压杆的稳定性验算
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建筑力学行动导向教学案例教案提纲
模块七压杆稳定性 7.1压杆稳定的概念
为了说明问题,取如图
7-2 (a)所示的等直细长杆,在其两端施加轴向压力 F ,使杆在直
线状态下处于平衡,此时,如果给杆以微小的侧向干扰力, 使杆发生微小的弯曲,然后撤去干扰
力,贝9当杆承受的轴向压力数值不同时, 其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值
F 小于某
数值
F cr
时,在撤去干扰力以后, 杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡,
(a)、(b)所示,这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡;
压力F 小于匚 时,杆件就能够保持稳定的平衡,这种性能称为压杆具有稳定性;而当压
F
cr
杆所受的轴向压力 F 等于或者大于
F
cr 时,杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
压杆经常被应用于各种工程实际中,例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆,均承受压力, 此时必须考虑其稳定性,以免引起压杆失稳破坏。
7.2临界力和临界应力
7.2.1细长压杆临界力计算公式一一欧拉公式
从上面的讨论可知,压杆在临界力作用下,其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不稳 定的平衡,此时,即使撤去侧向干扰力,压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然,如果压力 超过这个临界力,弯曲变形将明显增大。 所以,使压杆
在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力,
即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。
一、两端铰支细长杆的临界力计 算公式一一欧拉公式设两端铰支长度 为z 的细长杆,在轴向压力/
cr 的作 用下保持微弯平衡状态,如图
7-3所示。杆在小变形时其挠曲线近似微分方程为:
图7-2
到某一数值匚时,即使撤去干扰力,杆仍然处于微弯形
F cr 状,不能自动恢复到原有的直线平衡状态,如图 7-2 (c)、
(d)所示,则原有的直线平衡状态为 不稳定的平衡。如果力 F 继续增大,则杆继续弯曲, 产生显著的变形,甚至发生突然破坏。 上述现象表明,在轴向压力 F 由小逐渐增大的过程中,压 杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡,这种现象称为压杆 丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向 压力的数值,压杆由直线状态的稳定的平衡过渡到不稳定 的平衡时所对应的轴向压力,称为压杆的临界压力或临界 力,用表示 /
cr 当压杆所受的轴向
图7-2 如图7-2 图
7-1
F 逐渐增大
当杆承受的轴向压力数值
图7-1
【例7.2-1】如图7-4所示,一端固定另一端自由的细长压杆,其杆长
I =2m ,截面形状为
矩形,b =20mm h=45mm 材料的弹性模量 E=200GPa=试计算该压杆的临界力。若把截面改为 b 二h =30mm 而保持
长度不变,则该压杆的临界力又为多大
?
解(1)计算截面的惯性矩
由前述可知,该压杆必在弯曲刚度最小的 xy 平面内失稳,故公式(4-53)的惯性矩应以最小
惯性矩代入,即
在图7-3所示的坐标系中,坐标 z 处横截面 上的弯矩为:
= —F cr >
将式(b 代入式(a ),得
EI
进一步推导(过程从略),可得临界力为:
F 上咔^
(公式7-1)
上式即为两端铰支细长杆的临界压力计算公式,称为欧拉公式
图7-3
从欧拉公式可以看岀,细长压杆的临界力 F cr 与压杆的弯曲刚度成正比,而与杆长 I 的平
方成反比。
、其他约束情况下细长压杆的临界力
杆端为其他约束的细长压杆,其临界力计算公式可参考前面的方法导岀,也可以采用类比
的方法得到。经验表明,具有相同挠曲线形状的压杆,其临界力计算公式也相同。于是,可将两 端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况,
而将其他杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进
行对比,从而得到相应杆端约束条件下压杆临界力的计算公式。 为此,可将欧拉公式写成统一的
形式:
F
一斥 EI
cr
(妙
(公式7-2 )
支卓情况
尸值
表7-1
压杆长度系数
一端固定 一端鰻支
两端固定 一端固定
—端自由
0. 5
I
1 )
若设■ p 为压杆的临界应力达到材料的比例极限 二p 时的柔度值,则:
人"=人 12
12
⑵ 计算临界力查表 4-12得U =2,因此临界力为:
p =
H X200X 1°却 X3X1°也= 70]N = 3 70kN
"(辺2
(2X2X103)2 ' 衣
⑶ 当截面改为b =h=30mm 时压杆的惯性矩为:
加 3O 4
人=人=丸=〒7 = 6・75X104mm 4
y
12 12
代入欧拉公式,可得:
F
=迪=
cr
(0尸
(2X2X0)
从以上两种情况分析,其横截面面积相等,支承条件也相同,但是,计算得到的临界力后 者大于前者。可见在材料用量相同的条件下,选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。 7.2.2欧拉公式的适用范围
一、临界应力和柔度
前面导岀了计算压杆临界力的欧拉公式,当压杆在临界力
时,其横截面上的压应力等于临界力
匚“除以横截面面积
A ,称为临界应力,用 坊 表示,即
cr
— cr
上式为计算压杆临界应力的欧拉公式,式中 •称为压杆的柔度(或称长细比)。柔度,是一
个无量纲的量,其大小与压杆的长度系数 U 、杆长I 及惯性半径i 有关。由于压杆的长度系数 U 决
定于压杆的支承情况,惯性半径
i 决定于截面的形状与尺寸,所以,从物理意义上看,柔度
•综
合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式 (7-3)还可以看
岀,如果压杆的柔度值越大,则其临界应力越小,压杆就越容易失稳。 二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导岀的,而应用此微分方程时,材料必须服从虎克定 理。因此,欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力
◎ cr 不超过材料的比例极限 d p ,即:
= ^ = 45X20i = 3Xlo1mm1
图7-4
F cr
作用下处于直线状态的平衡
(公式7-3 )
I200XWX 严 5X10*83 湖=&33kN