结构的极限荷载和例题讲解

简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力～应变关系下图所示。
§12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算
一、弹塑性阶段工作情况
理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时
弹性状态：
图b：截面处于弹性阶段，σ<σs （屈服极限） 图c：截面最外边缘处σ＝σs （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Wσs（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，σ＝σs ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性——极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 ——极限弯矩，以Mu 表示。
等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性——弹塑性阶段——极限状态过程:
（1）弹性阶段弯矩图：P≤Ps （2首）先弹在塑A性端阶形段成M并图扩：大荷，载然超后过CP截s，面塑也性形区成
塑性性铰区。。A端首先达到Mu并出现第一个塑
（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩 增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达 到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁 即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此 时的荷载称为极限荷载Pu——极限状态（e）。
破坏机构——极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 ——结构丧失承载能力
三、静定梁的计算
静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即 成为破坏机构。
对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩， 该截面形成塑性铰。
由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静 定梁的极限荷载。
结构的极限荷载和例题 讲解
§12－1 概述
结构设计方法：
1、容许应力法（弹性分析法）：
结构的最大应力达到材料的极限应力u时，结构
破坏 。
强度条件： max
u
k
u
特点是结构处于弹性状态。
u
以受弯构件为例：
u
2、极限荷载法（塑性分析法）：
极限状态：结构进入塑性状态，完全丧失承载能力时的状态。
A2
A 2
A1和A2分别为受拉区和受压区的面积。 塑性流动阶段中的中性轴应平分截面面积。
此时可求得极限弯矩如下：
Mu sA1a1sA2a2 s(S1S2)
WS S1S2
Mu sWS
S1和S2为面积A1和A2对等面积轴的静矩。WS为塑性截面系数。
当截面为bh矩形，相应的塑性截面系数和极限弯矩为：
WS
Fu1
l 4
M u1
Fu1
4
M u1 l
（2）当截面D出现塑性铰时的破坏机构，求得极限荷载：
l Fu2 8 M u2
显然，
Fu 2
8
Mu2 l
Fu Fu1,Fu2 min
即， 4M l u1,8M lu2 min
M Ful1,M Ful2
M MuC1,M MuD2min
4 8 min
（3）讨论
特点： 弹性阶段 ——应力为直线分布，中性轴通过截面的形心 弹塑性阶段 ——中性轴的位置将随弯矩的大小而变化 在塑性流动阶段 ——受拉压和受压区的应力均为常数σs。
塑性铰：当截面弯矩达到极限弯矩时，截面弯矩不
能增大，但弯曲变形可以任意增长，相当于无限靠近的 两个截面可以产生有限相对转角，相当于该截面出现一 个铰，称为塑性铰。
Mu
对于变截面梁，先按弹性分析，塑性铰首先出现在
M ,或 Mu
Mu max
M min 处。
如图所示，试求极限荷载。
CD
Mu1 l/2 l/4
Mu2 l/4
破坏机构的可能形式， 既与突变截面D的位置有关， 也与极限弯矩的比值
Байду номын сангаас
M u1
有关。
M u2
C Mu1
MC
D Mu2
MD
不同破坏机构的实现条件及其相应的极限荷载。 （1）当截面C出现塑性铰时的破坏机构，求相应的极限荷载
极限荷载：结构在极限状态时所能承受的荷载。
强度条件表达为： F F u K
F为实际承受的荷载：Fu为极限荷载，K为安全系数。 极限分析法特点是经济合理。 局限性 —— 只反映结构最后状态，
不反映弹性——塑性——极限状态过程 给定K —— 在实际荷载作用下结构工作状态无法确定
设计荷载作用下，大多数为弹性状态 结构设计——弹性与塑性计算相互补充
梁的极限荷载:可根据塑性铰截面的弯矩等于极限
值的条件，利用平衡方程求出。
设有矩形截面简支梁 在跨中承受集中荷载作用， 试求极限荷载Fu。
【解】由静力条件，有
Fu l 4
M
u
Fu
4M u l
简支梁在均部荷载q作用下，截面的极限弯矩为Mu，试求极 限荷载qu
q
l
q l2 8
Mu
qul2 8
M图
qu
8 l2
2. 静力法——极限荷载Pu
根据极限状态的弯矩图，由平衡条件推算出来。
Pul －Mu 42
Mu
由此求得极限荷载
Pu
6M u l
3. 机动法——极限荷载Pu
可应用虚功原理来求
外力所作功为 We Pu
内力所作的功为
W i Mu1Mu2Mu6l
由虚功方程 W e W i ( 6 1)
δ
Pu
6 l
特点（与普通铰的区别）：
（1）能承受极限弯矩——Mu； （2）单向铰——塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的
相对转角；如果沿相反方向变形，则截面立即恢复其弹 性而不再具有铰的性质。
二、极限弯矩Mu 极限状态下，根据平衡条件，截面 法向应力之和应等于零，由此得
s A1 s A2 0
A1
Mu
即得
Pu
6M u l
如果 Mu1 2Mu2
则C、D都能实现塑性铰。这里处于两种情况的临界状态，
得到相同的结果：
Pu
4Mu1＝8Mu2
l
l
如果 Mu1 2Mu2 ，则
Pu
4
M u1 l
如果
Mu1 2Mu，2 则
Pu
8
M u2 l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
1．超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点
超静定梁——多余约束——足够多塑性铰 ——机构，丧失承载能力
S1
S2
2 bh 2
h 4
bh2 4
Mu
bh2 4
S
相应的弹性截面系数和屈服弯矩为：
bh2 W ,
6
MS
bh2 6
S
即比值：M u 1.5 MS
对于矩形截面，极限弯矩为弹性屈服弯矩的1.5倍。
截面形状系数：
Mu Wu
MS WS
几种常用截面，α值： 矩形：α＝1.5 圆形：α＝1.7 薄壁园环形：α≈1.27~1.4（一般取1.3） 工字形：α ≈1.1~1.2（一般取1.15）