考研中值定理
考研：中值定理
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
考研专题第4讲 零点定理与中值定理模块
三、拉格朗日中值定理的运用
20年 数一三 T19 10分
设函数f (x) 在 [0,2] 上具有连续导数,且 M max{ f (x)}, x [0, 2], f (0) f (2) 0, 证明：(1) (0, 2) ,使得 f () M; (2)若对任意的 x (0, 2) , f () M, 使得 M 0 .
lim
n
xn
存在，并求此极限。
13年 数三 T19 10分
设函数 f (x)在 [0, )上具有二阶导数,且 f (0)=0,且 lim f (x)=2.证明 x
(1)存在a 0,使得 f (a)=1 ;
(2)对(1)中的 a ,存在 (0, a),使得 f ( ) 1
a
三、拉格朗日中值定理的运用
试证:至少存在一个点 (0,1),使得 f ( ) 2 f ( ).
三、拉格朗日中值定理的运用
两点注意: 1）拉格朗日中值定理的表达式，注意题中出现某函数在两点
的函数值之差以及自变量之差； 特别的，要考虑 x=0 处以及 f (0) 0 的特殊情况：f (x) f ( )x 所以只要涉及函数和其某点导数之间的关系，就应该考虑运用
二、运用罗尔定理研究零点问题
历年真题: (条件以积分的形式出现)
6）设
f
(x)在 [0,3]上连续,在
(0,3)内存在二阶导数,且 2
f
(0)
2
0
f
( x)dx
f (2) f (3) ,试证:(1) (0, 2),使 f () f (0)（; 2） (0,3), 使得
f ( ) 0.
考研复习微分学中的中值定理与应用
上具有 n阶导数，且 阶导数，
(1) f (k) (a) = g(k) (a) (k = 0,1,2,L, n−1)
则当
时，
18、不等式的证明方法： 18、不等式的证明方法： 利用函数的单调性； 利用函数的单调性；
利用泰勒公式； 利用泰勒公式； 利用拉格郎日中值定理. 利用拉格郎日中值定理.
x →−∞ x →−∞
则
y = kx + b 为曲线的斜渐近线。 曲线的斜渐近线。
(0 16、几个常见函数的麦克劳林公式： 16、几个常见函数的麦克劳林公式： < θ < 1) 1 2 1 n eθ x ex = 1+ x + x +L+ x + x n+1 ( −∞ < x < +∞ ) 2! n! ( n + 1)! x3 x 2 n −1 n+1 n cos θ x sin x = x − x 2 n+1 + L + ( −1) + ( −1) 3! (2n − 1)! (2n + 1)! ( −∞ < x < +∞ ) x2 x 2n n n+1 cos θ x cos x = 1 − x 2 n+ 2 + L + ( −1) + ( −1) 2! (2n)! (2n + 2)! ( −∞ < x < +∞ ) x2 x3 xn ( −1)n ln(1 + x ) = x − x n+1 + − L + ( −1)n−1 + 2 3 n ( n + 1)(1 + θ x )n+1 ( −1 < x < 1)
考研数学中值定理 证明题
考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。
中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。
罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。
那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。
证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。
如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。
接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。
我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。
因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。
那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。
假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。
又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。
高等数学中值定理的题型与解题方法
高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。
题型一：证明：()0nf ξ=基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。
例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.分析：由()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<，容易想到零点定理。
证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2a bx a +∈，使得1()0f x =，又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02a bf b f +<，∴存在2(,)2a bx b +∈，使得2()0f x =，∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1）()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ，∴根据介值性定理(0)(1)(2)3f f f m M ++≤≤，即1m M ≤≤∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，（2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使得'()0f ξ=.例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 证明：（1）(0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，（2）23'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，（3）223''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==， ∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈⊂，使得'''()0F ξ=，例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，11()22f =，(1)2f = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：(0)1f =，11()22f =，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=，又()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ=题型二：证明：含ξ，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。
[考研数学]中值定理
![[考研数学]中值定理](https://img.taocdn.com/s3/m/faea6c2466ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb96.png)
[考研数学]中值定理⽤书：张宇考研数学基础30讲下多为摘录。
条件/表述部分不完全准确（实际上条件归于表述，但为了观察相似的条件所以单独列出了。
）定理的推导（常考证明）和条件细节⾮！常！重！要！可补充内容：证明、⼏何意义、对⽐=总结/不保证对的个⼈理解。
=我先挖个坑在这⾥。
不要让⼏何直观，蒙蔽了我们的双眼。
—柯西有界与最值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：m⩽f(x)⩽M。
其中，m,M为f(x)在[a,b]上的最⼩值和最⼤值。
证明：介值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当m⩽µ⩽M时，存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=µ。
证明：(离散)平均值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当a<x1<x2<⋯<x n<b时，在[x1,x n]内⾄少存在⼀个点ξ，使得f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n。
证明：借助介值定理证明。
m⩽f(x i)⩽M,(i=1,2,…,n)nm⩽Σf(x i)⩽nMm⩽f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n⩽M令µ=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n，存在ξ∈[x1,x n]，使得f(ξ)=µ=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n=1n∑ni=1f(x i)平均值定理的ξ常见闭区间。
(函数)零点定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当f(a)⋅f(b)<0时，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
证明：借助介值定理和最值定理推导。
f(a)⋅f(b)<0说明f(a)与f(b)异号故m<0且M>0则m<0<M，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
前四条有共⽤条件：f(x)在[a,b]上连续。
连续即不间断。
所以端点不是间断点。
出现函数值为零的条件，可以考虑⽤介值定理与零点存在定理做。
延伸：推⼴的零点定理若f(x)在(a,b)上连续，lim，\alpha \cdot \beta< 0 时，则f(x)在(a,b)内⾄少有⼀个根。
考研数学高数真题分类—中值定理
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第三章 中值定理综述：中值定理的证明一直是考研数学的难点.在考研数学一的考试中，这一部分的出题的频率比较稳定，一般两年出一道大题.从考试的情况来看，考生在这一部分普遍得分率不高.其主要原因是练习不够，不熟悉常见的思想方法，以及对证明题惯有的惧怕心理.其实这一部分的题目也是有一定套路的，只要掌握一些常见的证明思路，在大多数情况下就都可以轻松应对了.本章需要用到的主要知识点有：闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理，介质定理），费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和积分中值定理.根据题目的形式，我们将这一部分的题目分为了3种类型：中值定理的简单应用（直接能作出辅助函数的），复杂的中值定理证明（需要对等式变形才能作出辅助函数的），证明存在两点(),,a b ξη∈使得它们满足某种等式.常考题型一：对中值定理内容的考查1.【02—3 4分】设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义，在开区间(),a b 上可导，则（）()A 当()()0f a f b <时，存在(),a b ξ∈，使得()0f ξ=()B 对任何(),a b ξ∈，有()()lim 0x f x f ξξ→-=⎡⎤⎣⎦ ()C 对()()f a f b =时，存在(),a b ξ∈，使()'0f ξ=()D 存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.2.【04-3 4分】设)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是()(A) 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得)(0x f >()f a .(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >()f b .(C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f . (D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.3．【96-2 5分】求函数1()1x f x x-=+在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式. 4.【03-2 4分】xy 2=的麦克劳林公式中n x 项的系数是 . 常考题型二：闭区间上连续函数性质5.【02-3 6分】设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bba a f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰. 常考题型三：罗尔定理的使用6.【08-2 4分】设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数() ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 37.【07—123 11分】设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.8.【00—123 6分】设函数()f x 在[0,]π上连续，且()00f x dx π=⎰，()0cos 0f x xdx π=⎰.试证：在()0,π内至少存在两个不同的点12ξξ、，使得()()120f f ξξ==.9.【96— 2 8分】设()f x 在区间[],a b 上具有二阶导数，且()()0,f a f b ==()()0f a f b ''⋅>试证明：存在(),a b ξ∈和(),a b η∈，使()0f ξ=，及()0f η''=.10.【03—3 8分】设函数()f x 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==.试证：必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf11.【10—3 10分】设函数()f x 在[]0,3上连续,在()0,3内存在二阶导数,且202(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+⎰, (I) 证明存在(0,2)η∈,使()(0);f f η=;(II) 证明存在(0,3)ξ∈,使()0f ξ''=．12.【93—3 6分】假设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0)),(1,(1))A f B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=【小结】：1. 对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下三种方法： （1）验证ξ为(1)()n fx -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；（2）验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.（3）如果()f x 在某区间上存在n 个不同的零点，则()()n fx 在该区间内至少存在一个零点.2．证明零点唯一性的思路：利用单调性；反证法. 4.证明函数在某区间上至少有两个零点的思路有：证明该函数的原函数在该区间上有三个零点；先证明至少有一个零点，再用反证法证明零点不是唯一的. （这些结论在证明题中不能直接应用，应用它们的时候需要写出证明过程，但记住它们对复杂一点的证明题是很好的思路提示.）4.费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明过程都是需要掌握的，它们不但是直接的考点。
考研数学基础复习指导之微分中值定理
考研数学基础复习指导之微分中值定理【引理】Th 1费马(Fermat)引理设函数在的某邻域内有定义，若有()且在可导．【注】若是一个极值点且在可导(驻点/稳定点)．Th 2导数极限定理设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则()f x 在点0x 处可导，且00()lim ()x xf x f x →''=【例1】求分段函数的导数2sin ,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩【例2】下述命题：① 设0lim ()x x f x -→'与0lim ()x x f x +→'均存在，则()f x 在0x x =处必连续； ② 设0()f x -'与0()f x +'均存在，则()f x 在0x x =处必连续；③ 设()f x 在0x x =处连续，且0lim ()x x f x →'存在等于A ，则0()f x '存在等于A④ 设()f x 在0x x =的某邻域可导，且0()f x A '=，则0lim ()x x f x →'存在等于A则正确的个数为：(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3()f x 0x 0()U x 0()x U x ∀∈0()()f x f x ≤0()()f x f x ≥()f x 0x ⇒0()0f x '=0x ()f x 0x ⇒0()0f x '=3.导函数两大特性：1) 导函数没有第一类间断点设函数()f x 在(,)a b 内处处有导数()f x '，则(,)a b 中的点或为()f x '的连续点，或为()f x '的第二类 间断点．2) 导函数具有介值性（G.Darboux 定理）设函数()f x 在[],a b 上处处可导（端点指单侧导数），()()f a f b ''<，则:()()c f a c f b ''∀<<，(,)a b ξ∃∈，使得()f c ξ'=【微分中值定理】 1.罗尔(Rolle)定理设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．【应用】①证明含有中值ξ等式的证明；②导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计．2.拉格朗日(Lagrange)定理（微分基本定理）设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．【推论】：①若()0,f x x I '=∈，则(),f x C x I =∈． 如：arcsin arccos 2x x π+=.②若()(),f x g x x I ''=∈，则()(),f x g x C x I =+∈. 【应用】①证明含有中值ξ的等式．形如证明：[,,(),(),,(),()]0(,)G a b f a f b f f a b ξξξξ'=∈，②不等式的证明； ③研究函数的性态．3.柯西(Cauchy)定理设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(,)a b ξ∈， 使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．【应用】①证明含有中值,ξη的等式； ②不等式的证明4.泰勒(Taylor)公式定理1 带拉格朗日余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内(1)n +阶可导，那么对x I ∀∈，至少存在一个ξ，使得()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+，ξ在0x 与x 之间．定理2 带皮亚诺余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内n 阶可导，那么对x I ∀∈，有()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中00()()nn R x o x x x x =-→，． 【应用】①求极限，判断无穷小的阶数； ②建立函数与高阶导数的关系．辅助函数的构造：证明：(,)a b ξ∃∈，使得[,(),()]0G f f ξξξ'=．方法：构造辅助函数(,())F x f x ，再用罗尔定理．(,())F x f x 的构造方法如下： （1）积分法① 将ξ换成x 得[,(),()]0G x f x f x '=； ② 恒等变形，便于积分；③ 积分，分离变量得(,())F x f x C =．（2）公式法：若欲证等式可变形为()()()0f x p x f x '+=，则应取辅助函数为()()()p x dxF x f x e ⎰=．（3）观察法：观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数：；；【注】若题目条件或结论中有定积分，则辅助函数为被积函数，且一般要使用积分中值定理（验证端点值相等）．[()]()()xf x xf x f x ''=+2()()()f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[()][()()]x x e f x f x f x e ''=+[()][()()]x x e f x f x f x e --''=-【2013】设奇函数()f x 在[1,1]-上具有2阶导数，且(1)1f =， 证明：(I)存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； (II)存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=．【1999】设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导()()1010,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，(I)存在1(,1)2η∈，使()f ηη=； (II)存在(0,)ξη∈，使()[()]1f f ξλξξ'--=(这里λ为任意实数)．【2001】设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足21130(1)3()x f e f x dx -=⎰.证明：在()0,1内存在一点ξ，使()2()f f ξξξ'=.【2001】数设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足：()()()11011x k f k xe f x dx k -=>⎰，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()()11f f ξξξ-'=-．【1996】 在区间(,)-∞+∞内，方程1142cos 0x x x +-=（ ） (A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根【1994】设当0x >时，方程211kx x+=有且仅有一个解，求k 的取值范围【2011】证明：(I)对任意正整数n ，都有111ln(11n n n<+<+； 【熟记结论】①ln(1),101xx x x x x<+<>-≠+且②均值不等式：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数即：1212+++nnx x x nnx x x +≤≤++ ，其中0(1,2,,)i x i n >= (II)设111ln (1,2,)2n a n n n =+++-= ，证明数列{}n a 收敛.【2002】设0a b <<，证明不等式：222ln ln a b a a b b a -<<+-【1992】设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对任意的0x >有1212()()()f x x f x f x +<+【1998】设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()1f a f b ==证明：存在(),,a b ξη∈，使得[()()]1e f f ηξηη-'+=【练习】设函数()f x 在区间上连续，在内可导，， 证明：存在(),,a b ξη∈使得[,]a b (,)a b 0a b <<()().2a bf f ξηη+''=【2001】设()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数且()0f x ''≠，证明：(I) 对于(1,1)-内的任一0x ≠，存在唯一的()(0,1)x θ∈，使()(0)[()]f x f xf x x θ'=+成立； (II) 01lim ()2x x θ→=【1996】设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负实数，c 是()0,1内任一点证明：()22b fc a '≤+【1999】设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，(0)0f '= 证明：在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=。
考研高等数学难点解读：中值定理就得这么学_毙考题
考研高等数学难点解读：中值定理就得这么学中值定理是考研数学的难点之一，考查考生的逻辑推理能力，在考研数学中以证明题形式出现，难度相对较大。
在31年考研真题中数一查过16次，数二考查过18次，数学三考过14次，考查的重点是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
虽然中值定理是一大难点，但却有规律可循，为了方便考生复习，边一老师就中值定理给考生们做出详细解读，为你们暑期正确复习本章做好铺垫。
针对高数中的这一难点，我们2018年的考生在暑期的学习过程中应注意以下：研究真题总结出题规律中值定理可以通过研究考研数学真题总结出解题规律，做完真题之后要总结一下，要找大量不同的题做，如果一些基本概念不懂的，一定要回去翻课本。
真题至少要做三遍以上。
只要做了，做错的地方一定要反复看，如果后期有时间我建议大家再看看全书，切忌没有仔细研读课本直接看复习全书的孩子们。
做过的题一定要会对于数学，大量做题是必不可少的，但是更重的是做过的题一定要会，这就需要反复做错的题，做错题的过程很痛苦，很打击你的积极性，但是你一定要不断的提醒自己，做错题才是让自己的复习升华的王道。
考生在备考时还要多做讲义例题，而不仅仅是练习题。
做例题时应遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先认真做;无论做出与否都要把自己的思路详记于空白处，尤其是做不出的，一定把自己真实的思考方式记录在案，留待日后分析，而不是对了答案就万事大吉，这样做可以迅速的找到做题的感觉。
注重解题思路与技巧培养总之，考生在做题目时，要养成良好的做题习惯，做一个有心人，认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来，平时翻看，久而久之，自己的解题能力就会有所提高。
对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。
数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解中值定理题的针对性，又能提高中值定理解题速度和正确率。
考研数学高数中值定理的详解
考研数学高数中值定理的详解考研数学高数中值定理的详解七大定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。
三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。
积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
对使用每个定理的体会学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。
关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。
从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。
应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。
应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。
在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。
对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。
考研中值定理PPT课件
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例7 设f (x)在[a,b]上四阶可导，且f (a) f (b) f (b)
f (b) f (b) 0,证明:必 (a,b)使f (4)( ) 0.
分析2: 从f (a) f (b) f (b) f (b) f (b) 0
想到泰勒公式
f ( x) f (b) f (b)( x b) f (b) ( x b)2
可用原函数法找辅助函数 .
(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , 可考虑用柯 西中值定理 .
(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 .
(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
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二、洛比达法则及其应用
f (x )在[0,1]上满足罗尔定理的条件，
得： (0,1),使f () 0. 0
1
f (x )在[0,]上满足罗尔定理的条件，
所以: (0,) (0,1)使f ( ) 0.
12
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证毕
例14. 设f ( x)在[0 ,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f (1) 0 ,
f (1)
f (x)
f (x)(1
x)
1 2
f ()(1
x)2
(0 1)
f (0)
f ( x)
f
( x)
x
1 2
f
( )
x2
(0 1)
两式相减得
0
f
(
x)
1 2
f
(
)(1
x)2
1 2
f ( )x2
f (x)
【考研数学】3.1微分中值定理笔记小结
第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理定义（极值）若，使得恒有 ，则称在取极小值.恒有，则称在取极大值.费马引理 若在处取得极值,且在处可导,则罗尔定理 若 1）在上连续；在内可导；则，使2）3）费马(1601 – 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上连续；2）内可导，1）在，使则注：1）结论都成立.2）有限增量公式推论 设在区间上连续，在内可导，则在上拉格朗日 (1736-1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.例1 试证例2 证明：当时，例3 证明：当时，三、柯西中值定理柯西中值定理 若上连续；在内可导，且1）2）在则，使内容小结1. 意义建立局部和整体的关系2. 关系罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理3. 应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论作业P132：5；6；7；8；10；11；12.。
考研数学-中值定理
题型8 根的存在性与中值定理(*) 一、基础知识!n +!n +二、例题1. 根(零点)的存在性与个数问题(零点定理与中值定理的结合)例1.(05-34) 当a 取何值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.【B 】 (A)2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 例2．（03-2-12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【答案】0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.例3.(04-1-11分) 设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.练习1.在区间(,)-∞+∞内,方程11420x x cosx +-= 【C 】 (A)无实根. (B)有且仅有一个实根. (C)有且仅有两个实根. (D)有无穷多个实根. 2.(97-2)就k 的不同取值情况,确定方程sin 2x x k π-=在(0,)2π内根的个数,并证明你的结论. 【答案】0000sin 0,;sin ,;0,.22k x x k k x x k ππ<-≥=-<或无根唯一实根有两个不同实根3.(931)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且'()0,(0)0f x k f ≥><,证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.2. 罗尔中值定理例4.（07-1234-11分）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==, 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 例5. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且(0)(1)0,f f ==1()12f =.试证: (1) 存在1(,1),2η∈使()f ηη=;(2) 对任意实数λ,必存在(0,)ξη∈,使得()[()]1f f ξλξξ'--=. 练习1.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数,且123()()()f x f x f x ==,其中123a x x x b <<<<,证明:在13(,)x x 内至少有一点ξ,使得''()0f ξ=2.设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)(1)0f f ==,试证在(0,1)内至少存在一点ξ,使得()'()f f ξξξ=-.3. 设函数()f x 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==,试证在(0,3)内至少存在一点ξ,使得'()0f ξ=.3. 拉格朗日中值定理例6.(05-12-12分) 已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1) 1.f f ==,证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f例7.(98-4)设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()1f a f b ==,试证存在,(,)a b ξη∈,使得[()'()]1e f f ηξηη-+=.例8. (92-1)设''()0f x <,(0)0f =,证明对任何10x >,20x >,有1212()()()f x x f x f x +<+ . 例9.(06-234)证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 例10.(04-2-12分) 设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. 例11.设1p >,01x ≤≤,证明:12(1)1pp p x x -≤+-≤.练习1. (99-4)证明:当0sin 2x x x ππ<<>时，有. 2.证明不等式ln a b a a ba b b--<<. 3.设b a e >>,证明不等式baa b >成立.4.当02x π<<时,证明:3tan 3x x x >+ .4.柯西中值定理例12.(03-2-10分)设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(,)a b 内()0f x >; (2) 在(,)a b 内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(,)a b 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη5.泰勒定理例13. (02-1)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0f ≠,(0)0f '≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小,试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==-例14.(02-2)设()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且(0)0f ≠,(0)0f '≠,(0)0f ''≠,证明:存在唯一的一组实数123,,λλλ,使得当0h →时, 123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ++- 是比2h 高阶的无穷小.【答案】1233,3,1λλλ==-=例15.(99-2) 设函数()f x 在[1,1]-上具有三阶连续导数,且(1)0f -=,(1)1f =,'(0)0f =,证明:在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ,使得'''()3f ξ=.题型9 极限保号性的应用例1.设(0)0,(0)f f '=存在,当0x >时120ln(1())()0,lim[1]sin x x f x f x x→+>+=,则(0)f '=【C 】（A ）0． （B ）2-. (C) 2. 例2.设()f x ''在x a =处连续,又cos()'()lim1x a x a f x e e a-→=--,则 【C 】(A)()0,()f a f a ''=是()f x 的极大值点. (B) ()0,()f a f a ''≠是()f x 的极小值点. (C) ()0f a ''=,(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点.(D)x a =不是()f x 的极值点, (,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点.例 3.设()f x 在[,]a b 上一阶可导,在(,)a b 内二阶可导,()()0,()()0f a f b f a f b +-''==>则下述选项中错误的为 【B 】(A)()f x 在(,)a b 内有零点. (B)()f x 在(,)a b 内恰有一个零点. (C)()f x '在(,)a b 内有零点. (D)()f x ''在(,)a b 内有零点. 例4.设0,δ>()f x 在δδ[-,]上有定义，(0)1,f =且满足2ln(1)()lim0,1x x x xf x e →-+=-则【A 】(A)()f x 在0x =处可微，且1(0)2f '=. (B)()f x 在0x =处连续，但不可微. (C)()f x 在0x =处可微，且(0)0f '=. (D)()f x 在0x =处不连续. 例5.设()f x 在0x 点的某个邻域内具有二阶连续导数,且当h 足够小时,0001()[()()]2f x f x h f x h <++-.证明:0''()0f x ≥.。
高等数学考研第三章 中值定理(上)
1 1 2 1 2 x ，f t ， f 2t 2 x
1 1. 2
注意区分符号：f 0 与 f 0
;
f f
x 与 f f
x
.
2
例24 设函数f ( x )在(-, )上有定义, 且f (0)=1, 又
f f
x
d
f f x f x
2 cos( 2 sin 2 x ) 2 cos 2 x
1 1 1 例 23 设 f 2 ,求 f . dx x x 2
1
1 1 例 23 设 f 2 ,求 f dx x x d
f ( x ) e f (0) f ( x ) e x . f ( x ) f ( x ) e .
x
x
3
第三章
中值定理及其应用（上）
4
一、 几个中值定理 1. 微分中值定理 罗尔定理： (1) f ( x ) C [ a , b ]
(2) f ( x ) D (a , b ) (3) f (a ) f (b )
f ( x ) f (x) dx
1 x
d x ln f ( x ) ln x ln C ,
16
例3 设 f ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 , 在 ( a , b ) 内 可 导 , 0 a b ,
且 af ( b ) bf ( a ), 证 明 : 必 ( a , b ), 使 得 f ( )
2021考研数学secx泰勒展开
2021考研数学secx泰勒展开
泰勒公式也称为泰勒中值定理，是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的一个重要考点，常用于函数极限的计算、中值问题和不等式的证明以及函数的无穷级数展开式中，因此大家应该理解并熟练掌握其应用。
有些同学在看到泰勒展开式的一长串数学式子后，感到很头疼，也记不住哪些公式。
为了帮助这些同学理解并记住常用函数的泰勒展开式，下面就和大家谈谈常用的几个函数泰勒展开式及其记忆技巧，供各位参考。
数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似
函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
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解 lim f ( x a) f ( x) lim f ( )a
x+
x+
lim f ( )a= 0. +
介于x与x a之间，
1
例7 设f ( x)在[a, b]上四阶可导，且f (a) f (b) f (b)
f (b) f (b) 0,证明: 必 (a, b)使f (4)( ) 0.
5
例8 设f (x), g(x)在[a,b]上二阶可导,且
f (a) f (b) g(a) 0, 证明:必 (a,b),使
f ( )g( ) 2 f ( )g( ) f ( )g( ) 0.
证明2:设(x) f (x)g(x),将它在点a按泰勒公式展开，
( x) (a) (a)( x a) ( ) ( x a)2,
分析1: 从f (a) f (b)想到罗而定理,
1 (a, b),使得f (1 ) 0, 又f (b) 0， 2 (1, b),使得f (2 ) 0, 又f (b) 0， 3 (2 , b),使得f (3 ) 0, 又f (b) 0， (3 , b), 使得f (4)( ) 0. 则必 (a, b)使f (4)( ) 0.
f (1)
f (x)
f (x)(1
x)
1 2
f ()(1
x)2
(0 1)
f (0)
f
( x)
f
( x)
x
1 2
f
( )
x2
(0 1)
两式相减得
0
f
(
x)
1 2
f
(
)(1
x
)2
1 2
f ( )x2
f (x)
1 2
f
()(1
x)2
1 2
f
( )x2
f
(
x)
f
(1x
2
0f)(f)((x10)(xx)2 x012)
由罗而定理，1 (a, b),使得 (1 ) 0，
4
例8 设f (x), g(x)在[a,b]上二阶可导,且
f (a) f (b) g(a) 0, 证明:必 (a,b),使 f ( )g( ) 2 f ( )g( ) f ( )g( ) 0.
由罗而定理，1 (a, b),使得 (1 ) 0，
2
例7 设f ( x)在[a, b]上四阶可导，且f (a) f (b) f (b)
f (b) f (b) 0,证明: 必 (a, b)使f (4)( ) 0.
分析2: 从f (a) f (b) f (b) f (b) f (b) 0
想到泰勒公式
f ( x) f (b) f (b)( x b) f (b) ( x b)2
2!
f (b) ( x b)3 f (4)( ) ( x b)4
3!
4!
f (x)
f
(4) (
4!
)
(x
b)4 ,
f
(a)
f (4) ( ) (a b)4 ,
4!
Q f (a) 0, f (4)( ) 0.
3
例8 设f (x), g(x)在[a,b]上二阶可导,且
f (a) f (b) g(a) 0, 证明:必 (a,b),使 f ( )g( ) 2 f ( )g( ) f ( )g( ) 0.
又(x) f (x)g(x) f (x)g(x), (a) f (a)g(a) f (a)g(a) 0,
则( x)在[a,1]上满足罗而定理的条件, (a,1 ),使得 ( ) 0， 而(x) f (x)g(x) 2 f (x)g(x) f (x)g(x), f ( )g( ) 2 f ( )g( ) f ( )g( ) 0.
例6 若对一切x (0, )函数f ( x)的一、二阶导数均存在,
且 lim f (x)=0，则对任意正常数a,必有（ B） x+
( A) lim f ( x a) f ( x) 1； x+
(B) lim f ( x a) f ( x) 0； x+
(C ) lim f ( x a) f ( x) ； x+
f
f (
(2!)
)x(2x
x0
)2
(
在
x0
与 x 之间) 1 2 x(1
x)
1
,
x [0, 1]
f (x) 1. 8
3. 证明有关中值问题的结论
题型一. 证明：使f ( ) 0或A(常数).
例11. 设 f (x)C[0,1]且 1 f (x)dx 0, g(x)在[0,1]上有连续导数 0
则由已知条件得
(b) (a) (a
)(b
a
)
2!
(
)
(b
a)2
(a, 0,
b),
2!
(b) 0, (a) 0,(a) f (a)g(a) f (a)g(a) 0,
( ) f ( )g( ) 2 f ( )g( ) f ( )g( ) 0.
f ( )g( ) 2 f ( )g( ) f ( )g( ) 0.
6
2.证明不等式
例9. 证明不等式
x ln(1 x) x 1 x
(x 0).
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 ,由上式得ln(1 x) x ,
在(0,1)内g( x)
0, 又
1 0
f
( x) g( x)dx
0，证明:不同1,2
(0 , 1)
使f (1 ) f (2 ) 0.
1 x
1
又 0 x 1 1 1 x
1 1 1, 1 x 1
x x x, 1 x 1
x 即1 x
ln(1 x)
x.
7
例10. 设函数f (x)在[0,1] 上二阶可导, f (0) f (1),且 f ( x) 2,
证明 f (x) 1.
证 x [0, 1] , 由泰勒公式得
分析 从结论想
( x) f ( x)g( x),有(x) f (x)g(x) f (x)g(x), ( x) f ( x)g( x) 2 f ( x)g( x) f ( x)g( x), 证明1: 设( x) f ( x)g(x), 则 ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导， 且(a) f (a)g(a) 0,(b) f (b)g(b) 0,