圆锥曲线方程椭圆知识点归纳

b2
所以
4
，
a2 9
所以 e2 c2 a2 b2 1 b2 5 , 所以 e= 5
a2
a2
a2 9
3
知识点六 直线与椭圆的位置关系问题
当 m 取何值时，直线 l：y＝x＋m 与椭圆 9x2＋16y2＝144 相切、相交、相离． 解 由题意，得Error!
①代入②，得 9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简，整理，得 25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
11
45
x2 y2
练习：过点(－3,2)且与椭圆 ＋ ＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程是________． 94
x2 y2
94
解析：因为 c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为a2＋a2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知a2＋a2－5＝
x2 y2
x2 y2
1，所以 a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.答案： ＋ ＝1
y2 x2 所以方程为 ＋ ＝1.
11
45 y2 x2
综上知，所求椭圆的标准方程为： ＋ ＝1. 11
45 方法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
1
依题意有Error! 解得Error!所以所求椭圆的方程为 5x2＋4y2＝1，
y2 x2 即其标准方程为 ＋ ＝1.
所以 a＝5.
又 c＝4，所以 b2＝a2－c2＝25－16＝9.
x2 y2 故椭圆标准方程为 ＋ ＝1.
25 9 x2 y2
方法二 设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)， a2 b2
25 0 因为 c＝4，所以 a2－b2＝c2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以a2＋b2＝1，所以 a2＝25，所以
15 10
15 10
知识点三 根据方程研究几何性质
求椭圆 25x2＋16y2＝400 的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标． y2 x2
解 将方程变形为 ＋ ＝1，得 a＝5，b＝4，所以 c＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别 25 16 c3
为 2a＝10,2b＝8，离心率 e＝ ＝ ，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)， a5
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14 400.
当 Δ＝0 时，得 m＝±5，直线 l 与椭圆相切．
Δ>0 时，得－5<m<5，直线 l 与椭圆相交．
当 Δ<0 时，得 m<－5，或 m>5，直线 l 与椭圆相离．
知识点七 中点弦问题
x2 y2 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆 ＋ ＝1 所截得的线段的中点，求 l 的方程．
x2 y2
1
1．(江西高考)设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为
e＝ ，右焦点为 2
F(c,0)，方程
ax2＋bx
－c＝0 的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1，x2)( ) A．必在圆 x2＋y2＝2 内
知识点二 求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．
11
1
(2)经过点 A( ， )，B(0，－ )．
33
2
(1)解 方法一 椭圆的焦点在 x 轴上，
x2 y2 设其标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)． 由椭圆定义知：2a＝ (5＋4)2＋ (5－4)2＝10，
F2 (c,0)，M 点的坐标为(c， 3 b)，则△MF1F2 为直角三角形．在 Rt△M F1F2 中：
|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，
4 即 4c2+ 9 b2=|MF1|2.
而|MF1|+| MF2|=
4c2 4 b2 2 b 2a, 93
整理得 3c2=3a2 2 ab. 又 c2=a2 b2，所以 3b=2a.
∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求椭圆的方程为 x2 y2 1, 18 9
知识点五 求椭圆的离心率
2
如图所示，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦 2
点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率． 3
解 方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a，b，c.则焦点为 F1 ( c,0)， 2
(－4,0)，(4,0)．
知识点四 根据几何性质求方程
百度文库 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
2 (1)长轴长是 6，离心率是 .
3 (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.
解 (1)设椭圆的方程为
x2 y2
y2 x2
＋ ＝1(a>b>0)或 ＋ ＝1(a>b>0)．
a2 b2
36 9 解 设 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有Error!
y1－y2 两式相减，得 kAB＝x1－x2
9(x1＋x2) ＝－
36(y1＋y2)
2×4
1
＝－
＝－ .
4×2×2 2
1 ∴l 的方程为：y－2＝－ (x－4)，即 x＋2y－8＝0.
2
3
考题赏析
x2 y2 b2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
25 9 x2 y2
(2)方法一 ①当椭圆焦点在 x 轴上时，设标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)， a2 b2
依题意有Error!
解得Error!又因为 a>b，所以该方程组无解．
y2 x2 ②当椭圆焦点在 y 轴上时，设标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)． 依题意有Error!解得Error!
椭圆
典例剖析
知识点一 椭圆定义的应用
x2
y2
方程
＋
＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是________．
25－m 16＋m
9 解析：因为焦点在 y 轴上，所以 16＋m>25－m，即 m> ，又因为 b2＝25－m>0，故 m<25，所以 m 的取
2
9
9
值范围为2<m<25.答案：2<m<25
a2 b2
c2 由已知得 2a＝6，a＝3.e＝ ＝ ，∴c＝2.
a3
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
x2 y2
x2 y2
∴椭圆方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.
95
59
x2 (2)设椭圆方程为 a2
y2 b2
1
(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，