《微积分基本定理》教案1
微积分基本定理教案
1.4.2 微积分基本定理【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.1．当x ∈[a ，b]时，若f(x)>0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝__ ʃb a f(x)dx______.2．当x ∈[a ，b]时，若f(x)<0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝___－ʃb a f(x)dx______.3．当x ∈[a ，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝__ ʃb a [f(x)－g(x)]dx____________.(如图)探究点一 求不分割型图形的面积问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10xdx －ʃ10x 2dx ＝23 |10－13x 3|10＝23－13＝13. 小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)dx －ʃ2－3(x 2－4)dx＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x)|2－3 ＝252－(－253)＝1256. 32x探究点二 分割型图形面积的求解问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S.解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x －4 得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ402xdx ＋⎰⎰--8484]d )4(d 2[x x x x＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)dy ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40＝403. 小结 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x ， 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10[x －(－13x)]dx ＋ʃ31[(2－x)－(－13x)]dx ＝ʃ10(x ＋13x)dx ＋ʃ31(2－x ＋13x)dx＝223 |40＋223 |84－12(x －4)2|8432x 32x ＝(23 ＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|3132x＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求： 切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．解 如图，设切点A(x 0，y 0)，由y′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C(x 02，0)， 设由曲线和过点A 的切线与x 轴围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ，S △ABC ＝12|BC|·|AB|＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1， 从而切点为A(1,1)，切线方程为2x －y －1＝0.小结 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值． 解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx)dx ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3|1－k 0＝16(1－k)3. 又知S ＝16，所以(1－k)3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342. 4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是___193___． 解析 由图形可得S ＝ʃ10(x 2＋4－5x)dx ＋ʃ41(5x －x 2－4)dx ＝(13x 3＋4x －52x 2)|10＋(52x 2－13x 3－4x)|41 ∵S 曲边△AOB ＝ʃ x 2d x ＝13x 3| ＝13x 30，00x00x＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193. 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.。
数学：1..6 微积分基本定理(教案)
1.6 微积分基本定理一、教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理地含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单地定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分地方法情感态度与价值观通过微积分基本定理地学习，体会事物间地相互转化、对立统一地辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.二、教学重难点重点通过探究变速直线运动物体地速度与位移地关系，使学生直观了解微积分基本定理地含义，并能正确运用基本定理计算简单地定积分.难点了解微积分基本定理地含义三、教学过程1、复习：定积分地概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分地一般方法.我们必须寻求计算定积分地新方法，也是比较一般地方法.变速直线运动中位置函数与速度函数之间地联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t>,速度为v(t><），则物体在时间间隔内经过地路程可用速度函数表示为.另一方面，这段路程还可以通过位置函数S<t）在上地增量来表达，即=而.对于一般函数，设，是否也有若上式成立，我们就找到了用地原函数<即满足）地数值差来计算在上地定积分地方法.注：1：定理如果函数是上地连续函数地任意一个原函数，则证明：因为=与都是地原函数，故-=C<）其中C为某一常数.令得-=C，且==0即有C=，故=+=-=令，有此处并不要求学生理解证明地过程为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分地一般方法，把求定积分地问题，转化成求原函数地问题，是微分学与积分学之间联系地桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间地内在联系，同时也提供计算定积分地一种有效方法，为后面地学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要地地位，起到了承上启下地作用，不仅如此，它甚至给微积分学地发展带来了深远地影响，是微积分学中最重要最辉煌地成果.例1．计算下列定积分：<1）； <2）.解：<1）因为，所以.<2））因为，所以.练习：计算解：由于是地一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有===例2．计算下列定积分：.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形地面积表示所发现地结论.解：因为，所以，，.可以发现，定积分地值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应地曲边梯形位于 x 轴上方时<图1.6一3 > ，定积分地值取正值，且等于曲边梯形地面积；图1 . 6 一 3 ( 2 ）<2）当对应地曲边梯形位于 x 轴下方时<图 1 . 6 一 4 > ，定积分地值取负值，且等于曲边梯形地面积地相反数；( 3）当位于 x 轴上方地曲边梯形面积等于位于 x 轴下方地曲边梯形面积时，定积分地值为0<图 1 . 6 一 5 > ，且等于位于 x 轴上方地曲边梯形面积减去位于 x 轴下方地曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度=1.8M/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t=0时，汽车速度=32公里/小时=M/秒8.88M/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒于是在这段时间内,汽车所走过地距离是=M,即在刹车后,汽车需走过21.90M才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间地内在联系，同时它也提供了计算定积分地一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要地定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远地学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌地成果．四、课堂小结本节课借助于变速运动物体地速度与路程地关系以及图形得出了特殊情况下地牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般地函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分地简便方法，运用这种方法地关键是找到被积函数地原函数，这就要求大家前面地求导数地知识比较熟练，希望，不明白地同学，回头来多复习！五、教学后记从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点.当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面地体验及感悟.在今天地课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果地强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践地切身地认识.记得当实习生时，本来一个相当简单地问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重地是学生却听得更为糊涂.一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
人教版高中数学微积分基本定理教案2023
人教版高中数学微积分基本定理教案2023一、教学目标通过本节课的学习，学生能够：1. 理解微积分的基本概念和基本定理；2. 掌握微积分中的积分运算方法；3. 运用微积分的基本定理解决实际问题。
二、教学重点1. 微积分的基本概念和基本定理；2. 积分运算方法的应用；3. 实际问题的解决方法。
三、教学准备1. 教材《人教版高中数学》；2. 多媒体投影仪；3. 黑板、彩色粉笔；4. 练习题和例题。
四、教学过程1. 导入通过引入实例或问题，激发学生的学习兴趣。
例如，通过提问“你们认为微积分在哪些领域中发挥了重要作用？”来引导学生思考。
2. 知识讲解（1）微积分的基本概念首先，向学生介绍微积分的定义和基本概念，包括导数、积分等，并解释它们的含义和重要性。
（2）微积分的基本定理接着，讲解微积分的基本定理，包括牛顿-莱布尼茨公式和微积分基本定理第一、第二部分的表述和意义，并结合实例进行说明。
（3）积分运算方法的应用介绍积分运算的基本规则和方法，包括基本积分法、换元积分法等，并通过例题讲解如何应用这些方法进行积分运算。
3. 案例分析通过一个实际问题的案例分析，引导学生将所学的微积分知识应用于实际问题的解决过程。
例如，通过一个曲线下面积的计算问题来帮助学生理解微积分在求解实际问题中的作用。
4. 练习与巩固让学生进行一些练习题，巩固所学的微积分知识和运算方法，并及时进行解答和讲解，帮助学生加深对知识的理解和掌握。
5. 拓展延伸对于学习进度较快的学生，可以提供一些拓展性的问题，让他们深入思考和发散思维，进一步探讨微积分的应用领域和相关知识。
六、课堂总结通过本节课的学习，学生应该对微积分的基本概念和基本定理有了初步的了解，并能够应用微积分的基本运算方法解决实际问题。
七、课后作业布置一定数量的练习题和思考题，让学生在课后进行巩固和拓展练习。
八、板书设计板书内容包括微积分的基本概念、基本定理以及积分运算方法的应用公式等。
九、教学反思本节课通过引入实例和问题，结合理论讲解和实际问题分析，使学生能够理解微积分的基本概念和基本定理，并掌握应用积分运算方法解决实际问题的能力。
人教版高中数学微积分的基本定理教案2023
人教版高中数学微积分的基本定理教案2023一、教学目标通过本节课的学习，使学生掌握微积分的基本定理，具体包括：1. 理解微积分的基本概念和思想；2. 掌握积分的基本性质和计算方法；3. 理解定积分与不定积分之间的关系；4. 能够运用基本定理解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：掌握微积分的基本定义与基本性质；理解基本定理的概念及其应用方法；熟练运用基本定理解决实际问题。
2. 教学难点：理解定积分与不定积分之间的关系；灵活应用基本定理解决复杂问题。
三、教学准备1. 教师准备：备好课件、教材及练习题；准备相关教具、实例和案例。
2. 学生准备：预习教材内容，并做好相关习题。
四、教学过程及方法本节课采用讲授与实践相结合的教学方法，分为以下几个环节：1. 导入：通过提问的方式，引出微积分的基本概念和应用背景。
2. 理论讲解：a. 介绍微积分的基本定义和思想，包括导数和积分的概念。
b. 讲解积分的基本性质，如线性性质、换元积分法等。
c. 引入基本定理，并解释其意义和应用。
3. 实例演练：a. 列举一些基本的定积分和不定积分，通过具体的计算过程，帮助学生理解定积分与不定积分之间的关系。
b. 针对不同类型的实例题，引导学生运用基本定理解决问题，培养独立思考和分析问题的能力。
4. 拓展延伸：通过给学生一些挑战性的练习题，提高他们的思维能力和解题技巧。
5. 归纳总结：对本节课的重点知识进行归纳总结，并强调学生在复习时需要重点掌握的要点。
六、教学反思通过本节课的教学，学生对微积分的基本定理有了较好的理解，并能够熟练运用基本定理解决一些实际问题。
同时，通过实例演练和拓展延伸，增强了学生的数学思维能力和解题技巧。
在教学过程中，我注意到一些学生对定积分与不定积分之间的关系理解不深，需要进一步加强讲解和练习。
下次教学时，我将更加注重对这一知识点的讲解和巩固。
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理一、教学目标：知识与技能：1.通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2.通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义过程与方法：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点：了解微积分基本定理的含义。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程n有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？（1）下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - ()()S t v t '=。
3.微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。
2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。
【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。
设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。
另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。
所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。
当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。
② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点：直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211xd x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．不影响，因为ʃb a f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a )例1 计算下列定积分： (1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x ＝x 2|31＋1x|31 ＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．解 图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2. 反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ，所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．。
《微积分基本定理》微课教学设计
《微积分基本定理》微课教学设计《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞+=、标准型1 lim1xxex→∞+=以及推广型()()1lim1()xxex→∞+=的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。
2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。
通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。
学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。
3)认知层面：体会重要极限三种形式（初始型、标准型和推广型）实际是解决未定式1∞型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数的极限一个新的视野。
2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。
2)重要极限公式初始型和标准型的证明。
3)未定式1∞型的极限问题的解法。
4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。
3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。
处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。
2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。
处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。
4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。
2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。
5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
其主要内容是微分学和积分学。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分基本定理教学设计专题
微积分基本定理教学设计专题第一篇：微积分基本定理教学设计专题《微积分基本定理》教学设计一、教材分析本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位。
它曾被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学。
二、教学目标分析(1)知识与技能：了解微积分基本定理的含义，并会利用定理计算简单的定积分。
(2)过程与方法：以变速直线运动物体在某个时间段上的位移为背景，使学生直观了解微积分基本定理的形成过程。
(3)情感、态度和价值观：揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲；逐步渗透“以直代曲”、“无限逼近”的数学思想。
三、教学重点、难点分析重点：以变速直线运动物体在某个时间段上的位移为背景，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点：微积分基本定理的形成过程四、学情分析首先本节课的授课班级是理科的普通班，大部分学生学习基础薄弱，学习能力还有待提高。
其次本节课是高等数学的内容，理论性较强，抽象不易理解。
针对以上情况，本节课在整体设计紧扣课标要求，充分做到“了解和简单应用”。
五、教法、学法分析(1)教法：通过导学案设置的问题和课堂上讨论、展示、点评、质疑等环节以及多媒体课件动画演示启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。
(2)学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。
学生在教师设置的环节的引导下，通过观察、讨论、交流、合作学习等活动来对知识、方法和规律进行总结。
六、教学过程环节一：自主课学生通过完成导学案的形式进行自主学习，教师课下批阅导学案，找到自主课上学生没有学懂的共性问题，准备在展示课上解决。
环节二：展示课通过恩格斯对微积分的高度评价“人类精神的卓越胜利”引入课题，突出学习本节课的重要性。
《微积分基本定理》微课教学设计
《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭、标准型1 lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭以及推广型()()1lim1()xxexϕϕϕ→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。
2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。
通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。
学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。
3)认知层面：体会重要极限三种形式（初始型、标准型和推广型）实际是解决未定式1∞型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数的极限一个新的视野。
2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。
2)重要极限公式初始型和标准型的证明。
3)未定式1∞型的极限问题的解法。
4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。
3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。
处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。
2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。
处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。
4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。
2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。
5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
其主要内容是微分学和积分学。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。
3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。
2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。
4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。
2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。
3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。
2. 第二课时：微积分基本定理的证明。
3. 第三课时：微积分基本定理的应用。
4. 第四课时：定积分的综合练习。
六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。
2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。
3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。
2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。
八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。
2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。
微积分基本定理教案
1.6微积分基本定理一：教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点：了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、知识链接：定积分的概念：用定义计算的步骤：2、合作探究：⑴导数与积分的关系；我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t) (v(t)_ o)，T2则物体在时间间隔［T I,T2］内经过的路程可用速度函数表示为J v(t)dt。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数s(t)在［T,T2］上的增量S(T)-S(T2)来表达, 即「v(t)dt = S(T i) -S(T2)T1而 S (t) =v(t)。
说出你的发现⑵微积分基本定理对于一般函数f(x)，设F (x) =f (x)，是否也有bf (x)dx = F (b) - F (a) ？a若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数(即满足F (x) = f (x))的数值差F(b) - F(a) 来计算f(x)在［a,b］上的定积分的方法。
设 F (x)二 f(x)则在［a,b］上，/ y=F(b) -F(a)将［a,b］分成n等份，在第i个区间［x“，X i］上，记/ yi=F( X)-F( x“)，贝U /y=X/ y i如下图，因为/ h i=f( X" ) /x 而/y i~/ h i所以/h i=Xf( x i-1) /x 故b/y=lim X/h i =Ef( x“)/x= g f(x)dxb即a f (x)dx = F(b) _F(a)所以有微积分基本定理：如果函数F(x)是［a,b］上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则(此处并不要求学生理解证明的过程)为了方便起见，还常用F (x) i a表示F(b)-F(a)，即该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。
微积分基本定理教案
微积分基本定理教案教案标题：微积分基本定理教案教学目标：1. 理解微积分基本定理的概念和意义；2. 掌握微积分基本定理的两个部分：第一部分——积分与原函数的关系，第二部分——定积分的计算；3. 能够运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。
教学准备：1. 教材：微积分教材；2. 教具：黑板、粉笔、投影仪；3. 学生辅助教学资料：练习题、习题答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用导数的概念引出积分的概念，复习导数的定义和求导法则。
2. 提问学生：如果已知一个函数的导数，能否还原出原函数？为什么？二、讲解微积分基本定理的第一部分（10分钟）1. 定义积分和原函数的关系：如果函数F(x)在[a, b]上连续，且F'(x) = f(x)，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
2. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第一部分求函数的不定积分。
三、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。
3. 对部分练习题进行讲解和解答，引导学生理解微积分基本定理的应用。
四、讲解微积分基本定理的第二部分（10分钟）1. 定义定积分的概念：如果函数f(x)在[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]上的面积或曲线长度。
2. 引出微积分基本定理的第二部分：如果函数f(x)在[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
3. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第二部分计算定积分。
五、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。
3. 对部分练习题进行讲解和解答，巩固学生对微积分基本定理的掌握。
六、拓展应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。
微积分基本定理教学设计
微积分基本定理教学设计教学目标：1.理解微积分基本定理的概念和意义；2.掌握微积分基本定理的基本公式和推导方法；3.能够应用微积分基本定理求解相关问题。
教学内容：1.微积分基本定理的概念和意义-解释微积分基本定理的两个部分：第一部分是对函数的原函数求导，第二部分是对函数的不定积分；-引导学生思考为什么微积分基本定理成立。
2.微积分基本定理的基本公式和推导方法- 给出微积分基本定理的基本公式：若函数F(x)是区间[a, b]上的连续函数，且f(x)是F(x)的导数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)；-通过几个简单函数的实例，对基本公式进行演示和讲解；-推导微积分基本定理的基本公式：从定义出发，通过逐步推导，让学生了解为什么基本公式成立。
3.应用微积分基本定理求解相关问题-通过实例引导学生应用微积分基本定理求解相关问题：如计算定积分，求解函数定积分的上限和下限变化等；-引导学生将实际问题转化为数学问题，使用微积分基本定理进行求解；-提供一些实际问题的习题，让学生进行练习和巩固。
教学方法与活动安排：1.讲授与讨论-通过讲解和讨论，向学生介绍微积分基本定理的概念、意义和基本公式；-引导学生思考微积分基本定理的背后原理和推导方法。
2.练习与演示-给学生一些简单的函数，让他们尝试求导和积分，从而巩固基本定理的概念和用法；-进行一些演示，详细讲解和证明微积分基本定理的基本公式。
3.课堂互动-设计一些小组或个人活动，让学生在小组内讨论、解决问题，加强合作与交流；-鼓励学生提问和回答问题，促进课堂互动。
评价与反馈：1.小测验-每个课堂结束前，进行一个小测验，检测学生对微积分基本定理的理解和应用；-将小测验的结果作为学生学习情况的参考。
2.课后作业-布置一些练习题和思考题，让学生进行课后巩固和深化；-对学生的作业进行评改和评价。
3.学生反馈-向学生征求对本节课的反馈和建议，了解学生对教学设计的理解和认可程度，从而对今后的教学进行改进。
微积分基本定理时教案
微积分基本定理时教案学习目标：1.了解微积分基本定理的概念和含义。
2.掌握计算不定积分的方法和技巧。
3.理解积分和导数之间的关系。
教学重难点：1.理解微积分基本定理的思想和原理。
2.掌握使用微积分基本定理计算不定积分的方法。
3.理解积分和导数之间的关系。
教学准备：1.教师准备：黑板、彩色粉笔、教学课件。
2.学生准备：课本、笔记本。
教学过程：Step 1：导入新知教师用简单的例子引入微积分基本定理的概念和背后的思想，例如：求其中一点速度为v(t)的运动物体在其中一时间段内的位移。
Step 2：引入微积分基本定理教师介绍微积分基本定理的两个部分：第一部分是在一定条件下，求定积分可以通过求原函数来实现；第二部分是定积分可以看作是函数在区间上面积的累加。
Step 3：推导微积分基本定理教师通过具体的例子和图示，让学生感受到定积分和原函数之间的关系。
然后推导出微积分基本定理的两个部分，并用数学符号进行表达。
Step 4：示例演练教师给出一些简单的函数，引导学生根据微积分基本定理计算它们的不定积分。
同时，教师强调几个常用的积分公式和技巧，如换元法、分部积分等。
Step 5：拓展应用教师给出一些与实际问题相关的函数表达式，并引导学生根据微积分基本定理计算相关的不定积分，用数学语言解释问题的本质。
Step 6：总结归纳教师总结微积分基本定理的概念、原理和计算方法，并强调积分和导数的互为逆运算的重要性。
Step 7：练习巩固教师布置一些练习题，让学生独立完成并批改。
同时，教师监督并答疑。
Step 8：课堂小结教师对本节课所学内容进行总结，并与学生一起回顾重点、难点。
Step 9：课后拓展教师布置一些拓展作业，让学生自行查找相关资料，进一步了解微积分基本定理的应用和推广。
Step 10：课堂检测教师布置一些题目，让学生在课后进行自主学习和思考，以检验对微积分基本定理的理解和掌握程度。
教学反思：本节课通过引入实际问题和具体的例子，让学生从直观的角度理解微积分基本定理的概念和原理。
微积分基本定理说课稿
《微积分基本定理》（说课稿）一、教材分析1、教材的地位及作用我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》，由宋劲松老师主编。
微积分基本定理是第四章第二节内容，本节内容共设计两个课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。
本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续，它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
二、教学目标及重点、难点1、教学目标根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下：（1）知识与技能目标：通过本节的学习，使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，通过例题及练习，使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上，熟练掌握求定积分的方法，从而能够熟练计算定积分.（2）能力目标：本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。
要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。
（3）德育目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
2、教学重点、难点根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点：了解微积分基本定理的含义.——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位.三、教法和学法1、教法：素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。
高三数学《微积分的基本定理》数学分析教案
高三数学《微积分的基本定理》数学分析教案第一章：引言微积分是高中数学中的一门重要学科，它是研究函数极限、导数、积分和微分方程等的数学分支。
其中，微积分的基本定理是微积分中最基本且重要的概念之一。
本教案旨在通过详细介绍微积分的基本定理，让学生全面了解和掌握微积分的核心内容。
第二章：微积分的基本定理2.1 定义微积分的基本定理包括不定积分与定积分两部分。
不定积分主要研究函数的原函数问题，而定积分主要研究曲线下的面积问题。
2.2 不定积分的基本定理不定积分的基本定理是指，如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，那么f(x)的不定积分就是F(x)加上一个常数C，表示为∫f(x)dx =F(x) + C。
其中，C为常数。
不定积分的基本定理可以用来求解函数的原函数，从而能够解决一些重要的实际问题。
例如，通过对速度函数求不定积分得到位移函数。
2.3 定积分的基本定理定积分的基本定理是指，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它在该区间上的定积分可以通过求原函数在区间端点的函数值之差来计算，表示为∫(a->b)f(x)dx = F(b) - F(a)。
其中，F(x)为f(x)的一个原函数。
定积分的基本定理可以帮助我们计算曲线下的面积、弧长、体积等，解决许多与变化率有关的实际问题。
例如，通过对速度函数在某时间区间上的定积分可以求得在该时间区间上的位移。
第三章：教学方法3.1 理论讲解通过简洁明了的语言，结合具体的例题，详细解释不定积分与定积分的基本定理。
引导学生理解定积分与不定积分的概念，并能够正确运用相应的定理解决相关运算问题。
3.2 基础练习给予学生一些基础的练习题，使他们能够巩固所学内容，并熟练掌握不定积分与定积分的基本定理的运用方法。
3.3 拓展应用给予学生一些拓展性较强的应用题，让他们能够运用所学的知识解决实际问题。
如求曲线下的面积、求解变化率等。
第四章：教学流程4.1 知识导入通过引入一道与定积分相关的问题，如“某物体匀速运动的速度函数是v(t)=2t，求3秒内物体移动的距离。
微积分基本定理 教学设计 教案
教学准备1. 教学目标1、能说出微积分基本定理。
2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。
3、能掌握微积分基本定理的应用。
4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。
2. 教学重点/难点教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
教学难点：微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。
3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题:1. 我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？2. 如何求曲线下方的面积？3. 用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法【板书】用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：二、新知介绍【1】微积分基本定理【师】同学们刚刚接触到积分，那么大家通过阅读课本来找出什么是微积分基本定理呢？【生】讨论回答【师】【板书】【板演/PPT】例1：计算下列定积分？【师】同学们在练习本上先试着算一下，看看能不能计算出这两个定积分的值？【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照定积分基本定理来做呢？（然后，演板）2、知识探究（1）微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。
（3）定积分的值可以是任意实数。
例2：计算定积分【师】同学们根据向量基本定理然后仔细的想一下，计算出结果【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照向量的定义来做哦。
（然后，演板）3、分段函数与复合函数【师】（1）当被积函数是分段函数或绝对值函数时，该如何处理呢？（2）当被积函数是复合函数应如何积分？【生】讨论回答【师】大家仔细阅读课本，找出相关的思路方法。
【板演/PPT】例3：计算下列定积分【师】同学们认真仔细的计算上面三个定积分的值【生】思考讨论演算【师】请大家注意，一定要按照定积分的基本定理来计算哦。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.6微积分基本定理 一：教学目标
知识与技能目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三：教学过程：
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为
21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即
2
1()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -
而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 证明：因为()x Φ=()x
a f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故
()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）
其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()a
a f t dt ⎰=0
即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a
∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x
a f t dt ⎰ 令x
b =，有()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）2
11dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x
-⎰。
解：（1）因为'1(ln )x x
=， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x
==-=⎰。
（2））因为2''211()2,()x x x x
==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x
x -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。
练习：计算
120x dx ⎰ 解：由于313
x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=13
例2．计算下列定积分：
2200
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
πππ⎰⎰⎰。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为'(cos )sin x x -=，
所以
00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰
，
22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，
2
200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲
边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
当t=0时，汽车速度0v =32公里/小时=
3210003600
⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽
车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五：教学后记：
从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。
当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。
在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。
记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。
一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。