结构力学：极限荷载2

Mu 2
Mu
P 4Mu / a
（3）CD跨破坏时 有三种情况
0.8P q=P/a
P P P a P 2a Mu 3Mu 3
2
P 3.33M u / a
3
Pu 3.33Mu / a
例11-6 求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解：1.用穷举法求解
共有三种可能的破坏机构：
（1）A、B出现塑性铰
P
2
l 3
P
l
3
Mu
2
Mu
3
0
P
5 l
Mu
（2）A、C出现塑性铰
P
2
l 3
P
l
3
Mu
Mu
3
0
P
4 l
Mu
（3）B、C出现塑性铰
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
Mu
由作出的弯矩图可见，C截面不满足内力
2l / 3 3 l / 3
5M u / l 5M u / l
Mu
局限性条件。
（2）选A、C出现塑性铰形成的破坏机构
P
2
l 3
P
l
3
Mu
Mu
3
0
P
4 l
Mu
Mu
4Mu / 3
2
l / 3 2l / 3 3
由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。
4Mu / l
由前面例题可见:若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即 可求出极限荷载。
同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等 因素无关。
§11-5 比例加载时判定极限荷载的定理
比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。
P1
P1 1P P2 2P q1 1P q2 2P
PP
P 3.75M u / a
D （2）BC跨破坏时
2
0.8P q=P/a
2
PP
P a
1 2a a 2
Mu
Mu 2
Mu
P 4Mu / a
（3）CD跨破坏时
有三种情况：
例11-8 求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的
极限弯矩为Mu ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。
2
2l / 3
3 l / 3 2
l / 3 2l / 3 3
P
l 3
Mu
Mu
2
0
P
9 l
Mu
Pu
4 l
Mu
l / 3 2
例11-6 求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解： 2.用试算法求解
（1）选A、B出现塑性铰形成的破坏机构
P
P
A
D
B
C
P
2
l 3
P
l
3
Mu
2
Mu
3
0
2
P
5 l
取任一可接受荷载 P，在与上面相同虚位移上列虚功方程
n
P
M
i
i
M
i
Mui
i 1
P P
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。 证明：设同一结构有两个极限荷载Pu1和Pu2 。
若把Pu1看成可破坏荷载，Pu2看成可接受荷载。
Pu1 Pu 2
若把Pu2看成可破坏荷载，Pu1看成可接受荷载。
Pu1 Pu 2 故有 Pu1 Pu2
例11-8 求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的
极限弯矩为Mu ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。
0.8P q=P/a A
PP
B
CE F
解：先分别求出各跨独自破坏时的
可破坏荷载. D
（1）AB跨破坏时
a a 2a
0.8P q=P/a
a aa
0.8P a M u 2 M u
若把Pu1看成可破坏荷载，Pu2看成可接受荷载。
Pu1 Pu 2
若把Pu2看成可破坏荷载，Pu1看成可接受荷载。
Pu1 Pu 2 故有 Pu1 Pu2
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
P P
证明： 取任一可破坏荷载 P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程 n P M ui i i 1
0.8P q=P/a A
PP
B
CE F
解：先分别求出各跨独自破坏时的
可破坏荷载. D （1）AB跨破坏时
a a 2a 0.8P q=P/a
a aa PP
0.8P a M u 2 M u
P 3.75M u / a
D （2）BC跨破坏时
0.8P qห้องสมุดไป่ตู้P/a
PP
P a
1 2a a 2
Mu
试算法： 每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏
荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可
破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构
继续运算。
唯一性定理的应用
例11-6：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解：1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
求极限荷载相当于求P的极限值。
q1
q2
P2
结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：
1.单向机构条件； 2.内力局限条件； 3.平衡条件。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。 P 可接受荷载--- 同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。 P
极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。 证明：由于极限荷载Pu 是可接受荷载，由基本定理
Pu P
4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。 证明：由于极限荷载Pu 是可破坏荷载，由基本定理
Pu P
定理的应用：
极小定理的应用
穷举法： 列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机 构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。
Mu
4Mu / l
Pu
4 l
Mu
Mu /3
Mu
例11-7 求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Muq。
解: 用上限定理（极小定理）计算。
A
B
q
1 2
l
M u A
M uC
0
B
l
x
;
A
x
C
A
B
( l
1 x
1 ) x
l
Mu
q
A
C
B
A
x
Mu B C
q
l 2
Mu
x
Mu(l
1
x
1 ) x
0
q
l 2
Mu
1 x
Mu(l
1 x
1) x
0
q 2l x 2Mu x(l x) l
dq 0 dx
x2 4lx 2l 2 0
x1 (2 2)l x2 (2 2)l
qu
qm in
11.66
Mu l2
§11-6 连续梁的极限荷载
连续梁的破坏机构
一跨单独破坏
相邻跨联合破坏 在各跨等截面、荷载方向相同条件下， 破坏机构只能在各跨内独立形成。
比例加载时关于极限荷载的定理：
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
P P
证明： 取任一可破坏荷载 P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程 n P M ui i i 1
取任一可接受荷载 P，在与上面相同虚位移上列虚功方程
n
P
M
i
i
M
i
Mui
i 1
P P
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。 证明：设同一结构有两个极限荷载Pu1和Pu2 。