压杆的稳定性验算

建筑力学行动导向教学案例教案提纲

模块七压杆稳定性 7.1压杆稳定的概念

为了说明问题，取如图

7-2 (a)所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力 F ,使杆在直

线状态下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力， 使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰

力，贝9当杆承受的轴向压力数值不同时， 其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值

F 小于某

数值

F cr

时，在撤去干扰力以后， 杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡,

(a)、(b)所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡;

压力F 小于匚 时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压

F

cr

杆所受的轴向压力 F 等于或者大于

F

cr 时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。

压杆经常被应用于各种工程实际中，例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆，均承受压力， 此时必须考虑其稳定性，以免引起压杆失稳破坏。

7.2临界力和临界应力

7.2.1细长压杆临界力计算公式一一欧拉公式

从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不稳 定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力 超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。 所以，使压杆

在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力,

即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。

一、两端铰支细长杆的临界力计 算公式一一欧拉公式设两端铰支长度 为z 的细长杆，在轴向压力/

cr 的作 用下保持微弯平衡状态，如图

7-3所示。杆在小变形时其挠曲线近似微分方程为:

图7-2

到某一数值匚时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形

F cr 状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图 7-2 (c)、

(d)所示，则原有的直线平衡状态为 不稳定的平衡。如果力 F 继续增大，则杆继续弯曲， 产生显著的变形，甚至发生突然破坏。 上述现象表明，在轴向压力 F 由小逐渐增大的过程中，压 杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆 丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向 压力的数值，压杆由直线状态的稳定的平衡过渡到不稳定 的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界 力，用表示 /

cr 当压杆所受的轴向

图7-2 如图7-2 图

7-1

F 逐渐增大

当杆承受的轴向压力数值

图7-1

【例7.2-1】如图7-4所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长

I =2m ,截面形状为

矩形，b =20mm h=45mm 材料的弹性模量 E=200GPa=试计算该压杆的临界力。若把截面改为 b 二h =30mm 而保持

长度不变，则该压杆的临界力又为多大

？

解（1）计算截面的惯性矩

由前述可知，该压杆必在弯曲刚度最小的 xy 平面内失稳，故公式（4-53）的惯性矩应以最小

惯性矩代入，即

在图7-3所示的坐标系中，坐标 z 处横截面 上的弯矩为：

= —F cr >

将式（b 代入式（a ），得

EI

进一步推导（过程从略），可得临界力为：

F 上咔^

（公式7-1）

上式即为两端铰支细长杆的临界压力计算公式，称为欧拉公式

图7-3

从欧拉公式可以看岀，细长压杆的临界力 F cr 与压杆的弯曲刚度成正比，而与杆长 I 的平

方成反比。

、其他约束情况下细长压杆的临界力

杆端为其他约束的细长压杆，其临界力计算公式可参考前面的方法导岀，也可以采用类比

的方法得到。经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算公式也相同。于是，可将两 端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况，

而将其他杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进

行对比，从而得到相应杆端约束条件下压杆临界力的计算公式。 为此，可将欧拉公式写成统一的

形式:

F

一斥 EI

cr

（妙

（公式7-2 ）

支卓情况

尸值

表7-1

压杆长度系数

一端固定 一端鰻支

两端固定 一端固定

—端自由

0. 5

I

1 ）

若设■ p 为压杆的临界应力达到材料的比例极限 二p 时的柔度值，则:

人"=人 12

12

⑵ 计算临界力查表 4-12得U =2，因此临界力为：

p =

H X200X 1°却 X3X1°也= 70]N = 3 70kN

"（辺2

（2X2X103）2 ' 衣

⑶ 当截面改为b =h=30mm 时压杆的惯性矩为：

加 3O 4

人=人=丸=〒7 = 6・75X104mm 4

y

12 12

代入欧拉公式，可得：

F

=迪=

cr

（0尸

（2X2X0）

从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后 者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。 7.2.2欧拉公式的适用范围

一、临界应力和柔度

前面导岀了计算压杆临界力的欧拉公式，当压杆在临界力

时，其横截面上的压应力等于临界力

匚“除以横截面面积

A ，称为临界应力，用 坊 表示，即

cr

— cr

上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中 •称为压杆的柔度（或称长细比）。柔度，是一

个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数 U 、杆长I 及惯性半径i 有关。由于压杆的长度系数 U 决

定于压杆的支承情况，惯性半径

i 决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度

•综

合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式 （7-3）还可以看

岀，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。 二、欧拉公式的适用范围

欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导岀的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定 理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力

◎ cr 不超过材料的比例极限 d p ，即：

= ^ = 45X20i = 3Xlo1mm1

图7-4

F cr

作用下处于直线状态的平衡

（公式7-3 ）

I200XWX 严 5X10*83 湖=&33kN