≤x ≤4时，S △ABP ＝12×4x ＝2x ，当点P 在CD 上，即4<x ≤8时， S △ABP ＝12×4×4＝8，当点P 在DA 上，即8<x ≤12时，S △ABP ＝12×4×(12－x )＝24－2x ，∴y ＝⎩⎨⎧2x (0≤x ≤4)8 (4<x ≤8)24－2x (8<x ≤12).(2)画出y ＝f (x )的图像，如图(2)所示．归纳提升：由实际问题决定的分段函数要写出它的解析式，就是根据实际问题分成几类．求解析式时，先分段求，再综合在一起即可． ┃┃对点训练__■3．已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地；在B 地停留1 h 后再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离S 表示为时间t (h )的函数表达式为( D ) A ．S ＝60t B ．S ＝60t ＋50tC ．S ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150－50t (t >3.5)D ．S ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5<t ≤3.5)150－50(t －3.5) (3.5<t ≤6.5)解析：当0≤t ≤2.5时，S ＝60t ； 当2.5<t ≤3.5时，S ＝150；当3.5<t ≤6.5时，S ＝150－50(t －3.5)，故选D ．课堂检测·固双基1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x <1)x －1(x ≥1)，则f [f (－4)]的值为( A )A ．15B ．16C ．－5D ．－15解析：f (－4)＝(－4)2＝16，∴f [f (－4)]＝f (16)＝16－1＝15.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5(x ≥6)f (x ＋2)(x <6)，则f (3)等于( A )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝2.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≤0)－2x (x >0)，若f (x )＝10，则x ＝__－3__.解析：当x ≤0时，x 2＋1＝10，∴x 2＝9，∴x ＝－3. 当x >0时，－2x ＝10无解．∴x ＝－3.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，(x <1)x 2＋ax ，(x ≥1)，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝__2__.解析：由题意得， f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0＜x ≤4，－x ＋2，x ＞4.(1)求f {f [f (5)]}的值； (2)画出函数的图像．解析：(1)∵5＞4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3＜0，∴f [f (5)]＝f (－3)＝－3＋4＝1， ∵0＜1＜4，∴f {f [f (5)]}＝f (1)＝12－2×1＝－1， 即f {f [f (5)]}＝－1. (2)图像如图所示．A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( C )x 1≤x ＜2 2 2＜x ≤4 f (x )12 3A ．1 C ．3D ．不存在解析：∵当2＜x ≤4时，f (x )＝3， ∴f (3)＝3.2．函数f (x )＝x ＋|x |x的图像是( C )解析：依题意，如f (x )＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，x －1，x ＜0，所以函数f (x )的图像为选项C 中的图像．故选C ．3．设f (x )＝⎩⎨⎧1(x ＞0)0(x ＝0)－1(x ＜0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x 为有理数)0(x 为无理数)，则f [g (π)]的值为( B )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：∵π为无理数，∴g (π)＝0，∴f [g (π)]＝f (0)＝0.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋6(x ≤0)－10x (x >0)，若f (a )＝10，则a ＝( A )A ．－4B ．－1C ．1D ．－4或1解析：当a ≤0时，f (a )＝a 2＋3a ＋6＝10， ∴a 2＋3a －4＝0，解得a ＝－4或a ＝1， ∵a ≤0，∴a ＝－4.当a >0时， f (a )＝－10a ＝10，∴a ＝－1，又∵a >0，∴a ≠－1. 综上所述， a ＝－4.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是( D )A ．[－2,1]B ．(－∞，－2]C ．⎣⎡⎦⎤－2，32 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 解析：(1)当x ＋2≥0，即x ≥－2时， f (x ＋2)＝1，由x ＋(x ＋2)·f (x ＋1)≤5， 可得x ＋x ＋2≤5， 所以x ≤32，即－2≤x ≤32.(2)当x ＋2＜0，即x ＜－2时，f (x ＋2)＝－1， 由x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5，可得x －(x ＋2)≤5， 即－2≤5成立，所以x ＜－2. 综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知y ＝f (n )满足⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2f (n ＋2)＝3f (n )＋5，n ∈N ，则f (4)的值为__38__.解析：∵f (4)＝3f (2)＋5， f (2)＝3f (0)＋5＝3×2＋5＝11， ∴f (4)＝3×11＋5＝38.7．已知函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式是__f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ，0≤x ≤1__.解析：由图可知，图像是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.8．设x ∈R, 则函数y ＝2|x －1|－3|x |的值域为__(－∞，2]__. 解析：当x ≥1时，y ＝2(x －1)－3x ＝－x －2； 当0≤x ＜1时，y ＝－2(x －1)－3x ＝－5x ＋2； 当x ＜0时，y ＝－2(x －1)＋3x ＝x ＋2. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x ≥1，－5x ＋2，0≤x ＜1，x ＋2，x ＜0.根据函数解析式作出函数图像，如图所示．由图像可以看出，函数的值域为(－∞，2]． 三、解答题(共20分)9．(10分)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x (0<x ≤5)20 (5<x ≤9)56－4x (9<x <14)的定义域和值域．解析：当0<x ≤5时，y ＝4x ，∴0<y ≤20； 当5<x ≤9时，y ＝20；当9<x <14时，y ＝56－4x ，∴0<y <20. 又∵(0,20]∪{20}∪(0,20)＝(0,20]，∴函数f (x )的定义域为(0,5]∪(5,9]∪(9,14)＝(0,14)，函数f (x )的值域为(0,20]． 10．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤－2)x 2＋2x (－2<x <2)2x －1 (x ≥2).(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52)]的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．解析：(1)∵－5<－2，∴f (－5)＝－5＋1＝－4. ∵－2<－3<2，∴f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵－52<－2，∴f (－52)＝－52＋1＝－32.又∵－2<－32<2，∴f [f (－52)]＝f (－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝－34.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，即a ＋1＝3，a ＝2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝a 2＋2a ，即a 2＋2a ＝3，a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1，即2a －1＝3，a ＝2，符合题意． 综上可知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.B 级 素养提升一、选择题(每小题5分，共10分)1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (0<x <1)2(x －1)(x ≥1)，若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：当a ≥1时，a ＋1≥2，则f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2a ，∴2(a －1)＝2a 不成立．当0<a <1时，1<a ＋1<2，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ，∴a ＝2a ，∴a ＝4a 2，∴a ＝14.∴f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6，故选C ．2．定义运算x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x ≤y )，y (x ＞y )，若|m －1|⊗m ＝|m －1|，则m 的取值范围是(A )A ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[1，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．(0，＋∞)解析：由|m －1|⊗m ＝|m －1|，可得：|m －1|≤m ，所以m ≥0，两边平方得：m 2－2m ＋1≤m 2，即m ≥12.二、多选题(每小题5分，共10分)3．如图所示的图像表示的函数的解析式为( BD )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝⎩⎨⎧ 32x ，x ∈[0，1]3－32x ，x ∈[1，2]解析：当0≤x ≤1时，y ＝32x ；当1＜x ≤2时，y ＝3－32x ，所以y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)．故选BD ．4．某工厂8年来某产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图，则：以上说法中正确的是( AC )A ．前3年总产量增长速度越来越快B ．前3年总产量增长速度越来越慢C ．第3年后，这种产品停止生产D ．第3年后，这种产品年产量保持不变解析：从图像来看，前三年总产量增长速度越来越快，从第三年开始，总产量不变，说明这种产品已经停产．故AC 正确． 三、填空题(每小题5分，共10分)5．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为__－34__. 解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意； 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 6．已知f 1(x )，f 2(x )的定义域为R ，定义F (x )＝f 1(x )*f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≥f 2(x )f 2(x )，f 1(x )<f 2(x )，若f 1(x )＝23x －1，f 2(x )＝－x －1，则F (x )的最小值是__－1__.解析：∵f 1(x )＝23x －1，f 2(x )＝－x －1， ∴由f 1(x )≥f 2(x )得23x －1≥－x －1， ∴x ≥0，此时F (x )＝23x －1； 由f 1(x )<f 2(x )得23x －1<－x －1，∴x<0，此时F(x)＝－x－1.∴F(x)＝f1(x)*f2(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧23x－1(x≥0)－x－1(x<0)，其图像如图所示，由图像可知，F(x)的最小值为－1.四、解答题(共10分)7．某市出租车的收费标准是3千米以内(含3千米)，收起步价8元；3千米至8千米(含8千米)，超出3千米的部分按1.5元/千米收取；8千米以上，超出8千米的部分按2元/千米收取．(1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米应付的车费；(2)试写出车费y(元)与里程x(千米)之间的函数解析式并画出图像；(3)小陈周末外出，行程为10千米，他设计了两种方案．方案一：分两段乘车，乘一辆车行驶5千米，下车换乘另一辆车行驶5千米至目的地；方案二：只乘一辆车至目的地．试问：哪种方案更省钱？请说明理由．解析：(1)由题意知，乘客搭乘出租车行驶7千米应付车费为8＋(7－3)×1.5＝14元．(2)y＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0＜x≤3，1.5x＋3.5，3＜x≤8，2x－0.5，x＞8.(3)方案二更省钱．理由如下：方案一的费用为(1.5×5＋3.5)×2＝22元．方案二的费用为2×10－0.5＝19.5元．∵19.5＜22，∴方案二更省钱．。
(最新整理)分段函数的单调性问题
分段函数的单调性问题
2021/7/26
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a x , x 1,
【典例】(2015·金华模拟)f(x)=
(4
a 2
)x
2,
x
1
增函数,则实数a的取值范围是 ( )
是R上的单调递
A.(1,+∞)
B.[4,8)
C.(4,8)
D.(1,8)
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3
【解题过程】
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【自我矫正】选B. 由题意f(x)在R上单调递增,
a 1，
则有
4
a 2
0，
(
4
2
)
2
a，
解得4≤a<8.
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8
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4
【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的 大小而导致实数a的范围扩大.
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【规避策略】 1.弄清分段函数的单调性的特点 对于分段函数的单调性,一要保证各段上同增(减),二要保证上、下段 间端点值间的大小关系. 2.熟练掌握分段函数单调性的图象解法 画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进行直观判断.
冀教版数学八下课件分段函数问题
灿若寒星
典例精讲
解（1）设正比例函数的解析式为：y=k1x， 因为图象经过点（3，1），所以 1= k1×3，
∴ 设y=k一k12x次+1函b12，数，（的∴k解2y≠析0，式112k（42x、合，b作是（部常0＜分数x））＜4 3）
因为图象经过点 ， ，所以，
由待定系数法得(：3,（1）将（100，65）代入y=kx得：
100k=65，解得k=0.65．
则y=0.65x（0≤x≤100），
将（100，65），（130，89）代入y=k1x+b
得：
解得：
（2）根据（1）的函数关系式得： 月用电量在0度到100度之间时， 每度电的收费的标准是0.65元； 月用电量超出100度时，超过部 分每度电的收费标准是0.8元；
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
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初中数学知识点精讲课程
分段函数问题
灿若寒星
解题步骤归纳
根据函数图像
找出路程、时间和速度
函数图像上找点的坐标
求出解析式
分析实际问题
灿若寒星
典例精讲 类型一：判断实际问题中的分段函数图像
小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的
灿若寒星
典例精讲
解：（1）设y与x之间的函数关系为y=kx+b，由题意，得：
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识别分段函数,解决收费问题
一、话费中的分段函数
例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计
算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之
间的函数图象如图1所示：
（１）月通话为100分钟时，应交话费元；
（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？
二、水费中的分段函数
例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了
按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水
量x(吨)的函数关系如图
(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;
(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?
三、电费中分段函数
例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电
力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费
办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）
的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列
问题：
（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的
函数关系式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
谈谈中考中的分段函数
分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。
这些分段函数都是直线型。
通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。
下面我们归纳分析如下，供学习时参考。
1、二段型分段函数
1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数
解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。
例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．
（1）完成此房屋装修共需多少天？
（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？
例2、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的1
4
，估
计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程
与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所
花的时间比一直步行提前了（）
A．20分钟Ｂ．22分钟Ｃ．24分钟 D．26分
例3、某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
1.2一次函数与一次函数构成的分段函数
例4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务
劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强
每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的
总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5
所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖
励小强家务劳动的？
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
1.3常数函数与一次函数构成的分段函数
例5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．
（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
2、三段型分段函数
例6 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B →C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）
3、四段型分段函数
例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接
小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。
已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。
(1)小强家与游玩地的距离是多少？
(2)妈妈出发多长时间与小强相遇？
4、五段型分段函数
例8、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？。