《高等数学》课后练习题

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高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料第一篇一元函数微积分第一章极限与连续§1 函数习题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1．【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4．【答案】设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

高等数学第一章课后习题答案

高等数学（本）第一章函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级姓名学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

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高等数学课后习题(完整版)及答案高等数学课后答案习题1 11设A ( 5) (5 ) B [10 3)写出A BA B A\B及A\(A\B)的表达式解 A B ( 3) (5 )A B [105)A\B ( 10) (5 )A\(A\B) [105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律 (A B)C AC BC 证明因为x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x ACBC所以 (A B)C AC BC3设映射f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明因为y f(A B) x A B使f(x) y(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)4设映射f X Y若存在一个映射g Y X使g f IXf g IY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X有IX x x 对于每一个y Y有IY y y证明 f是双射且g是f的逆映射 g f 1证明因为对于任意的y Y有x g(y) X且f(x) f[g(y)] Iy y y即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2必有f(x1) f(x2)否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X因为对每个y Y有g(y) x X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射的定义 g是f的逆映射5设映射f X Y A X 证明(1)f 1(f(A)) A(2)当f是单射时有f 1(f(A)) A证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))所以 f 1(f(A)) A(2)由(1)知f 1(f(A)) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A)使f1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A这就证明了f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A6求下列函数的自然定义域(1)y x233 解由3x2 0得x 2函数的定义域为[2, )(2)y 1 1x2解由1x2 0得x 1函数的定义域为( 1) (11) (1 )(3)y 1x x2解由x 0且1x2 0得函数的定义域D [1 0) (0 1](4)y 14x2解由4x2 0得 |x| 2函数的定义域为(2 2)(5)y sinx解由x 0得函数的定义D [0 )(6) y tan(x1)2 解由x1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 2)(7) y arcsin(x3)解由|x3| 1得函数的定义域D [2 4](8)y x1 x解由3x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)(9) y ln(x1)解由x1 0得函数的定义域D (1 )(10)y ex解由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x) x g(x) x2(3)f(x) x4x3g(x) xx1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同 x 0时 g(x) x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8 |sinx| |x|3设 (x) |x| 0 3 求 ( ) ( ) ( ) (2)并作出函数y (x)644的图形) |sin | 解 ( ) |sin | 1 (446622) |sin( )| (442 (2) 09试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y x ( 1) 1x(2)y x ln x (0 )证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1)有1x1 0 1x2 0因为当x1 x2时y1y2 xxx x 0 1x11x2(1x1)(1x2) 所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1x(2)对于任意的x1 x2 (0 )当x1 x2时有y1y2 (x1lnx1)(x2lnx2) (x1x2)lnx 0 x2所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数若f(x)在(0 l)内单调增加证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明对于x1 x2 (l 0)且x1 x2有x1x2 (0 l)且x1 x2因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2) f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 (l 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x) g(x) [f(x)][g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x) f(x) g(x) f(x)[g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1x2)(2)y 3x2x3(3)y 1x2 1x2(4)y x(x1)(x1)(5)y sin x cos x1(6)y ax a x2解 (1)因为f(x) (x)2[1(x)2] x2(1x2) f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x) 3(x)2(x)3 3x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为1(x)21x2f(x) f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数(4)因为f(x) (x)(x1)(x1) x(x1)(x1) f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x) sin(x)cos(x)1 sin x cos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为(x)(x)xxa aa af(x) f(x) 22所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)y x1解由y x1得x y31所以y x1的反函数为y x31(2)y 1x 1x解由y 1x得x 1y所以y 1x的反函数为y 1x1x1y1x1x(3)y ax b(ad bc 0) cx d解由y ax b得x dy b所以y ax b的反函数为y dx b cx dcy acx dcx a(4) y 2sin3xyarcsin所以y 2sin3x的反函数为y 1arcsinx解由y 2sin 3x 得x 13232(5) y 1ln(x2)x2(6)y 2 1 解由y 1ln(x2)得x ey12所以y 1ln(x2)的反函数为y ex122xx y 所以的反函数为y log2211x 解 y2xy x log由得21y2 115设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)| M即M f(x) M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1 f(x) K2 取M max{|K1| |K2|}则M K1 f(x)K2 M即 |f(x)| M这就证明了f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin x解 y sin2x x1 6x2 33y1 sin2 12 1y2 sin2 ()2 324624x1 x2 84 (2) y sin u u 2x解 y sin2x(3)y解 y1 sin(2 ) sin y2 sin(2 sin 1 842422u 1x x1 1 x2 2 y x2 y1 12 y2 22(4) y eu u x2 x1 0 x2 1解 y ex2 y1 e0 1 y2 e1 e 22(5) y u2 u ex x1 1 x2 1解 y e2x y1 e2 1 e2 y2 e2 (1) e217设f(x)的定义域D [0 1]求下列各函数的定义域(1) f(x2)解由0 x2 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为[1 1](2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n x (2n1) (n 0 1 2 )所以函数f(sin x)的定义域为[2n (2n1) ] (n 0 1 2 )(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x 1a所以函数f(x a)的定义域为[a 1a](4) f(x a)f(x a)(a 0)22 解由0 x a 1且0 x a 1得当0 a 1时 a x 1a 当a 1时无解因此当0 a 1时函数的定义域为[a 1a]当a 1时函数无意义2218设的图形解 |x| 1 1 x f(x) 0 |x| 1 g(x) e |x| 1 1 求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数 1 |ex| 1 f[g(x)] 0|ex| 11 |ex| 1 即 1 x 0 f[g(x)] 0 x 0 1 x 0e1 |x| 1 g[f(x)] ef(x) e0 |x| 1e 1 |x| 1 e |x| 1 |x| 1即g[f(x)] 11 |x| 1 e19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 40 (图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0周L(L AB BC CD)与水的函数关系式并指明其图137解 AB DC hsin40 0cot40 h所以又从1h[BC(BC2cot40 h)] S0得BC Sh时求湿深h之间定义域 2S2cos40L h hsin40自变量h的取值范围应由不等式组h 0确定定义域为0 h 0cot40S0 cot40 h 0 h20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解 (1)当0 x 100时 p 90令001(x0100) 9075得x0 1600因此当x 1600时p 75当100 x 1600时p 90(x100) 001 910 01x综合上述结果得到0 x 100 90 p 910.01x 100 x 1600 75 x 1600 30x 0 x 1002100 x 1600 (2)P (p60)x 31x0.01x 15x x 1600(3) P 31 1000001 10002 21000(元)习题1 21观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 (1)xn 1 2n解当n 时(2)xn (1)n1 n1 0 0 xn 1limn 22 解当n 时(3)xn 2 12 nxn (1)n1 0 lim(1)n1 0 n nn解当n 时(4)xn n1 n1xn 21 2 lim(21) 2 n nn2解当n 时(5) xn n(1)n xn n1 12 0 limn1 1n n1n1n 1解当n 时 xn n(1)n没有极限2 cos设数列{xn}的一般项xn nx ? 求出N使当n N时 xn问nlim n与其极限之差的绝对值小于正数当 0001时求出数N解limx 0n n要使|x n0| 只要1 也就是n 1取n|cos|1 0 |xn0| nnN [1]则n N有|xn0|当 0001时 N [1] 10003根据数列极限的定义证明1 0 (1)nlim 2n分析要使|120| 12 只须n2 1即nnn1nn证明因为 0N [3n1 3 (2)nlim1]1 0当n N时有|120| 所以nlim 2分析2n12n13| 1 1要使|3 2n122(2n1)4n4只须证明因为 0N [1]当n N (3)nlim 分析 n2a2 1 n1 即n 14 4n3n1 3时有|3n13| 所以nlim 2n122n12只须2an222222a a naa要使|1| 22nnn a n)n2aN []证明因为 022n alim 1 n n当n N时有|n2a21|n所以(4)nlim0. 999 9 1n个分析要使|099 91|110n 1只须1 10即n 1lg1证明因为 0N [1lg1]当n N时有|099 91| 所以n n个lim0.999 9 1|u| |a|并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数证明nlimn4limu an n列{xn}未必有极限u a所以 0N N当n N时有|un a| 从而证明因为nlim n||un||a|| |un a||un| |a|这就证明了nlim|(1)n| 1但lim(1)n 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如nlimn不存在y 0证明 5设数列{xn}有界又nlim nn limxnyn 0证明因为数列{xn}有界所以存在M使n Z有|xn| Myn 0所以 0N N当n N时有|yn| 从而当n N时又nlim M有xy 0所以nlim nn|xnyn0| |xnyn| M|yn| M M6对于数列{xn}若x2k1 a(k ) x2k a(k )证明 xn a(n )证明因为x2k1 a(k ) x2k a(k )所以 0K1当2k1 2K11时有| x2k1a| K2当2k 2K2时有|x2k a| 取N max{2K11 2K2}只要n N就有|xn a| 因此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(3x1) 8 (1)limx 3分析因为|(3x1)8| |3x9| 3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3| 1 3 证明因为 0 1 当0 |x3| 时有 3|(3x1)8|(3x1) 8所以limx 3(5x2) 12 (2)limx 2分析因为|(5x2)12| |5x10| 5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2| 1 5 证明因为 0 1 当0 |x2| 时有 5|(5x2)12|(5x2) 12所以limx 22x4 4(3)xlim 2x 2分析因为x24(4) x24x4 |x2| |x(2)| x2x 2所以要使x24(4) x2只须|x(2)| 证明因为 0 当0 |x(2)| 时有x24(4) x2x24 4lim所以x 2x2314x(4)lim 2 2x1x分析因为所以要使14x32 |12x2| 2|x(1)| 2x1214x32 2x1只须|x(1)| 1 2222 证明因为 0 1 当0 |x(1)| 时有 14x32 2x1 314x所以lim 2 2x1x 22根据函数极限的定义证明1x (1)xlim 1 22x3分析因为所以要使1x31 1x3x3 1 2x322x32|x|3 1x312x2只须1 2|x|即|x| 1证明因为 0X 1当|x| X时有 1x312x3231x 1所以xlim3 2x2sinx 0 (2)xlim x 分析因为所以要使证明sinx0 |sinx| 1 xxxsinx0 只须1 即x 12x x因为 0X 1当x X时有 2sinx0 xsinx 0所以xlim x 3当x 2时 y x2 4问等于多少使当|x2|< 时 |y4|<0001？解由于当x 2时 |x2| 0故可设|x2| 1即1 x 3要使|x24| |x2||x2| 5|x2| 0001只要|x2| 0.001 0.0002 5取 00002则当0 |x2| 时就有|x24| 0 0014当x 时解要使y x21 1 x32问X等于多少使当|x| X时|y1| 001? 只要|x| 43 0.01x211 4 0.01x23x23故X5证明函数f(x) |x|当x 0时极限为零证明因为|f(x)0| ||x|0| |x| |x0|所以要使|f(x)0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x0| 时有|f(x)0| ||x|0||x| 0所以limx 06求f(x) x, x (x) |x|当xx 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为lim f(x) lim x lim1 1x 0x 0xx 0lim f(x) lim x lim1 1 x 0x 0xx 0x 0limf(x) lim f(x) x 0f(x)存在所以极限limx 0因为|x| lim x 1 x 0x 0xx 0x|x|x 1lim (x) lim limx 0x 0xx 0xlim (x) limx 0 lim (x) lim (x) x 0(x)不存在所以极限limx 07证明若x 及x 时函数f(x)的极限都存在且都等于Af(x) A则xlimf(x) A证明因为xlim x limf(x) A所以 >0X1 0使当x X1时有|f(x)A|X2 0使当x X2时有|f(x)A|f(x) A取X max{X1 X2}则当|x| X时有|f(x)A| 即xlim8根据极限的定义证明函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x) A(x x0)则 >0 0使当0<|x x0|< 时有|f(x)A|<因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有|f(x)A|<这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00) f(x00) A则 >01>0使当x0 1<x<x0时有| f(x)A<2>0使当x0<x<x0+ 2时有| f(x)A|<取 min{ 1 2}则当0<|x x0|< 时有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有| f(x)A|<即f(x) A(x x0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解 x 时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M证明设f(x) A(x )则对于 1X 0当|x| X时有|f(x)A| 1所以|f(x)| |f(x)A A| |f(x)A||A| 1|A|这就是说存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M其中M 1|A|习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定(x)2 例如当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但limx 0(x)3 (x)不 (x)是无穷小2根据定义证明2x9(1)y x当x 3时为无穷小; 3(2)y xsin1当x 0时为无穷小x2x9 |x3|时|y| x 3 证明 (1)当x 3有因为 0当0 |x3| 时2|y| x9 |x3| x 32x9所以当x 3时y x为无穷小 3(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x0|因为 0 x|y| |x||sin1| |x0| x所以当x 0时y xsin1为无穷小 x当0 |x0| 时有3根据定义证明函数y 12x为当x 0时的无穷大问x应满足什x么条件能使|y| 104？证明分析|y||x| 1 M212x 21 12 xx|x|2 M即要使|y| M只须|1x|证明因为M 0所以当取1使当0 |x0| 时有12x M xM2x 0时函数y 12x是无穷大 xM 104则 41当0 |x0| 41时|y| 104 10210 2 4求下列极限并说明理由2x1; (1)limx x21x(2)limx 01xxxxx1x2 1所以lim x 01x2x1 2解 (1)因为2x1 21而当x 时1是无穷小所以limx x (2)因为11x2 1x(x 1)而当x 0时x为无穷小5根据函数极限或无穷大定义填写下表解6函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解函数y xcos x在( )内无界这是因为M 0在( )内总能找到这样的x使得|y(x)| M例如y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)| M例如y(2k (2k )cos(2k ) 0(k 0 1 2 ) 2222 对任何大的N当k充分大时总有x 2k N但|y(x)| 0 M7证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界但这函数不是当x 0+时xx的无穷大证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界这是因为 xx M 0在(0 1]中总可以找到点xk使y(xk) M例如当xk2k 1(k 0 1 2 )2时有y(xk) 2k2当k充分大时 y(xk) M当x 0+ 时函数y 1sin1不是无穷大这是因为 xxM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0 xk但y(xk) M例如可取xk 12k(k 0 1 2 )当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x3x25 225 9lim解 x 2x3232x(2)3 x x 1解 2()23x3 0 2x x1() 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x2 14x32x2xlim(4)x 02 3x2x3224x2x x4x2x1 1 lim解lim x 03x2xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx xxx2x1(7)xlim 2x2x 1 解 1 121 limlimx 1 2x 2x x1x 22xx2(8)xlim解或 x2x 42x3x12xx 0lim42(分子次数低于分母次数x x3x1112x lim23 0lim4x2 x x3x1x 1xx2极限为零) x6x8 (9)limx 4x5x 4解 2(x2)(x4)limx26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 n n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2nn(n1)(n2)(n3)(13)nlim5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 3n n 5nnn55n(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1x3x 1(1x)(x 1(1x)(1x x2)1x x2) limx 21 x 11x x2计算下列极限32x2x(1)x lim 2(x2)2解 (x2)20lim 0因为x 2x2x162x所以limx 22x2 (x2)23 x (2)xlim 2x 1解 2xlim x 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctanx (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时 1是无穷小解xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x322x52lim 5 9解 x 2x32 3 2x(2)23 x x 1解 2()23x3 0 x x21()2 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x 1 324x2x x(4)limx 03x22x4x32x2x lim4x22x1 1解 limx 03x22xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx x2xx2(7)xlim解x21 22x x1112x1lim2 lim 1x 2x x1x 222xx x2x x x43x212x x 0解xlim(分子次数低于分母次数 x3x1(8)lim极限为零)或112x lim 0lim4x2 x x3x1x 21124xx2 x6x8 (9)limx 42x5x 4解 2(x2)(x4)xlim26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 nn n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim 2(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim3 5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 n 5n nnn55n3(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1xx 1(1x)(x 1(1x)(1x x)1x x) limx 22 1 x 11x x2计算下列极限 32x2xlim(1)x 2(x2)2解 (x2)20lim3 0因为x 2x2x21632x2x 所以limx 2(x2)2 x2lim(2)x 2x1 x2 解 xlim 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctan x (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时1是无穷小解 xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题 171当x 0时 2x x2 与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解232x xx x lim 0因为limx 02x xx 02x所以当x 0时 x2x3是高阶无穷小即x2x3 o(2x x2)2当x 1时无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是否等2价？解 3(1x)(1x x2)1x lim lim(1x x2) 3 (1)因为limx 11xx 1x 11x所以当x 1时 1x和1x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小1(1x2) 1lim(1x) 1 (2)因为limx 11x2x 1所以当x 1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小 23证明当x 0时有(1) arctan x~x2x(2)secx1~2arctanx lim 证明 (1)因为limx 0y 0xy 1(提示 tany令y arctan x则当x 0时y 0)所以当x 0时 arctanx~x2sin2x2sinxsecx1 2lim1cosx lim lim(2 1 (2)因为limx 02x 0x2cosxx 0x 0x2x2222xsecx1~ 2 所以当x 0时4利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x (1)limx 02xsin(xn)(2)limx 0(sinx)m(n m为正整数)tanx sinx (3)limx 0sinx(4)limx 0sinx tanx 2(x1sinx1)tan3x lim3x 3解 (1)limx 0x 02x2x21 n mn sin(xn)x 0 n m lim(2)limx 0(sinx)mx 0xm n m1x2sinx(11)tanx sinx lim lim1cosx lim2 1(3)lim332x 0x 0x 0cosxsinxx 0xcosx2sinxsinx(4)因为sinx tanx tanx(cosx1) 2tanxsin2x~2x x)2 1x3(x 0) 222所以x21 x21x2(x 0) ~1x2)2x213sinx~sinx~x(x 0) sinx1sinx1 1x3sinx tanxlim lim 3x 0(x21sinx1)x 02x x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) ~ (自反性)(2) 若 ~ 则 ~ (对称性)(3)若 ~ ~ 则 ~ (传递性)证明 (1)lim 1所以 ~1从而lim 1因此 ~ (2) 若 ~ 则lim(3) 若 ~ ~习题18 lim lim lim 1 因此 ~1研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) x2 0 x 1 f(x) 2x 1 x 2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且x 12f(x) lim(2x) 1 limf(x) limx 1lim x 1x 1x 1f(x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的所以limx 1综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数x 1 x 1 (2)f(x) 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1 x 1limf(x) lim x 1 f(1)所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim x 1 f(1) limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续2x(1)y 21 x 1 x 2 x3x 2解 2(x1)(x1)xy 21 x3x2(x2)(x1)因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点2xlimy lim21 因为x 2x 2x3x2所以x 2是函数的第二类间断点(x1)y lim 2所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去因为limx 1x 1(x2)间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2)y x x k x k tanx2(k 0 1 2 )2 解函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xlim k x (k 0) tanxx 1 tanxlimx k 故x k (k 0)是第二类间断点2 因为limx 0x 0(k Z) tanx所以x 0和x k (k Z) 是第一2类间断点且是可去间断点令y|x 0 1则函数在x 0处成为连续的令x k 时 y 0则函数在x k 处成为连续的2(3)y cos21 x 0 x2xx 解因为函数y cos21在x 0处无定义所以x 0是函数y cos21的间断点又因为limcos21不存在所以x 0是函数的第二类间断点x 0xx 1 x 1 (4)y 3 x x 1 x 1解因为xlim1f(x) lim(x1) 0limf(x) lim(3x) 2x 1x 1x 1所以x 1是函数的第一类不可去间断点 3讨论函数解2n1xf(x) limx的连续性 n 1x2n若有间断点判别其类型x |x| 12n 1xf(x) limx 0 |x| 1 n 1x2nx |x| 1f(x) lim(x) 1 lim f(x) lim x 1x 1x 1x 1lim 在分段点x 1处因为x1所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为xlim 1f(x) lim x 1 limf(x) lim(x) 1x 1x 1x 1所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以xlimx的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域U(x0)f(x) f(x0) 0由极限f(x)>0使当x U(x0)时从而当x U(x0)时 f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x 0 12无穷间断点1 n 1 是2nf(x)的所有间断点且它们都是解函数f(x) csc( x)csc 在点x 0 1 2 x 1 n 1 处是间断2n的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续1 x Q 解函数f(x) 1 x Q在R上处处不连续但|f(x)| 1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续x x Q 解函数f(x) 在R上处处有定义它只在x 0处连续x x Q习题191求函数f(x) xlimf(x) x 233x2x3的连续区间 2x x6f(x)并求极限limx 0x 3limf(x)及33x2x3 (x3)(x1)(x1)f(x) x(x3)(x2)x x 6 解函数在( )内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0) 1 x 02在函数的间断点x 2和x 3处limf(x) limx 2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1) 8limf(x) limx 3x 3x 2x25(x3)(x2) 2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)} 在点x0也连续证明已知xlim x可以验证(x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]因此2 (x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] 20f(x) f(x0)limg(x) g(x0) x x0因为lim (x) lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]x x0x x02 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ]x x0x x0x x02x x01[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] (x0) 2所以 (x)在点x0也连续同理可证明 (x)在点x0也连续3求下列极限(1)limx 0x 4x22x5 (sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx 6(4)limx 0x11 xx4x (5)limx 1x 1(6)xlimsinx sina ax a(7)xlim(x2x x2x)解 (1)因为函数f(x) x 0x22x5是初等函数f(x)在点x 0有定义所以 limx22x5 f(0) 22 054 (2)因为函数f(x) (sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x 有定义所以lim(sin2x)3 f( (sin2 3 1 44x 46 (3)因为函数f(x) ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x 有定义所以limln(2cos2x) f( ) ln(2cos2 0 66x(4)limx 0x11 lim(x11)(x11) limxx 0x 0x(x11xx(x11) )11 111112 limx 0(5)limx 1x4x lim(x4xx4x)x 1x1(x1x4x) lim444x4 lim 2x 1x4xx 1(x1x4x) 142cosx asinx alimsinx sina lim(6)x ax ax ax asinx a cosa a 1 cosalimcosx a limx a2x a2222(x2x x2x)(x2x x2x)(x x x x) lim(7)xlim 22 x (x x x x)lim2x2 lim 1 x (x2x x2x)x (11)xx4求下列极限(1)xlim(2)limlnsinx x 0x1ex(11)2 (3)xlim x2x(13tan2x)cotx (4)limx 0x13x( (5)xlim 6x(6)limx 0tanx sinxx sin2x xlime e1lim1x 解 (1) (2) (3) x e0 1 limlnsinx ln(limsinx) ln1 0x 0x 0xxx1lim(1 2x x limx 11x2(1)x e 12(4)lim(13tan2x)cotx limx 02x 0 1(13tan2x)3tan2x3 e3x13x 3 (5)(6x) (16x)36x2因为3(1)3 e lim3 x1 3 xlim x 6x26x23x2 e2所以xlim 6x(tanx sinx)(sin2x1)tanx sinx lim(6)lim22x 0x 0x sinx xx(sinx1)(tanx sinx)2xtanx 2sin(ta nx sinx sinx1) lim limx 0xsin2x(tanx sinx)x 0xsinx22x (x21 limx 02x应当如何选择数a使得f(x)成为在( 5设函数 ex x 0f(x) a x x 0)内的连续函数？解要使函数f(x)在( )内连续只须f(x)在x 0处连续即只须 x 0limf(x) limf(x) f(0) a x 0x 0 x 0f(x) limex 1因为xlim 0x 0limf(x) lim(a x) a所以只须取a 1习题1101证明方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x) x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1) 3 f(2) 25 f(1)f(2) 0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(1 2)使f( ) 0即x 是方程x53x 1的介于1和2之间的根因此方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x) asin x b x则f(x)是[0 a b]上的连续函数f(0) b f(a b) a sin (a b)b(a b) a[sin(a b)1] 0若f(a b) 0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b) 0则f(0)f(a b) 0由零点定理至少存在一点(0 a b)使f( ) 0这说明x 也是方程x=asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)| L|x y|其中L为正常数且f(a) f(b) 0证明至少有一点 (a b)使得f( ) 0证明设x0为(a b)内任意一点因为所以 0 lim|f(x)f(x0)| limL|x x0| 0 x x0x x0x x0 lim|f(x)f(x0)| 0即 x x0limf(x) f(x0)因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a) f(b) 0由零点定理至少有一点 (a b)使得f( ) 04若f(x)在[a b]上连续 a x1 x2 xn b则在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x1)f(x2) f(xn) n证明显然f(x)在[x1 xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值因为xi [x1 xn](1 i n)所以有m f(xi) M从而有n m f(x1)f(x2) f(xn) n M m f(x1)f(x2)f(xn) Mn由介值定理推论在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x)f(x) f(x) nf(x)存在则f(x)必在( 5证明若f(x)在( )内连续且xlim)内有界f(x) A则对于给定的 0存在X 0只要|x| X就有证明令xlim|f(x)A| 即A f(x) A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)| M x [X X]取N max{M |A | |A |}则|f(x)| N x ()即f(x)在( )内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim xx x00f(x)存在的________条件 limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件0 (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim xx x0f(x) 的________条件 limf(x) 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当x x0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是x x0limf(x)存在的________条件解 (1) 必要充分(2) 必要充分(3) 必要充分(4) 充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x) 2x3x2则当x 0时有( )(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小解xxxxf(x)232213 lim lim lim 1 因为limx 0xx 0x 0xx 0xxxxt ln3limu ln2ln3 ln2lim(令21 t 31 u)t 0ln(1t)u 0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[0 1]求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)(3) f(arctan x)(4) f(cos x)解 (1)由0 ex 1得x 0即函数f(ex)的定义域为( 0](2) 由0 ln x 1得1 x e 即函数f(ln x)的定义域为[1 e](3) 由0 arctan x 1得0 x tan 1即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1](4) 由0 cos x 1得2n x 2n (n 0 1 2) 22即函数f(cos x)的定义域为[2n , n ] (n 0 12 ) 224设x 0 0 0 x 0 f(x) g(x) 2x x 0x x 0求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]0 x 0 解因为f(x) 0所以f[f(x)] f(x) x x 0因为g(x) 0所以g[g(x)] 0因为g(x) 0所以f[g(x)] 00 x 0 因为f(x) 0所以g[f(x)] f 2(x) 2 x x 05利用y sin x的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x|(2)y sin|x|(3)y 2sinx 26把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2 ) 2 r222r R(2 ) 22R2(2 )24 h R r R R2 4 2圆锥的体积为V 13 R2(2 )2 24 R2R324 2(2 )2 4 a2 (0 2 )7根据函数极限的定义证明limx2x 6x 3x3 5证明对于任意给定的 0要使|x2x 6x35| 只需|x3| 取当0 |x3| 时就有|x3| 即|x2x65| 所以limx2x 6x3x 3x3 58求下列极限(1)limx2x 1x 1(x1)2(2)xlim x(x21x)(3)3xlim (2x2x1x1(4)limtanx sinxx 0x3(5)limxxx 0(a b cx3)(a 0 b 0 c 0)(6)lim(sinx)tanx x 2解 (1)因为lim(x1)2所以limx2x 1x 1x2x1 0 x 1(x1)(2)xlim x(x21x) x(x21x)(x21x)xlim (x21 x) x1xlim x21x xlim 1112x2x322x1x1() lim(1 lim(1)22(3)xlim 2x1x x 2x12x 1222(1)(1 2 xlim 2x12x 122(1) lim(1) e xlim x 2x12x 1sinx(11)sinx(1cosx)tanx sinx lim lim(4)limx 0x 0x 0x3x3x3cosxsinx 2sin2x2x (x)2lim 1 limx 0x 02x3cosxx3(提示用等价无穷小换)(a (5)limx 0x b3x cx)x lim(1a b c。

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v.解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM故MB .AB AM MB MC DM DC .即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形.3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知1 D1A,1D2A, D3A, D A.41D3 D4BD11a,5a, D1D2 a,5 51D2D3a,5故D1 A=- （AB BD1）=- a- c5D 2 A =- （ ABD A =- （ AB BD 2BD ）=-）=-2a- c5 3a- c3=- （ AB 3BD 4）=- 5 4a- c. 54. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 .解M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） .-2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）.5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 .a解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为aa 1=（ 6，7， -6）=6 ,7 , 6，a1111 11 11其中 a 6272( 6)211.6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A （1，-2，3），B （ 2， 3，-4），C （2，-3，-4），D （-2，-3， 1）.解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 .7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A （ 3， 4， 0），B （ 0， 4，3），C （ 3，0，0），D （ 0，D A4-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz 面上的点的坐标为（x0，0，z0），y Oz 面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y0，0），z 轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a，b，c）关于xOy 面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于x 轴的对称点为（a，-b，-c），关于y 轴的对称点为（-a，b，-c），关于z 轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）. 9.自点P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F 为点P0 关于xOz 面的垂线，垂足 F 坐标为(x0，0，z0）；P0D 为点P0关于xOy 面的垂线，垂足 D 坐标为( x0，y0，0）；P0E 为点P0 关于yOz 面的垂线，垂足E坐标为(0，y0，z o ) .P0A 为点P0 关于x 轴的垂线，垂足 A 坐标为( x o，0,0）；P0B 为点P0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为(0, y0 ,0) ；P0C为点P0关于z 轴的垂线，垂足 C 坐标为(0,0, z0 ) .10.过点P（0 x0，y0，z0）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0 且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P0 且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11. 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.2解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB= a ，于是各顶点的坐2标分别为A(2a，0，0) ，B（(0,22 2a，0）），C（- a，0，0），D2 2（0，-2a ，0），E（22a ，0，a ），F（0，22a ，a ），G（-22 a，20，a ），H（0，-2a ，a ）. 212. 求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离为d1=( 3) 25234 ，点M 到y 轴的距离为d2= 42 5241 ，点M 到z 轴的距离为d3= 42( 3) 225 5.13.在yOz 面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz 面上，不妨设为P（0，y，z），点P 与三点A，B，C等距离，PA32 ( y1)2(z 2)2 ,PB 42( y 2)2(z 2)2 ,PC ( y 5)2( z 1)2 .由 PAPBPC 知，32( y 1)2( z 2)242( y 2) 2( z 2)2( y 5) 2 ( z 1) 2 ，即解上述方程组，得 y=1， z =-2.故所求点坐标为（ 0，1， -2）.14.试证明以三点 A （4， 1， 9）， B （10，-1，6），C （ 2， 4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形 .证由AB(104)2( 1 1)2(6 9)27,AC(2BC(2 4)2 10)2(4 1) 2 (4 1)2(3 9)27,(3 6)298 7 2知 AB2AC 及 BC2AB AC 2.故△ ABC 为等腰直角三角形.15. 设已知两点为 M 1（4， 2 ，1），M 2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角 .M 1M 2解向量M 1M 2=（3-4， 0-2 ， 2-1） =（-1，- 2 ， -1），其模M 1M 2（ -1）2（ - 2）2124 2 .其方向余弦分9 ( y 1) 2 ( z 2) 2 16 ( y 2) 2 ( z 2)2, 9 ( y 1) 2( z 2) 2( y 5) 2( z 1)2.别为 cos =- 1 ， c os =-22 1，cos = .22方向角分别为2 ,3 , .3 4316. 设向量的方向余弦分别满足（ 1）cos =0；（2）cos =1；（ 3）cos =cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由 cos =0 得知，故向量与 x 轴垂直，平行于2yOz 面.（2）由 cos =1 得知=0，故向量与 y 轴同向，垂直于 xOz 面.（3）由 cos =cos =0 知，故向量垂直于 x 轴和 y 轴，2即与 z 轴平行，垂直于 xOy 面.17. 设向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角为，求 r 在 u 轴上的投影 .31解已知|r |=4 ，则 Prj u r=| r |cos=4?cos 3=4× 2=2.18. 一向量的终点在点 B （2，-1，7），它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4， -4 和 7，求这向量的起点 A 的坐标.解设 A 点坐标为（ x ，y ， z ），则AB =（ 2-x ，-1-y ，7-z ），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故 x=-2，y=3，z=0，因此 A 点坐标为（ -2， -3， 0）.19. 设 m =3i +4j +8k ，n =2i -4j -7k 和 p =5i +j -4k . 求向量 a =4m +3n -p 在 x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.21. 设a3i j 2k,b i 2 j k ，求（1） a 余弦.b 及a b ；（2）（ - 2a ）3b 及a 2b ；（3） a ,b 的夹角的解（ 1） ab （3，- 1，- 2）（1,2，- 1）3ij k1 （ - 1）2 （ - 2）（ - 1） 3，a b 31 122 =（5,1,7） . 1（2） (2a) 3b 6(a b) 6 3 18a 2b 2(a b) 2(5,1,7) a b (10,2,14)3（3 cos(a,b)a b3 32( 31)2( 2)21222( 1)214 62 212. 设 a, b ,c 为单位向量，满足a b c 0,求a b b c c a.解已知 ab c 1, a b c 0,故（ ab c ）（ a b c ） 0 .2 2即 abc2a b 2b c 2c a0.因此a b b c c a1 22 （ a b 22 3 c ） - 23.已知 M 1（ 1，-1，2），M 2（ 3,3,1）M 3（ 3,1,3）.求与同时垂直的单位向量 .M 1M 2 , M 2 M 3解M 1M 2 =（ 3-1,3-（-1）,1-2） =（2，4， -1）M 2 M 3=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于M 1M 2取为M2M3与M 1M 2, M 2M 3 同时垂直，故所求向量可a （M 1M 2M 2M 3），M 1M 2M 2M 3由M 1M 2iM 2M 3= 2j k4 1 =（6，-4，-4），2 2M1M 2知a M 2 M 3 61(6, 4, 4)( 4)2 ((3,4)22,682).2 172 17 17 17 174.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z 轴负方向）.解M 1M 2 =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F?M 1M 2 =（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0 J）.5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1 的点P1 处，有一与OP1成角1的力F1 作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2 的点P2 处，有一与OP2成角 2 的力F2 作用着（图8-6 ），问 1 ，2 ，x1，x2，F1 , F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6 ，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为2F1即F1x1sin 1x1sin 1F2 x2F2 x2sinsin20 ，2.6.求向量a（4，- 3,4）在向量b （2,2,1）上的投影.a b ( 4, 3,4) (2,2,1) 6 解Pr j b ab 2 .22 22 12 37.设a(3,5, 2),b (2,1,4) ，问与有怎样的关系，能使a b与z 轴垂直？解 a b = （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）=（3 2 ,5 , 2 4 ）.要 a b与z 轴垂直，即要（ a b ）（0,0,1 ），即（ a b）?（0，0,1 ）=0，亦即（3 2 ,5 , 2 4 ）?（0,0,1 ）=0，故（ 2 4 ）=0，因此 2 时能使 a b与z 轴垂直. 8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7 ，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB= ，2 只要证明AC BC 0 即可. 由AC BC =( AO OC) ( BO OC)= AOBO AO OC 2OC BO OC2=AO AO OC AO OC 2OC0 .故 ACBC , ∠ACB 为直角.9.已知向量 a 2i 3 j k, b ij 3k 和c i 2 j ，计算：（1） (ab)c (a c)b （2）(a b) (b c)（3）(ab) c解（1）(a b)c (a c)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0, 8, 24)8i 24k .（2） ab =（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），b c =（ 1， -1,3 ） +（ 1， -2,0 ） =（ 2， -3,3 ），ij k(a b) (b c) 34 4 (0, 1, 1) j k .23 3ab (2, 3,1) (1, 1,3) 8，a c (2, 3,1) (1, 2,0) 8，（3）(a b) c 211312132.10. 已知OA i 3k,OB j 3k ，求△OAB的面积.解由向量积的几何意义知S△OAB=12OA OB ，OA OB ( 3) 2( 3)2 1 19 S △OAB 19 211. 已知a( a x , a y , a z ), b(b x ,b y , b z ), c(c x , c y ,c z ) ，试利用行列式的性质证明：(a b) c (b c) a (c a) b证因为(a b) c a xb xc xa yb yc ya zb z , (bc zc) ab xc xa xb yc ya yb zc za z(c a) b c xa xb xc ya yb yc za z ，b zi j kOA OB 1 0 3 ( 3, 3,1) ，0 1 3而由行列式的性质知aabb2 2 a x a y a z b x b y b z c x c yc zb x b yc xc ya x a yb zc x c z = a x a z b xc yc z a y a z ，故b yb z(a b) c (b c) a (c a) b .12. 试用向量证明不等式：2 2 2 2 123123a 1b 1 a 2b2a 3b 3 ，其中 a 1, a 2 ,a 3 , b 1, b 2 ,b 3 为任意实数 . 并指出等号成立的条件.证设向量 a （ a 1 , a 2 , a 3 ）， b （ b 1, b 2 ,b 3 ）. 由ab a b cos(a,b) a b ，从而a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 22a 1a 2a 1 222 a 3b 1b 2a 2 a 32b 3 ，当 a 1, a 2 , a 3与 b 1, b 2 ,b 3 成比例，即b 1b 2时，上述等式成立.b 3ab1. 求过点（ 3,0，-1）且与平面 3x 7 y 程.解所求平面与已知平面3x 7 y 5z 125z 12 0 平行的平面方0 平行.因此所求平面的法向量可取为 n=（3，-7，5），设所求平面为3x 7 y 5z D 0.将点（ 3，0， -1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为3x 7 y 5z 4 0 .2. 求过点 M 0（ 2，9， -6）且与连接坐标原点及点 M 0 的线段 OM 0 垂直的平面方程 .解OM 0(2,9, 6）.所求平面与 OM 0 垂直，可取 n= OM 0 ，设所求平面方程为2x 9 y6z D 0.将点 M 0（ 2，9， -6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为2x 9 y 6z 121 0.3. 求过（ 1，1， -1），（-2， -2， 2）和（ 1，-1，2）三点的平面方程 .x 1y 1 z 10 ，得 x 3 y 2z 0 ，即为所求平面方程 .注设 M （ x ,y,z ）为平面上任意一点， M i( x i , y i , z i )(i1,2,3) 为平面上已知点 .由M 1M(M 1M 2 M 1M 3) 0, 即解由2 1 2 1 2 11 11 12 1x x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 y y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 z z 1z 2 z 1 0, z 3 z 1它就表示过已知三点 M i （ i =1,2,3）的平面方程 . 4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0; （2） 3y-1=0; （3）2x-3y-6=0; （4） x -3y=0;（5）y+z=1; （ 6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解（ 1）—（ 7）的平面分别如图 8— 8（a ）—（ g ） . （1）x=0 表示 yOz 坐标面.（2）3y-1=0 表示过点（ 0, 1,0）且与 y 轴垂直的平面 .3（3）2x-3y-6=0 表示与 z 轴平行的平面 . （4）x-3y=0 表示过 z 轴的平面 .（5）y+z=1表示平行于 x 轴的平面 . （6）x-2z=0 表示过 y 轴的平面 . （7）6x+5y-z=0表示过原点的平面 .5. 求平面2x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角分别为1, 2 , 3 .则根据平面的方向余弦知cos cos n k (2, 2,1) (0,0,1) 1 ,n k 22( 2)212 1 3cos 2cos n i ( 2,n i2,1)3(1,0,0) 2,1 3cos 3cos n j ( 2,n j2,1)3( 0,1,0) 2.1 36. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a试求这个平面方程.(2,1,1) 和b (1, 1,0) ，解所求平面平行于向量 a 和b，可取平面的法向量i j kn a b 2 1 1 (1,1, 3) .1 1 01故所求平面为1 ( x 1) 1 ( y 0) 3( z 1) 0，即x y 3z 4 0 .7. 求三平面x 3y交点.z 1,2x y z 0, x 2 y 2z 3的解联立三平面方程x 3y 2x y x 2y z 1,z 0,2z 3.解此方程组得x 1, y 1, z 3.故所求交点为（1，-1，3）. 8. 分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1 ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By D 0.将点（2，-5，3）代入，得5B D 0，即D 5B.因此所求平面方程为By 5B 0，即y 5 0.（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为Ax By 0 .将点（-3，1，-2）代入，得3A B 0，即B 3A.因此所求平面方程为Ax 3Ay 0 ，即x 3y 0.（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By Cz D 0. 将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2C D 0 及C D, B2B 7CD 0.9D .2因此，所求平面方程为9 Dy 2 Dz D 0 ，2即9 y z 2 0.9. 求点（1,2,1）到平面x 2 y 2z 10 0 的距离.解利用点的距离公式M 0 ( x0 , y o , z o ) 到平面Ax By Cz D 0dAx0By0Cz0 DA2 B 2 C 21 2 2 2 1 10 3 1.12 22 22 3x 3 y1. 求过点（4，-1，3）且平行于直线2 1 z 1的直线方程. 5解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s (2,1,5)，直线方程即为x 4 y 1 z 3.2 1 52. 求过两点M 1(3, 2,1) 和M 2 ( 1,0,2) 的直线方程.解取所求直线的方向向量s M 1M 2( 1 3,0 ( 2),2 1) ( 4,2,1) ，因此所求直线方程为x 3 y 2 z 1.4 2 13. 用对称式方程及参数方程表示直线x y 2 x y z 1, z 4.解根据题意可知已知直线的方向向量i j ks 1 1 1 ( 2,1,3).2 1 1取x=0，代入直线方程得y z 1,y z 4.3 5解得y3, z25.这2样就得到直线经过的一点（0, ,2 ）.因此直线的对称式方程为2参数方程为3 5 x 0 y 2 z 22 1 3x 2t ,y3t ,2z 53t.2注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4. 求过点（2，0，-3）且与直线x 2 y 3x 5 y 4z 7 0, 2z 1 0垂直的平面方程.解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即i j n s 1 23 5 k4 ( 16,14,11), 2故所求平面方程为16( x16x 2)14y 14( y 0)11z 6511(z 3)0.0.即5 x 5. 求直线3x 3y 3z 92 y z 10, 2 x 2 y与直线0 3x 8 yz 23 0,z 18 0的夹角的余弦..解两已知直线的方向向量分别为i s 15 3j k3 3 (3,4, 2 11), s 2 i j k 2 2 1 3 81(10,5,10),因此，两直线的夹角的余弦cos(cos s 1 , s 2 )s 1 s 2 s 1 s 23 1045 1 100.32x 2 y 42( 1) 2 102( z 7, 3x 5)21026 y 3z 8, 6. 证明直线2x y 与直线z 7平2x y z 0行.证已知直线的方向向量分别是i j s 11 22 1ki 1 (3,1,5), s 2 3 12j k 6 3 ( 119, 3,15),由 s 23s 1知两直线互相平行 .7. 求过点（0,2,4）且与两平面 x 方程.2 z 1和 y 3z 2平行的直线解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取i j ks n1n2 1 0 2 ( 2,3,1),0 1 3故所求直线方程为x 0 2 y 2 z 4.3 1注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为x 2z a,y 3z b.将点（0，2，4）代入上式，得 a 8, b10.故所求直线为x 2z 8,y 3z8. 求过点（3，1，-2）且通过直线解利用平面束方程，过直线的平面方程. 的平面束方程为x 4 y 3 5 2 (y 3z) 0, 2将点（3，1，-2）代入上式得11 .因此所求平面方程为20x 4 y 3 5 2 11(y 3z) 0, 20 210.x 4 y 3 z5x 4 y231z5 2 1即9. 求直线8x 9yx y 3z22z 59 0.0,与平面x y z 1 0的夹角. x y z 0i解已知直线的方向向量s 11 j k1 3 ( 2,4,1 12), 平面的法向量n(1, 1, 1).设直线与平面的夹角为, 则sin cos(n, s) s n 2 1 4 ( 1) ( 2) ( 1)0,即0.s n 2242 ( 2)2 12( 1)2 ( 1)2 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系；x 3 y 4 （1）2 7x y z z和4x 2 y32z 3 ；（2）3和3x 2y2 77z 8；（3）x 23 y 2 z13和x4y z 3.解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为, 且sin cos(n, s) s n. s n（1）s ( 2, 7,3), n(4, 2, 2),sin(( 2) 22) 4 ( 7)( 7)2 32( 2)423 ( 2)( 2)2 (0,2)2则0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A（-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）s(3, 2,7), n(3, 2,7), 由于s n 或sin332 (3 ( 2)2)2 72( 2)327 71,( 2)2 72知，故直线与平面垂直.2（3）s(3,1, 4), n (1,1,1), 由于s n 0或sin 3 1 1 1 ( 4) 1 0,32 12 ( 4)212 12 12知0, 将直线上的点A（2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点A 在平面上.故直线在平面上.11.求过点（1,2,1）而与两直线x 2 y x yz 1 0,和z 1 02 x yx yz 0,z 0平行的平面的方程.解两直线的方向向量为i s1 11 j k2 1 (1,1 1i2, 3), s2 21j k1 1 (0, 1,1 11),i 取n s1s2 1 j k2 3 (1,1, 1),0 1 1则过点（1,2,1），以n 为法向量的平面方程为1 ( x 即1) 1 ( y 2)x y z 0.1 ( z 1) 0,12.求点（-1,2,0）在平面x 2y z 1 0上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面x 2y z 1 0垂直的直线为x 1 y 2 1 2 z 0,1将它化为参数方程x 1t , y 22t, z t ,代入平面方程得1 t 2(2 2t )( t ) 1 0,2整理得t .从而所求点（-1,2,0）在平面x 2y3z 1 0 上的投影为（5,2,2）.3 3 3x y z 1 0,13.求点P（3，-1，2）到直线2x y z 4 0的距离.i 解直线的方向向量s 12 j k1 1 (0, 3,1 13).在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x 1, y 2 3t ,z3t. （1）又，过点P（3，-1，2），以s (0, 3, 3) 为法向量的平面方程为3( y 1) 3( z 2) 0,即y z 1 0. （2）1将式（1）代入式（2）得t ，于是直线与平面的交点为（1,2 1,3），2 2故所求距离为d (3 1)2( 1 1)22(23)223 2.214. 设M0 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到直线L 的距离M 0M sd .s证如图8-9，点M0 到直线L 的距离为 d.由向量积的几何意义知M 0M s 表示以M 0M ，s为邻边的平行四边形的面积.而M 0Ms s表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点M 0 到直线L的距离.于是M 0M sd .s15. 求直线2 x 4 y z3x y 2z0,在平面4x9 0y z 1上的投影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线2x 4 y z3x y 2z0,的平面束方程为9 02x 4y z (3x y 2z 9) 0,经整理得(2由(2 313 3 )x ( 4) 4 ( 4) y (1 2 ) z 9 0.) ( 1) (1 2 ) 1 0,得.代入平面束方程，得1117x 因此所求投影直线的方程为17x 31y31y37z37z117 0.117 0,4x y z 1.16. 画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）x 0, y 0, z 0, x 2, y 1,3x 4 y 2z 12 0;（2）x0, z 0, x 1, y 2, z y .4解（1）如图8-10（a）；（2）如图8-10（b）.221.一球面过原点及 A （ 4，0， 0）， B （ 1，3， 0）和 C （0，0， -4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径 .解设所求球面的方程为( x a) 2 ( y b) 2 ( z c) 2R ，将已知点的坐标代入上式，得a2b2 c2R 2 ,（1）(a 4)2( a 1) 2b2c2(b 3) 2R 2 , c 2R 2 ,（2）（3）（3）a2b2( 4 c) 2R ，（4）联立（ 1）（ 2）得a2, 联立（ 1）（4）得 c 2, 将a 2代入（2）（ 3）并联立得 b=1，故 R=3.因此所求球面方程为( x 2)2 ( y 1) 2 ( z 2) 29,其中球心坐标为(2,1, 2), 半径为 3.2. 建立以点（ 1，3， -2）为球心，且通过坐标原点的球面方程 .解设以点（ 1，3， -2）为球心， R 为半径的球面方程为( x 球面经过原点，故R2从而所求球面方程为1) 2(0 ( x ( y 3) 2 ( z 2) 2 R 2,3. 方程x2y2z22 x 4 y 2 z 0表示什么曲面？解将已知方程整理成( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1) 2 ( 6) 2,1)2 ( 0 3) 2 (0 2) 214, 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14.所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以 6 为半径的球面. 4. 求与坐标原点O 及点（2,3,4）的距离之比为1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（x, y, z），根据题意有1,2( x 2)2 ( y 32 4 1)2( z4)232(229)2 .3它表示以（, 1,3）为球心，以29为半径的球面.3 325. 将xOz坐标面上的抛物线转曲面的方程.z 5x绕x 轴旋转一周，求所生成的旋解以y2 z2 代替抛物线方程z25x中的z，得( y2z2 ) 2 5x，即y2z25x.注xOz 面上的曲线F ( x, z) 0 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为F ( x, y2 z2 ) 0.6. 将xOz坐标面上的圆转曲面的方程.x2 z2 9 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋解以x2 y2 代替圆方程x2 z2 9 中的x ，得( 即x2 x2y2 )2z29, y2 z2 9.( x 0)2( y 0)2( z 0)2化简整理得( x 2)2( y 3)2( z 4)2x z 7. 将 xOy 坐标面上的双曲线4x29 y236分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 .解以y2z2代替双曲线方程4x 29 y 236中的 y ，得该双曲线绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4 x 2即4 x2229(9( y2y2z 2 z 2 )2)236.236, 以x z 代替双曲线方程 4x9 y36 中的 x ，得该双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4(即4( x2x2z 2 ) z 2 )29 y29 y 236. 36,8. 画出下列各方程所表示的曲面：（1） ( x a ) 2 y 2 ( a ) 2;（2）x 2y 21;（3） 2 2 21; 2（4）y2 z 0;49（ 5） z2 x 2 .9 4解（1）如图 8-11（a ）；（2）如图 8-11（ b ）；（ 3）如图 8-11（c ）；（4）如图 8-11（d ）；（ 5）如图 8-11（ e ）.22229. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1） x2;（ 2） yx 1;（3） x2y24;（ 4） x y1.解（ 1） x2 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与 yOz 面平行的平面 .（2） yx 1在平面解析几何中表示斜率为1， y 轴截距也为 1 的一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z 轴的平面 .（3） x2y24在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2 的圆，在空间解析几何中表示母线平行于 z 轴，准线为的圆柱面.x 2 y 2 4, z 0（4） xy1在平面解析几何中表示以 x 轴为实轴， y 轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z 轴，准线为y 12y z 2x2y2z 01,的双曲柱面 .10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）x4221; 99（ 2） 2x2z21;4（3） x2y2z 2 1; （ 4） ( z a) 2x 2 y 2.x 2y 2z 2x 2y2解（ 1）1表示 xOy 面上的椭圆 1绕 x499 49x 2z2轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 xOz 面的椭圆绕 49x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .（2） x2yz241表示 xOy 面上的双曲线 2y2x4y 21绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 yOz 面的双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .z214（3） xy2z21表示 xOy 面上的双曲线 x2y 21绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 xOz 面的双曲线x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .x2z21绕（4） ( za) 2x 2y 表示 xOz 面上的直线 z x a 或zx a 绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 yOz 面的直线zy a 或 zy a 绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.11. 画出下列方程所表示的曲面：222（1） 4x2y2z24;（2） x 2y 2 4 z 24;z x2y2（3）.34 9解（1）如图 8-12（a ）；（2）如图 8-12（ b ）；（ 3）如图 8-12（c ）；12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1） z卦限内）； 0, z 3, x y 0, x 3y 0, x2y21（在第一（2）x 限内） .0, y 0, z 0, x 2 y 2R 2, y 2 z 2R （在第一卦解（ 1）如图 8-13 所示；（ 2）如图 8-14 所示.2 1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）x 1, y 2;z（2）x 4 x 2 y 0;y 2,x 2 （ 3）x2y 2a 2, z2a 2.解（ 1）如图 8-15（ a ）；（ 2）如图 8-15（ b ）；（ 3）如图 8-15（ c ） .2. 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：y5x 1,x2y21,（1）y 2 x 3;y 5x 1, （ 2）4 9 y 3.解（ 1）y 2 x 3在平面解析几何中表示两直线的交点 .在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.x2（2） 4y 1,9在平面解析几何中表示椭圆x2y2与 y 34 9其切线y 3 的交点，即切点.在空间解析几何中表示椭圆柱面x2y21与其切平面 y 3的交线，即空间直线.4 913. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线的柱面方程. 2x2x2y2 z2z2 y216,2x2解在x2y2 z2z2 y216,中消去x，得3 y2z216,即为母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程.2x2在x2y 2 z2z2 y216,中消去y，得3x2 2 z216,即为母线平行于y 轴且通过已知曲线多的柱面方程.4. 求球面x2y2 z2 9 与平面x z1的交线在xOy 面上的投影的方程.解在x2 y2 z2x z 1 9,中消去z，得x2 y2 (1 x) 29, 即2 x2x y28,它表示母线平行于z 轴的柱面，故交线在xOy 面上的投影的方程. 2x22x y2z 08,表示已知5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程：x2 y2 （1）y x; z2 9,（2）( xz1) 20.y2( z 1)24,2解（1）将y x代入x2y2 z2 9, 得2x2z29,3取x cos t, 则z23sint,从而可得该曲线的参数方程x 3cost , 2y 3cost, （02t 2 ）z 3sin t（2）将z=0 代入( x1) 2y2( z 1) 24,得( x 1)2y23,取x 1 3 c ost, 则y 3 s in t, 从而可得该曲线的参数方程x 1 3cost,y 3 sint,z 0（0 t 2 ）6. 求螺旋线方程. x acosy asinz b,, 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标解由x acos , y asin 得x2 y2a2, 故该螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为x2 y2z 0a2,由y asin , z b 得y asin z，故该螺旋线在yOz面上b的投影曲线的直角坐标方程为y a sinz,b x 0由x acos , z b 得x a cos z,故故该螺旋线在yOz 面b上的投影曲线的直角坐标方程为x acosz,b y 0.7. 求上半球0 z a2 x2 y2与圆柱体x2y2ax(a >0 )的公共部分在xOy 面和xOz面上的投影.解如图8-16.所求立体在xOy 面上的投影即为x2y2ax ，而由z a2 x2x2 y2 axy2 ,得z a2 ax. 故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，z 轴及曲线z a2ax 所围成的区域.8. 求旋转抛物面z x2y2( 0 z 4) 在三坐标面上的投影22 2解联立面上的投影为z x2z 4x2 y2y，得x24,y2 4.故旋转抛物面在xOy如图8-17.z 0.联立z xx 0 y2,得z y2 , 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为z y 及z4所围成的区域.z x2同理，联立y 0 y2 ,得z x2, 故旋转抛物面在xOz面上的投影为z x 及z4所围成的区域.2。

《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)

第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]写出函数的定义域及函数值（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。

.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]C、(1,5]D、[1,5)【正确答案】A【答案解析】由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。

《高等数学》第七版课后练习题

第一章、函数、极限与连续1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。

2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。

3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。

4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？5、求下列函数的定义域。

6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。

7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。

8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。

9、设2211(),()f x x f x x x +=+求。

10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。

11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。

12、判断下列函数的奇偶性。

13、求下列函数的周期。

14、下列函数能够复合成一个函数。

15、函数13ln sin y y x==，由哪些较简单的函数复合而成。

16、设()1x f x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。

17、下列函数的极限。

18、求下列函数的极限。

19、求下列函数的极限。

20、求下列极限。

21、求下列函数的极限。

22、求下列函数的极限23、求下列函数的极限。

21,0(1)()1,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩设，求10lim (),lim ()x x f x f x →→ 2,2(2)()2,22,2x x f x x x x -≤⎧⎪==⎨⎪->⎩设，求20lim (),lim ()x x f x f x →→232,0(3)()21,013(1),1x x f x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+-≥⎩设，求012lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→ 24、当0x →时，证明：1133(1)sin x x x +→x25、下列函数在指定点是否连续？为什么？ 20(1)()1,0f x x x =+=在点。

高数课后题答案及详解高数课后习题答案解析

高数课后题答案及详解一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim 3sin x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。

高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案

高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解不是周期函数. (5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。

高等数学(第六版)课后习题及答案

高等数学课后答案习题1-11.设A=(-∞,-5)⋃(5,+∞),B=[-10, 3),写出A⋃B,A⋂B,A\B及A\(A\B)的表达式.解A⋃B=(-∞, 3)⋃(5,+∞),A⋂B=[-10,-5),A\B=(-∞,-10)⋃(5,+∞),A\(A\B)=[-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律: (A⋂B)C=A C ⋃B C.证明因为x∈(A⋂B)C⇔x∉A⋂B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈A C或x∈B C⇔ x∈A C ⋃B C,所以(A⋂B)C=A C ⋃B C.3.设映射f:X→Y,A⊂X,B⊂X.证明(1)f(A⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A⋂B)⊂f(A)⋂f(B).证明因为y∈f(A⋃B)⇔∃x∈A⋃B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B)⇔ y∈f(A)⋃f(B),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4.设映射f :X →Y , 若存在一个映射g :Y →X ,使X I f g = ,Y I g f = ,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射,即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ;对于每一个y ∈Y ,有I Y y =y .证明:f 是双射,且g 是f 的逆映射:g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y ,有x =g (y )∈X ,且f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,即Y 中任意元素都是X 中某元素的像,所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2,必有f (x 1)≠f (x 2),否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射,又是满射,即f 是双射.对于映射g :Y →X ,因为对每个y ∈Y ,有g (y )=x ∈X ,且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,按逆映射的定义,g 是f 的逆映射.5.设映射f :X →Y ,A ⊂X .证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时,有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒f (x )=y ∈f (A )⇒f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面,对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ),使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射,所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x .函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211x y -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1.函数的定义域为(-∞,-1)⋃(-1, 1)⋃(1,+∞).(3)211x x y --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1,0)⋃(0,1].(4)241x y -=;解由4-x 2>0得 |x |<2.函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0,+∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅). (7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1,+∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0,+∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x ,g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1,g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x <0时,g (x )=-x .(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ-,ϕ(-2),并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ,22|4sin |)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ,0)2(=-ϕ.9.试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0,+∞).证明 (1)对于任意的x 1,x 2∈(-∞, 1),有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f (x )为定义在(-l ,l )内的奇函数, 若f (x )在(0,l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1,x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2,有-x 1,-x 2∈(0,l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0,l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1),-f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1,x 2∈(-l , 0),有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l ,l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)⋅g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)⋅g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ),所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-,所以f (x )是偶函数.(4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ),所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----,所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数,周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数,周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数,周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数,周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1,所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解由x x y +-=11得y y x +-=11,所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=,所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =,所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2,所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y .解由122+=x x y 得y y x -=1log 2,所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15.设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f (x )在X 上有界,则存在正数M ,使|f (x )|≤M ,即-M ≤f (x )≤M .这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性.设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2,即K 1≤f (x )≤ K 2.取M =max{|K 1|, |K 2|},则-M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16.在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2,u =sin x ,61π=x ,32π=x ; 解 y =sin 2x ,41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u ,u =2x ,81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x ,224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =,u =1+x 2,x 1=1,x 2= 2;解21x y +=,21121=+=y ,52122=+=y . (4) y =e u ,u =x 2,x 1 =0,x 2=1;解 2x e y =,1201==e y ,e e y ==212.(5) y =u 2 ,u =e x ,x 1=1,x 2=-1.解 y =e 2x ,y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17.设f (x )的定义域D =[0,1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1,所以函数f (x 2)的定义域为[-1,1].(2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0,±1,±2⋅⋅⋅).(3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a ,所以函数f (x +a )的定义域为[-a ,1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得:当210≤<a 时,a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ],当21>a 时函数无意义. 18.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f ,g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10001)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19.已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37 解40sin h DC AB ==,又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h h S BC ⋅-= 40cot 0,所以h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定,定义域为40cot 00S h <<.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时,p =90.令0.01(x 0-100)=90-75,得x 0=1600.因此当x ≥1600时,p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 751600100 01.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3)P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势,写出它们的极限: (1)nn x 21=;解当n →∞时,n n x 21=→0,021lim =∞→nn . (2)nx n n 1)1(-=;解当n →∞时,nx n n 1)1(-=→0,01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=;解当n →∞时,212nx n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ;解当n →∞时,12111+-=+-=n n n x n →0,111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解当n →∞时,x n =n (-1)n 没有极限.2.设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=.问n n x ∞→lim =? 求出N ,使当n >N 时,x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N . 解0lim =∞→n n x .nn n x n 1|2cos ||0|≤=-π.∀ε>0, 要使|x n -0|<ε,只要ε<n1,也就是ε1>n .取]1[ε=N ,则∀n >N ,有|x n -0|<ε.当ε=0.001时,]1[ε=N =1000.3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ; 分析要使ε<=-221|01|n n,只须ε12>n ,即ε1>n .证明因为∀ε>0,∃]1[ε=N ,当n >N 时,有ε<-|01|2n ,所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim=++∞→n n n ; 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41,即ε41>n .证明因为∀ε>0,∃]41[ε=N , 当n >N 时,有ε<-++|231213|n n ,所以231213lim=++∞→n n n . (3)1lim22=+∞→na n n ;分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|,只须ε2a n >.证明因为∀ε>0,∃][2εa N =, 当∀n >N 时,有ε<-+|1|22n a n ,所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅⋅⋅ 9-1|ε<=-1101n ,只须1101-n <ε,即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时,有|0.99 ⋅⋅⋅ 9-1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个n n .4.a u n n =∞→lim, 证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0,∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε.这就证明了||||lima u n n =∞→. 数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim=-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5.设数列{x n }有界,又0lim=∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x . 证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N , 当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有 εε=⋅<≤=-MM y M y x y x n n n n n |||||0|, 所以0lim =∞→n n n y x .6.对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞), 证明:x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),所以∀ε>0, ∃K 1,当2k -1>2K 1-1时,有| x 2k -1-a |<ε; ∃K 2,当2k >2K 2时,有|x 2k -a |<ε.取N =max{2K 1-1, 2K 2},只要n >N ,就有|x n -a |<ε. 因此x n →a (n →∞).习题1-31.根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ; 分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε,只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0,∃εδ31=,当0<|x -3|<δ时,有|(3x -1)-8|<ε,所以8)13(lim3=-→x x . (2)12)25(lim 2=+→x x ; 分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|,所以要使|(5x +2)-12|<ε,只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε>0,∃εδ51=,当0<|x -2|<δ时,有|(5x +2)-12|<ε,所以12)25(lim 2=+→x x . (3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x ,只须ε<--|)2(|x .证明因为∀ε>0,∃εδ=,当0<|x -(-2)|<δ时,有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x . (4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x ,只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε>0,∃εδ21=,当δ<--<|)21(|0x 时,有ε<-+-212413x x ,所以21241lim 321=+--→x x x . 2.根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+,所以要使ε<-+212133x x ,只须ε<3||21x ,即321||ε>x .证明因为∀ε>0,∃321ε=X ,当|x |>X 时,有ε<-+212133x x ,所以2121lim33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x . 分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x ,只须ε<x1,即21ε>x .证明因为∀ε>0,∃21ε=X ,当x >X 时,有ε<-0sin xx , 所以0sin lim =+∞→xx x . 3.当x →2时,y =x 2→4.问δ等于多少,使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0,故可设|x -2|<1,即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002,则当0<|x -2|<δ时,就有|x 2-4|<0. 001.4.当x →∞时,13122→+-=x x y ,问X 等于多少,使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x ,只要397301.04||=->x ,故397=X .5.证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x . 6.求,)(xx x f =xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 00x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在. 因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 00x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在. 7.证明: 若x →+∞及x →-∞时,函数f (x )的极限都存在且都等于A ,则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim ,所以∀ε>0, ∃X 1>0,使当x <-X 1时,有|f (x )-A |<ε; ∃X 2>0,使当x >X 2时,有|f (x )-A |<ε.取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε,即A x f x =∞→)(lim. 8.根据极限的定义证明:函数f (x )当x →x 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f (x )→A (x →x 0),则∀ε>0,∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时,有 |f (x )-A |<ε.因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ时都有 |f (x )-A |<ε.这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性.设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A ,则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时,有| f (x )-A <ε; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时,有| f (x )-A |<ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x -x 0|<δ时,有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2,从而有 | f (x )-A |<ε,即f (x )→A (x →x 0).9.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明. 解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时,|f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε=1,∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε=1. 所以|f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时,|f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如,当x →0时,α(x )=2x ,β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明(1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y .因为∀ε>0,∃δ=ε, 当0<|x -3|<δ时,有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y , 所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y .因为∀ε>0,∃δ=ε, 当0<|x -0|<δ时,有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明:函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大.问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ,要使|y |>M ,只须M x >-2||1,即21||+<M x . 证明因为∀M >0,∃21+=M δ,使当0<|x -0|<δ时,有Mx x >+21,所以当x →0时,函数xx y 21+=是无穷大.取M =104,则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104.4. 求下列极限并说明理由:(1)x x x 12lim+∞→; (2)xx x --→11lim20.解 (1)因为xxx 1212+=+, 而当x →∞时x1是无穷小,所以212lim =+∞→xx x . (2)因为x xx+=--1112(x ≠1),而当x →0时x为无穷小,所以111lim20=--→xx x . 5. 根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x →∀ε>0,∃δ>x00,使当0<|x-x0|<δ时,有恒|f(x)-A|<ε. x→x0+x→x0-x→∞∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.x→+∞x→-∞解f(x)→A f(x)→∞f(x)→+∞f(x)→-∞x→x0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有恒|f(x)-A|<ε.∀M>0,∃δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有恒|f(x)|>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有恒f(x)>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有恒f(x)<-M.x→x0+∀ε>0,∃δ>0,使当0<x-x0<δ时,有恒|f(x)-A|<ε.∀M>0,∃δ>0,使当0<x-x0<δ时,有恒|f(x)|>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<x-x0<δ时,有恒f(x)>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<x-x0<δ时,有恒f(x)<-M.x→x0-∀ε>0,∃δ>0,使当0<x0-x<δ时,有恒|f(x)-A|<ε.∀M>0,∃δ>0,使当0<x0-x<δ时,有恒|f(x)|>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<x0-x<δ时,有恒f(x)>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<x0-x<δ时,有恒f(x)<-M.x→∞∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)-A|<ε.∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)>M.∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)<-M.x →+∞∀ε>0,∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0,∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M . ∀ε>0,∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0,∃X >0, 使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε. ∀ε>0,∃X >0, 使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0, 使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0, 使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞,+∞)内无界.这是因为∀M >0,在(-∞,+∞)内总能找到这样的x ,使得|y (x )|>M .例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,就有| y (2k π)|>M .当x →+∞时,函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2,⋅⋅⋅),对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=22ππ,但|y (x )|=0<M .7. 证明:函数xxy 1sin 1=在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xxy 1sin 1=在区间(0,1]上无界.这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k ,使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2,⋅⋅⋅)时,有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时,y (x k )>M .当x →0+时,函数xxy 1sin 1=不是无穷大.这是因为∀M >0, 对所有的δ>0,总可以找到这样的点x k ,使0<x k <δ, 但y (x k )<M .例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,x k <δ,但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51.计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x; 解9325235lim 222-=-+=-+→x x x.(2)13lim 223+-→x x x ; 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x .(3)112lim221-+-→x x x x ; 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)x x x x x x 2324lim2230++-→; 解2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→; 解21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22---∞→x x x x ; 解2111211lim 121lim2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim242--+∞→x x x x x ; 解013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零). 或 012111lim 13lim4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x. (10))12)(11(lim 2xxx -+∞→; 解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→xxxxx x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比). 或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→; 解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim 21-=+++-=→xx x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x;解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ,所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ; 解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x . 解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时,x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ; 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解2123124lim 2324lim202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→; 解21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22---∞→x x x x ; 解2111211lim 121lim2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim242--+∞→x x x x x ; 解013lim242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零). 或 012111lim 13lim4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x xx . (10))12)(11(lim 2xxx -+∞→; 解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→xxxxx x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解2211)21(1lim )21 41211(lim1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比). 或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31x x x ---→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim 21-=+++-=→xx x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x;解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ,所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim2+∞→x x x ; 解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x . 解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时,x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71.当x →0时, 2x -x 2与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时,x 2-x 3是高阶无穷小,即x 2-x 3=o (2x -x 2).2.当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3,(2))1(212x -是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→yyxx y x (提示:令y =arctan x ,则当x →0时,y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x x x x x x x , 所以当x →0时,2~1sec 2x x -. 4.利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim0→(n ,m 为正整数);(3)xx x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim 32-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x xx x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0),所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5.证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1)α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β,β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα,所以α ~α;(2) 若α ~β, 则1lim =βα,从而1lim =αβ.因此β~α;(3) 若α ~β,β~γ,1lim lim lim =⋅=βαγβγα.因此α~γ.习题1-81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形: (1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ; 解已知多项式函数是连续函数,所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处,因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x ,从而函数f (x )在x =1处是连续的. 综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处,因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1),11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论,函数在(-∞,-1)和(-1,+∞)内连续,在x =-1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y ,x =1,x =2;解)1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点. 因为∞=+--=→→231limlim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x =1处,令y =-2,则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =,x =k ,2ππ+=k x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim=→x x x ,0tan lim2=+→xx k x ππ(k ∈Z),所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的;令2ππ+=k x 时,y =0,则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=,x =0;解因为函数xy 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1 31 1x x x x y ,x =1.解因为0)1(lim )(lim11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ,所以x =1是函数的第一类不可去间断点. 3.讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型. 解⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x xx x f nnn .在分段点x =-1处,因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ,1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ,所以x =-1为函数的第一类不可去间断点. 在分段点x =1处,因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ,1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0.因为f (x )在x 0连续,所以0)()(lim00>=→x f x f xx ,由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U,使当x ∈)(0x U时f (x )>0,从而当x ∈U (x 0)时,f (x )>0.这就是说,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.5.试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅是f (x )的所有间断点,且它们都是无穷间断点;解函数xx x f ππcsc )csc()(+=在点x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续,但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续,但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义,但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义,它只在x =0处连续.习题1-9 1.求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →. 解)2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ,函数在(-∞,+∞)内除点x =2和x =-3外是连续的,所以函数f (x )的连续区间为(-∞,-3)、(-3, 2)、(2,+∞). 在函数的连续点x =0处,21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处,∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ,582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2.设函数f (x )与g (x )在点x 0连续,证明函数ϕ(x )=max{f (x ),g (x )},ψ(x )=min{f (x ),g (x )}在点x 0也连续. 证明已知)()(lim00x f x f xx =→,)()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0), 所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3.求下列极限: (1)52lim20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→; (3))2cos 2ln(lim 6x x π→; (4)xx x 11lim0-+→; (5)145lim 1---→x x x x ;(6)ax a x a x --→sin sin lim ; (7))(lim22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数,f (x )在点x =0有定义,所以55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数,f (x )在点4π=x 有定义,所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .。

高数课后习题答案及其解析

第一章习题习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。

高等数学课后习题及参考答案(第十二章)

高等数学课后习题及参考答案（第十二章）习题12-11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ')2-2yy '+x =0;解一阶.(2)x 2y '-xy '+y =0;解一阶.(3)xy '''+2y '+x 2y =0;解三阶.(4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0;解一阶.(5)022=++C Q dt dQ R dtQ d L ; 解二阶.(6)θρθρ2sin =+d d . 解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy '=2y , y =5x 2;解 y '=10x .因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解.(2)y '+y =0, y =3sin x -4cos x ;解 y '=3cos x +4sin x .因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0,所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ''-2y '+y =0, y =x 2e x ;解 y '=2xe x +x 2e x , y ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x .因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解.(4)y ''-(λ1+λ2)y '+λ1λ2y =0, x x e C e C y 2121λλ+=.解 x x e C e C y 212211λλλλ+=', x x e C e C y 21222211λλλλ+=''.因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+= =0,所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x -2y )y '=2x -y , x 2-xy +y 2=C ;解将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x -y -xy '+2y y '=0,即 (x -2y )y '=2x -y ,所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0, y =ln(xy ).解将y =ln(xy )的两边对x 求导得y yx y '+='11, 即x xy y y -='. 再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''. 注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx , 所以 )2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-='', 从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x 2-y 2=C , y |x =0=5;解由y |x =0=0得02-52=C , C =-25, 故x 2-y 2=-25.(2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y '|x =0=1;解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x .由y |x =0=0, y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=10121C C C , 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x -C 2), y |x =π=1, y '|x =π=0.解 y '=C 1cos(x -C 2).由y |x =π=1, y '|x =π=0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ, 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C , 解之得C 1=1, 22π=C , 故)2sin(π-=x y , 即y =-cos x . 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ', 由条件y '=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分. 解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y '-1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(-x , 0), 从而有y x x y '-=+-10, 即yy '+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解 2TP k dT dP =, 其中k 为比例系数. 习题12-21. 求下列微分方程的通解:(1)xy '-y ln y =0;解分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x -5y '=0;解分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx ,两边积分得⎰⎰+=dx x x dy )53(52,即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数.(3)2211y y x -='-;解分离变量得2211x dx y dy -=-, 两边积分得⎰⎰-=-2211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C ,故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y '-xy '=a (y 2+y ');解方程变形为(1-x -a )y '=ay 2,分离变量得dx x a a dy y--=112, 两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112, 即 1)1ln(1C x a a y----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0;解分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xx y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C ,故通解为tan x tan y =C .(6)y x dxdy +=10; 解分离变量得10-y dy =10x dx ,两边积分得⎰⎰=-dx dy x y 1010,即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=--, 或 10-y =10x +C ,故通解为y =-lg(C -10x ).(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;解方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx ,分离变量得dx e e dy e e xx y y +=-11, 两边积分得⎰⎰+=-dx eedy e ex x y y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C ,故通解为(e x +1)(e y -1)=C .(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;解分离变量得dx xx dy y y sin cos sin cos -=, 两边积分得⎰⎰-=dx xx dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C ,故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdy y ; 解分离变量得(y +1)2dy =-x 3dx ,两边积分得⎰⎰-=+dx x dy y 32)1(,即 14341)1(31C x y +-=+, 故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1).(10)ydx +(x 2-4x )dy =0.解分离变量得dx xx dy y )411(4-+=, 两边积分得⎰⎰-+=dx xx dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C ,故通解为y 4(4-x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y '=e 2x -y , y |x =0=0;解分离变量得e y dy =e 2x dx ,两边积分得⎰⎰=dx e dy e x y 2,即 C e e x y +=221, 或 )21ln(2C e y x +=. 由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C , 所以特解)2121ln(2+=x e y . (2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ; 解分离变量得tan y dy =tan x dx ,两边积分得⎰⎰=xdx ydy tan tan ,即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C ,或 cos y =C cos x .由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cos π, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y 'sin x =y ln y , e y x ==2π;解分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx xdy y y sin 1ln 1, 即 C x y ln )2ln(tan )ln(ln +=,或2tan x C e y =. 由e y x ==2π得4tan πC ee =, C =1, 所以特解为2tan x e y =.(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0, 4|0π==x y ; 解分离变量得dx e e dy y y xx +=-1cos sin , 两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy y y xx 1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |,或 cos y =C (e x +1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=x e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.解分离变量得dx xdy y 21-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21, 即 ln y =-2ln x +ln C ,或 y =Cx -2.由y |x =2=1得C ⋅2-2=1, C =4, 所以特解为24xy =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=, 故 dx x dx r V 223ππ-=-=, 从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯, 即 dx x dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC ,故水从小孔流出的规律为 645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π. 令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此 500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解由题设知,R dt dR λ-=, 即dt RdR λ-=, 两边积分得ln R =-λt +C 1,从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ.因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R e R R 000433.0010002ln 0--==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为xy x y -=--2002, 故曲线满足微分方程: xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=, 从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt dx v -==, 故dx =ky (h -y )dt .又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h -at )dt ,积分得C t ka kaht x +-=3223121. 由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=.习题12-31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=---'x y y y x ;解原方程变为1)(2--=x y x y dx dy . 令xy u =, 则原方程化为 12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=-, 两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12, 将xy u =代入上式得原方程的通解Cx x y x y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+. (2)xy y dx dy xln =; 解原方程变为x y x y dx dy ln =.令xy u =, 则原方程化为 u u dxdu x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx xudu 1=, 两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=-, 两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=--, 即2312xC u -=, 将xy u =代入上式得原方程的通解 x 3-2y 3=Cx .(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x y x ; 解原方程变为x y x y dx dy +=th 32.令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx xdu u u 2sh ch 3=, 两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将xy u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx x y =. (6)0)1(2)21(=-++dy yx e dx e y xy x . 解原方程变为yx yxe e y x dy dx 21)1(2+-=. 令yx u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+-=+, 即uu e e u dy du y 212++-=, 分离变量得dy y du e u e uu 1221-=++, 两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将yx u =代入上式得原方程的通解 C e yx y y x =+)2(, 即C ye x y x=+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:(1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;解这是齐次方程. 令x y u =, 即y =xu , 则原方程化为(x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=--, 或dx x du u u u 1)11113(=-+++- 两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2-1=Cxu 3, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2-x 2=Cy 3.由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2-x 2=y 3.(2)xy y x y +=', y |x =1=2; 解令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0, y |x =1=1.解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0,即 dx x du u u u u u 1112232-=+++-+, 或 dx xdu u u u 1)1211(2=+-+, 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O, 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段OP 所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程.解设曲线弧A O的方程为y =y (x ). 由题意得 20)(21)(x x xy dx x y x=-⎰, 两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--, 即 4-='xy y . 令xy u =, 则有 4-=+u dx du x u , 即dx xdu u 41-=, 两边积分得u =-4ln x +C . 将xy u =代入上式得方程的通解 y =-4x ln x +Cx .由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =-4x ln x +x .习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dx dy -=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰. (2)xy '+y =x 2+3x +2;解原方程变为xx y x y 231++=+'.])23([11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅++⎰=⎰- ])23([1])23([12C dx x x xC xdx x x x +++=+++=⎰⎰ xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223. (3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰-⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx xx x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x .(5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y . )1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰--- )(sin 11])1(1cos[112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6)23=+ρθρd d ; 解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθθθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dx dy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰-2222)2(x x x Ce C e e --+=+=.(8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解原方程变形为yx y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e y e x dy y y dy y y +⎰⋅⎰=⎰- )ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰ yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(-+=-x y dxdy x ; 解原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅-⎰=⎰--- ⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdy x y . 解原方程变形为y x y dy dx 213-=-. ])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy yy y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dxdy sec tan =-, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰- )cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰. 由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x xy --=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰- )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y . (4)83=+y dxdy , y |x =0=2; 解 )8(33C dx e e y dx dx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰. 由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=.(5)13232=-+y xx dx dy , y |x =1=0. 解 )1(32323232C dx e e y dx x x dx x x +⎰⋅⎰=⎰--- )21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y .解由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0.由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdv m 21-=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k ev t m k t m k dt m k dt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰-- )(22222121C e k m k te k k e t m kt m k t m k +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k m k C =. 因此)(22122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k t m k +-=- 即 )1(222121t m k e k m k t k k v ---=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系. 解由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dtdi 5sin 105=+. 由通解公式得t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x ,或 1)(21)(=+'x f xx f . 因此 x C x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy -=+; 解原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce yx sin 1-=. (2)23xy xy dxdy =-; 解原方程可变形为x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰- 31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解原方程可变形为 )21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)5xy y dxdy =-; 解原方程可变形为 x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=⎰--)4(44C dx xe e x +-=⎰-x Ce x 441-++-=, 原方程的通解为x Ce x y44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.解原方程可变形为)ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--. ])ln 1(2[222C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.解原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-,即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然后求出通解:(1)2)(y x dxdy +=; 解令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =-, 即21ududx +=. 两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy ; 解令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu . 两边积分得1221C u x +-=. 将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1). (3)xy '+y =y (ln x +ln y );解令u =xy , 则原方程化为u x u x u x udx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=. 两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .将u =xy 代入上式得原方程的通解xy =e Cx , 即Cx e x y 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1;解原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x .令u =y +sin x -1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u=21. 两边积分得C x u+=-1. 将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 .解原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x udx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得u uu C x ln 121ln 21+--=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xyy x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12-51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解:(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0;解这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为xQ xy y P ∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y y x dx x y x =++⎰⎰02202)46(3, 即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0;解这里P =a 2-2xy -y 2, Q =-(x +y )2. 因为xQ y x y P ∂∂=--=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y x dx a y x =+-⎰⎰0202)(, 即 a 2x -x 2y -xy 2=C .(3)e y dx +(xe y -2y )dy =0;解这里P =e y , Q =xe y -2y . 因为xQ e y P y ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y xe dx e y y x =-+⎰⎰000)2(, 即 xe y -y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0;解原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0.这里P =-(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P ∂∂=-=∂∂sin cos , 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy x y x dx y x =++⎰⎰00)cos cos (0, 即 x sin y +y cos x =C .解(5)(x 2-y )dx -xdy =0;解这里P =x 2-y , Q =-x . 因为xQ y P ∂∂=-=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C xdy dx x y x =-⎰⎰002, 即 C xy x =-331. (6)y (x -2y )dx -x 2dy =0;解这里P =y (x -2y ), Q =-x 2. 因为y x y P 4-=∂∂, x xQ 2-=∂∂, 所以此方程不是全微分方程.(7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0;解这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P ∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C d e d =+⎰⎰θθρθρρ02022,即 ρ(e 2θ+1)=C .(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0.解这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y y P 2=∂∂, y xQ =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:(1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy ;解方程两边同时乘以yx +1得 yx dy dx dy dx ++=-, 即d (x -y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x -y =ln(x +y )+C .(2)ydx -xdy +y 2xdx =0;解方程两边同时乘以21y得 02=+-xdx y xdy ydx , 即0)2()(2=+x d y x d , 所以21y为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+22. (3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0;解原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0, 两边同时乘以21y并整理得 0)33(2=+-+xdy ydx y dy xdx , 即0)(3)1()2(2=--xy d y d x d , 所以21y为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy yx =--3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ;解方程两边同时乘以221y x +得022=-++dx y x ydy xdx , 即0)]ln(21[22=-+dx y x d , 所以221y x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x .(5)(x -y 2)dx +2xydy =0;解原方程变形为xdx -y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x得 0222=-+x dx y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx . (6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0.解方程两边同时乘以x 得2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0,再除以y 2得03)(2222=--dx x ydy x x yd , 即0)(32=-x y x d 所以2yx为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=-x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解: 解方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy , 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=. 因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f yP ∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子. (1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0;解这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2-2x 2y 2 , 所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=-++dy y x y x dx y x x , 其通解为C dy y x y x dx x x y x =-++⎰⎰132221323232, 即 C yx y x =-+-)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0.解这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以441yx 得全微分方程 02112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy ,其通解为C dy y x y x xy dx x x y x =-+++⎰⎰14333142112, 即 C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:(1)xy '+2y =4ln x ;解原方程变为x xy x y ln 42=+', 其积分因子为 22)(x e x dx x =⎰=μ, 在方程x xy x y ln 42=+'的两边乘以x 2得 x 2y '+2xy =4x ln x , 即(x 2y )'=4x ln x , 两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰222ln 2ln 4, 原方程的通解为21ln 2x C x y +-=. (2)y '-tan x ⋅y =x .解积分因子为x e x xdx cos )(tan =⎰=-μ,在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )'=x cos x , 两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅⎰cos sin cos cos , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12-61. 求下列各微分方程的通解:(1)y ''=x +sin x ;解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰, 21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰, 原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++-=. (2)y '''=xe x ;解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰,21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰,3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰,原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=.(3)211xy +=''; 解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰ x C dx xxx x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰ 212)1ln(21arctan C x C x x x +++-=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=.(4)y ''=1+y '2;解令p =y ', 则原方程化为p '=1+p 2, 即dx dp p=+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y '=p =tan(x +C 1),211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰,原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=.(5)y ''=y '+x ;解令p =y ', 则原方程化为p '-p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx ,即 y '=C 1e x -x -1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰, 原方程的通解为22121C x x e C y x +--=. (6)xy ''+y '=0;解令p =y ', 则原方程化为x p '+p =0, 即01=+'p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p x dx x 1ln 111==⎰=--, 即 xC y 1=', 于是 211ln C x C dx xC y +==⎰, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ''+'=y '2;解令p =y ', 则dy dp p dx dy dy dp y =⋅='', 原方程化为 21p dy dp yp =+, 即dy y dp p p 112=-, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=-, 即22121y C p ±-. 当|y '|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=', 即dx dy y C ±=+21)(11, 两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y '|=|p |<1时, 方程变为2211y C y -±=', 即dx dy y C ±=-21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ''-1=0;解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 013=-dydp p y , 即pdp =y -3dy , 两边积分得122212121C y p +-=-, 即p 2=-y -2+C 1, 故 21--±='y C y , 即dx dy y C ±=--211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=-,即原方程的通解为C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)yy 1=''; 解令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=', 即dx dy C y ±=+11, 两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=. (10)y ''=y '3+y '.解令p =y ', 则dydp py ='', 原方程化为 p p dy dp p +=3, 即0)]1([2=+-p dydp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解.由0)1(2=+-p dydp 得 arctan p =y -C 1, 即y '=p =tan(y -C 1),从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰, 故原方程的通解为 12arcsin C e y C x +=+.2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3 y ''+1=0, y |x =1=1, y '|x =1=0;解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为013=+dy dp py , 即dy y pdp 31-=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±='. 由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而yy y 21-±=', 分离变量得dx dy yy =-±21, 两边积分得221C x y +=-±, 即22)(1C x y +-±=.由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y , 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0, y |x =0=0, y '|x =0=-1;解令p =y ', 则原方程化为02=-ap dx dp , 即adx dp p=21, 两边积分得11C ax p+=-, 即11C ax y +-='. 由y '|x =0=-1得C 1=1, 11+-='ax y , 两边积分得 2)1ln(1C ax ay ++-=. 由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+-=ax ay . (3)y '''=e ax , y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0;解 11C e adx e y ax ax +==''⎰. 由y ''|x =1=0得a e aC 11-=. 2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰. 由y '|x =1=0得a a e ae a C 2211-=. dx e ae a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e a x e a x e a e a a a a ax +-+-=. 由y |x =1=0得a a a a e ae a e a e a C 32312111-+-=, 故所求特解为 322232)22()1(2a a a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=. (4)y ''=e 2y , y |x =0=y '|x =0=0;解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 y e dydp p 2=, 即pdp =e 2y dy , 积分得p 2=e 2y +C 1, 即12C e y y +±='.由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1, 故12-±='y e y , 从而dx dy e y ±=-112,积分得-arcsin e -y =±x +C 2.由y |x =0=0得22π-=C , 故 x x e y cos )2sin(=-=-π , 从而所求特解为y =-lncos x .(5)y y 3='', y |x =0=1, y '|x =0=2;解令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y dydp p 3=, 即dy y pdp 3=, 两边积分得12322221C y p +=, 即1232C y y +±='. 由y |x =0=1, y '|x =0=2得C 1=0,432y y =', 从而dx dy y 243=-, 两边积分得24124C x y +=, 即42)4121(C x y +=. 由y |x =0=1得C 2=4, 故原方程的特解为4)121(+=x y . (6)y ''+y '2=1, y |x =0=0, y '|x =0=0.解令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 12=+p dydp p , 即2222=+p dy dp , 于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dy dy e C C dy e e p ,即 121+±='-y e C y .由y |x =0=0, y '|x =0=0得C 1=-1, y e y 21--±='.故dx dy ey ±=--211, 两边积分得 22)1ln(C x e e y y +±=-+.由y |x =0=0得C 2=0, x e e y y ±=-+)1ln(2,从而得原方程的特解y =lnch x .3. 试求y ''=x 的经过点M (0, 1)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线. 解 1221C x y +=', 21361C x C x y ++=. 由题意得y |x =0=1, 21|0='=x y . 由21|0='=x y 得211=C , 再由y |x =0=1得C 2=1, 因此所求曲线为 121613++=x x y . 4. 设有一质量为m 的物体, 在空中由静止开始下落, 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数, v 为物体运动的速度), 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系.解以t =0对应的物体位置为原点, 垂直向下的直线为s 正轴, 建立坐标系. 由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m . 将方程分离变量得dt v c mg mdv =-22, 两边积分得1||ln C kt mgcv mg cv +=-+(其中m g c k 2=) 由v |t =0=0得C 1=0, kt mg cv mg cv =-+||ln , 即kt e mgcv mg cv =-+. 因为mg >c 2v 2, 故kt e cv mg mg cv )(-=+, 即)1()1(kt kt e mg e cv -=+,或 ktkt e e c mg dt ds +-⋅-=11, 分离变量并积分得211ln C e e ck mg s ktkt +++-=-. 由s |t =0=0得C 2=0, 故所求函数关系为ktkt e e ck mg s ++-=-11ln , 即)(ch ln 2t m g c c m s =.习题12-71. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x , x 2;解因为x xx =2不恒为常数, 所以x , x 2是线性无关的. (2)x , 2x ;解因为22=xx , 所以x , 2x 是线性相关的. (3)e 2x , 3e 2x ;解因为332=x x ee , 所以e 2x , 3e 2x 是线性相关的. (4)e -x ; e x ;解因为x x x e ee 2=-不恒为常数, 所以e -x ; e x 是线性无关的. (5)cos2x , sin2x ;解因为x xx 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以cos2x , sin2x 是线性无关的. (6) 2x e , 22x xe ;解因为x e xe x x 2222=不恒为常数, 所以2x e , 22x xe 是线性无关的.。

高等数学课后习题答案第六章

习题六1. 指出下列各微分方程的阶数：1一阶 2二阶 3三阶 4一阶2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：2(1)2,5xy y y x '==;解：由25y x =得10y x '=代入方程得故是方程的解.(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=.故是方程的解.2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++代入方程得 2e 0x ≠.故不是方程的解.解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+代入方程得故是方程的解.3. 在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程22x xy y C -+=两端对x 求导：得22x y y x y -'=-代入微分方程,等式恒成立.故是微分方程的解.证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''=+ 得(1)yy x y '=-. 式两端对x 再求导得将,y y '''代入到微分方程,等式恒成立,故是微分方程的解.4. 从下列各题中的曲线族里,找出满足所给的初始条件的曲线：解：当0x =时,y =5.故C =-25故所求曲线为：2225y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++当x =0时,y =0故有10C =.又当x =0时,1y '=.故有21C =.故所求曲线为：2e x y x =.5. 求下列各微分方程的通解：(1)ln 0xy y y '-=;解：分离变量,得 d 1d ln y xy y x =积分得 11d ln d ln y x y x =⎰⎰得 e cx y =.解：分离变量,得= 积分得=得通解：.c -=-(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;解：分离变量,得 e e d d 1e 1e y yy x y x =-+积分得ln(e 1)ln(e 1)ln y x c --=+- 得通解为 (e 1)(e 1)x yc +-=. (4)cos sind sin cos d 0x y x x y y +=;解：分离变量,得 cos cos d d 0sin sin x y x y x y +=积分得 lnsin lnsin ln y x c +=得通解为 sin sin .y x c ⋅=(5)y xy '=;解：分离变量,得 d d y x x y =积分得 211ln 2y x c =+得通解为 2112e (e )x c y c c ==(6)210x y '++=;解： 21y x '=--积分得 (21)d y x x =--⎰得通解为2y x x c =--+. 32(7)4230x x y y '+-=;解：分离变量,得 233d (42)d y y x x x =+积分得 342y x x c =++即为通解.(8)e x y y +'=.解：分离变量,得e d e d y x y x -= 积分得 e d e d y x y x-=⎰⎰ 得通解为： e e y x c --=+.6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：20(1)e ,0x y x y y -='== ;解：分离变量,得2e d e d y x y x = 积分得 21e e 2y x c =+.以0,0x y ==代入上式得12c = 故方程特解为 21e (e 1)2y x =+.π2(2)sin ln ,ex y x y y y ='== .解：分离变量,得 d d ln sin y x y y x =积分得 tan 2ex c y ⋅= 将π,e 2x y ==代入上式得1c =故所求特解为 tan 2exy =.7. 求下列齐次方程的通解：(1)0xy y '-=;解：d d y y x x =+令d d d d y y u u u x x x x =⇒=+ 原方程变为d x x = 两端积分得ln(ln ln u x c =+ 即通解为：2y cx += d (2)ln d y y xy x x =; 解：d ln d y y y x xx = 令y u x =, 则d d d d y u u x x x =+原方程变为 d d (ln 1)u x u u x =- 积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+即方程通解为 1e cx y x +=解： 2221d d y y x y x y x xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭== 令y u x =, 则d d d d y u u x x x =+ 原方程变为2d 1d u u u x x u ++= 即 d 1d ,d d u x x u u x ux == 积分得 211ln ln 2u x c =+故方程通解为22221ln()()y x cx c c == 332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=;解：333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭ 令y u x =, 则d d d d y u u x x x =+ 原方程变为32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u ux =- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx 代替u ,并整理得方程通解为332y x cx -=. d (5)d y x y x x y +=-; 解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =, 则d d d d y u u x x x =+原方程变为d 1d 1u u u xx u ++=- 分离变量,得 211d d 1u u x ux -=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ,并整理得方程通解为到2arctan 22211e .()y x x y c c c +== 解：d d yy x = 即d d x x y y =+令x v y =, 则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为即d d v yy =分离变量,得d yy =积分得ln(ln ln v y c =-. 即y v c +=以yv x =代入上式,得222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 即方程通解为 222y cx c =+.8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;解： 22d d 3y y xx y x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭令y ux =,则得 2d 2d 3u u u x x u +=-- 分离变量,得 233d d u x u u ux -=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++=即 231ln ln u c u x -=得方程通解为 223y x cy -=以x =0,y =1代入上式得c =1.故所求特解为 223y x y -=.1(2),2x xyy y y x ='=+= .解：设y ux =, 则d d d d yuu x x x =+原方程可变为 d d x u u x =积分得 21ln ln 2u x c =+.得方程通解为 222(ln ln )y x x c =+以x =1,y =2代入上式得c =e 2.故所求特解为 222(ln 2)y x x =+.9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程,并求出通解：解：设1,1x X y Y =+=+,则原方程化为令 d 25d 24Y u uu u X X X u -=⇒+=+代回并整理得2(43)(23),(y x y x c c --+-==. 解：d 1d 41y x yx y x --=-+-作变量替换,令 1,0x X y Y Y =+=+=原方程化为 1d d 414YY X YX YX X Y X --=-=-++令Y uX =,则得分离变量,得 214d d 14u X u u x +-=+积分得即 22ln ln(14)arctan 2X u u c +++=代回并整理得 222ln[4(1)]arctan .1yy x c x +-+=-(3)()d (334)d 0x y x x y y +++-=;解：作变量替换,v x y =+ 则d d 1d d yvx x =-原方程化为 d 1d 34v v xv -=-- 代回并整理得 32ln(2).x y x y c +++-=d 1(4)1d y x x y =+-.解：令,u x y =-则d d 1d d u y xx =- 原方程可化为 d 1d u xu =- 分离变量,得 d d u u x =-积分得 2112u x c =-+故原方程通解为21()2.(2)x y x c c c -=-+= 10. 求下列线性微分方程的通解：(1)e x y y -'+=;解：由通解公式2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为123y y x x x '+=++由通解公式得解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x x x x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解：22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x x x x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-; 解：方程可化为 2d 12()d 2y y x x x x -=--解：方程可化为2222411x x y y x x '+=++ 11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ;解： 11d d 11sine sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰以π,1x y ==代入上式得π1c =-,故所求特解为 1(π1cos )y x x =--.2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x --=--+⎰ 以x =1,y =0代入上式,得12e c =-. 故所求特解为2311e 22e x y x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 12. 求下列伯努利方程的通解：解：令121z y y --==,则有即为原方程通解. 411(2)(12)33y y x y '+=-.解：令3d 21d z z y z x x -=⇒-=-.即为原方程通解.13. 求下列各微分方程的通解：(1)sin y x x ''=+;解：方程两边连续积分两次得(2)e x y x '''=;解：积分得 1e d e e x x x y x x x c ''==-+⎰(3)y y x '''=+;解：令p y '=,则原方程变为故 21121(e 1)d e 2x x y c x x c x x c =--=--+⎰.3(4)()y y y ''''=+;解：设y p '=, 则d d p y py ''= 原方程可化为 3d d p p p py =+即 2d (1)0d p p p y ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ 由p =0知y =c ,这是原方程的一个解.当0p ≠时,22d d 1d d 1p p p y y p =+⇒=+解：11d ln y x c x x ''==+⎰(6)y ''=;解：1arcsin y x x c '==+(7)0xy y '''+=; 解：令y p '=,则得1d d 00p x p p x p x '+=⇒+=得1c p x =故 112d ln c y x c c x x ==+⎰.3(8)10y y ''-=. 解：令p y '=,则d d p y py ''=.原方程可化为33d 10,d d d p y p p p y y y --==14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： 311(1)10,1,0x x y y y y =='''+===;解：令y p '=,则d d p y p y ''=,原方程可化为 33d 11d d d p y p p p y y y ⋅=-⇒=-由1,1,0x y y p '====知,11c =-,从而有由1,1x y ==,得21c =故222x y x += 或y =. 211(2)1,0,1x x x y xy y y ==''''+===;解：令y p '=,则y p '''=.原方程可化为211p p x x '+= 则 11(ln )y x c x '=+以1,1x y '==代入上式得11c = 则1(ln 1)y x x '=+ 当x =1时,y =0代入得20c =故所求特解为 21ln ln 2y x x =+.2001(3),01x x y y y x =='''===+;解：1arctan y x c '=+当0,0x y '==,得10c =以x =0,y =0代入上式得20c =故所求特解为 21arctan ln(1)2y x x x =-+.200(4)1,1,0x x y y y y ==''''=+==;解：令p y '=,则p y '''=.原方程可化为21p p '=+ 以0,0x y '==代入上式得1πc k =.以x =0,y =1代入上式得21c =故所求特解为200(5)e ,0y x x y y y =='''===;解：令y p '=,则d d p y py ''=. 原方程可化为 2d e d yp p y =即 2d e d y p p y =积分得221111e 222y p c =+ 以0,0x y y '===代入上式得11c =-,则p y '==以x =0,y =0代入得2π2c =,故所求特解为 πarcsin e 2y x -=+ 即πe sin cos 2y x x -⎛⎫==± ⎪⎝⎭. 即lnsec y x =.00(6)1,2x x y y y =='''===.解：令d ,d p y p y p y '''== 原方程可化为 12d 3d p p y y =以0,2,1x y p y '====代入得10c = 故 342y p y '==± 由于0y ''=>. 故342y y '=,即 34d 2d yx y =积分得14242y x c =+ 以x =0,y =1代入得24c =故所求特解为4112y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 15. 求下列微分方程的通解：(1)20y y y '''+-=;解：特征方程为 220r r +-=解得 121,2r r ==-故原方程通解为212e e .x x y c c -=+ (2)0y y ''+=;解：特征方程为 210r +=解得 1,2r i =±故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+22d d (3)420250d d x x x t t -+=;解：特征方程为 2420250r r -+=解得1252r r == 故原方程通解为 5212()e t x c c t =+.(4)450y y y '''-+=;解：特征方程为 2450r r -+= 解得 1,22r i =±故原方程通解为212e (cos sin )x y c x c x =+. (5)440y y y '''++=;解：特征方程为 2440r r ++=解得 122r r ==-故原方程通解为212e ()x y c c x -=+ (6)320y y y '''-+=.解：特征方程为 2320r r -+=解得 1,2r r ==故原方程通解为 212e e x x y c c =+.16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;解：特征方程为 2430r r -+=解得 121,3r r ==通解为 312e e x x y c c =+由初始条件得 121122643102c c c c c c +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 故方程所求特解为 34e 2e x xy =+.解：特征方程为 24410r r ++= 解得1212r r ==- 通解为 1212()e x y c c x -=+由初始条件得 11221221102c c c c c =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩故方程所求特解为 12(2)e x y x -=+.解：特征方程为 24290r r ++=解得 1,225r i =-±通解为212e (cos5sin 5)x y c x c x -=+ 由初始条件得 112120052153c c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 故方程所求特解为23e sin 5x y x -=. 00(4)250,2,5x x y y y y =='''+===.解：特征方程为 2250r +=解得 1,25r i =±通解为 12cos5sin 5y c x c x =+由初始条件得 112222551c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 故方程所求特解为 2cos5sin 5y x x =+.17. 求下各微分方程的通解：(1)22e x y y y '''+-=;解： 2210r r +-=得相应齐次方程的通解为令特解为*e x y A =,代入原方程得 2e e e 2e x x x x A A A +-=,解得1A =, 故*e x y =,故原方程通解为 212e e e x x xy c c -=++.2(2)25521y y x x '''+=--;对应齐次方程通解为212e x y c c -=+ 令*2()y x ax bx c =++, 代入原方程得比较等式两边系数得则*321373525y x x x =-+ 故方程所求通解为532212137e 3525x y c c x x x -⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭. (3)323e x y y y x -'''++=;解：2320r r ++= 121,2r r =-=-,对应齐次方程通解为 212e e x x y c c --=+令*()e x y x Ax B -=+代入原方程得解得 3,32A B ==-则*23e 32x y x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故所求通解为22123e e e 32x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. (4)25e sin 2x y y y x '''-+=;解：2250r r -+=相应齐次方程的通解为令*e (cos 2sin 2)x y x A x B x =+,代入原方程并整理得得 1,04A B =-=则 *1e cos 24x y x x =-故所求通解为 121e (cos 2sin 2)e cos 24x x y c x c x x x =+-.(5)2y y y x '''++=;解：2210r r ++=相应齐次方程通解为 12()e x y c c x -=+令*y Ax B =+代入原方程得得 1,2A B ==-则 *2y x =-故所求通解为 12()e 2x y c c x x -=++- 2(6)44e x y y y '''-+=.对应齐次方程通解为 12()e c c x =+令*22e x y Ax =代入原方程得故原方程通解为222121()e e 2x x y c c x x =++.18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解： ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===; 解：特征方程为 210r +=得 1,2r i =±对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+令*cos 2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得得 10,3A B ==故通解为 121cos sin sin 23y c x c x x =++.将初始条件代入上式得11221121133c c c c -==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩ 故所求特解为 11cos sin sin 233y x x x =--+.200633(2)109e ,,77x x x y y y y y ==''''-+===.解： 21090r r -+=对应齐次方程通解为 912e e x x y c c =+令*2e x y A =,代入原方程求得 17A =-则原方程通解为 29121e e e 7x x xy c c =-++由初始条件可求得1211,22c c == 故所求特解为 9211(e e )e 27x x xy =+-.19. 求下列欧拉方程的通解：解：作变换e tx =,即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-= 即 22d 0d y y t -=特征方程为 210r -=故 12121e e t t y c c c c x x -=+=+.23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e tx =,则原方程化为 232d 4e d ty y t -= ①特征方程为 240r -=故①所对应齐次方程的通解为又设*3e t y A =为①的特解,代入①化简得 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211e e e .55t t t y c c c x c x x --=++=++。

高等数学课后习题答案

习题十二1．写出下列级数的一般项：(1)1111357++++；(2)22242462468x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+；解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2nn xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+；2．求下列级数的和：(1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑；(2)1n ∞=∑；(3)23111555+++；解：(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n Sx x x x x xx x x n xn x n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-= ⎪++++⎝⎭因此()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()121x x + (2)因为n U =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=+-所以lim 1nn S →∞=1(3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14．3．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=-∑；(2) ()()11111661111165451n n+++++⋅⋅⋅-+；(3)()23133222213333nn n--+-++-；(4)1155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1) ()111n n n +∞=-∑；(2) 1cos 2nn nx∞=∑；(3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑．解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+，∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛．(2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n p n n n p n p n p n U U U x n p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)()()111465735n n ++++⋅⋅++；(2)22212131112131n n +++++++++++(3)1πsin 3nn ∞=∑；(4)1n ∞=；(5)()1101nn a a ∞=>+∑；(6)()1121nn ∞=-∑．解：(1)∵()()21135n U nn n =<++而211n n∞=∑收敛，由比较审敛法知1nn U∞=∑收敛．(2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n →∞→∞=⋅=而1π3nn ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛． (4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a ∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2x x x →-=知121limln 211nx n →∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1)213nn n ∞=∑； (2)1!31nn n ∞=+∑；(3)232333331222322nn n +++++⋅⋅⋅⋅；(1) 12!n nn n n ∞=⋅∑解：(1)23n nn U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2)()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3)()()11132lim lim 2313lim 21312n n n n nn n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=>所以原级数发散．(4)()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n n n n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑；(3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；(4)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散．(2)()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4) lim n n n b b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，ba >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1-+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 234111*********5353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑；(5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑．解：(1)()11n n U -=-1nn U ∞=∑>0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛．(2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1limln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n n U -=-⋅民，显然1111115353n nn n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n n U U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n nU U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n n n ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U n n ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x →∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1)()1!1nn x n ∞=-∑，x ∈[-3,3]；(2)21nn x n ∞=∑，x ∈[0,1]；(3) 1sin 3nn nx∞=∑，x ∈(-∞,+∞)；(4) 1!nxn e n -∞=∑，|x |<5；(5)1n ∞=，x ∈(-∞,+∞)解：(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--，x ∈[-3,3]，而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．(2)∵221nx nn ≤，x ∈[0,1]，而211n n∞=∑收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．(3)∵1sin 33n n nx ≤，x ∈(-∞,+∞)，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．(4)因为5!!nnx ee n n -≤，x ∈(-5,5)，由比值审敛法可知51!n n e n ∞=∑收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)531n≤，x ∈(-∞,+∞)，而5131n n∞=∑是收敛的P -级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n ．都有|U n (x )|≤V n (x )，则当()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时，级数()1nn Ux ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知， ∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有 |V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，于是，∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，因此，级数()1nn Ux ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛，由x 的任意性和与x 的无关性，可知()1nn Ux ∞=∑在Ⅰ上一致收敛．11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n+…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)nn n∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1eR ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n nn n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n →∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：(1)21n n nx∞+=∑；(2) 22021n n x n +∞=+∑；解：(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S nx x ∞-==∑则()1011xn n x S x x x ∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x ++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数2121n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011n n S x x x ∞='==-∑，故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021xS S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x +==<-13．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：(1)f (x )=ln(2+x )； (2)f (x )=cos 2x ；(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )；(4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-；(7)f (x )=e xcos x ；(8)()()212f x x =-．解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1) 故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()110ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞) 得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞)(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()11200111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n nn n x n ∞=-=+-∑(-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2nn n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞) 得()01e!n n xn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为e cos x x 为()()1e cos sin x x i e x i x +=+的实部，而()()[]()10002011!1!ππcos sin !44ππ2cos sin !44n xi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎤⎫=+⎪⎥⎭⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑取上式的实部．得20π2cos4cos !nx nn n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑(|x |<2)14．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑ 所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n n n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15．将函数()f x =(x -1)的幂级数．解：因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑16．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值：(1)ln3（误差不超过0.0001）； (2)cos20（误差不超过0.0001）解：(1)35211ln 213521n x x x x x xn -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯．因而取n =6则35111111ln 32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17．利用被积函数的幂级数展开式，求定积分0.5arctan d xx x ⎰（误差不超过0.001）的近似值．解：由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+，（-1≤x ≤1）故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x xx n x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰而3110.013992⋅≈，5110.0013252⋅≈，7110.0002492⋅≈．因此0.5350arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰18．判别下列级数的敛散性：(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．解：(1)∵122111n nnnn n nn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()22211221lim lim 10111nnn n n n n n n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn nn∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散，由比较审敛法知原级数发散．(2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭<≤由比值审敛法知级数12nn n ∞=∑收敛，由比较审敛法知，原级数21cos 32nn nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛．(3)∵()()ln ln 220313nn n n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=<知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛，由比较审敛法知，原级数()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛．19．若2lim n n n U →∞存在，证明：级数1nn U∞=∑收敛．证：∵2lim nn n U →∞存在，∴∃M >0，使|n 2U n |≤M ，即n 2|U n |≤M ，|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛，故1n n U ∞=∑绝对收敛．20．证明，若21nn U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛．证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21nn U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛，因而1nn U n∞=∑绝对收敛．21．若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛，则函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．证：U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ，∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n nU a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛，故级数()1nnn ab ∞=+∑收敛．由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1) 111nn n x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑；(2)()1πsin12n n n x ∞=+∑；(3) ()2112nn n x n ∞=-⋅∑解：(1)111lim1lim 211lim lim lim 22e e n n nn nn nnn n n a a n n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-=⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭++⎛⎫=⋅⋅ ⎪++⎝⎭=⋅=∴13R ρ==，又当x =时，级数变为()111311333n nnn n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎛++=±± ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，因为3lim 033nn n n →∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭所以当3x =±，级数发散，故原级数的收敛半径3R =，收敛域(-3,3)．(2)111ππsin122limlim lim ππ2sin 22n n n n n n nnn a a ρ+++→∞→∞→∞====故12R ρ==，又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n →∞→∞⋅==≠．所以当(x +1)=±2时，级数()1πsin 12n n n x ∞=+∑发散，从而原级数的收敛域为-2<x +1<2，即-3<x <1，即(-3,1)(3)()212121lim lim 221n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =，收敛区间-2<x -1<2，即-1<x <3．当x =-1时，级数变为()2111nn n ∞=-∑，其绝对收敛，当x =3时，级数变为211n n ∞=∑，收敛．因此原级数的收敛域为[-1,3]．23．将函数()0arctan d xtF t x t =⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n nn t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：(1)()113n nn x ∞=-+∑，x ∈[-3,+∞)；(2)1nn nx ∞=∑，x ∈(2,+∞)；(3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑，x ∈(-∞,+∞)；解：(1)考虑n ≥2时，当x ≥-3时，有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()113n n n x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛．(2)当x >2时，有2n nn nx =<由1112lim 122n n n n n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数1n n n x ∞=∑在(2,+∞)上一致收敛．(3)∀x ∈R 有()()()22224322111n n n x n n n x n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛．25．求下列级数的和函数：(1)()211121n n n x n ∞-=--∑； (2)21021n n x n +∞=+∑； (3)()11!1n n nxn ∞-=-∑； (4)()11nn x n n ∞=+∑．解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x ∞--='==-+∑所以()()11201d arctan 01xS S x xx x -==+⎰即S 1(x )=arctan x ，所以S (x )=x arctan x ，x ∈[-1,1]．(2)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121x x x S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021x S S x x +-=-，S (0)=0所以()11ln21xS x x +=-，(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n nan +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xxn n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim 111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1，当x =1时，级数变为()111n n n ∞=+∑，由()2111n n n <+知级数收敛，当x =-1时，级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0，()()111n n x xS x n n +∞==+∑， ()[]1111n n x xS x x ∞-=''==-∑ （x ≠1）所以()[]()0d ln 1xxS x x x ''=--⎰即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x '=--=--+⎰⎰即()()()1ln 1xSx x x x =--+当x ≠0时，()()111ln 1S x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，又当x =1时，可求得S (1)=1 （∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭）综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩26．设f (x )是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+27．写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数．解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…)所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nxn ∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nxn n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()π0π12π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x n x x n x n x n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42xf x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤解：(1)()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n ∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()π022ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1nn x n x x n n n n =+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑(0≤x ≤2π)30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n ==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n ∞=--+=∑(0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑(0≤x ≤π)31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和.解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑所以211π6n n ∞==∑ 32.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰故()()()22121π81cosπ221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n xx x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑，-∞<x <+∞，其中()102cos πd n a f x n x x=⎰，求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f ff +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1)，而()1sin πn n s x b n x∞==∑，-∞<x <+∞，其中()12sin πd n b f x n x x=⎰(n =1,2,3,…)，求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1)f (x )=1-x 21122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭； (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩ 解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰，()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n xn +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn x a f x xn x n x x x xn n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n x b f x xn x n x x x xn n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑(x ≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ，高为h ，周期为T 的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.解：根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2Tl T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰()()π2π222π2π22222π2211e d ed 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t li t lTT n l n n i t i t T T n i t T c u t t u t tlTh T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为()2π1πsin eπn i t Tn n h h n u t T n Tττ∞-=-∞≠=+∑(-∞<t <+∞，且3,22t ττ≠±±，…)37.设f (x )是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x，试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解：函数f (x )在x ≠2k +1，k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x ln l x n i n n c f x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1，k =0,±1,±2,…)38.求矩形脉冲函数(),00,A t T f t ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换。

(完整word版)高等数学课后习题及参考答案第四章

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231.(3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx x x 21; 解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x mn mC x mn dx x dx x mn m m n m nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx x x 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224. (15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx x e e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532;解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e xch x 都是x x e x sh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x +e x ch x =e x (sh x +ch x )x x x x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x +e x sh x =e x (ch x +sh x )x x x x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332x dx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d x dx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2.(11)⎰-+dx ee x x 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ;解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d xx dx x x x x +--=-+⎰⎰C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx x x 239;解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421.(35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+x dx 21; 解C x x C t t dt t tdt t tx xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .(40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d x x x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x xx x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458;解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx x x x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222. 8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17. ⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解 ⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dxx x )122(221111111令C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4x x dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxx x x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx.解令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u u dx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662. 4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln . 6. ⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9. ⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e b a ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e e dxx x)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x xdx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12. 16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a ++=tan 1tan 31434C xa x a x a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241x xdx;解tdt t t tx x xdx2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx .24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444. 25.⎰-416x dx; 解⎰⎰⎰++-=+-=-dx xx dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx x xx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x ex23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x e x x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dxx x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x xC t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C e e x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xde d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x x xx de e e e x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ; 解因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t tx dx x 2232/321sin cos secsec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx xx xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令 ⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答一、函数与极限1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限：(1) lim(x→2) f(x)(2) lim(x→-1) f(x)解答：(1) 当x → 2 时，f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12所以，lim(x→2) f(x) = 12(2) 当x → -1 时，f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2所以，lim(x→-1) f(x) = -22. 求以下极限：(1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)(2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)解答：(1) 利用极限的性质，lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)= lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4(2) 利用极限的性质，lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)= lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞二、导数与微分1. 求以下函数的导数：(1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1(2) y = sin(2x) + cos(3x)(3) y = e^x/(1 + e^x)解答：(1) y' = 3x^2 + 4x - 3(2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x)(3) 利用商链规则和指数函数的导数性质，y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2= e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2= e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^22. 求以下函数的微分：(1) y = 3x^2 + 4x - 2(2) y = sin(3x) + cos(2x)(3) y = ln(x) + e^x解答：(1) dy = (6x + 4)dx(2) dy = 3cos(3x)dx - 2sin(2x)dx(3) 利用对数函数和指数函数的微分性质，dy = (1/x)dx + e^xdx三、定积分与不定积分1. 求以下定积分：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx(2) ∫[π/4,π/2] sinx dx解答：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 |[0,1]= (1/3)(1)^3 + (1)^2 - (1/3)(0)^3 - (0)^2= 4/3(2) 利用不定积分的基本公式，∫ sinx dx = -cosx∫[π/4,π/2] sinx dx = [-cosx] |[π/4,π/2] = -cos(π/2) - (-cos(π/4)) = -1 + √2/2 = √2/2 - 12. 求以下不定积分：(1) ∫(x^2 + 2x)dx(2) ∫sinx dx解答：(1) ∫(x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 + C(2) ∫sinx dx = -cosx + C四、级数1. 判断以下级数的敛散性：(1) ∑(n=1,∞) (1/n)(2) ∑(n=1,∞) (1/2)^n解答：(1) 这是调和级数，已知调和级数∑(n=1,∞) (1/n) 发散。

高等数学课后习题及参考答案(第四章)

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231. (3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx xx 21;解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x m n m C x mn dx x dx x mn m m nm nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532; 解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|C =2C ,C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x | 1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e x ch x 都是x x e xsh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x e x ch x =e x (sh x ch x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x e x sh x =e x (ch x sh x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x xe d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332xdx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a xa x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+xdx 21;解C x x C t t dt t tdt t t x xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan . (40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x 23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d xx x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x x x x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233 ⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2 C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458; 解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx xx x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8 ⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解 ⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C xx dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17.⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )122(221111111令 C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4xx dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxxx x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx .解令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u udx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662.4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解 C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6.⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax ax axax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e ba ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e edx xx)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x x dx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12.16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx . 24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444.25.⎰-416x dx;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx xxx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dx x x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C ee x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xd e d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1 C e e e xx x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ;解因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t t x dx x 2232/321sin cos sec sec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx x x xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。

高等数学课后习题答案--第七章

135
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, （1） ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ （2） ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;