压杆稳定性计算
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1 3000 129 .9 p 123 i 23.1 2 E 2 200 10 3 由欧拉公式 lj 2 117 MPa 2 129 .9
l
大柔度杆
Plj lj A 117 4200 491 .3kN P 500 kN
I y 2[25.6 12.74 (1.52 2.5) 2 ] 463cm4 I z I min l 0.5 10000 由 0.5, 求柔度 126 .6; i 39.5 0.401 0.466 查值，用插值公式求得： 0.466 (126 .6 120 ) 0.423;
比较计算结果可知：第一种情况临界压 力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明， 当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ，必须经过计算才能最后确定。
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第三节
一、临界应力与柔度
压杆的临界应力
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时 Plj 的应力。 2 EI 2E I 2E 2 2E lj i 2 2 2 2 A l A l A l
l
2
2 200 10 6 158 10 8
3
346 k N
•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便 会丧失稳定。
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• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承 情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。 （1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。 中性轴为y轴： Iy=120×2003/12 =80×106mm4 =80×10-6m4 木柱两端铰支，，则得： 2 EI y 3.14 2 10 10 3 80 10 6 Plj 123 k N 2 2 l 1 8000
A
1
0.5 160
2500 mm
从型钢表中查得16号工字钢的横截面面积 A=2610mm2，最小惯性半径iy=18.9mm. 所以 l 2 2000 211 .6
iy 18 .9
查表用插值公式算得1为
1和原来假定的1=0.5相差较大， 必须重新计算。
• 从附录I型钢表中查得22a号工字钢，A=4200mm2，iy=23.1mm, 算得 2 2000 173 • 23.1 0.218 0.243 2 0.243 3 o.236 • 查表用插值公式算得2 10 • • 2与这次假定的2=0.331相差仍较大，所以还需要重新计算 （3）第三次试算：重复前面工作，假设3=0.284 得A=4401mm2 查表得25a号工字钢，A=4850mm2,iy=24.03mm. 算得，3=0.253，与原来假设的3=0.284较接近。 故可采用25a号工字钢。
c : 中小柔度杆； lj a b2 ;
λ c—修正的分界柔度。 A3钢：λ c=123；16锰钢：λ c＝102。
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例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。 解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
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• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。 •解：查表得20a号工字钢:
•临界压力按公式
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
plj
2 EI
l
2
2
计算
Plj
2 EI
所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。 为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间 l 129 .9 64.95 p 123 支承减小杆长），则μ＝0.5,
i 2
为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。 lj a b2 235 0.00668 64.95 2 206 .8MPa Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN 可见，改善支承条件可有效提高压杆稳定性。若采用加大截面 的方式，用料太多。
其中：i
＝
l
i
I — 截面的惯性半径；为截面的几何性质； A
称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。
二、欧拉公式的适用范围
2E 2E lj 2 p 或 p p λ p—分界柔度，取决与 材料的力学性质。A3钢： 2 200000 E 200 GPa, p 200 EPa, p 100 200
0.151 0.164 1 0.164 1.6 0.162 10
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1 1 • (2) 第二次试算：假定 2 1 1 0.5 0.162 0.331 2 2 3 200 10 • 得 3776 mm 2 0.331 160 •
n
Plj P
[nw ] — 安全系数法
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。
W lj lj ( ) ( ) nw nw ( )[ ]
二、压杆的稳定计算 1. 稳定计算：由P、A、I、l、μ，求λ，查φ，校核σ。 2. 确定许可荷载：由A、I、l、μ、E，求[P]=φ[σ].A。 3. 设计截面：由P、l、μ，求A、I。因A、φ均未知，故 用试算法计算；
I d 7mm; 1; A 4 l 11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； i 2 7 2
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax： 4 Y 0, N BA sin Pmax 0; Pmax N BA sin 59.6 47.7kN;
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例10-4 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。 解：AB压杆l=1000mm,
A
i
d 2
4
28 2
4
615 .75mm ; I
2
d 4
64
;
E 200000 96.7 MPa 2 2 142 .9 Plj lj A 96.7 615 .75 59.6kN N BA ; lj
n取不为零的最小值，即取n 1, 所以
Plj
2 EI
l2
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
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二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。 也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
2 EI min P lj 2 ( l )
wenku.baidu.com
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。
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第二节
细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力 取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
Plj Plj d2y M ( x) d2y 2 y; 令 k , 则有 2 k 2 y 0; dx2 EI EI EI dx
式中： E材料的弹性模量； Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl计算长度； 长度系数，与杆端支承有关。 一端固定，一端自由压杆：μ＝2； 两端铰支细长压杆： μ＝1； 一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7； 两端固定细长压杆： μ＝0.5； 不同支承情况的临界力公式可查表确定。
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l , y 0; 得c2 0; c1 sin k l 0;
因为c1 0, 所以sin k l 0; 得k l n (n 0、 2、 n)； 1、 则 n 2 2 EI Plj (n 0、 2、 n); 1、 2 l
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
5
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• 第四节 压杆的稳定计算
一、 稳定条件
lj P [ lj ] — 极限应力法 A nw
P Plj nw [ Pw ] — 许可荷载法
P [ w ] — 折减系数法 A
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• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。 • 中性轴为z轴： 200 120 3 Iz 28.8 10 6 mm 4 28.8 10 6 m 4 12 木柱两端固定，，则得：
2 EI z 3.14 2 10 10 3 28 .8 10 6 Plj 178 KN 2 2 l 0.5 8000
•
第11章
压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念 第二节
细长压杆的临界力 压杆的临界应力
第三节
第四节
压杆的稳定计算
提高压杆稳定的措施 小结
第五节
返回
•
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
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三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图 当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
lj a b2 ; Plj lj A (a b2 ) A;
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668； 16锰钢：a＝343,b＝0.0142。 临界应力总图—临界应力 lj与柔度的函数关系曲线。 2E c : 大柔度杆； lj 2 ;
A
4
4
i
5
[ P] [ ] A 0.423 140 2 1274 150 .9kN
130 120
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• 例10-7 图示立柱，一端固定，另一端自由，顶部受轴向压力 P=200KN的作用。立柱用工字钢制成，材料为A3钢，许用应力为 。在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为 d=70mm的圆孔。试选择工字钢型号。 P 解：（1）第一次试算：先假定φ1=0.5 ，则由式 A 3 得 P 200 10 2
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例10-5 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端铰接， 轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。 I d 20 l 1 600 解：i 5cm; 1; 120 ;
查表，＝0.208, [ ] 0.208 10 2.08; P 50000 4 1.59 MPa [ ]; 木柱稳定。 2 A 200 例10-6 求钢柱的许可荷载[P]。已知钢柱由两根10号槽钢组成， l＝10m,两端固定，[σ]＝140MPa。 解：查型钢表，A=12.74cm2， Iy=25.6cm4, Iz＝198.3cm4, iz=3.95cm， zo=1.52cm;
l
大柔度杆
Plj lj A 117 4200 491 .3kN P 500 kN
I y 2[25.6 12.74 (1.52 2.5) 2 ] 463cm4 I z I min l 0.5 10000 由 0.5, 求柔度 126 .6; i 39.5 0.401 0.466 查值，用插值公式求得： 0.466 (126 .6 120 ) 0.423;
比较计算结果可知：第一种情况临界压 力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明， 当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ，必须经过计算才能最后确定。
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第三节
一、临界应力与柔度
压杆的临界应力
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时 Plj 的应力。 2 EI 2E I 2E 2 2E lj i 2 2 2 2 A l A l A l
l
2
2 200 10 6 158 10 8
3
346 k N
•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便 会丧失稳定。
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• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承 情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。 （1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。 中性轴为y轴： Iy=120×2003/12 =80×106mm4 =80×10-6m4 木柱两端铰支，，则得： 2 EI y 3.14 2 10 10 3 80 10 6 Plj 123 k N 2 2 l 1 8000
A
1
0.5 160
2500 mm
从型钢表中查得16号工字钢的横截面面积 A=2610mm2，最小惯性半径iy=18.9mm. 所以 l 2 2000 211 .6
iy 18 .9
查表用插值公式算得1为
1和原来假定的1=0.5相差较大， 必须重新计算。
• 从附录I型钢表中查得22a号工字钢，A=4200mm2，iy=23.1mm, 算得 2 2000 173 • 23.1 0.218 0.243 2 0.243 3 o.236 • 查表用插值公式算得2 10 • • 2与这次假定的2=0.331相差仍较大，所以还需要重新计算 （3）第三次试算：重复前面工作，假设3=0.284 得A=4401mm2 查表得25a号工字钢，A=4850mm2,iy=24.03mm. 算得，3=0.253，与原来假设的3=0.284较接近。 故可采用25a号工字钢。
c : 中小柔度杆； lj a b2 ;
λ c—修正的分界柔度。 A3钢：λ c=123；16锰钢：λ c＝102。
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例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。 解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
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• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。 •解：查表得20a号工字钢:
•临界压力按公式
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
plj
2 EI
l
2
2
计算
Plj
2 EI
所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。 为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间 l 129 .9 64.95 p 123 支承减小杆长），则μ＝0.5,
i 2
为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。 lj a b2 235 0.00668 64.95 2 206 .8MPa Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN 可见，改善支承条件可有效提高压杆稳定性。若采用加大截面 的方式，用料太多。
其中：i
＝
l
i
I — 截面的惯性半径；为截面的几何性质； A
称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。
二、欧拉公式的适用范围
2E 2E lj 2 p 或 p p λ p—分界柔度，取决与 材料的力学性质。A3钢： 2 200000 E 200 GPa, p 200 EPa, p 100 200
0.151 0.164 1 0.164 1.6 0.162 10
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1 1 • (2) 第二次试算：假定 2 1 1 0.5 0.162 0.331 2 2 3 200 10 • 得 3776 mm 2 0.331 160 •
n
Plj P
[nw ] — 安全系数法
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。
W lj lj ( ) ( ) nw nw ( )[ ]
二、压杆的稳定计算 1. 稳定计算：由P、A、I、l、μ，求λ，查φ，校核σ。 2. 确定许可荷载：由A、I、l、μ、E，求[P]=φ[σ].A。 3. 设计截面：由P、l、μ，求A、I。因A、φ均未知，故 用试算法计算；
I d 7mm; 1; A 4 l 11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； i 2 7 2
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax： 4 Y 0, N BA sin Pmax 0; Pmax N BA sin 59.6 47.7kN;
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例10-4 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。 解：AB压杆l=1000mm,
A
i
d 2
4
28 2
4
615 .75mm ; I
2
d 4
64
;
E 200000 96.7 MPa 2 2 142 .9 Plj lj A 96.7 615 .75 59.6kN N BA ; lj
n取不为零的最小值，即取n 1, 所以
Plj
2 EI
l2
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
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二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。 也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
2 EI min P lj 2 ( l )
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临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。
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第二节
细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力 取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
Plj Plj d2y M ( x) d2y 2 y; 令 k , 则有 2 k 2 y 0; dx2 EI EI EI dx
式中： E材料的弹性模量； Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl计算长度； 长度系数，与杆端支承有关。 一端固定，一端自由压杆：μ＝2； 两端铰支细长压杆： μ＝1； 一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7； 两端固定细长压杆： μ＝0.5； 不同支承情况的临界力公式可查表确定。
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l , y 0; 得c2 0; c1 sin k l 0;
因为c1 0, 所以sin k l 0; 得k l n (n 0、 2、 n)； 1、 则 n 2 2 EI Plj (n 0、 2、 n); 1、 2 l
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
5
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• 第四节 压杆的稳定计算
一、 稳定条件
lj P [ lj ] — 极限应力法 A nw
P Plj nw [ Pw ] — 许可荷载法
P [ w ] — 折减系数法 A
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• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。 • 中性轴为z轴： 200 120 3 Iz 28.8 10 6 mm 4 28.8 10 6 m 4 12 木柱两端固定，，则得：
2 EI z 3.14 2 10 10 3 28 .8 10 6 Plj 178 KN 2 2 l 0.5 8000
•
第11章
压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念 第二节
细长压杆的临界力 压杆的临界应力
第三节
第四节
压杆的稳定计算
提高压杆稳定的措施 小结
第五节
返回
•
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
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三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图 当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
lj a b2 ; Plj lj A (a b2 ) A;
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668； 16锰钢：a＝343,b＝0.0142。 临界应力总图—临界应力 lj与柔度的函数关系曲线。 2E c : 大柔度杆； lj 2 ;
A
4
4
i
5
[ P] [ ] A 0.423 140 2 1274 150 .9kN
130 120
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• 例10-7 图示立柱，一端固定，另一端自由，顶部受轴向压力 P=200KN的作用。立柱用工字钢制成，材料为A3钢，许用应力为 。在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为 d=70mm的圆孔。试选择工字钢型号。 P 解：（1）第一次试算：先假定φ1=0.5 ，则由式 A 3 得 P 200 10 2
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例10-5 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端铰接， 轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。 I d 20 l 1 600 解：i 5cm; 1; 120 ;
查表，＝0.208, [ ] 0.208 10 2.08; P 50000 4 1.59 MPa [ ]; 木柱稳定。 2 A 200 例10-6 求钢柱的许可荷载[P]。已知钢柱由两根10号槽钢组成， l＝10m,两端固定，[σ]＝140MPa。 解：查型钢表，A=12.74cm2， Iy=25.6cm4, Iz＝198.3cm4, iz=3.95cm， zo=1.52cm;