第五章 数字高程模型内插

5.3.5 多面叠加内插法（多面函数法）
基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面（或称 单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在 Z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格的 通过各个数据点。
Q为简单数学面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张数，其值与分块 扩充范围内参考点的个数相等；Ki为待定参数，代表了第i个核函数对多层叠加面 的贡献。
（2）Matlab算法实现
双线性插值

y
( x1 , y2 )
( x2 , y2 )




( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )



O
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成． 双线性插值函数的形式如下： f ( x, y) (ax b)(cy d ) 其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶 点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正 好确定四个系数．
x
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定一个平面，继而求出内插点的 高程值的方法。
根据已知三个参考点A,B,C双线性内插p点高程值：
（2）Matlab算法实现
最邻近插值
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 ) x
y

wenku.baidu.com ( x1 , y1 ) ( x2 , y 1 )
s
课下练习：编写C语言程序实现该插值算法。
5.3.4 二元样条函数内插
为保证各分块曲面间的光滑性，按照弹性力学条件使所确定的n次多项式曲面 与其相邻分块的边界上所有n-1次导数都连续，这n次多项式就称为样条函数。
方程的16个待定系数，需要建立16个方程。四角点高程ZA,ZB,ZC,ZD，以及它们 的导数值RA,RB,RC,RD,SA,SB,SC,SD和TA,TB,TC,TD。 优点：保留了微地物特征；内插速度快；保证了分块间连接处为平滑联系的曲面。 缺点：采样了弹性力学条件，而地表分块不是狭义的弹性壳体。
大范围地形比较复杂，因此一般不采样整体内插法。 分块内插能够较好的保留地物细节，并通过块间重叠保持了内插面的连续性， 是应用中较常选用的策略。其中双线性内插常用于实际工程。 实际应用中人们常通过建立剖分三角网直接进行内插。 逐点内插应用简便，但计算量大。Voronoi图的点内插方法是目前较好的逐点 内插方法。
5.4.3 Voronoi图法 由Voronoi多边形的定义可知，相邻两个多边形的边界是相邻两点连线的垂直平分线， 因此借助Voronoi多边形，可以找出与待插点相邻的点集。
选点定权之后，进行加权平均的计算。
一维线性的Voronoi图内插
5.4.4 考虑地貌特征的逐点内插
5.5 关于内插方法的探讨
移动拟合法关键在于解决下面两个问题： （1）如何确定待插点的最小邻域范围以保证有足够的参考点； （2）如何确定各参考点的权重。 选择邻近点要考虑的因素： （1）范围； （2）点数。 动态圆半径方法：
考虑距离和方位向的权重。
5.4.2 加权平均法 加权平均法是移动拟合法的特例，是在解算待定点p的高程时，使用加权平均值 代替误差方程：
5.3.6 最小二乘配置法（自学）
某一个测量值包含三部分： ① 与某些参数有关的值。测量值是这些参数的函数，而这个函数在空间是一个 曲面，故称为趋势面。 ② 不能简单用某个函数表达的值，称为系统的信号部分。 ③ 随机噪声。 去掉趋势面后，如果观测值包含信号和噪声两部分（且信号和噪声期望均为0， 两者的协方差也为零），则可获得信号估值的残差平方和为最小的线性内插方法， 包括内插、滤波和推估，统称最小二乘配置。
第五章 数字高程模型内插
• • • • • 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 内插方法的分类 整体内插 分块内插 逐点内插 关于内插方法的探讨
5.1 内插方法的分类
5.2 整体内插
由研究区域内所有采样点的观测值建立的。主要通过多项式函数来实现，又 称整体函数法内插。常被用于模拟大范围的宏观变化趋势。
O
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求． 注意：最邻近插值一般不连续．具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值．
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
5.3.3 反距离权重插值算法
一种局部插值方法，假设未知值的点受较近控制点的影像比较远控制点的影响更大。
1 zi K di i 1 z0 s 1 K d i 1 i
Z0为点0的估计值；zi为控制点i的z值；di为控制点i与点0间的距离；s为在估算中 用到的控制点的数目；K为指定的幂。
5.3.7 有限元法（了解）
以离散方式处理连续量的一种数学方法，它的思路是将一定范围的连续整体 分割为有限个单元（如三角形、正方形等）的集合。
5.4 逐点内插法
逐点内插法是以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点 的范围随待插点位置的变化而移动，又称移动曲面法。 5.4.1 移动拟合法
缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
5.3.2 双线性多项式内插（重点介绍内容）
使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四边形，进而确定一个双线性 多项式来内插待插点的高程。
正方形格网分布的双线性内插公式：
取研究范围内不同平面位置的n个参考点三维坐标，带入方程内，使n阶线性 方程组有唯一解。将待插点的坐标代入上式，可得到待定点的高程值。 整体内插法的优缺点。
5.3 分块内插
分块内插是把参考空间分成若干块，对各分块使用不同的函数。要考虑各 相邻分块函数间的连续问题。 5.3.1 线性内插（重点介绍内容） （1）概念