结构力学专题十五(结构的极限荷载)
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（3）弹塑性阶段
当荷载超过Fps时，在截面中形成塑性区；
（4）塑性阶段
随着荷载增大，塑性区逐渐扩大，最后当某截面处弯矩达 到“极限弯矩”Mu 时，形成“塑性铰”；
（5）破坏阶段
当塑性铰的个数足以使结构成为机构时，荷载再也加不上去了， 这种状态称为“极限状态”，这时的结构称为“破坏机构”，对应 的荷载称为“极限荷载”Fpu 。
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
(2)拉压本构关系相同
(3)平截面假定仍然有效
第十六章 结构的极限荷载
§16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
1、屈服弯矩与极限弯矩
M s W s
---弹性极限弯矩(屈服弯矩) ---材料边缘纤维应力达到屈服
Mu W s ---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
例2：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
(1)机动法 判断塑性铰位置 作虚位移图 列虚功方程：
(2)平衡弯矩法
2F
F
2m
2m
1m
二、等截面超静定梁
例3：求图示结构的极限荷载，
A
材料极限弯矩为Mu。
(1)平衡弯矩法 (2)机动法
(3)增量法
q
Fra Baidu bibliotekB l
例4：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
20mm
例1：求图示结构的极限荷载，
已知屈服应力为 s 240MPa,
Mu 27.36kN.m (1)平衡弯矩法
l 4m。
根据平衡条件，用荷载表示结构上各截面内力，并 使最大内力不大于材料极限弯矩。
(2)机动法
判断塑性铰位置，作虚位移图（注意塑性铰是单 向铰）利用虚功原理，写出表征平衡条件的虚功方程， 借以计算极限荷载。
第十六章 结构的极限荷载
§16-1 概述
1、极限分析的目的 弹性分析带来的问题： （1）没有充分发挥材料的潜力 （2）没有充分发挥结构的潜力 所以极限分析的目的就是要充分发挥材料潜力和
结构潜力。 对于材料潜力而言，引入“极限弯矩”Mu的概念 对于结构潜力而言，引入“极限荷载”FPu的概念
3、基本假定 (1)材料为理想弹塑性材料
破坏机构 结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁
例1：求图示结构的极限荷载，
已知屈服应力为 s 240MPa, l 4m。
F
80mm
l/2 l/2
解得： Mu 27.36kN.m
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
当荷载超过Fps时，在截面中形成塑性区；
（4）塑性阶段
随着荷载增大，塑性区逐渐扩大，最后当某截面处弯矩达 到“极限弯矩”Mu 时，形成“塑性铰”；
（5）破坏阶段
当塑性铰的个数足以使结构成为机构时，荷载再也加不上去了， 这种状态称为“极限状态”，这时的结构称为“破坏机构”，对应 的荷载称为“极限荷载”Fpu 。
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
(2)拉压本构关系相同
(3)平截面假定仍然有效
第十六章 结构的极限荷载
§16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
1、屈服弯矩与极限弯矩
M s W s
---弹性极限弯矩(屈服弯矩) ---材料边缘纤维应力达到屈服
Mu W s ---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
例2：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
(1)机动法 判断塑性铰位置 作虚位移图 列虚功方程：
(2)平衡弯矩法
2F
F
2m
2m
1m
二、等截面超静定梁
例3：求图示结构的极限荷载，
A
材料极限弯矩为Mu。
(1)平衡弯矩法 (2)机动法
(3)增量法
q
Fra Baidu bibliotekB l
例4：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
20mm
例1：求图示结构的极限荷载，
已知屈服应力为 s 240MPa,
Mu 27.36kN.m (1)平衡弯矩法
l 4m。
根据平衡条件，用荷载表示结构上各截面内力，并 使最大内力不大于材料极限弯矩。
(2)机动法
判断塑性铰位置，作虚位移图（注意塑性铰是单 向铰）利用虚功原理，写出表征平衡条件的虚功方程， 借以计算极限荷载。
第十六章 结构的极限荷载
§16-1 概述
1、极限分析的目的 弹性分析带来的问题： （1）没有充分发挥材料的潜力 （2）没有充分发挥结构的潜力 所以极限分析的目的就是要充分发挥材料潜力和
结构潜力。 对于材料潜力而言，引入“极限弯矩”Mu的概念 对于结构潜力而言，引入“极限荷载”FPu的概念
3、基本假定 (1)材料为理想弹塑性材料
破坏机构 结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁
例1：求图示结构的极限荷载，
已知屈服应力为 s 240MPa, l 4m。
F
80mm
l/2 l/2
解得： Mu 27.36kN.m
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；