结构力学结构的极限荷载

q
B
l
qu
C
B
Mu
x
RB
因为 M C 是最大弯矩，则
QC qu x RB 0
qu l M u qu x 0 2 l
(b)
两方程联立，即可求出qu
由 (b)
2M u qu l (l 2 x )
将其代入(a)化简
x ( 2 1)l 0.4142l
x 2 2lx l 2 0
Ms s M A ydA A ydAe A s ydA p [3 ( )2 ] 2 Ms s M ——弯矩与曲率关系(非线性关系) M [3 ( )2 ] 或 s 3 2 2 Ms
e p
塑性极限状态： 截面上各点应力均达到屈服 s
A
唯一性定理的应用
P
B
P
C
D
l/3
l/3
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 A 解： 1.用穷举法求解
共有三种可能的破坏机构：
P
B
P
C
D
l/3
2
l/3 P+
3
l/3

塑性铰
若截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 u 。
s M 3 2 Ms
s Mu 3 2 0 u Ms
Mu 1.5 Ms
u
意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的区别： 1.塑性铰可承受极限弯矩; 2.塑性铰是单向的;
设D 截面出现塑性铰，则 2 Pu l 18M u M D 4M u 4M u Pu 9 l Pl 此时 M C u 2 M u M u 不可能 9
C
l/3
P
Pl 9
设C 截面出现塑性铰，则 Pu l 9M u MC Mu Mu Pu 9 l 2P l 此时 M D u 2 M u 4 M u 可能 9
只能出现一个塑性铰，所以
9M u Pu l
2 Pl 9
讨论： M C Pl / 9 1 Pl Mu Mu 9 Mu

M D 2 Pl / 9 1 Pl Mu 4M u 18 M u
变截面静定梁，塑性铰不一定首先出现 在荷载作用产生弯矩最大的截面，而是首先 出现在荷载作用产生弯矩与极限弯矩之比绝 对值最大的截面。
3.卸载时消失; 4.随荷载分布而出现于不同截面。
破坏机构
结构由于出现塑性铰而形成的机构（几何可变）称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
§9-3
静定结构的极限荷载
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。 确定塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯矩，利用平衡 条件即可求出极限荷载。 例：已知屈服应力为 s 23.5kN / cm2 , l 4m 。求极限荷载。 解：极限弯矩为 M u 19.646kN.m
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。 P P
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。
3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
Pu minP
4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
Pu maxP
定理的应用：
极小定理的应用
穷举法： 列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机 构对应的可破坏荷载，其中最小者即是极限荷载。 试算法： 每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏 荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可 破坏荷载即为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构 继续运算。 例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 解：1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构 l/3
例:求图示等截面梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩为Mu。 解: 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性 A 分析，一个在A 截面，设另一个在C 截面。 1 Mu RB qu l MA 0 2 l Mu 1 2 A MC 0 RB x qu x M u 0 2 qu l M u 1 ( ) x qu x 2 M u 0 (a) 2 l 2
式中
a1、a2 为 A1、A2 的形心到等面积轴的距离
S1、S2 为 A1、A2 对该轴的静矩。
例：已知材料的屈服极限 s 240MPa ，求图示截面的极限弯矩。
解: A 0.0036m 2
80 mm
A1
6 3
A1 A2 A / 2 0.0018m2
S1 0.08 0.02 0.02
§9-4
单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A 截面先出现塑性铰，这时 M A 3Pl / 16 M u
A
P
C
B
P 16 M u / 3l
再增加荷载 l/2
3Pl / 16
A
l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令 MC Mu
4 1 6 Pu ( M u M u ) M u l 2 l 或列虚功方程
l/2
l/2
l Pu M u 2 M u 0 2 6 Pu M u l
极限平衡法：无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需根据最后极 限状态的破坏机构，应用平衡条件即可求出。
M u s A1a1 s A2 a 2 s ( S 1 S 2 )
式中
Ws S1 S 2
a1、a2 为 A1、A2 的形心到等面积轴的距离
S1、S2 为 A1、A2 对该轴的静矩。
M
M
s
h b
s
ye ye
s s
s
s
bh2 Ms s 6
M u s A1a1 s A2 a 2 s ( S 1 S 2 )
P 1 1 P P2 2 P
q1 1P
q2 2 P
求极限荷载相当于求P的极限值。
结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件： 1.单向机构条件； 2.内力局限条件； 3.平衡条件。 可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。 P 可接受荷载--- 同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。 比例加载时关于极限荷载的定理：
bh2 M A ydA A s ydA s Ws s 4 bh2 Ws ——塑性弯曲截面系数 4 M u Ws s ——塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M
M
s
h b
s
ye ye
s s
s
s
bh2 Ms s 6
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。
A
Pu
P u l/4 l/2 Mu l/2
80 mm
B
作梁的弯矩图，梁中最大弯矩为
M max Pl / 4
20 mm
令
M max M u ，得
Pu 4 M u / l
4 19.646 19.646kN 4
若能判断出塑性铰的位置，利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。 P l 4M u Pu M M C 0 Mu u Pu M u u A 2 2 l B 静力法：利用平衡方程或弯 C 矩图直接求出极限荷载。 2 Pu/2 也可列虚功方程 4M u l 本例中，截面上有剪力，剪力 Pu Pu M u 2 0 l 2 会使极限弯矩值降低，但一般 机动法：利用虚功原理列方程求解。 影响较小，可略去不计。 例：已知屈服应力为 s 23.5kN / cm2 , l 4m 。求极限荷载。 解：极限弯矩为 M u 19.646kM.m
max [ ]
Pw [ P]
s
k
塑性设计时的强度条件：
Pu k
计算假定： 材料为理想弹塑性材料。


s
s
§9-2
M
极限弯矩、塑性铰和破坏机构
M
h b
极限弯矩
1.弹性阶段
max s
E y y
——应力与应变关系
——应变与曲率关系 ——应力与曲率关系 线性关系

Ey
M A ydA EI
弹性极限状态
——弯矩与曲率关系
max s
M
bh2 Ms s W s 6 M s s EI
——弹性极限弯矩(屈服弯矩)
M
s
h b
s
bh2 Ms s 6
2.弹塑性阶段 中性轴附近处于弹性状态.处于弹性的部分称为弹性核。
x (1 2)l
11.66 qu Mu l2
例:求图示变截面梁的极限荷载。已知AB 段的极限弯矩为2Mu,BC 段为Mu 。 解: 确定塑性铰的位置： 若B、D 出现塑性铰，则B、D 两截面的弯矩为Mu
M A 3M u
A B
P
D
C
Байду номын сангаас
l/3
3M u
l/3
Mu
l/3
这种情况不会出现。 若A 出现塑性铰，再加荷载时，B 截面弯矩减少 D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于D 截面。
P
C
B
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P 代入，得
A
5Pl / 32
P
C
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
P 2M u / 3l Pu P P 6 M u / l
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的 Pu 平衡可直接求出极限荷载。 Mu A B 1 l C Mu MA 0 RB ( Pu M u ) l 2 2 RB P l Pu l M u A MC 0 M u RB B 2 4 2 C
第九章
§9-1
极限荷载、强度条件和计算假定
结构的弹性分析： 假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。 荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。 结构的塑性分析： 基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑 性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载---极限荷载。 极限荷载： 结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临界值时， 不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能 力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的 荷载极限，称为极限荷载，记作Pu。 弹性设计时的强度条件：
A
Pu
P u l/4 l/2 Mu l/2
80 mm
B
作梁的弯矩图，梁中最大弯矩为
M max Pl / 4
20 mm
令
M max M u ，得
Pu 4 M u / l
4 19.646 19.646kN 4
例：求图示简支梁的极限荷载。
4Mu l/3
P D l/3
Mu
解：做梁的弹性弯矩图如图所示
M u M s Ws W 仅与截面形式有关，称为截面形状系数。 对于矩形截面 1.5 对于其他截面形式，见教材或讲义
设截面上受压和受拉的面积分别为A1 和A2，当截面上无轴力作用时
s A1 s A2 0
中性轴亦为等面积轴。
A1 A2 A / 2
由此可得极限弯矩的计算方法
10mm 等面积轴
0.02 0.01 0.005 33 10 m M u s ( S1 S2 )
A2
S2 0.02 0.09 0.045 81 106 m3
20 mm
240 106 (33 81) 106 27360 N m=27.36 kN m
Mu
A
2M u
P
A
2l y 3
C y
l 3
D A C
B
列虚功方程
P uy 2M u A M u D 0
3 9 y M u y 0 2l 2l
15 Mu 2l
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
Puy 2 M u
y
Pu
由前面例题可见:若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即 可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等因 素无关。
§9-5
比例加载时判定极限荷载的定理
比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。 q2 q1 P1 P2