苏科版九年级数学下对一类动点路径长度问题的探究

对一类动点路径长度问题的探究

一、真题再现

如图 1 所示，在矩形ABCD 中，4AB =，30DCA ∠=︒，点F 是对角线AC 上的一个动点，连结DF .以DF 为斜边作30DCA ∠=︒的Rt DEF ，使点E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，点E 的运动路径长是 .

这是一道求动点轨迹长间题.这一类问题通常是寻找第二个动点的起点和终点，再由全等或者相似得以解决.那么，动点轨迹长问题的本质是什么?怎样才能让这类问题的解决思路自然生成呢?

二、变式思考

问题 如图2，等边ABC ∆的边长为4 cm.动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，以AD 为边作等边ADE ，在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长.

分析 如图2，连结GE .由ABD 和ACE 全等，可得到BD CE =，则点D 运动的路径长就是点E 运动的路径长，即路径长为4.

变式1 如图3，等边ABC ∆的边长为4 cm.动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，以AD 为边作等腰ADE ，且120DAE ∠=︒.在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长.

分析 变式1是将“问题”中的等边ADE 改成等腰三角形，且顶角为120°，我们只须将AB 绕A 点逆时针旋转120°得到'AB ，连结'B E (如图3)，可以证明ABD 和'AB E 全等，从而点D 运动的路径长就是点E 运动的路径长，即路径长为4.

变式2 如图4，等边ABC ∆的边长为4 cm.动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，以AD 为边作Rt ADE ，且30E ∠=︒.在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长.

分析 变式2是将“问题”中的等边ADE 改为Rt ADE ，且30E ∠=︒.由3AE AD =，我们将AB 绕A 点逆时针旋转90°，并且扩大到AB 的3倍，得到'AB ，连结'B E (如图4).可以证明'ABD AB E ，且相似比为1：3，从而点E 运动的路径长就是点D 运动的路径长的3倍，即路径长为43.

变式3 如图5，ABC ∆中，4BC =cm.动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，2AD AE =且DAE ∠为定角. 在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长.

分析 变式3将“问题”中的等边三角形改为普通三角形，4BC =不变，DAE ∠大小确定，而2AD AE =.我们可以将AB 绕点A 逆时针旋转DAE ∠的度数，并且长度缩小到原来的一半，得到'AB ，连结'B E (如图5).可以证明'ABD AB E ，且相似比为2: 1，从而点E 运动的路径长也就是点D 运动的路径长的一半，即路径长为2.

三、数学模型

如图6，点C 是定点，,B A 是动点。若BC kAC =，当点B 在直线MN 上运动时，点B 运动的路径长是点A 运动路径长的k 倍.

模型特点 一静两动比恒定.

运用此模型可以轻松解决2019年贵阳市中考数学第15题。

易知2DF DE =，所以点E 运动路径长为点F 运动路径长的一半.又易得AC 长，所以点E 运动路径长为AC 的一半.

评注 这道中考题突出了对学生数学思维能力的培养，较好地体现了几何问题的解决要紧扣基本模型.

四、推广应用

例1 如图7，,B C 是圆的直径的两个端点，且4BC =BC=4cm ，A 是BC 上半圆上一定点.动点D 从点B 出发，沿BC 弧方向移动，以AD 为斜边作Rt ADE ，且30ADE ∠=︒.在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，求点E 移动的路径长.

分析 因为2AD AE =，而点D 的运动路径为半圆，且长为2π，所以点E 的运动路径长为π.

例2 如图8，正方形ABCD 的边长为2.动点E 从点A 出发，沿边AB BC -向终点C 运动，以DE 为边作正方形DEFG (点,,,D E F G 按顺时针方向排列)，直接写出整个运动过程中，点F 经过的路径长.

分析易知2DF DE =.又点E 运动路径长为4，所以点F 运动路径长为2.

例3 如图9，点A 在反比例函数6y x -=

(0x <)的图象上移动，连结OA .作Rt BOA ，使B 点在第一象限，并满足90AOB ∠=︒，30BAO ∠=︒.在点A 的移动过程中，试确定点A 与点B 运动路径长之间的关系，以及点B 形成的图象所对应的函数表达式. 分析 易知3OA OB =，所以点A 和点B 运动路径长之比为3:1.而反比例函数的反比例系数的绝对值比为面积比，所以反比例系数的绝对值比为3:1.又B 点在第一象限运动，所以B 形成的图象所对应的函数表达式为2y x

=.

五、结束语

通过探究，我们可以得到这一类动点轨迹长问题的数学模型与解题策略。归结为以下三点:

(1)两动点与静点所连线段的角度决定运动的位置;

(2)线段的比值决定运动路径的长度;

(3)第一个动点运动的轨迹决定第二个动点运动的轨迹形状.