第十六章 结构的极限荷载
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结构力学专题十六(单跨梁极限荷载计算)
A、B、C中的两个
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
▲ 结构的极限荷载小结
3.超静定结构极限荷载计算的特点 （1）先判断出超静定梁的破坏机构，即可直接利用机构的平衡 条件求FPu，不必考虑弹塑性变形过程。 （2）只需考虑平衡条件，不需考虑变形协调条件。因而计算比 弹性计算简单。 （3）超静定结构极限荷载，不受温度改变、支座移动等因素的 影响。（按最终的破坏机构计算，温度改变、支座移动等因素不再
2）第二跨破坏
ql q 1.5ql
ql ql l 17.6 1.2Mu 1.2Mu Mu 2 q2 2 Mu 2 2 2 l 3）第三跨破坏 q ql 1.5ql θ
1.2Mu θ M Δ u
θ
1.2Mu
1.2Mu
3ql 3ql 3l 1.2M u 2.4M u 2M u 2 2 2 4 6.4 M u 7.6Mu 8 Mu q3 2 6.756 2 破坏荷载为： qu 9 l l l2 （第一跨）
l
2.4Mu
ql 2 4
1.2Mu
1.2Mu
Mu
Mu
2Mu
ql 2 4
1.2Mu
ql 2 8
1.2Mu
9ql 2 16
2.4Mu
Mu
Mu
2Mu
第一跨单独破坏时： 第二跨单独破坏时： 第三跨单独破坏时：
q1l 2 M u 0.6M u 4
6.4M u q1 l2
17.6M u q2l 2 M u 1.2M u q2 8 l2 9q3l 2 6.76M u 2M u 1.8M u q3 16 l2
6 Mu FPu l
[例2] 图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为Mu， 第三跨正极限弯矩为2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯 矩的1.2倍，求qu 。
结构力学 结构的极限荷载与弹性稳定图文
A
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解: AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
塑性铰的可能位置：A、B、D。
A l/3
B
Mu B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
1）B、D截面出现塑性
FPu
铰，由弯矩图可知，只 有当 Mu 3Mu 时，此破
A l/3
B
Mu B
分析：(1) 图(a)表示截面处于弹性阶段。
该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，
称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性 s a)
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b)
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性
2
C l
2 4
B Mu
由We=Wi，可得 所以有1 4q源自l 24M uqu
16M l2
u
三次超静定 三个塑性铰
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
例11-4-3 已知梁截面极限弯矩为Mu ，求极限荷载 。 解:塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面C。
q
qu
A
l
BA
Mu A
Mu C C B
l-x
x
例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载 作用(图a)，试求极限荷载FPu 。
解：由M图知跨中截面 弯矩最大，在极限荷载作用 下，塑性铰将在跨中截面形 成，弯矩达极限值Mu(图b)。
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
第十六章结构的极限荷载
Mu
第二跨破坏：
第三跨破q坏2 ：17l2.6 Mu
Pu
6.4
Mu l2
θΔ
2θ
ql
ql
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
θΔ
2θ
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1.5ql
1.5P
θΔ
2θ
3q2lqq2ll
32qqql2ll342l2ll
11..22MMuuu
M21..42u MM2uu 2MqM1u2u26l.24Mquq2 317l72..66lM2Muu
7
P
例19-1求图示简支梁的Pu。
静力法：根据平衡条件
l
l
M
u
Pu l 4
得：
Pu
4M l
u
机动法：采用刚塑性假设 画机构虚位移图
虚功方程：
Pu - M u 2 0
Pu
2M u
4M u l
M
u
Pu 4
l
θ
Mu P Mu
Δ
2θ
2
l
极 限 平 静力法：
衡法求
根据塑性铰截面的弯矩Mu，由平衡方程求出
承受极 限弯矩
真实铰 不承受 弯矩
单向铰 双向铰
卸载而消失 不消失
位置随荷载的分 布不同而变化
位置固定
P
Pu
C
C
P
Mu
Mu
C
6
•横向荷载 通常剪力对承载力的影响很小，可忽略不计，纯弯 导出的结果横弯仍可采用。
弹塑性分析全过程
•在加载初期，各截面弯矩≤弹性极限弯矩Ms→某截面弯矩= Ms 弹性阶段结束。此时的荷载叫弹性极限荷载Fps。 •当F>Fps，在梁内形成塑性区。 •随着荷载的增大，塑性区扩展→形成塑性铰，继续加载，→形 成足够多的塑性铰（结构变成破坏机构）。
结构的极限荷载和例题讲解
简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力～应变关系下图所示。
§12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算
一、弹塑性阶段工作情况
理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时
弹性状态：
图b：截面处于弹性阶段，σ<σs （屈服极限） 图c：截面最外边缘处σ＝σs （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Wσs（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，σ＝σs ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性——极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 ——极限弯矩，以Mu 表示。
等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性——弹塑性阶段——极限状态过程:
（1）弹性阶段弯矩图：P≤Ps （2首）先弹在塑A性端阶形段成M并图扩：大荷，载然超后过CP截s，面塑也性形区成
塑性性铰区。。A端首先达到Mu并出现第一个塑
（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩 增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达 到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁 即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此 时的荷载称为极限荷载Pu——极限状态（e）。
破坏机构——极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 ——结构丧失承载能力
三、静定梁的计算
静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即 成为破坏机构。
对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩， 该截面形成塑性铰。
由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静 定梁的极限荷载。
结构的极限荷载和例题 讲解
§12－1 概述
结构设计方法：
1、容许应力法（弹性分析法）：
15_结构的塑性分析与极限荷载解读
2l l A y C y 3 3 D A C 9y / 2l
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
结构力学第16章 结构的极限荷载
6 M ( l 32
T 1
5 l) 32
与极限弯矩的比值为：
Mu 32M u ( 6l M1
T
32M u ) 5l
最小比值发生在A点，其值为：
Mu 16 M u M 1 min 3l
最小比值用FP1来表示，当荷载增大到
16 M u FP FP1 3l
Mu 得 q 6.756 l 2 Mu 极限荷载 qu 6.4 l 2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件：材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
EA l 0 0
0 0 0 0 0 0
（2）在 1 和 2 端同时出现塑性铰，如图(d)。
k 1e 2
EA l 0 0 EA l 0 0
EA 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
极限弯矩
塑性铰：弯矩达到极限弯矩时的截面。
塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角—单向铰。
图(a)为只有 一个对称轴的截面 图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心； 图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化； 图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。 A1(受拉区面积)= A2(受压区面积)，Mu为
状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限 值，此荷载值称为可接受荷载用 FP 表示。
FP 只满足平衡条件和单向机构条件。 可破坏荷载
T 1
5 l) 32
与极限弯矩的比值为：
Mu 32M u ( 6l M1
T
32M u ) 5l
最小比值发生在A点，其值为：
Mu 16 M u M 1 min 3l
最小比值用FP1来表示，当荷载增大到
16 M u FP FP1 3l
Mu 得 q 6.756 l 2 Mu 极限荷载 qu 6.4 l 2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件：材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
EA l 0 0
0 0 0 0 0 0
（2）在 1 和 2 端同时出现塑性铰，如图(d)。
k 1e 2
EA l 0 0 EA l 0 0
EA 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
极限弯矩
塑性铰：弯矩达到极限弯矩时的截面。
塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角—单向铰。
图(a)为只有 一个对称轴的截面 图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心； 图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化； 图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。 A1(受拉区面积)= A2(受压区面积)，Mu为
状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限 值，此荷载值称为可接受荷载用 FP 表示。
FP 只满足平衡条件和单向机构条件。 可破坏荷载
极限荷载总结
0.05Mu
M 1.375Muu
4P
3P
2P
Pl 4P
5P
1.25Pl
1. 5Pl
5M u MC l 0.75 M u 0.5M u 4l
③内力状态不满足内力局限条件 M D 1.5Pl 0.5M u 5M u Pu P M E Pl 0.25M u 1 4l
Mu M C 1.25 l 0.75M u l 0.5M u
5P
4P
1.25Pl
1. 5Pl
Mu ME l 0.25 M u 0.75 M u l ③内力状态满足内力局限条件
Mu Pu P l
2
解法3：穷举法 ①考虑A、C出现塑性 铰而形成的破坏机构 M
u
A
Mu ql
1.2Mu
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ Mu
1.2Mu
1.5ql2.4Mu 2Mu
l/2
ql 2 4
l/2
1.2Mu
l
ql 2 8
0.75l 0.75l
9ql 2 1.2Mu 16
2.4Mu
Mu
Mu
2Mu
qq3 2 912ll2l 2 q M 0.6M 2 u u 1.8M 第一跨单独破坏时： 16 MuM 1.2Muu u 三 二 4 8
4P C D
3P E
2P
B
l/4
4P M
l/4
l/4
3P 2P
l/4
M C 1.25Pl 0.75M u M u P1 7 M u 5l ②考虑A、D出现塑性
铰而形成的破坏机构
M
u
u
4P
M 4P
结构力学 极限荷载讲解
q Байду номын сангаас1
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
s
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws
矩 形 截 面 ： 1.5 16 圆形截面： 3 工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
s
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws
矩 形 截 面 ： 1.5 16 圆形截面： 3 工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
结构塑性分析与极限荷载
bh Mu s 4
这是截面所能承受的最大弯矩， 称为极限弯矩。
显然，对于 矩形截面极限 弯矩是屈服弯 矩的1.5倍。
12
σs h b y z σs
σs y0
σs
1)弹性阶段（b） 2)弹塑性阶段（c）
3)塑性阶段(d)
σs
σs
（d）
（a）
（b）
（c）
极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最 大弯矩。它主要与σs和截面形状尺寸有关，剪力对它的 影响可忽略不计。
注：应力的单位用（Pa），长度单位用（m），力的单位用 （N），弯矩单位（N.m）
20
M u 240 80 20 50 20 40 20 2 46080000N .m m) 46.08(kN.m) (
注：应力的单位用（MPa），长度单位用（mm），力的单 位用（N），弯矩单位（N.mm）
20
例：设有矩形截面梁受 载如图所示，试求极限 荷载F P u。 解：方法一—平衡法
A l
FP
B
l
C
（1）作M图（图b）。 由M图可知：在极限荷载 作用下，塑性铰将在C处 形成，此时，Mc=M u
Mu
FPu l 4
（2）由静力平衡条件，求F P u 对极限状态，由梁的平衡，得：
FPul / 4 Mu
塑性阶段时当σmax=[σ] ，结构并没有破坏，也就是
说，并没有耗尽所有的承载能力。 弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构这一 部分的承载能力，弹性设计法不能正确地反映整个结 构的安全储备，因此弹性设计是不够经济合理的。
4
§16-1 概 述
3、塑性设计 ——把结构破坏时能承受的极限荷载除以荷载系数， 得到容许荷载，并以此为依据进行设计。即： Fpu 式中：FP——结构实际承受的载荷； Fp Fp FPu——极限载荷； k k ——荷载系数。 塑性设计特点： 是以理想弹塑性材料的结构体系为研究对象，从整 个结构所能承受的荷载来考虑，充分利用了材料的承 5 载能力，更经济合理。
结构力学第16章___结构的极限荷载
+ 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu ≤ FP 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。
）：可接受荷载是极限荷载的下限 （4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限； ）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；
− 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 FPu ≥ FP
M u = σ s ( S1 + S 2 )
S1、S2为面积 1、 A2对等面积轴的静矩 为面积A
梁在横向荷载作用下的弯曲问题—理想弹塑性材料 梁在横向荷载作用下的弯曲问题 理想弹塑性材料 加载初期：各截面的 ＜ 继续加载，直到某个截面M=Ms， 加载初期：各截面的M＜Ms。继续加载，直到某个截面 弹性阶段终结。此时的荷载—弹性极限荷载 弹性极限荷载F 弹性阶段终结。此时的荷载 弹性极限荷载 Ps。 荷载＞FPs ：梁中形成塑性区。 荷载＞ 梁中形成塑性区。 加大荷载：在某截面处 形成塑性铰。 加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。 承载力无法增加—极限状态 承载力无法增加 极限状态 此时的荷载—极限荷载 极限荷载F 此时的荷载 极限荷载 Pu。 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩 极限值的条件， 极限值的条件 用平衡方程求出。 用平衡方程求出。
第16章
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 §16-6 §16-7
结构的极限荷载
概述 极限弯矩、塑性铰和极限状态 超静定梁的极限荷载 比例加载时判定极限荷载的一般定理 刚架的极限荷载 用求解器求极限荷载(略) 小结
§16-1 概 述
1. 弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 2. 塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载 极限荷 载)，以此为依据得到容许荷载的方法。 ，以此为依据得到容许荷载的方法。 结构塑性分析中， 结构塑性分析中，为简化计算将材料简化 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系 段 线弹性阶段，应力 应变为线性关系 AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的 段 塑性流动状态， 应变。 应变。
）：可接受荷载是极限荷载的下限 （4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限； ）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；
− 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 FPu ≥ FP
M u = σ s ( S1 + S 2 )
S1、S2为面积 1、 A2对等面积轴的静矩 为面积A
梁在横向荷载作用下的弯曲问题—理想弹塑性材料 梁在横向荷载作用下的弯曲问题 理想弹塑性材料 加载初期：各截面的 ＜ 继续加载，直到某个截面M=Ms， 加载初期：各截面的M＜Ms。继续加载，直到某个截面 弹性阶段终结。此时的荷载—弹性极限荷载 弹性极限荷载F 弹性阶段终结。此时的荷载 弹性极限荷载 Ps。 荷载＞FPs ：梁中形成塑性区。 荷载＞ 梁中形成塑性区。 加大荷载：在某截面处 形成塑性铰。 加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。 承载力无法增加—极限状态 承载力无法增加 极限状态 此时的荷载—极限荷载 极限荷载F 此时的荷载 极限荷载 Pu。 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩 极限值的条件， 极限值的条件 用平衡方程求出。 用平衡方程求出。
第16章
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 §16-6 §16-7
结构的极限荷载
概述 极限弯矩、塑性铰和极限状态 超静定梁的极限荷载 比例加载时判定极限荷载的一般定理 刚架的极限荷载 用求解器求极限荷载(略) 小结
§16-1 概 述
1. 弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 2. 塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载 极限荷 载)，以此为依据得到容许荷载的方法。 ，以此为依据得到容许荷载的方法。 结构塑性分析中， 结构塑性分析中，为简化计算将材料简化 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系 段 线弹性阶段，应力 应变为线性关系 AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的 段 塑性流动状态， 应变。 应变。
结构的极限荷载
第11章 结构的极限荷载前面各章所讨论的结构计算均是以线弹性结构为基础的，即限定结构在弹性范围内工作。
当结构的最大应力达到材料的极限应力n σ时，结构将会破坏，故强度条件为[]max nKσσσ=≤ 式中，max σ为结构的最大工作应力；[]σ为材料的许用应力；n σ为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限b σ，对于塑性材料为其屈服极限s σ；K 为安全系数。
基于这种假定的结构分析称为弹性分析。
从结构强度角度来看，弹性分析具有一定的缺点。
对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构，在某一截面的最大应力达到屈服应力，某一局部已进入塑性阶段时，结构并不破坏，还能承受更大的荷载继续工作，因此按弹性分析设计是不够经济合理的。
另外，弹性分析无法考虑材料超过屈服极限以后，结构的这一部分的承载能力。
塑性分析方法就是为了弥补弹性分析的不足而提出和发展起来的。
它充分地考虑了材料的塑性性质，以结构完全丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。
此时的荷载是结构所能承受荷载的极限，称为极限荷载，记为u F 。
结构的强度条件可表示为u F F K≤ 式中F 为结构工作荷载，K 为安全系数。
显然，塑性分析的强度条件比弹性分析更切合实际。
塑性分析方法只适用于延展性较好的塑性材料的结构，对于脆性材料的结构或对变形有较大限制的结构应慎用这种方法。
对结构进行塑性分析时，平衡条件和几何条件与弹性分析时相同，如平截面假设仍然成立，所不同的是物理条件。
为了简化计算，对于所用的材料，常用如图11.1所示的应力—应变曲线。
当应力达到屈服极限以前，材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；当应力达到屈服极限s σ时，材料开始进入塑性变形阶段，应力保持不变，应变可无限增加；卸载时，材料恢复弹性但存在残余变形。
凡符合这种应力—应变关系的材料，称为理想弹塑性材料。
实际钢结构一般可视为理想弹塑性材料。
对于钢筋混凝土受弯构件，在混凝土受拉区出现裂缝后，拉力完全由钢筋承受，故也可采用这种简化的应力—应变曲线进行塑性分析。
结构构件的极限承载力
结构构件的极限承载力结构构件的极限承载力是指在特定的条件下，支撑结构所能承受的最大荷载。
这是结构设计和施工中必须考虑的一个重要参数。
下面是针对结构构件的极限承载力的一些列表划分和详细解释。
1. 钢筋混凝土构件的极限承载力- 混凝土的强度混凝土的强度决定了结构构件的极限承载力。
通常情况下，混凝土的强度越高，构件的极限承载力就越大。
- 钢筋的数量和布局方式钢筋是增强混凝土的常用方法。
因此，钢筋的数量和布局方式对结构构件的极限承载力有明显的影响。
正确的钢筋布局可以提高内部的弯曲和剪切强度。
- 设计和施工的质量设计和施工的质量对混凝土构件的极限承载力也有很大的影响。
如果设计和施工存在问题，比如错误的尺寸、不正确的钢筋密度等，都会影响混凝土构件的承载能力，甚至可能导致结构的崩溃。
2. 钢结构构件的极限承载力- 钢材的强度钢材的强度是决定钢结构构件极限承载力的关键因素。
不同等级的钢材，其承载力也不同。
- 焊接质量钢结构构件通常需要用焊接连接，焊接质量对构件的承载能力也有很大的影响。
粗糙的焊接会导致焊缝强度不够，从而影响整个结构的强度和稳定性。
- 破坏类型钢结构构件的破坏类型通常有弯曲、屈曲和翻转三种。
不同破坏类型对承载能力的影响也有所不同。
3. 桥梁构件的极限承载力- 支座的强度桥梁构件的极限承载力与支座的强度直接相关。
如果支座强度不够，桥梁构件就很容易发生破坏。
- 钢结构构件的强度桥梁的整体极限承载力也与钢结构构件强度有关。
设计和制造过程中需要按照国际标准进行，保证构件的强度和质量。
- 自然灾害影响桥梁通常位于震荡和风力较大的区域，自然灾害是构件的最大威胁之一。
因此，在设计和制造过程中，需要考虑自然灾害对构件的影响，并采取措施来增强其稳定性和抗震能力。
总的来说，结构构件的极限承载力取决于多个因素，包括材料强度、结构设计和施工质量、自然灾害等。
只有在这些因素都得到充分考虑的情况下，才能确保结构构件的安全和稳定。
第16章 结构的极限载荷
按此应力—应变关系知：
①应力在屈服极限之前应力—应变成线
性关系（OA段）即： =Ee 。
②应力到达屈服极限后，材料进入屈服 流动状态，应力保持不变，应变继续增 大（AB段）
③若屈服流动到达C点卸载，则应变的减小值De与应力的减小值
D仍成正比即D=EDe，由此看出，加载和卸载有所不同，加载
阶段是弹塑性的,卸载是弹性的。在经历塑性变形后应力和应变
间不再保持单值对应关系。即：同一应力可以对应多个不同的
应变。
15
§17-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 一、极限弯矩
以理想弹塑性材料矩形截面梁纯弯曲状态的变形过程为例，说明 塑性分析中的几个概念。
梁随着横截面M的增大，梁
会经历一个由弹性变形阶段
到弹塑性变形阶段最后到达
塑性变形阶段的过程。实验 表明：无论哪个阶段，梁弯 曲变形的平面假定都成立。
FPu—极限荷载； [FP ]—容许荷载； n—荷载系数
由此, 结构的塑性设计问题就归结为计算结构的极限荷载的问题了.
14
§17-1 概述
为了确定结构的极限荷载，必须考虑材料的塑性变形，进行结构 的塑性分析,此种分析称为结构的塑性分析。
在结构的塑性分析中，为了简化计算，通常假设材料为理想弹塑 性材料，其应力—应变如图所示。
22
14
400
14
§17-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
例：计算工字型截面的极限弯矩Mu。已知：σs=235MPa
解: ⑴计算Ws
S1
S2
140 14 200
7
10 200
14
200 14 2
10
551260mm3 55.126105 m3
①应力在屈服极限之前应力—应变成线
性关系（OA段）即： =Ee 。
②应力到达屈服极限后，材料进入屈服 流动状态，应力保持不变，应变继续增 大（AB段）
③若屈服流动到达C点卸载，则应变的减小值De与应力的减小值
D仍成正比即D=EDe，由此看出，加载和卸载有所不同，加载
阶段是弹塑性的,卸载是弹性的。在经历塑性变形后应力和应变
间不再保持单值对应关系。即：同一应力可以对应多个不同的
应变。
15
§17-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 一、极限弯矩
以理想弹塑性材料矩形截面梁纯弯曲状态的变形过程为例，说明 塑性分析中的几个概念。
梁随着横截面M的增大，梁
会经历一个由弹性变形阶段
到弹塑性变形阶段最后到达
塑性变形阶段的过程。实验 表明：无论哪个阶段，梁弯 曲变形的平面假定都成立。
FPu—极限荷载； [FP ]—容许荷载； n—荷载系数
由此, 结构的塑性设计问题就归结为计算结构的极限荷载的问题了.
14
§17-1 概述
为了确定结构的极限荷载，必须考虑材料的塑性变形，进行结构 的塑性分析,此种分析称为结构的塑性分析。
在结构的塑性分析中，为了简化计算，通常假设材料为理想弹塑 性材料，其应力—应变如图所示。
22
14
400
14
§17-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
例：计算工字型截面的极限弯矩Mu。已知：σs=235MPa
解: ⑴计算Ws
S1
S2
140 14 200
7
10 200
14
200 14 2
10
551260mm3 55.126105 m3
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2.普通铰为双向铰； 塑性铰为单向铰，只能沿着MU增大的方向，若向 相反方向转动，则塑性铰消失。
h
17
四、破坏机构：
当结构在荷载作用下形成足够多的塑性铰时， 结构变为几何可变体系，即为破坏机构。
此时为极限状态，荷载为极限荷载。
若有n个极限荷载，则最小者为整个体系的极限荷载
h
18
五、比例加载：
1.所有荷载保持比例不变。 2.单调加载。
h
55
q
A
2MMUU
l
3ql
B
MU
C
3l l
3 ll
22
22
27.8l26MU
,
2MU 3l2
m
in
h
56
q
A
MU
l
3ql
B
MU
C
3l l
3 ll
22
22
qU
16MU l2
h
57
3ql
q
A
2MMUU
B
MU
h
3
§16-1 概述
1.弹性设计法：弯矩图上的最大值达到极限，则整 个结构认为达到极限。材料为弹性。
2.塑性设计法：整个结构变为机构后才认为达到极 限。材料为理想弹塑性。
h
4
理想弹塑性材料
σs ε
低碳钢
σs ε
h
5
理想弹塑性材料
1.弹性阶段OA，塑性阶段AB 2.同一应变对应不同应力
同一应力对应不同应变 3. 拉压性能相同 4.加载与卸载性能不同，
求：MU
20
h
13
4R 3
h
14
已知：大圆半径为R1 小圆半径为R2
屈服强度为σS
求：MU
h
15
三、塑性铰：
某截面的M达到MU时，其M不能进一步增 加，该截面两侧沿MU的方向发生相对转动， 相当于铰结点，称为塑性铰。
h
16
塑性铰与普通铰的区别：
1.普通铰不能承担M 塑性铰能承担M，且为常数，大小为MU。
42
FP
FP
A
B MU C
D
l
l
l
3
3
3
1
2MU l
,
6MU l
min
h
43
三、变截面梁
P
2MU
MU
A
B
C
D
l
l
l
3
3
3
2M 1l U,7.5lMU,9M lUmin
h
44
P
2MU
AB
MU
C
D
l
l
l
3
3
3
212Ml U
,1
5MU l
min
h
45
FP=1
AH
D
E
2m 2m 2m 2m
加载为弹塑性，卸载为弹性
h
S
A
o
ε
6
§16.2 极限弯矩 塑性铰 极限状态
单杆、纯弯曲、矩形截面、理性弹塑性材料
M
M
h
b
h
7
一、弹性极限弯矩MS
S
MS
S
bh2 6
MM
max Wz
bh2 6
S
h
8
二、塑性极限弯矩MU
S
MU
S
bh2 4
S S
S
S
弹性
S S
弹塑性
S
塑性
h
9
不对称截面的MU
形心轴
等面积轴
弹性
弹塑性 塑性
h
10
S SA1SA2
S
塑性极限
MU SA1h1SA2h2
SS1S2
h
11
塑性极限弯矩MU
1.拉压区面积A1与A2相同（等面积轴）
2. M USS 1S 2
其中：S1为A1对等面积轴的静矩（面积矩） S2为A2对等面积轴的静矩（面积矩）
h
12
20 40
80
已知： S
h
24
MU l
h
25
A
MU
l
B
MU
l
FP
C
h
26
A
M1 .5UM U
l
FP
B
M1 .U5 M U
C
MU
D
l
l
h
27
FP
A 1.5M U
B
1.5M U C
MU
D
l
l
l
h
28
2ql2
A 1.5M U
B
l
q
ql
1.5M U C
MU
D
l
l
h
29
P
P
MU
l
l
l
333
h
30
l
2EEII
m
EI
EA= l2
h
47
B
A
C
h
48
B
A
C
B
C
A
B
C
A
h
49
求Hale Waihona Puke 方法：分别求出每一跨的极限荷载，整个体系 的极限荷载即为所有跨中的 最小值
h
50
q
ql
q
A
MU
B
2M U
C
MU
D
l
l
l
2
2
l
1l6M 2U,1l2M 2U,11 .6l26MU min
h
51
q
ql
q
A
2MMUU
B
M2 MU U
C 2MUM U
2EEII
双自由度
m
l
h
31
1
2EI
A
EA
EI l2
l 2
l
1.力法求梁式杆M图，二力杆FN值 2.并求A点竖向线位移
h
32
3l 4
FN
1 4
VA
l3 8 EI
h
33
高等数学知识回顾：
v ' u
v 'u u 'v u2
h
34
二、单跨超静定梁
1.塑性铰的个数：不止一个，应从结构本身来看
B
FC
2m 2m 1m 1m
求MF、 MB、 FRB 、 FyA 、 FLQH 、 FRQH 、 FQD 、 FLQE 、FRQE 、 FLQB、 FRQB的影响线
h
46
四、连续梁
本书只讨论下列情况的连梁： 1.每一跨内为等截面，不同跨截面可不同 2.所有荷载作用方向均相同，且比例加载
结论：只在某一跨内形成破坏机构， 不会形成联合破坏机构.
h
19
§16.3超静定梁的极限荷载
一、静定梁的极限荷载
1.塑性铰的个数： 只要有一个，结构即坏 2.塑性铰的位置：M的最大值处
h
20
FP
MU
l
l
2
2
h
21
求极限荷载的方法： 1.静力法 2.机动法（虚功法）
静定结构：静力法更好。
h
22
1.静力法步骤： 1）画M图 2）令Mmax=MU
h
23
2.机动法（虚功法） 1）确定塑性铰位置 2）画虚位移图 3）列虚功方程
D
l
l
l
2
2
l
2.78l2M 6U,8M l2U,1.98 l2MU min
h
52
2MU
qu
27.86MU l2
MU 2MU
0.464l
h
53
MU
qu
19.8MU l2
2MU 0.45l
h
54
2FP
A
MU
l
l
l2
l2
FP
B
2MU
l
l
l2
l2
FP
C MU
l
2M l U
,6MU l
,
MlUmin
h
37
q
A
MU
B
l
qU
11.66MU l2
要求作为结论直接应用
h
38
FP
A MU B
C
l
l
2
2
FP U
8MU l
h
39
q
A MU
l
qU
16MU l2
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B
40
FP
A MU B
C
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l
2
2
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4MU l
h
41
FP
FP
A
B MU C
D
l
l
l
3
3
3
5M l U
,4MU l
,9M l Umin
h
第十六章 结构的极限荷载
本章思路：
刚结点达到极限时不是断裂而是发生定向转动 （沿着M增大的方向）——塑性铰
刚结点
承担着极限弯矩MU的单向铰
h
1
本章工作： 求极限荷载与MU的关系
一个截面的极限弯矩MU是一个常数 仅与材料和截面形状有关， 是一个已知量
h
2
极限荷载： 原来的结构刚变为机构时的荷载值
（该值与塑性铰的位置和个数有关）
2.塑性铰的位置：固定端，集中荷载作用处，均布 荷载的最大值处，变截面处
h
35
FP
A MU B
C
l
h
17
四、破坏机构：
当结构在荷载作用下形成足够多的塑性铰时， 结构变为几何可变体系，即为破坏机构。
此时为极限状态，荷载为极限荷载。
若有n个极限荷载，则最小者为整个体系的极限荷载
h
18
五、比例加载：
1.所有荷载保持比例不变。 2.单调加载。
h
55
q
A
2MMUU
l
3ql
B
MU
C
3l l
3 ll
22
22
27.8l26MU
,
2MU 3l2
m
in
h
56
q
A
MU
l
3ql
B
MU
C
3l l
3 ll
22
22
qU
16MU l2
h
57
3ql
q
A
2MMUU
B
MU
h
3
§16-1 概述
1.弹性设计法：弯矩图上的最大值达到极限，则整 个结构认为达到极限。材料为弹性。
2.塑性设计法：整个结构变为机构后才认为达到极 限。材料为理想弹塑性。
h
4
理想弹塑性材料
σs ε
低碳钢
σs ε
h
5
理想弹塑性材料
1.弹性阶段OA，塑性阶段AB 2.同一应变对应不同应力
同一应力对应不同应变 3. 拉压性能相同 4.加载与卸载性能不同，
求：MU
20
h
13
4R 3
h
14
已知：大圆半径为R1 小圆半径为R2
屈服强度为σS
求：MU
h
15
三、塑性铰：
某截面的M达到MU时，其M不能进一步增 加，该截面两侧沿MU的方向发生相对转动， 相当于铰结点，称为塑性铰。
h
16
塑性铰与普通铰的区别：
1.普通铰不能承担M 塑性铰能承担M，且为常数，大小为MU。
42
FP
FP
A
B MU C
D
l
l
l
3
3
3
1
2MU l
,
6MU l
min
h
43
三、变截面梁
P
2MU
MU
A
B
C
D
l
l
l
3
3
3
2M 1l U,7.5lMU,9M lUmin
h
44
P
2MU
AB
MU
C
D
l
l
l
3
3
3
212Ml U
,1
5MU l
min
h
45
FP=1
AH
D
E
2m 2m 2m 2m
加载为弹塑性，卸载为弹性
h
S
A
o
ε
6
§16.2 极限弯矩 塑性铰 极限状态
单杆、纯弯曲、矩形截面、理性弹塑性材料
M
M
h
b
h
7
一、弹性极限弯矩MS
S
MS
S
bh2 6
MM
max Wz
bh2 6
S
h
8
二、塑性极限弯矩MU
S
MU
S
bh2 4
S S
S
S
弹性
S S
弹塑性
S
塑性
h
9
不对称截面的MU
形心轴
等面积轴
弹性
弹塑性 塑性
h
10
S SA1SA2
S
塑性极限
MU SA1h1SA2h2
SS1S2
h
11
塑性极限弯矩MU
1.拉压区面积A1与A2相同（等面积轴）
2. M USS 1S 2
其中：S1为A1对等面积轴的静矩（面积矩） S2为A2对等面积轴的静矩（面积矩）
h
12
20 40
80
已知： S
h
24
MU l
h
25
A
MU
l
B
MU
l
FP
C
h
26
A
M1 .5UM U
l
FP
B
M1 .U5 M U
C
MU
D
l
l
h
27
FP
A 1.5M U
B
1.5M U C
MU
D
l
l
l
h
28
2ql2
A 1.5M U
B
l
q
ql
1.5M U C
MU
D
l
l
h
29
P
P
MU
l
l
l
333
h
30
l
2EEII
m
EI
EA= l2
h
47
B
A
C
h
48
B
A
C
B
C
A
B
C
A
h
49
求Hale Waihona Puke 方法：分别求出每一跨的极限荷载，整个体系 的极限荷载即为所有跨中的 最小值
h
50
q
ql
q
A
MU
B
2M U
C
MU
D
l
l
l
2
2
l
1l6M 2U,1l2M 2U,11 .6l26MU min
h
51
q
ql
q
A
2MMUU
B
M2 MU U
C 2MUM U
2EEII
双自由度
m
l
h
31
1
2EI
A
EA
EI l2
l 2
l
1.力法求梁式杆M图，二力杆FN值 2.并求A点竖向线位移
h
32
3l 4
FN
1 4
VA
l3 8 EI
h
33
高等数学知识回顾：
v ' u
v 'u u 'v u2
h
34
二、单跨超静定梁
1.塑性铰的个数：不止一个，应从结构本身来看
B
FC
2m 2m 1m 1m
求MF、 MB、 FRB 、 FyA 、 FLQH 、 FRQH 、 FQD 、 FLQE 、FRQE 、 FLQB、 FRQB的影响线
h
46
四、连续梁
本书只讨论下列情况的连梁： 1.每一跨内为等截面，不同跨截面可不同 2.所有荷载作用方向均相同，且比例加载
结论：只在某一跨内形成破坏机构， 不会形成联合破坏机构.
h
19
§16.3超静定梁的极限荷载
一、静定梁的极限荷载
1.塑性铰的个数： 只要有一个，结构即坏 2.塑性铰的位置：M的最大值处
h
20
FP
MU
l
l
2
2
h
21
求极限荷载的方法： 1.静力法 2.机动法（虚功法）
静定结构：静力法更好。
h
22
1.静力法步骤： 1）画M图 2）令Mmax=MU
h
23
2.机动法（虚功法） 1）确定塑性铰位置 2）画虚位移图 3）列虚功方程
D
l
l
l
2
2
l
2.78l2M 6U,8M l2U,1.98 l2MU min
h
52
2MU
qu
27.86MU l2
MU 2MU
0.464l
h
53
MU
qu
19.8MU l2
2MU 0.45l
h
54
2FP
A
MU
l
l
l2
l2
FP
B
2MU
l
l
l2
l2
FP
C MU
l
2M l U
,6MU l
,
MlUmin
h
37
q
A
MU
B
l
qU
11.66MU l2
要求作为结论直接应用
h
38
FP
A MU B
C
l
l
2
2
FP U
8MU l
h
39
q
A MU
l
qU
16MU l2
h
B
40
FP
A MU B
C
l
l
2
2
FP U
4MU l
h
41
FP
FP
A
B MU C
D
l
l
l
3
3
3
5M l U
,4MU l
,9M l Umin
h
第十六章 结构的极限荷载
本章思路：
刚结点达到极限时不是断裂而是发生定向转动 （沿着M增大的方向）——塑性铰
刚结点
承担着极限弯矩MU的单向铰
h
1
本章工作： 求极限荷载与MU的关系
一个截面的极限弯矩MU是一个常数 仅与材料和截面形状有关， 是一个已知量
h
2
极限荷载： 原来的结构刚变为机构时的荷载值
（该值与塑性铰的位置和个数有关）
2.塑性铰的位置：固定端，集中荷载作用处，均布 荷载的最大值处，变截面处
h
35
FP
A MU B
C
l